2.6有理数的乘方（题型专练）数学苏科版2024七年级上册

2.6 有理数的乘方 题型一：乘方的概念 1．（2025•朝阳区校级模拟）下列说法不正确的是（　　） A．2×5可表示两个5相加 B．2×5可表示五个2相加 C．25可表示两个5相乘 D．25可表示五个2相乘 【分析】根据有理数的乘法和乘方的定义判断即可得出答案． 【解答】解：A、2×5可表示两个5相加，故不符合题意； B、2×5可表示五个2相加，故不符合题意； C、25可表示五个2相乘，故符合题意； D、25可表示五个2相乘，故不符合题意； 故选：C． 2．乘法运算可以表示为（　　） A． B． C． D． 【分析】运用乘方的定义和结果符号知识进行辨别、求解． 【解答】解： ＝﹣（） ＝﹣（）4， 故选：D． 3．（2025•河北模拟）可以写成（　　） A．（﹣2）×8 B．﹣2×8 C．（﹣2）8 D．﹣28 【分析】利用乘方的定义解答即可． 【解答】解：利用乘方的定义解答如下： ， 故选：C． 4．（2024秋•江山市期末）在理想的实验环境下，某种细菌每过20分钟就能由1个分裂成2个．经过1个小时，这种细菌由1个分裂成（　　） A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 【分析】利用有理数的乘方法则列式计算即可． 【解答】解：∵某种细菌每过20分钟就能由1个分裂成2个， ∴经过1个小时，这种细菌分裂3次， ∴经过1个小时，这种细菌由1个分裂成23＝8个． 故选：D． 5．（2025春•竞秀区期中）（　　） A． B． C． D． 【分析】根据有理数乘方和有理数的乘法进行解答． 【解答】解：原式， 故选：A． 6．（2025春•建邺区校级期中）每天进步一点点（0.01），一年后将远大于“1”，进步很大（1.01365≈37.8）．如果每天比前一天进步1%，则两年后所得终值1.01730最接近下面数值中的（　　） A．75 B．200 C．378 D．1400 【分析】根据幂的乘方进行求解． 【解答】解：1.01730＝（1.01365）2≈37.82≈1429≈1400， 故选：D． 题型二：乘方的符号及非负性 7．（2025•石家庄三模）下列选项中是负数的是（　　） A．（﹣3）2 B．﹣（﹣1.5） C．|﹣2| D．﹣12020 【分析】先利用有理数的相应的法则进行化简运算，然后再根据正负数的定义即可判断． 【解答】解：A．（﹣3）2＝9＞0，是正数，不符合题意； B．﹣（﹣1.5）＝1.5＞0，是正数，不符合题意； C．|﹣2|＝2＞0，是正数，不符合题意； D．﹣12020＝﹣1＜0，是负数，符合题意； 故选：D． 8．（2025春•五莲县期中）下列几组数中，相等的是（　　） A．23和32 B．（﹣3）2和﹣32 C．（﹣1）2022和﹣12022 D．+（﹣5）和﹣|﹣5| 【分析】根据乘方的定义和绝对值性质、相反数的定义逐一计算可得答案． 【解答】解：A．23＝8，32＝9，不相等，此选项不符合题意； B．（﹣3）2＝9，﹣32＝﹣9，不相等，此选项不符合题意； C．（﹣1）2022＝1，﹣12022＝﹣1，不相等，此选项不符合题意； D．+（﹣5）＝﹣5，﹣|﹣5|＝﹣5，相等，此选项符合题意； 故选：D． 9．（2024秋•衡东县期末）若，则ab的值为（　　） A． B． C． D．﹣8 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵， ∴0，b﹣3＝0， ∴a，b＝3， ∴ab， 故选：A． 10．（2024秋•博兴县期末）如果|a+2024|+（b﹣2023）2＝0，那么（a+b）2024的值是（　　） A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣1或1 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵|a+2024|+（b﹣2023）2＝0， ∴a+2024＝0，b﹣2023＝0， ∴a＝﹣2024，b＝2023， ∴（a+b）2024＝（﹣2024+2023）2024＝1． 故选：B． 11．（2024秋•偃师区期末）已知a，b都是有理数，若（a+2）2+|b﹣1|＝0，则（a+b）2025的值是（　　） A．﹣2025 B．﹣1 C．1 D．2025 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵（a+2）2+|b﹣1|＝0， ∴a+2＝0，b﹣1＝0， ∴a＝﹣2，b＝1， ∴（a+b）2025＝﹣1． 故选：B． 12．（2024秋•河南期末）若|a+2|与（b﹣3）2互为相反数，则ab+a（3﹣b）＝　﹣8　 ． 【分析】|a+2|与（b﹣3）2是两个非负数，这两个非负数互为相反数，即和是0，则每个式子都等于0，即可求出a、b的值，代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵|a+2|与（b﹣3）2互为相反数， ∴|a+2|+（b﹣3）2＝0， ∴a+2＝0，b﹣3＝0， 解得a＝﹣2，b＝3； 把a＝﹣2，b＝3代入ab+a（3﹣b）＝（﹣2）3+（﹣2）×（3﹣3）＝﹣8． 13．（2024秋•通河县期末）已知（3﹣m）2+|2+n|＝0，则nm＝　﹣8　 ． 【分析】根据非负数的性质可求出m、n的值，再将它们代入nm中求解即可． 