精品解析：贵州省遵义市2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题

遵义市2024-2025学年度第二学期学业水平监测 八年级数学试题卷 注意事项： 1．全卷共6页，三个大题，共25小题，满分150分．考试时间为120分钟．考试形式闭卷． 2．一律在答题卡相应的位置作答，在试题卷上答题视为无效． 3．不能使用计算器． 一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂） 1. 的绝对值是 A. B. C. D. 2. 下列图案中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 2023年至2025年，遵义市举办了多场马拉松赛事．在这三年期间，马拉松参赛总人数约为53900人，将53900用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 某班5名同学每周参与社团活动的时间（单位：分钟）分别为：80，60，80，70，90．这组数据的众数为（ ） A. 60 B. 70 C. 80 D. 90 5. 如图，在中，的平分线交于点．若，，则的长为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合的部分构成了一个四边形．转动其中一张纸条，下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 若点，是一次函数图象上的两点，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 9. 我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”其大意是：有一块三角形沙田，三条边分别为5里，12里，13里，问这块沙田的面积为（ ） A. 30平方里 B. 32.5平方里 C. 60平方里 D. 65平方里 10. 小星在复习特殊四边形的关系时，整理出如图所示的知识结构图，在图中（1），（2），（3），（4）处需要添加条件，下列条件添加错误的是（ ） A. （1）处可填 B. （2）处可填 C. （3）处可填 D. （4）处可填 11. 如图，在中，．某同学按如下步骤进行尺规作图： ①以点为圆心，长为半径作弧，交于点； ②分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于，两点； ③连接并延长，交于点，连接． 若，，则四边形的面积为（ ） A. 8 B. C. 12 D. 12. 匀速地向一个如图所示的容器内注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度随时间变化的图象（草图）大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 要使二次根式有意义，则x的值可以是______．（写出一个即可） 14. 为了考察甲、乙两种小麦的长势，分别从中随机抽取10株麦苗，测得苗高（单位：）如图所示．若和分别表示甲、乙两种苗高数据的方差，则________．（填“”或“”） 15. 如图1是一只风筝，中间有一风筝杆，抽象成图2的．测得，，点，分别是外骨架，的中点．则风筝杆的长为________． 16. 如图，在中，，，．点，分别是线段，上的两动点，且，连接，，则的最小值为________． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）已知代数式，，．请从①；②；③中选择一个进行化简，并求当时的值． 18. 为加强暑期安全教育，遵义市某中学举行了防溺水相关知识竞赛，随机抽取名学生的竞赛成绩，把成绩分成四组（A：；B：；C：；D：），并将竞赛成绩制成如下不完整的统计图表和扇形统计图： 组别 成绩分组 频数 A B 15 C D 5 根据以上信息，回答下列问题： （1）的值为________，所抽取学生的竞赛成绩的中位数落在________组； （2）若该校共有1000名学生，估计这次知识竞赛成绩在80分及以上的学生人数； （3）从防溺水的安全角度思考，请你对中学生预防溺水提出一条合理化的建议． 19. 如图，在四边形中，对角线，相交于点，，． （1）从①，②平分，③中任选一个作为条件．求证：四边形是菱形； （2）在（1）的条件下，若，，点为的中点，连接，求的长． 20. 在如图1的网格中，每个小正方形的边长均为1．的顶点均在格点上．小雨同学利用勾股定理求出． （1）填空：______，_____； （2）在如图2的长方形网格中，每个小长方形的长均为2，宽为1．格点上的点，如图，点在格点上，满足，．请在网格中画出，并求的面积． 21. 一个弹簧不挂重物时有一定的长度，挂上重物后，伸长的长度与所挂重物的质量成正比（在弹簧的弹性限度内）．小星通过实验得到下表数据． 所挂重物 … 2 4 6 … 弹簧总长度 … 16 20 24 … （1）求弹簧总长度（单位：）关于所挂物体质量（单位：）的函数解析式； （2）若该弹簧的总长度超过后，弹簧会被破坏，求弹簧能挂重物的最大质量． 22. 我国汉末三国时期赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示的正方形，这个图称为“弦图”，并用它证明了勾股定理． （1）如图1，在中，，设，，．利用该“弦图”证明：； （2）小雨同学通过学习发现：对“弦图”进行一定的变化可制作出如图2所示的“数学风车”．将图1中四个直角三角形的直角边分别向外延长，使，连接，，，，得到如图3所示的“数学风车”平面图．若，，，求“数学风车”外围轮廓（图3中实线部分）的总长． 23. 在八年级“趣味数学”社团活动上，小星设计了一个“猜猜哪个数最大”的游戏，他准备了10张同样的卡片，正面分别写有数字，，，，，．游戏规则是：先将卡片顺序打乱，参与者至少从中随机抽取三张，并将它们正面向下放置在桌面上．小星依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数字最大． 【初步尝试】 （1）小芳同学参与了该游戏，她随机抽取了三张卡片，并将它们正面向下放置在桌面上（如图1）．这三张卡片分别记为，，．小芳将小星告诉她的相邻两张卡片上的数的和简记如下：，，．然后进行如下推导： 设，，卡片上对应的数分别为，，． 则①，②，③ 由②-①，得，. 由②-③，得， 小芳经过以上的推导后，最终判断______卡片上的数最大． 【类比解答】 （2）小华同学随机抽取了五张卡片，并将它们正面向下放置在桌面上（图2）．这五张卡片分别记为，，，，．小华也将小星告诉他的相邻两张卡片上的数的和简记如下：，，，，．请你帮小华判断，这五张卡片中，哪张卡片上的数字最大？并说明理由． 【迁移运用】 （3）在（2）的条件下，小华进一步思考，求出了卡片，，，，上写的数字．它们分别是：_____，_____，_____，_____，_____．（直接写结果） 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与相交于点，与轴分别交于点和点，点的横坐标为4． （1）若，则的取值范围为________； （2）求的面积； （3）已知是线段上的一点，过点作直线轴，交直线于点；过点作轴，交轴于点，连接．是否存在点，使的两条直角边之比为？若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 如图1，直线，点是直线上一点，，垂足为，点是线段的中点，以为边作正方形．线段沿方向平移，得到对应线段． 【操作判断】 （1）如图2，若，判断四边形的形状为________（不需证明）； 【问题探索】 （2）在（1）的条件下，连接交于点．连接，如图2．探究与的数量关系，并说明理由； 【迁移应用】 （3）如图3，若，．连接，点为的中点，连接．求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遵义市2024-2025学年度第二学期学业水平监测 八年级数学试题卷 注意事项： 1．全卷共6页，三个大题，共25小题，满分150分．考试时间为120分钟．考试形式闭卷． 2．一律在答题卡相应的位置作答，在试题卷上答题视为无效． 3．不能使用计算器． 一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂） 1. 的绝对值是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据负数的绝对值是它的相反数求解即可． 【详解】解：的绝对值是． 故选：A． 【点睛】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值计算的方法是解题的关键． 2. 下列图案中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，解题的关键是判断图形是否沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合． 根据轴对称图形的定义，依次对每个选项进行判断即可． 【详解】A、该图形是轴对称图形，不符合题意； B、该图形是轴对称图形，不符合题意； C、无论沿着哪条直线对折，直线两旁的部分都不能完全重合，所以不是轴对称图形； D、该图形是轴对称图形，不符合题意． 故选：C． 3. 2023年至2025年，遵义市举办了多场马拉松赛事．在这三年期间，马拉松参赛总人数约为53900人，将53900用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的定义，熟练掌握科学记数法的形式：，其中，为整数是解题的关键．根据科学记数法的定义进行表示即可． 【详解】由科学记数法的定义，可得． 故选． 4. 某班5名同学每周参与社团活动的时间（单位：分钟）分别为：80，60，80，70，90．这组数据的众数为（ ） A. 60 B. 70 C. 80 D. 90 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了众数的概念，解题的关键是明确众数是一组数据中出现次数最多的数据． 根据众数的定义，找出这组数据中出现次数最多的数． 【详解】解：在这组数据80，60，80，70，90中，80出现了2次，出现的次数最多． 根据众数的定义，一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数，所以这组数据的众数是80． 