【解答】解：∵（3﹣m）2+|n+2|＝0， ∴3﹣m＝0，m＝3， n+2＝0，n＝﹣2， ∴nm＝（﹣2）3＝﹣8． 故答案为：﹣8． 14．（2024秋•阿城区期末）若a，b互为相反数，c2＝36，则a+b+c的值是 　±6　 ． 【分析】根据相反数的定义以及有理数的乘方得出a+b＝0，c＝6或c＝﹣6即可． 【解答】解：∵a，b互为相反数，c2＝36， ∴a+b＝0，c＝6或c＝﹣6， ∴a+b+c＝6或a+b+c＝﹣6， 故答案为：±6． 题型三：乘方的应用 15．（2025春•让胡路区校级月考）一根1m长的铜丝，第一次剪去铜丝的，第二次剪去剩下铜丝的，如此剪下去，第2024次剪完后剩下铜丝的长度是（　　） A．（）2024m B．（）2023m C．（）2024m D．（）2023m 【分析】根据有理数的乘方运算法则即可求出答案． 【解答】解：第一次剪去铜丝的，剩下是， 第二次剪去剩下铜丝的，剩下是，⋯⋯ 第2024次剪完后剩下铜丝的长度是（）2024m． 故答案为：C． 14．（2025•栾城区校级开学）某种金属元素铋（Bi）会进行衰变，每次在一个周期里，衰变的量是上一次量的一半，铋的周期（半衰期）是1小时，设原有1克的未衰变的铋，则1小时后有0.5克发生了衰变，再过1小时又有0.25克发生了衰变，衰变一直按照这种规律发生下去，请问5小时后，共有多少克铋发生了衰变？（　　） A． B． C． D． 【分析】问共有多少克发生了衰变，就把这5次衰变的质量相加即可，每次衰变的质量都是上次的，从而列出式子，计算即可． 【解答】解：根据题意得：（）2+（）3+（）4+（）5 ， 故选：B． 16．（2024秋•庐江县期末）一根1米长的绳子，第一次剪去它的三分之一，第二次再剪去剩下的三分之一，如此剪下去，第十次后剩下的绳子长度为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【分析】根据题意，利用有理数的乘方运算，找出绳子绳子的规律，解答即可． 【解答】解：第一次剪去后，剩下的绳子为：（米）， 第二次剪去后，剩下的绳子为（米）， 第三次剪去后，剩下的绳子为（米）， ……， 第十次剪去后，剩下的绳子为（米）． 故选：C． 17．（2024秋•高台县期末）如图是一张长20cm、宽10cm的长方形纸片，第一次裁去一半，第2次裁去剩下部分的一半，…，按照此方式裁剪下去，第6次裁剪后剩下的长方形的面积是（　　） A．200cm2 B．200×（1）cm2 C．200cm2 D．200×（1）3cm2 【分析】根据乘方的定义解决此题． 【解答】解：长方形的最初的面积为S＝20×10＝200（cm2）． 第一次剪裁后剩余的面积为． 第二次剪裁后剩余的面积为． 第三次剪裁后剩余的面积为． … 经分析，第六次剪裁后剩余的面积为（cm2）． 故选：A． 18．（2024秋•柯桥区期末）如图是一纸条的示意图，第1次对折，使A，B两点重合后再打开，折痕为l1；第2次对折，使A，C两点重合后再打开，折痕为l2；第3次对折，使B，D两点重合后再打开，折痕为l3．已知CE＝2cm，则纸条原长为 　16　 cm． 【分析】由题意可得纸条原长AB＝8CE，再代入进行求解． 【解答】解：由题意得，AD＝CD＝（）2ABAB， ∴BD＝（1）ABAB，DEBDABAB， ∴CE＝DE﹣CDABABAB， 即AB＝8CE＝8×2＝16（cm）， 故答案为：16． 题型四：科学计数法 19．（2024秋•夷陵区期末）《九章算术》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿＝1万×1万，1兆＝1万×1万×1亿，则1兆＝（　　） A．1010 B．1012 C．1016 D．1024 【分析】先计算1万×1万×1亿，然后用科学记数法表示即可． 【解答】解：1兆＝10000×10000×100000000 ＝10000000000000000 用科学记数法表示为：1×1016， 故选：C． 20．（2025•青海）2025年4月19日，全球首次“人机共跑”半程马拉松在北京开跑．本次比赛全程约21公里，这意味着采用双足步态的人形机器人要完成约25万次精密关节运动．将数据“250000”用科学记数法表示为（　　） A．2.5×105 B．2.5×104 C．25×104 D．0.25×106 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：250000＝2.5×105． 故选：A． 21．（2025•山西模拟）2025年4月19日，“天工Ultra”以2小时40分42秒的成绩，夺得全球首个人形机器人半程马拉松冠军，人们为这一赛事展现出的中国人形机器人产业的实力和前景而振奋．相关报告显示，2025年，中国人形机器人市场规模预计达到82.39亿元，约占全球一半．数据82.39亿用科学记数法表示为（　　） A．82.39×108 B．8.239×108 C．8.239×109 D．0.8239×1010 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：82.39亿＝8239000000＝8.239×109． 故选：C． 22．（2025•日照一模）数据显示，自2025年1月10日正式发布至2025年1月26日，DeepSeek的全球下载量已突破1600万次，这无疑是AI应用市场上的一次巨大成功，数据1600万用科学记数法表示为（　　） A．16×106 B．