故选：C． 5. 如图，在中，的平分线交于点．若，，则的长为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和等腰三角形的判定，解题的关键是利用平行四边形的性质和角平分线的性质得出等腰三角形，进而求出的长度． 根据平行四边形的性质和角平分线的性质，得出，再结合已知条件求出的长度，从而得到的长度． 【详解】四边形是平行四边形， ， 平分， ． 又， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的加减乘除运算法则． 依次对每个选项进行二次根式的运算，根据运算法则判断其正确性． 【详解】A．，计算错误； B．无法合并为（二次根式加减需同类项），结果应为，等式不成立，错误； C．，但选项写为，算术平方根非负，错误； D．，符合二次根式乘法法则，正确． 故选：D． 7. 如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合的部分构成了一个四边形．转动其中一张纸条，下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质；证明四边形为平行四边形是解题的关键． 由条件可知，可证明四边形为平行四边形，可得到． 【详解】由题意可知：， ∴四边形为平行四边形， ， 故选：C． 8. 若点，是一次函数图象上的两点，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．也考查了一次函数的性质． 先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数中，， ∴y随着x的增大而增大， ∵点，是一次函数图象上的两点，， ∴． 故选：A． 9. 我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”其大意是：有一块三角形沙田，三条边分别为5里，12里，13里，问这块沙田的面积为（ ） A. 30平方里 B. 32.5平方里 C. 60平方里 D. 65平方里 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和直角三角形的面积计算，解题的关键是判断三角形的形状，再计算其面积． 先根据勾股定理的逆定理判断三角形的形状，再根据直角三角形的面积公式计算沙田的面积． 【详解】解：已知三角形沙田的三条边分别为5里，12里，13里． ， ． 这个三角形沙田是直角三角形，其中5里和12里为两条直角边． 沙田的面积为（平方里）． 故选：A． 10. 小星在复习特殊四边形的关系时，整理出如图所示的知识结构图，在图中（1），（2），（3），（4）处需要添加条件，下列条件添加错误的是（ ） A. （1）处可填 B. （2）处可填 C. （3）处可填 D. （4）处可填 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了特殊四边形的判定，解题的关键是熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定定理． 根据特殊四边形的判定定理，对每个选项进行分析，判断所添加的条件是否正确． 【详解】A、在平行四边形中，若，根据矩形的判定定理，有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以该选项添加的条件正确； B、在矩形中，若，根据正方形的判定定理，一组邻边相等的矩形是正方形，所以该选项添加的条件正确； C、在平行四边形中，是平行四边形本身就具有的性质，不能根据这个条件判定平行四边形是菱形，所以该选项添加的条件错误； D、在菱形中，若，根据正方形的判定定理，有一个角是直角的菱形是正方形，所以该选项添加的条件正确． 故选：C． 11. 如图，在中，．某同学按如下步骤进行尺规作图： ①以点为圆心，长为半径作弧，交于点； ②分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于，两点； ③连接并延长，交于点，连接． 若，，则四边形的面积为（ ） A. 8 B. C. 12 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质以及尺规作图，解题的关键是求出四边形的底和高，进而计算其面积． 先根据作图步骤得出相关线段和角的关系，再求出四边形的底和高，最后计算其面积即可． 【详解】如图：连接， 由作图步骤①可知， 又， 所以是等边三角形． 由作图步骤②③可知是的垂直平分线， ∴点B在上， ． ， ， 过作于， 在等边三角形中，， 四边形是平行四边形， ，则也是四边形的高， ， ． 四边形的面积为． 故选：D． 12. 匀速地向一个如图所示的容器内注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度随时间变化的图象（草图）大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了函数图象的实际应用，解题的关键是根据容器的形状分析水面高度随时间变化的规律． 根据容器的形状，分析注水过程中水面高度变化的快慢，从而判断函数图象的形状． 【详解】容器由下到上依次是较细的圆柱、最粗的圆柱、中间粗的圆柱． 在注水过程中，由于容器的横截面积不同，水面上升的速度也不同．横截面积越小，水面上升速度越快；横截面积越大，水面上升速度越慢． 开始注水时，容器最下面的部分横截面积较小，所以水面高度h随时间t上升较快． 接着到最粗的圆柱的部分，横截面积最大，水面高度h随时间t上升变慢． 最后到最上面中间粗的圆柱的部分，横截面积介于较小和最大中间，水面高度h随时间t也介于上述两个时间之间． 根据上述分析，水面高度h随时间t变化的图象应该是先上升较快，再上升最慢，最后上升介于介于上述两个时间之间，符合这一规律的是选项B． 故选：B． 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 要使二次根式有意义，则x的值可以是______．（写出一个即可） 【答案】2（答案不唯一） 【解析】 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方式为非负数得到，求出，即可得到答案． 【详解】解：要使二次根式有意义， 则， ∴， ∴x的值可以是2， 故答案为：2（答案不唯一） 14. 为了考察甲、乙两种小麦的长势，分别从中随机抽取10株麦苗，测得苗高（单位：）如图所示．若和分别表示甲、乙两种苗高数据的方差，则________．（填“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了方差的比较，要理解方差的定义，认真读图，解答此问题便可迎刃而解.方差用来计算每一个变量（观察值）与总体均数之间的差异，所以从图看苗高的波动幅度，可以大致估计甲、乙种苗高的方差大小. 【详解】解：由图可知，乙种苗高的波动比甲大， 则， 故答案为：. 15. 如图1是一只风筝，中间有一风筝杆，抽象成图2的．测得，，点，分别是外骨架，的中点．则风筝杆的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，中位线，掌握勾股定理求线段长，中位线的性质是解题的关键． 根据勾股定理可得，再根据中位线的性质可得，由此即可求解． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵分别是边中点， ∴， 故答案为： ． 16. 如图，在中，，，．点，分别是线段，上的两动点，且，连接，，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，勾股定理，两点之间，线段最短，过点B作且使，连接，，证明，得进而可得，再由两点之间线段最短可得：，所以当点在上时，有最小值为，利用勾股定理计算即可，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【详解】解：过点B作且使，连接，， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由两点之间线段最短可得： ，所以当点在上时，有最小值, 即有最小值为， ∵，， ∴， ∴， ∴中，， ∴最小值为：， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）已知代数式，，．请从①；②；③中选择一个进行化简，并求当时的值． 【答案】（1）；（2）①；；②；；③； 【解析】 【分析】本题主要考查了零次幂、二次根式的加减运算及分式的化简求值，熟练掌握各个运算是解题的关键； （1）根据零次幂、绝对值及二次根式的加减运算进行求解； （2）先对代数式进行化简，然后再代值求解即可． 【详解】解：（1） ； （2）∵，，． ∴①， 当时， 原式 ②， 当时， 原式； ③， 当时， 原式． 18. 为加强暑期安全教育，遵义市某中学举行了防溺水相关知识竞赛，随机抽取名学生的竞赛成绩，把成绩分成四组（A：；B：；C：；D：），并将竞赛成绩制成如下不完整的统计图表和扇形统计图： 组别 成绩分组 频数 A B 15 C D 5 根据以上信息，回答下列问题： （1）的值为________，所抽取学生的竞赛成绩的中位数落在________组； （2）若该校共有1000名学生，估计这次知识竞赛成绩在80分及以上的学生人数； （3）从防溺水的安全角度思考，请你对中学生预防溺水提出一条合理化的建议． 【答案】（1）50；C； （2）人； （3）加强防溺水安全教育，提高防溺水知识掌握（答案不唯一，合理即可） 【解析】 【分析】题目主要考查统计图的应用，利用样本估计总体，理解题意是解题关键． （1）根据B组人数及所占百分比即可确定总人数，然后分别求出各组人数，确定中位数即可； （2）利用样本估计总体求解即可； （3）根据题意提出建议即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：， C组的人数为：人， A组的人数为：人， ∵共有50名学生， ∴中位数为第25、26名学生成绩的平均数， ∵A组的人数为人，B组的人数为人，C组的人数为人， ∴， ∴所抽取学生的竞赛成绩的中位数落在C组， 故答案为：50；C； 【小问2详解】 根据题意得：人； 【小问3详解】 加强防溺水安全教育，提高防溺水知识掌握（答案不唯一，合理即可）． 19. 如图，在四边形中，对角线，相交于点，，． （1）从①，②平分，③中任选一个作为条件．