1.6×107 C．1.6×106 D．0.16×108 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：1600万＝16000000＝1.6×107． 故选：B． 23．（2022秋•沭阳县校级月考）光的速度是3×108米/秒，太阳光从太阳射到地球的时间约500秒，请你计算出太阳与地球的距离（用科学记数法表示）． 【分析】利用速度3×108米/秒乘以时间500秒，然后把结果利用科学记数法表示即可．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：3×108×500＝1.5×1011（米）， 答：太阳与地球的距离为1.5×1011米． 24．（2017春•盐都区期中）已知1cm3的氢气质量约为0.00009g，请用科学记数法表示下列计算结果． （1）求一个容积为8000000cm3的氢气球所充氢气的质量； （2）一块橡皮重45g，这块橡皮的质量是1cm3的氢气质量的多少倍． 【分析】（1）利用有理数乘法运算法则计算，再用科学记数法计算，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数； （2）利用有理数除法运算法则求出答案即可． 【解答】解：（1）0.00009×8000000＝720g， 720g＝7.2×102g； （2）45÷0.00009＝500000＝5×105． 故这块橡皮的质量是1cm3的氢气质量的5×105倍． 25．2001年2月12日，科学家首次公布了人类基因组“基本信息”，经过初步测定和分析，人类基因共有32亿个碱基对，包含了大约3万到4万个蛋白质编码基因，请用科学记数法表示32亿个碱基对． 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：32亿＝320000 0000＝3.2×109． 26．（2024秋•铁岭县期中）一粒米微不足道，有时总会在饭桌上不经意地掉下几粒，甚至有挑食的同学会倒掉整碗米饭．针对这种浪费现象，数学老师领同学们进行了实际测算，已知称得500粒大米重约10克，请你来计算： （1）一粒大米重约多少克？ （2）按我国现有人口14亿，每年365天，每人每天三餐计算，若每人每餐节约一粒大米，一年大约能节约大米多少千克？（用科学记数法表示） （3）假若我们把一年节约的大米卖成钱，按2元/千克计算，可卖多少钱？（用科学记数法表示） （4）对于因贫困而失学的儿童，学费按每人每年500元计算，卖得的钱可供多少名失学儿童上一年学？ 【分析】根据题意，按照要求，列式计算：（1）一粒大米重量×粒数＝总量；（2）每人每餐节约的质量×天数＝总量；（3）单价×数量＝总价；（4）人数＝总价÷每人每年的学费． 【解答】解：（1）10÷500≈0.02（克）， 答：一粒大米重约0.02克； （2）0.02×1×3×365×1400000000÷1000＝306600000（千克）＝3.066×107（千克）， 答：一年大约能节约大米3.066×107千克； （3）2×3.066×107＝6.132×107（元）， 答：可卖6.132×107元； （4）6.132×107÷500＝122640（名）， 答：可供122640名失学儿童上一年学． 27．地球上海洋总面积为3.6×108km2，按海洋的海水平均深度3.7×103m计算，海水的体积约为多少？ 【分析】首先化成同一单位km，再利用3.6×108乘以深度3.7即可． 【解答】解：3.7×103m＝3.7km， 3.6×108×3.7＝1.332×109（km3） 答：海水的体积约为1.332×109km3． 28．地球绕太阳转动每小时经过的路程约为1.1×105km，声音在空气中每小时传播1.2×103km，地球绕太阳转动的速度与声音传播的速度哪个快？ 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：1.1×105km＝110000km， 1.2×103km＝1200km， ∵110000＞1200， ∴地球绕太阳转动的速度快． 题型五：规律探究 29．（2025春•句容市期中）通过探究，当n为正整数时，，那么根据这一结论，请计算22+42+62+⋯582+602＝ 　37820　 ． 【分析】先求出12+22+32+⋯+302的值，再对原式进行变形，进而得出答案． 【解答】解：∵， ∴12+22+32+⋯+30230×（30+1）×（2×30+1）＝9455， ∴22+42+62+⋯582+602＝22（12+22+32+⋯+302）＝4×9455＝37820． 故答案为：37820． 30．计算：2﹣22﹣23﹣…﹣22006+22007 【分析】先逆用有理数乘方的法则22007﹣22006＝22006（2﹣1）＝22006，22006﹣22005＝22005（2﹣1）＝22005…，故可•找出规律2n+1﹣2n＝2n（2﹣1）＝2n，再代入原式计算即可． 【解答】解：∵22007﹣22006＝22006（2﹣1）＝22006，22006﹣22005＝22005（2﹣1）＝22005…， ∴2n+1﹣2n＝2n（2﹣1）＝2n， ∴原式＝22007﹣22006﹣…﹣23﹣22+2 ＝22006（2﹣1）﹣22005﹣23﹣22+2 ＝22005（2﹣1）﹣22004﹣23﹣22+2 ＝22+2 ＝6． 31．（2023秋•滕州市期中）（1）填空：1.22＝　1.44　 ；122＝　144　 ；1202＝　14400　 ． （2）根据上题的规律猜想：当底数的小数点向右移动一位，其平方数的小数点怎样移动？ （3）利用上述规律，解答下列各题： 如果3.252＝10.5625，那么0.3252＝　0.105625　 ．如果x2＝105625，那么x＝　±325　 ． 【分析】（1）利用平方的概念填空； （2）由（1）中可以发现小数点的变化，从而找出规律． （3）利用这个规律计算这两题即可． 【解答】解：（1）1.44；144；14400； （2）根据上题的规律可知：当底数的小数点向右移动一位，其平方数的小数点向右移动两位． （3）0.105625；±325． 32．阅读材料，求值：1+2+22+23+24+…+22015． 解：设S＝1+2+22+23+24+…+22015，将等式两边同时乘以2得： 2S＝2+22+23+24+…+22015+22016 将下式减去上式得2S﹣S＝22016﹣1 即S＝1+2+22+23+24+…+22015＝22016﹣1 请你仿照此法计算： （1）1+2+22+23+…+210 （2）1+3+32+33+34+…+3n（其中n为正整数） 【分析】（1）根据题目中材料可以得到用类比的方法得到1+2+22+23+…+210的值； （2）根据题目中材料可以得到用类比的方法得到1+3+32+33+34+…+3n的值． 【解答】解：（1）设S＝1+2+22+23+24+…+210， 将等式两边同时乘以2，得 2S＝2+22+23+24+…+211 将下式减去上式，得 2S﹣S＝211﹣1 即S＝1+2+22+23+24+…+210＝211﹣1； （2）设S＝1+3+32+33+34+…+3n， 将等式两边同时乘以3，得 3S＝3+32+33+34+…+3n+1， 将下式减去上式，得 3S﹣S＝3n+1﹣1 即2S＝3n+1﹣1 得S＝1+3+32+33+34+…+3n． 33．由13＝12；13+23＝32；13+23+33＝62；13+23+33+43＝102；…想一想，等式左边各项幂的底数与右边幂的底数有什么关系？猜一猜可以得出什么规律？请用n（n为正整数）的等式把这一规律写出来． 【分析】找出式左边各项幂的底数与右边幂的底数的关系，确定出规律，写出即可． 【解答】解：等式左边各项幂的底数和等于右边幂的底数，规律为13+23+33+43…+n3＝（1+2+…+n）2． 1．（2025春•重庆校级期末）对于任意非零数x，每次（次数为k）选择进行这样的运算（n为非零自然数），我们把这种方式叫做“计数操作”，如：当x＝1.8时，进行第一次“计数操作”，∵0＜1.8＜10，∴1.8×103＝1800，进行第二次“计数操作”，∵1800＞10，∴1800×22＝7200．对于该操作，说法正确的是（　　） ①若x＝2，则不存在这样的“计数操作”，使x2＝20． ②存在这样的“计数操作”，使得x2＝x． ③存在这样的“计数操作”，使得不等式x+xk＜x+10． ④存在这样的“计数操作”，使得x1+x2+x3+…+xk＝k． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】当初始值x＝2时，第一次操作选择n＝1，可得x1＝20，第二次操作n＝1，可得x2，据此可判断①；当初始值x＝20，第一次操作时，n＝1，第二次操作时，n＝1，求出x2，即可判断②；初始值x＝﹣5，第一次操作选择n＝1，求出x1，即可判断③；当k＝1时，初始值x＝0.1，选择n＝1，得．此时x1＝1，据此可判断④． 【解答】解：当x＝2时，第一次操作选择n＝1，得． 第二次操作选择n＝1，得．故存在操作使x2＝20，故①不成立． 若x＝20（满足x≥10），第一次操作选择n＝1，得． 第二次操作仍选n＝1，得．两次操作后结果等于原值，故②成立． 若x＝﹣5（负数），第一次操作选择n＝1，得．此时x1＝﹣5＜10，满足x+xk＝x+（﹣5）＜x+10，故③成立． 当k＝1时，x＝0.1，选择n＝1，得．此时x1＝1，满足x1＝1＝k，故④成立． 故选：C． 2．（2025春•城关区校级期中）观察下列等式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，…通过观察，用你所发现的规律确定22009的个位数字是　2　 ． 【分析】由题中可以看出，以2为底的幂的末位数字是2，4，8，6依次循环的．2009÷4＝502…1．所以可知22009的个位数字是2． 【解答】解：以2为底的幂的末位数字是2，4，8，6依次循环的， 2009÷4＝502…1， 所以22006的个位数字是2， 故答案为：2． 3．（2025•沭阳县校级一模）我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：f（m+n）＝f（m）•f（n），如：f（6）＝f（3+3）＝f（3）•f（3）．若f（2）＝k（k≠0），那么f（128）的结果是（　　） A．128k B．64k C．264k D．k64 【分析】根据新定义将f（128）进行分解，再求解即可解答． 【解答】解：∵f（2）＝k（k≠0） 由新运算，可知： f（128）＝ f（64+64） ＝ f（64）•f（64）＝f（32+32）•f（32+32）＝ f（32）•f（32）•f（32）•f（32） ＝f（16）•f（16）•f（16）•f（16）•f（16）•f（16）•f（16）•f（16） ＝k64， 故选：D． 4．（2024秋•张掖期末）若规定f（n）＝2n的个位数字，例如21＝2，所以f（1）＝2，24＝16，所以f（4）＝6，那么计算f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+…+f（2023）＝　10114　 ． 【分析】先计算出f（1）＝2，f（2）＝4，f（3）＝8，f（4）＝6，f（5）＝2，f（6）＝4，于是可判断从21开始，2n的个位数每4个一循环，而2023＝4×505+3，所以f（2023）＝8，一个循环中的4个个位数的和为20，从而得到f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+…+f（2023）＝20×505+14． 【解答】解：∵f（1）＝2，f（2）＝4，f（3）＝8，f（4）＝6，f（5）＝2，f（6）＝4， 而2023＝4×505+3， ∴f（2023）＝8， ∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+…+f（2023）＝2+4+8+6+2+4+8+6+…+2+4+8 ＝20×505+14 ＝10114． 故答案为10114． 5．（2024秋•丰泽区期末）如果m，n，k均为整数，且（m﹣n）2024+（n﹣k）2025＝1，则m﹣k＝ 　±1　 ． 【分析】先根据（m﹣n）2024+（n﹣k）2025＝1得到（m﹣n）2024＝0，（n﹣k）2025＝1或（m﹣n）2024＝1，（n﹣k）2025＝0，然后得到m﹣n＝0，n﹣k＝1或m﹣n＝±1，n﹣k＝0，最后把每组等式相加，求出m﹣k即可． 【解答】解：∵（m﹣n）2024+（n﹣k）2025＝1， ∴（m﹣n）2024＝0，（n﹣k）2025＝1或（m﹣n）2024＝1，（n﹣k）2025＝0， ∴m﹣n＝0，n﹣k＝1或m﹣n＝±1，n﹣k＝0， ∴m﹣n+n﹣k＝0+1或m﹣n+n﹣k＝±1+0， ∴m﹣k＝1或m﹣k＝±1 ∴m﹣k＝±1， 故答案为：±1． 1．（2025春•建邺区校级期中）我们规定：n个相同的非零有理数的商可以表示为aⓝ（n＝1，2，…），读作“a的圈n次方”．（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）＝（﹣3）④，读作“（﹣3）的圈4次方”． （1）直接写出计算结果：2025②＝ 　1　 ， 　4　 ． （2）若n为任意正整数，下列结论：①任何非零整数的圈n次方小于或等于本身；②负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数；③互为相反数的两个数的圈n次方互为相反数；④互为倒数的两个数的圈n次方互为倒数；⑤圈n次方等于它本身的数是1或﹣1．其中所有正确结论的序号是 　②④　 ． （3）试说明aⓝ÷aⓜ＝am﹣n（m，n为正整数，且m＞n）． 【分析】（1）根据新规定求解； （2）根据新规定求解； （3）根据新规定和同底数幂的运算证明． 【解答】解：（1）∵2025②＝2025÷2025＝1， （） ＝4， 故答案为：1，4； （2）①∵（﹣1）÷（﹣1）＝1＞﹣1， 故①是错误的； ②奇数个负数相除还是负数，偶数个负数相除是正数， 故②是正确的； ③∵（﹣2）÷（﹣2）＝1，2÷2＝1， 故③是错误的； ④∵aⓝ，（）ⓝ＝an﹣2， 故④是正确的； ⑤圈n次方等于它本身的数是1， 故⑤是错误的； 故答案为：②④． （3）证明：原式am﹣n． 2．（2024秋•钢城区期末）概念学习 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把（a≠0）记作aⓝ，读作“a的圈n次方”． 初步探究 （1）直接写出计算结果：2③＝　　 ，（）⑤＝　﹣8　 ； （2）以下说法中，正确的有 　ABD　 （多选题）； A．任何非零数的圈2次方都等于1； B．对于任何正整数n，1ⓝ＝1； C．3④＝4③； D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数； E．2③＝（﹣2）③． （3）一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于aⓝ＝　　 ； （4）算一算：﹣42×（）④﹣（）⑥÷（﹣2）3． 【分析】（1）根据新定义展开，再根据有理数的运算法则进行计算即可； （2）根据新定义和有理数的运算法则进行判断即可； （3）根据除方定义展开，然后按照乘方和有理数除法的定义即可总结通项式； （4）先根据有理数的乘方和新定义进行计算，再根据有理数的乘法和除法法则进行计算，再算加法即可． 【解答】解：（1）2③ ＝2÷2÷2 ＝1÷2 ， （）⑤ ＝（）÷（）÷（）÷（）÷（） ＝﹣8， 故答案为：，﹣8； （2）A．任何非零数的圈2次方都等于1，故本选项符合题意； B．对于任何正整数n，1ⓝ＝1，故本选项符合题意； C．∵3④＝3÷3÷3÷3＝3， 4③＝4÷4÷4＝4， ∴3④≠4③，故本选项不符合题意； D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，故本选项符合题意； E.2③＝2÷2÷2，（﹣2）③＝（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）， ∴2③≠（﹣2）③．故本选项不符合题意； 故选：ABD． （3）aⓝ＝a÷a÷a…÷a＝1÷an﹣2， 故答案为：； （4）由（3）得：（）④，（）⑥ 原式＝﹣16×9﹣16÷（﹣8） ＝﹣144+2 ＝﹣142． 3．（2024秋•泉州月考） LED灯带设计 素材 LED灯带可以通过控制器实现灯光颜色变幻效果，被广泛应用于各类场景装饰．如图1是一段由9颗LED灯（从左到右分别记为A，B，C，D，E，F，G，H，I）组成的灯带，将其拉直后，如图2所示，已知每两颗灯之间的距离相等，且每颗灯都能独立的切换为红光或黄光． 素材 已知9颗灯都亮红光，现每次同时切换m颗灯的颜色（即由红光切换为黄光，或由黄光切换为红光），多次操作后，能否使所有的灯都亮黄光？ 小明探究如下：用“+1”和“﹣1”分别表示一颗灯“亮红光”和“亮黄光”，计算这9颗灯分别表示的数的乘积，则上述问题的目标是将乘积从（+1）9变为（﹣1）9． 问题解决 任务1 如图2，将拉直后的灯带视为数轴，若点A表示的数为﹣2，点G表示的数为4，则点D表示的数为 　1　 ； 任务2 当m＝4时，经过多次操作后，能否使所有的灯都亮黄光？若能，最少需要几次操作？若不能，请简要说明理由； 任务3 小明发现，当m＝5时，经过多次操作后，可以使所有的灯都亮黄光．请你帮助小明写出完整的操作步骤． 要求： ①注意操作步骤的书写格式，例如“第一次：切换A，B，C，D，E的颜色”； ②无需切换颜色的灯，不要写在操作步骤里； ③本题将考虑“操作次数”给分，次数最少的才能得满分． 【分析】（1）根据每两颗灯之间的距离相等，点A与点G相距6个间距，点A与点D相距3个间距，即可求出答案； （2）先判断出当m＝4时，经过多次操作后，不能使所有的灯都亮黄光，通过用+1”和“﹣1”分别表示一颗灯“亮红光”和“亮黄光”，即可得出问题的目标是将乘积从（+1）9变为（﹣1）9，当 m＝4时，每次操作的变化是（﹣1）4，无论操作多少次，结果都是（+1）9×[（﹣1）4]n＝+1≠﹣1，即可判断出结论成立； （3）先判断出当m＝5时，经过3次操作后，可以使所有的灯都亮黄光，列出三次切换的步骤，即可得到答案． 【解答】解：（1）每两颗灯之间的距离相等，点A表示的数为﹣2，点G表示的数为4， ∴点D表示的数为：； 故答案为：1； （2）当m＝4时，经过多次操作后，不能使所有的灯都亮黄光； 理由：用“+1”和“﹣1”分别表示一颗灯“亮红光”和“亮黄光”， 若这9颗灯都由“亮红光”变为“亮黄光”，则问题的目标是将乘积从（+1）9变为（﹣1）9， 当m＝4时，每次操作的变化是（﹣1）4，无论操作多少次，结果都是（+1）9×[（﹣1）4]n＝+1≠﹣1， ∴当m＝4时，经过多次操作后，不能使所有的灯都亮黄光； （3）当m＝5时，经过3次操作后，可以使所有的灯都亮黄光具体步骤为： 第一次：切换A，B，C，D，E的颜色； 第二次：切换C，D，E，F，G的颜色； 第三次：切换C，D，E，H，I的颜色． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.6 有理数的乘方 题型一：乘方的概念 1．（2025•朝阳区校级模拟）下列说法不正确的是（　　） A．2×5可表示两个5相加 B．2×5可表示五个2相加 C．25可表示两个5相乘 D．25可表示五个2相乘 2．乘法运算可以表示为（　　） A． B． C． D． 3．（2025•河北模拟）可以写成（　　） A．（﹣2）×8 B．﹣2×8 C．（﹣2）8 D．﹣28 4．（2024秋•江山市期末）在理想的实验环境下，某种细菌每过20分钟就能由1个分裂成2个．经过1个小时，这种细菌由1个分裂成（　　） A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 5．（2025春•竞秀区期中）（　　） A． B． C． D． 6．（2025春•建邺区校级期中）每天进步一点点（0.01），一年后将远大于“1”，进步很大（1.01365≈37.8）．如果每天比前一天进步1%，则两年后所得终值1.01730最接近下面数值中的（　　） A．75 B．200 C．378 D．1400 题型二：乘方的符号及非负性 7．（2025•石家庄三模）下列选项中是负数的是（　　） A．（﹣3）2 B．﹣（﹣1.5） C．|﹣2| D．﹣12020 8．（2025春•五莲县期中）下列几组数中，相等的是（　　） A．23和32 B．（﹣3）2和﹣32 C．（﹣1）2022和﹣12022 D．+（﹣5）和﹣|﹣5| 9．（2024秋•衡东县期末）若，则ab的值为（　　） A． B． C． D．﹣8 10．（2024秋•博兴县期末）如果|a+2024|+（b﹣2023）2＝0，那么（a+b）2024的值是（　　） A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣1或1 11．（2024秋•偃师区期末）已知a，b都是有理数，若（a+2）2+|b﹣1|＝0，则（a+b）2025的值是（　　） A．﹣2025 B．﹣1 C．1 D．2025 12．（2024秋•河南期末）若|a+2|与（b﹣3）2互为相反数，则ab+a（3﹣b）＝　 　 ． 13．（2024秋•通河县期末）已知（3﹣m）2+|2+n|＝0，则nm＝　 　 ． 14．（2024秋•阿城区期末）若a，b互为相反数，c2＝36，则a+b+c的值是 　 　 ． 题型三：乘方的应用 15．（2025春•让胡路区校级月考）一根1m长的铜丝，第一次剪去铜丝的，第二次剪去剩下铜丝的，如此剪下去，第2024次剪完后剩下铜丝的长度是（　　） A．（）2024m B．（）2023m C．（）2024m D．（）2023m 14．（2025•栾城区校级开学）某种金属元素铋（Bi）会进行衰变，每次在一个周期里，衰变的量是上一次量的一半，铋的周期（半衰期）是1小时，设原有1克的未衰变的铋，则1小时后有0.5克发生了衰变，再过1小时又有0.25克发生了衰变，衰变一直按照这种规律发生下去，请问5小时后，共有多少克铋发生了衰变？（　　） A． B． C． D． 16．（2024秋•庐江县期末）一根1米长的绳子，第一次剪去它的三分之一，第二次再剪去剩下的三分之一，如此剪下去，第十次后剩下的绳子长度为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 17．（2024秋•高台县期末）如图是一张长20cm、宽10cm的长方形纸片，第一次裁去一半，第2次裁去剩下部分的一半，…，按照此方式裁剪下去，第6次裁剪后剩下的长方形的面积是（　　） A．200cm2 B．200×（1）cm2 C．200cm2 D．200×（1）3cm2 18．（2024秋•柯桥区期末）如图是一纸条的示意图，第1次对折，使A，B两点重合后再打开，折痕为l1；第2次对折，使A，C两点重合后再打开，折痕为l2；第3次对折，使B，D两点重合后再打开，折痕为l3．已知CE＝2cm，则纸条原长为 　 　 cm． 题型四：科学计数法 19．（2024秋•夷陵区期末）《九章算术》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿＝1万×1万，1兆＝1万×1万×1亿，则1兆＝（　　） A．1010 B．1012 C．1016 D．1024 20．（2025•青海）2025年4月19日，全球首次“人机共跑”半程马拉松在北京开跑．本次比赛全程约21公里，这意味着采用双足步态的人形机器人要完成约25万次精密关节运动．将数据“250000”用科学记数法表示为（　　） A．2.5×105 B．2.5×104 C．25×104 D．0.25×106 21．（2025•山西模拟）2025年4月19日，“天工Ultra”以2小时40分42秒的成绩，夺得全球首个人形机器人半程马拉松冠军，人们为这一赛事展现出的中国人形机器人产业的实力和前景而振奋．相关报告显示，2025年，中国人形机器人市场规模预计达到82.39亿元，约占全球一半．数据82.39亿用科学记数法表示为（　　） A．82.39×108 B．8.239×108 C．8.239×109 D．0.8239×1010 22．（2025•日照一模）数据显示，自2025年1月10日正式发布至2025年1月26日，DeepSeek的全球下载量已突破1600万次，这无疑是AI应用市场上的一次巨大成功，数据1600万用科学记数法表示为（　　） A．16×106 B．1.6×107 C．1.6×106 D．0.16×108 23．（2022秋•沭阳县校级月考）光的速度是3×108米/秒，太阳光从太阳射到地球的时间约500秒，请你计算出太阳与地球的距离（用科学记数法表示）． 24．（2017春•盐都区期中）已知1cm3的氢气质量约为0.00009g，请用科学记数法表示下列计算结果． （1）求一个容积为8000000cm3的氢气球所充氢气的质量； （2）一块橡皮重45g，这块橡皮的质量是1cm3的氢气质量的多少倍． 25．2001年2月12日，科学家首次公布了人类基因组“基本信息”，经过初步测定和分析，人类基因共有32亿个碱基对，包含了大约3万到4万个蛋白质编码基因，请用科学记数法表示32亿个碱基对． 26．（2024秋•铁岭县期中）一粒米微不足道，有时总会在饭桌上不经意地掉下几粒，甚至有挑食的同学会倒掉整碗米饭．针对这种浪费现象，数学老师领同学们进行了实际测算，已知称得500粒大米重约10克，请你来计算： （1）一粒大米重约多少克？ （2）按我国现有人口14亿，每年365天，每人每天三餐计算，若每人每餐节约一粒大米，一年大约能节约大米多少千克？（用科学记数法表示） （3）假若我们把一年节约的大米卖成钱，按2元/千克计算，可卖多少钱？（用科学记数法表示） （4）对于因贫困而失学的儿童，学费按每人每年500元计算，卖得的钱可供多少名失学儿童上一年学？ 27．地球上海洋总面积为3.6×108km2，按海洋的海水平均深度3.7×103m计算，海水的体积约为多少？ 28．地球绕太阳转动每小时经过的路程约为1.1×105km，声音在空气中每小时传播1.2×103km，地球绕太阳转动的速度与声音传播的速度哪个快？ 题型五：规律探究 29．（2025春•句容市期中）通过探究，当n为正整数时，，那么根据这一结论，请计算22+42+62+⋯582+602＝ 　 　 ． 30．计算：2﹣22﹣23﹣…﹣22006+22007 31．（2023秋•滕州市期中）（1）填空：1.22＝　 　 ；122＝　　 ；1202＝　 　 ． （2）根据上题的规律猜想：当底数的小数点向右移动一位，其平方数的小数点怎样移动？ （3）利用上述规律，解答下列各题： 如果3.252＝10.5625，那么0.3252＝　 　 ．如果x2＝105625，那么x＝　 　 ． 32．阅读材料，求值：1+2+22+23+24+…+22015． 解：设S＝1+2+22+23+24+…+22015，将等式两边同时乘以2得： 2S＝2+22+23+24+…+22015+22016 将下式减去上式得2S﹣S＝22016﹣1 即S＝1+2+22+23+24+…+22015＝22016﹣1 请你仿照此法计算： （1）1+2+22+23+…+210 （2）1+3+32+33+34+…+3n（其中n为正整数） 33．由13＝12；13+23＝32；13+23+33＝62；13+23+33+43＝102；…想一想，等式左边各项幂的底数与右边幂的底数有什么关系？猜一猜可以得出什么规律？请用n（n为正整数）的等式把这一规律写出来． 1．（2025春•重庆校级期末）对于任意非零数x，每次（次数为k）选择进行这样的运算（n为非零自然数），我们把这种方式叫做“计数操作”，如：当x＝1.8时，进行第一次“计数操作”，∵0＜1.8＜10，∴1.8×103＝1800，进行第二次“计数操作”，∵1800＞10，∴1800×22＝7200．对于该操作，说法正确的是（　　） ①若x＝2，则不存在这样的“计数操作”，使x2＝20． ②存在这样的“计数操作”，使得x2＝x． ③存在这样的“计数操作”，使得不等式x+xk＜x+10． ④存在这样的“计数操作”，使得x1+x2+x3+…+xk＝k． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2025春•城关区校级期中）观察下列等式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，…通过观察，用你所发现的规律确定22009的个位数字是　　 ． 3．（2025•沭阳县校级一模）我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：f（m+n）＝f（m）•f（n），如：f（6）＝f（3+3）＝f（3）•f（3）．若f（2）＝k（k≠0），那么f（128）的结果是（　　） A．128k B．64k C．264k D．k64 4．（2024秋•张掖期末）若规定f（n）＝2n的个位数字，例如21＝2，所以f（1）＝2，24＝16，所以f（4）＝6，那么计算f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+…+f（2023）＝　10114　 ． 5．（2024秋•丰泽区期末）如果m，n，k均为整数，且（m﹣n）2024+（n﹣k）2025＝1，则m﹣k＝ 　 ． 1．（2025春•建邺区校级期中）我们规定：n个相同的非零有理数的商可以表示为aⓝ（n＝1，2，…），读作“a的圈n次方”．（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）＝（﹣3）④，读作“（﹣3）的圈4次方”． （1）直接写出计算结果：2025②＝ 　　 ， 　　 ． （2）若n为任意正整数，下列结论：①任何非零整数的圈n次方小于或等于本身；②负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数；③互为相反数的两个数的圈n次方互为相反数；④互为倒数的两个数的圈n次方互为倒数；⑤圈n次方等于它本身的数是1或﹣1．其中所有正确结论的序号是 　 　 ． （3）试说明aⓝ÷aⓜ＝am﹣n（m，n为正整数，且m＞n）． 2．（2024秋•钢城区期末）概念学习 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把（a≠0）记作aⓝ，读作“a的圈n次方”． 初步探究 （1）直接写出计算结果：2③＝　　 ，（）⑤＝　 　 ； （2）以下说法中，正确的有 　 　 （多选题）； A．任何非零数的圈2次方都等于1； B．对于任何正整数n，1ⓝ＝1； C．3④＝4③； D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数； E．2③＝（﹣2）③． （3）一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于aⓝ＝　　 ； （4）算一算：﹣42×（）④﹣（）⑥÷（﹣2）3． 3．（2024秋•泉州月考） LED灯带设计 素材 LED灯带可以通过控制器实现灯光颜色变幻效果，被广泛应用于各类场景装饰．如图1是一段由9颗LED灯（从左到右分别记为A，B，C，D，E，F，G，H，I）组成的灯带，将其拉直后，如图2所示，已知每两颗灯之间的距离相等，且每颗灯都能独立的切换为红光或黄光． 素材 已知9颗灯都亮红光，现每次同时切换m颗灯的颜色（即由红光切换为黄光，或由黄光切换为红光），多次操作后，能否使所有的灯都亮黄光？ 小明探究如下：用“+1”和“﹣1”分别表示一颗灯“亮红光”和“亮黄光”，计算这9颗灯分别表示的数的乘积，则上述问题的目标是将乘积从（+1）9变为（﹣1）9． 问题解决 任务1 如图2，将拉直后的灯带视为数轴，若点A表示的数为﹣2，点G表示的数为4，则点D表示的数为 　　 ； 任务2 当m＝4时，经过多次操作后，能否使所有的灯都亮黄光？若能，最少需要几次操作？若不能，请简要说明理由； 任务3 小明发现，当m＝5时，经过多次操作后，可以使所有的灯都亮黄光．请你帮助小明写出完整的操作步骤． 要求： ①注意操作步骤的书写格式，例如“第一次：切换A，B，C，D，E的颜色”； ②无需切换颜色的灯，不要写在操作步骤里； ③本题将考虑“操作次数”给分，次数最少的才能得满分． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$