求证：四边形是菱形； （2）在（1）的条件下，若，，点为的中点，连接，求的长． 【答案】（1） 选①作为条件， ∵在四边形中，对角线，相交于点，，． ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 选②平分作为条件 ∵在四边形中，对角线，相交于点，，． ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴ ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； ③选作为条件， ∵在四边形中，对角线，相交于点，，． ∴四边形为平行四边形； ∵， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，熟知菱形的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据菱形的判定依次进行证明即可； （2）根据菱形的性质得出，再由勾股定理得出，利用直角三角形斜边中线的性质即可求解 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知：四边形是菱形 ∴且与互相平分 ∵，， ∴， 在中，， ∴ ∵点为的中点， ∴． 20. 在如图1的网格中，每个小正方形的边长均为1．的顶点均在格点上．小雨同学利用勾股定理求出． （1）填空：______，_____； （2）在如图2的长方形网格中，每个小长方形的长均为2，宽为1．格点上的点，如图，点在格点上，满足，．请在网格中画出，并求的面积． 【答案】（1）； （2） 如图所示，即为所求，的面积为5 【解析】 【分析】题目主要考查网格与勾股定理，理解题意熟练掌握勾股定理是解题关键． （1）利用网格及勾股定理求解即可； （2）根据题意画出三角形，然后再由勾股定理逆定理确定为直角三角形，求面积即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：， 故答案为：； 【小问2详解】 其中，， ∴， ∴为直角三角形， ∴的面积为：． 21. 一个弹簧不挂重物时有一定的长度，挂上重物后，伸长的长度与所挂重物的质量成正比（在弹簧的弹性限度内）．小星通过实验得到下表数据． 所挂重物 … 2 4 6 … 弹簧总长度 … 16 20 24 … （1）求弹簧总长度（单位：）关于所挂物体质量（单位：）的函数解析式； （2）若该弹簧的总长度超过后，弹簧会被破坏，求弹簧能挂重物的最大质量． 【答案】（1） （2）14千克 【解析】 【分析】（1）设y关于x的函数解析式为，把和，代入解答即可． （2）计算当函数值为时，对应的自变量值即可． 本题考查了待定系数法求解析式，根据函数值求自变量的值，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 【小问1详解】 解：设y关于x的函数解析式为，把和，将其代入得： ， 解得：， ∴， ∴弹簧总长度关于所挂物体质量的函数解析式：． 【小问2详解】 解：当时， 将代入解析式中得：， 解得：， 故弹簧能挂重物的最大质量为14千克． 22. 我国汉末三国时期赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示的正方形，这个图称为“弦图”，并用它证明了勾股定理． （1）如图1，在中，，设，，．利用该“弦图”证明：； （2）小雨同学通过学习发现：对“弦图”进行一定的变化可制作出如图2所示的“数学风车”．将图1中四个直角三角形的直角边分别向外延长，使，连接，，，，得到如图3所示的“数学风车”平面图．若，，，求“数学风车”外围轮廓（图3中实线部分）的总长． 【答案】（1） 证明：由图可知， ∵，，正方形边长为， ∴， 即． （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的验证和运用，理解勾股定理是解决问题的关键． （1）依据题意得， ，再结合，，正方形边长为，即可解题； （2）依据题意，结合图形，利用勾股定理得出即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，，， ∴， ∴， ∴， ∴“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为． 23. 在八年级“趣味数学”社团活动上，小星设计了一个“猜猜哪个数最大”的游戏，他准备了10张同样的卡片，正面分别写有数字，，，，，．游戏规则是：先将卡片顺序打乱，参与者至少从中随机抽取三张，并将它们正面向下放置在桌面上．小星依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数字最大． 【初步尝试】 （1）小芳同学参与了该游戏，她随机抽取了三张卡片，并将它们正面向下放置在桌面上（如图1）．这三张卡片分别记为，，．小芳将小星告诉她的相邻两张卡片上的数的和简记如下：，，．然后进行如下推导： 设，，卡片上对应的数分别为，，． 则①，②，③ 由②-①，得，. 由②-③，得， 小芳经过以上的推导后，最终判断______卡片上的数最大． 【类比解答】 （2）小华同学随机抽取了五张卡片，并将它们正面向下放置在桌面上（图2）．这五张卡片分别记为，，，，．小华也将小星告诉他的相邻两张卡片上的数的和简记如下：，，，，．请你帮小华判断，这五张卡片中，哪张卡片上的数字最大？并说明理由． 【迁移运用】 （3）在（2）的条件下，小华进一步思考，求出了卡片，，，，上写的数字．它们分别是：_____，_____，_____，_____，_____．（直接写结果） 【答案】（1）C； （2）解：E卡片上的数字最大，理由： 设，，，，卡片上对应的数分别为，，，d，e， ∵，，，， ∴①，②，③，④，⑤， 由②-①，得， . 由②-③，得， ， 由④-③，得， . 由⑤-④，得， ， 由⑤-①，得， . 综上可得：且， ∴e最大，即E卡片上的数字最大； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的加减运算，消元法解方程组，理解题意，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据题中步骤即可得出结果； （2）根据例题的步骤求解计算即可； （3）根据（2）中过程建立方程组得出，即可求解． 【详解】解：（1）根据题意得.， ， ∴C卡片上的数最大， 故答案为：C； （2）略 （3）由（2）得①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨，⑩， ∴⑥+⑧得， 联立得，解得：， 代入到①，得； 代入到②，得； 代入到③，得； 故答案为：． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与相交于点，与轴分别交于点和点，点的横坐标为4． （1）若，则的取值范围为________； （2）求的面积； （3）已知是线段上的一点，过点作直线轴，交直线于点；过点作轴，交轴于点，连接．是否存在点，使的两条直角边之比为？若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）12 （3）存在，满足条件的所有点M的坐标为或． 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与三角形综合，解题的关键是掌握一次函数性质，运用分类讨论思想解答． （1）根据交点结合图象即可求解； （2）根据题意确定，，利用待定系数法确定，得出，结合图象求面积即可； （3）设点，则，． ∴，分两种情况：①当时，②当时，分别进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：∵直线与相交于点，点的横坐标为4， 由图象得：当时，的图象在的图象的下方， ∴当，的取值范围为， 故答案为：； 【小问2详解】 ∵的横坐标为4，且在上， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∵在上， ∴， 解得：， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴的面积为：； 【小问3详解】 解：存在． 如图所示： 根据题意设点，则，． ∴． 分两种情况： ①当时，， 解得． 所以点M的坐标为； ②当时，， 解得． 所以点M的坐标为． 综上，满足条件的所有点M的坐标为或． 25. 如图1，直线，点是直线上一点，，垂足为，点是线段的中点，以为边作正方形．线段沿方向平移，得到对应线段． 【操作判断】 （1）如图2，若，判断四边形的形状为________（不需证明）； 【问题探索】 （2）在（1）的条件下，连接交于点．连接，如图2．探究与的数量关系，并说明理由； 【迁移应用】 （3）如图3，若，．连接，点为的中点，连接．求的长． 【答案】（1）矩形； （2）解：，理由如下： ∵四边形为矩形， ∴， 设， ∵正方形，，， ∴， ∴， ∵点是线段的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质及矩形的判定即可得出结果； （2）根据矩形的性质得出，设，得出，再由全等三角形的判定和性质得出，，再由勾股定理求解即可； （3）延长交于点F，作交于点G，过点Q作交于点H，交于点I，通过矩形的判定和性质可得，，，再由全等三角形的判定和性质以及中位线的性质定理得到，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴， ∵线段沿方向平移，得到对应线段， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， 故答案为：矩形； （2）略 （3）延长交于点F，作交于点G，过点Q作交于点H，交于点I， ∵正方形，， 点是线段的中点， ∴，，， ∵， ， 由（1）可知四边形为矩形， ∴，， 延长交于点F， ∴ ∴， ∴四边形、为矩形， ∴，， ∴， ∵， ，， ， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形、为矩形， ，； 点为的中点， ， ∵， ∴， ∴， ， ∴点G为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查矩形的判定和性质，勾股定理解三角形，全等三角形的判定和性质，中位线的判定和性质，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $