精品解析：北京市延庆区2024-2025学年七年级下学期期末数学试题

2025北京延庆初一（下）期末 数 学 考生须知： 1．本试卷共7页，共三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上正确填写学校名称、姓名和考号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答． 一、选择题（共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 在数轴上表示不等式的解集正确的是（ ） A B. C. D. 2. 若，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线，相交于点，平分．若，则的度数为（ ） A B. C. D. 4. 在芯片制造过程中，“埃”是一个重要的长度单位，它比纳米还要小，使用“埃”级别的光源和光刻胶，可以实现高分辨率的图案制作，从而实现更高密度的集成电路．1埃纳米，1纳米米，则6埃用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 5. 下列算式的运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 6. 如果是关于，方程的解，那么a的值是（ ） A. B. C. D. 7. 《算法统宗》中有这样一道歌谣体算题：“一百馒头一百僧，大僧三个便无争，小僧三人分一个，大小和尚各几人？”这道算题的意思是：100个和尚分100个馒头，大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完． 问大和尚、小和尚各几人？设大和尚x人，小和尚y人，根据题意，则可列方程组为（ ） A B. C. D. 8. 如图所示，是一个运算程序示意图，若第一次输入m的值为2401，则第2025次输出的结果是（ ） A. 2025 B. 49 C. 7 D. 1 二、填空题（共16分，每小题2分） 9. 一组数据：3，13，17，20，7的平均数是___________． 10. m与2的差大于6，用不等式表示为_______________． 11. 分解因式：x3﹣6x2+9x=___． 12. 如图，点D在上，任意添加一个条件，使得，则这个条件可以是________________． 13. 用一组a，b，c的值说明命题“如果，那么”是假命题，这组值可以是a＝____，b＝____，c＝____． 14. 每年的3月14日为国际数学日，是为纪念中国古代数学家祖冲之而设立．为庆祝第六个国际数学日，某校在2025年3月举办了丰富多彩的数学节活动．为了增加同学们的数学阅读乐趣，决定购买两种图书：《漫画数学》每本32元，《马小跳玩数学》每本25元．学校总共花费1000元，且两种图书都至少购买一本．则购买《马小跳玩数学》______本． 15. 在算式：①，②，③中，计算结果与相同的是_________________（填写序号）． 16. 某饮料店售卖一款饮料套餐，包含一杯茉莉花茶和一杯冰鲜柠檬水，且一份套餐的价格比单买一杯茉莉花茶和一杯冰鲜柠檬水的总价少2元．小明打算到该饮料店购买两份套餐，到店后，发现店内有“买一杯茉莉花茶送一杯茉莉花茶”的限时促销活动．且购买一杯茉莉花茶和两杯冰鲜柠檬水的总价，比购买两份套餐的总价少3元．则单买一杯茉莉花茶的价格是_______元． 三、解答题（共68分，17题8分，18题5分，19题9分，20题3分，21-22题，每小题5分，23题4分，24-25题，每小题6分，26题5分，27题6分，28题6分） 17. 计算： （1） （2） 18. 求不等式组 的所有整数解． 19. 解下列方程组： （1） （2） 20. 如图，平移三角形，使得点移动到点，点移动到点，点移动到点，作出平移后的三角形． （1）在图中画出三角形； （2）若，，则= ． 21. 已知：，求代数式的值． 22. 如图，在四边形中，，点E，F分别是的延长线上的点，连接，与交于点G，H，且．求证：．完成下面的推理过程： 证明：∵，（理由： ） ， ∴．（理由： ） ∴． （理由： ） ∴．（理由： ） ∵， ∴． ∴． （理由： ） 23. 如图，在直角三角形中，，点D是上一点，过点D作交于点E，点F是上一点，连接，且．求证：平分． 24. 某校围绕“弘扬长城文化，讲好长城故事”为主题开展“长城知识竞赛”活动．为了解学生的知识竞赛成绩（百分制，单位：分），从该校七、八年级各随机抽取了10名学生的成绩，进行整理、描述和分析．下面给出部分信息．根据信息，解答下列问题∶ a．七年级10名学生的竞赛成绩∶95 84 88 94 91 91 89 88 88 92 b．八年级10名学生竞赛成绩（学生成绩用x表示）∶ 分数 ： ： ： ： 人数 1 m 3 c．八年级10名学生竞赛成绩在C组中的数据为：92 94 90 d．七、八年级学生竞赛成绩的平均数、中位数、众数如下： 年级 七年级 八年级 平均数 90 90 中位数 90 a 众数 b 89 （1）这里采用的调查方式是 （填“全面调查”或“抽样调查”）； （2） ； ； ； ； （3）若该校七年级有210名学生，八年级有200名学生参加了此次知识竞赛，请你估计参加此次竞赛成绩不低于90分的学生一共有多少人？ 25. 某科技物流公司承包了某智能仓库的货物运输任务，拟派出A，B两种型号的无人运输车运输货物．已知2辆A型无人运输车与3辆B型无人运输车一次共运输货物60箱，5辆A型无人运输车与6辆B型无人运输车一次共运输货物135箱． （1）一辆A型无人运输车和一辆B型无人运输车一次各运输货物多少箱？ （2）该科技物流公司决定派出A，B两种型号的无人运输车共20辆参与运输，若本次运输的货物总量不少于250箱，且B型无人运输车至少派出8辆，则有哪几种派车方案？请通过计算说明． 26. 阅读下面的材料． 问题：已知，，求的值． 思考：根据整式的乘法公式的学习经验，可以用两种方法进行探究． 方法一 方法二 ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴ ． 如图， ∵， ∴． ∵， ∴． ∴ ． 请你仿照阅读材料中的方法，选择其中一种，解决下面的问题：如图，点C是线段上的一点，，大小两个正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 27. 如图，点A，B分别是直线上的点，连接，过点B作与互余． （1）求证：； （2）如图2，平分交于点D，平分交于点H． ①补全图形； ②设，求的度数（用含α的式子表示）． 28. 关于x，y的二元一次方程（a，b，c为常数，且），若，则称这个方程为“可乘方程”，由两个“可乘方程”组成的方程组称为“可乘方程组”． （1）在①；②；③中，是“可乘方程”的是 ； （2）若方程是关于x，y的“可乘方程”，求的值； （3）若是关于x，y的“可乘方程组”，且，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025北京延庆初一（下）期末 数 学 考生须知： 1．本试卷共7页，共三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上正确填写学校名称、姓名和考号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答． 一、选择题（共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 在数轴上表示不等式的解集正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式及在数轴上表示不等式的解集是解题的关键．解不等式得，根据不等式的解集在数轴上表示的情况，即可判断答案． 【详解】解：移项，得， 合并同类项，得． 故选：C． 2. 若，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不等式的基本性质． 根据不等式的基本性质逐一分析即可． 【详解】解：A．∵，∴，原不等式错误； B．∵，∴，原不等式正确； C．∵，∴，原不等式错误； D．∵，∴，原不等式错误； 故选：B． 3. 如图，直线，相交于点，平分．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了对顶角的性质、角平分线的性质等知识点，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．根据对顶角相等，角平分线的性质得到，相加即可得到． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∴． 故选：C． 4. 在芯片制造过程中，“埃”是一个重要的长度单位，它比纳米还要小，使用“埃”级别的光源和光刻胶，可以实现高分辨率的图案制作，从而实现更高密度的集成电路．1埃纳米，1纳米米，则6埃用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法表示较小的数．首先将埃转换为纳米，再将纳米转换为米，最后用科学记数法表示结果． 【详解】解：6埃米． 故选：D． 5. 下列算式的运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项、同底数幂的除法法则依次计算即可得出结果． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意； 故选：B． 【点睛】题目主要考查同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项、同底数幂的除法法则，熟练掌握各运算法则是解题关键． 6. 如果是关于，的方程的解，那么a的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解． 将代入计算即可． 【详解】解：将代入，得： 去括号得： 移项合并同类项得： 解得： 故选：A． 7. 《算法统宗》中有这样一道歌谣体算题：“一百馒头一百僧，大僧三个便无争，小僧三人分一个，大小和尚各几人？”这道算题的意思是：100个和尚分100个馒头，大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完． 问大和尚、小和尚各几人？设大和尚x人，小和尚y人，根据题意，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查列二元一次方程组，理解题意并根据题意得出方程组是解题的关键．根据题意大和尚和小和尚的人数之和为100，馒头总数也为100以此建立方程组即可． 【详解】解：大和尚x人，小和尚y人，总人数为100， 第一个方程为：， 大和尚每人分3个，共分得个； 小和尚每3人分1个，共分得个，总馒头数为100， 第二个方程为：， 可列方程组为． 故选：B． 8. 如图所示，是一个运算程序示意图，若第一次输入m的值为2401，则第2025次输出的结果是（ ） A. 2025 B. 49 C. 7 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，分别计算出前7次的输出结果可得从第3次输入开始，每两次输出为一个循环，输出的结果依次为7、1，据此规律求解即可． 【详解】解：第1次输入2401，则输出， 第2次输入343，则输出， 第3次输入49，则输出， 第4次输入7，则输出， 第5次输入，则输出， 第6次输入7，则输出， 第7次输入，则输出， ……， 以此类推，可知从第3次输入开始，每两次输出为一个循环，输出的结果依次为7、1， ∵， ∴第2025次输出的结果是7， 故选：C． 二、填空题（共16分，每小题2分） 9. 一组数据：3，13，17，20，7的平均数是___________． 【答案】12 【解析】 【分析】根据算术平均数的定义解答即可． 本题考查了平均数的计算，熟练掌握计算公式是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：12． 10. m与2的差大于6，用不等式表示为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式的性质解答即可． 本题考查了不等式的应用，熟练掌握不等式的意义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得． 故答案为：． 11. 分解因式：x3﹣6x2+9x=___． 【答案】x（x﹣3）2 【解析】 【详解】解：x3﹣6x2+9x =x（x2﹣6x+9） =x（x﹣3）2 故答案为：x（x﹣3）2 12. 如图，点D在上，任意添加一个条件，使得，则这个条件可以是________________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据平行线的判定定理添加条件即可． 本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 【详解】解：根据同位角相等，两直线平行，可以添加条件为：，答案不唯一． 故答案为：． 13. 用一组a，b，c的值说明命题“如果，那么”是假命题，这组值可以是a＝____，b＝____，c＝____． 【答案】 ①. 2 ②. 1 ③. （答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了假命题，举反例，弄清题意是解题的关键； 假设a，b为正数，c为负数，可知该命题是假命题． 【详解】解：当时，，则， 所以“如果，那么”是假命题． 故答案为：（答案不唯一）． 14. 每年的3月14日为国际数学日，是为纪念中国古代数学家祖冲之而设立．为庆祝第六个国际数学日，某校在2025年3月举办了丰富多彩的数学节活动．为了增加同学们的数学阅读乐趣，决定购买两种图书：《漫画数学》每本32元，《马小跳玩数学》每本25元．学校总共花费1000元，且两种图书都至少购买一本．则购买《马小跳玩数学》______本． 【答案】8 【解析】 【分析】设购买《马小跳玩数学》x本，《漫画数学》y本，根据题意，得，且，x，y都是正整数，解答即可． 本题考查了二元一次方程的应用，不等式的应用，熟练掌握确定二元一次方程的解，整数解的应用是解题的关键． 【详解】解：设购买《马小跳玩数学》x本，《漫画数学》y本， 根据题意，得，且，x，y都是正整数， ， ∴， 解得， ∵， ∴一定是25的倍数， ∴， ∴， 故答案：8． 15. 在算式：①，②，③中，计算结果与相同的是_________________（填写序号）． 【答案】①② 【解析】 【分析】本题主要考查了根据平方差公式因式分解，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键； 先分别根据平方差公式计算，再比较结果即可． 详解】解：①； ②； ③； ， 所以计算结果与相同的是①②． 故答案为：①②． 16. 某饮料店售卖一款饮料套餐，包含一杯茉莉花茶和一杯冰鲜柠檬水，且一份套餐的价格比单买一杯茉莉花茶和一杯冰鲜柠檬水的总价少2元．小明打算到该饮料店购买两份套餐，到店后，发现店内有“买一杯茉莉花茶送一杯茉莉花茶”的限时促销活动．且购买一杯茉莉花茶和两杯冰鲜柠檬水的总价，比购买两份套餐的总价少3元．则单买一杯茉莉花茶的价格是_______元． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设单买一杯茉莉花茶的价格是元，单买一杯冰鲜柠檬水的价格是元，则一份套餐的价格是元，根据“购买一杯茉莉花茶和两杯冰鲜柠檬水的总价，比购买两份套餐的总价少3元”，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设单买一杯茉莉花茶的价格是元，单买一杯冰鲜柠檬水的价格是元，则一份套餐的价格是元， 根据题意得：， 即， 解得：， ∴单买一杯茉莉花茶的价格是7元． 故答案为：7． 三、解答题（共68分，17题8分，18题5分，19题9分，20题3分，21-22题，每小题5分，23题4分，24-25题，每小题6分，26题5分，27题6分，28题6分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据计算即可． （2）根据整式的乘法，多项式除以单项式运算法则解答即可． 【小问1详解】 解： ． 小问2详解】 解： ． 【点睛】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方，整式的乘法，多项式除以单项式运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 18. 求不等式组 的所有整数解． 【答案】所有整数解是：，0，1 【解析】 【分析】先求出每一个不等式的解集，后确定不等式组的解集，后确定整数解即可． 本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练进行不等式求解是解题的关键． 【详解】解： 解：由①得，． 由②得，． ∴原不等式组的解集为． ∴原不等式组的所有整数解是：，0，1． 19. 解下列方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． （1）利用代入消元法求解即可； （2）利用加减消元法求解即可． 【小问1详解】 解：， 把②代入①中，得， ∴， 把代入②，得， 原方程组的解为：； 【小问2详解】 解：， ②，得③， ∴①③，得， 把代入②，得， ∴原方程组的解为：． 20. 如图，平移三角形，使得点移动到点，点移动到点，点移动到点，作出平移后的三角形． （1）在图中画出三角形； （2）若，，则= ． 【答案】（1）作图见解析 （2）3 【解析】 【分析】本题主要考查了平移作图，平移的性质，熟练掌握相关内容是解题的关键； 对于（1），确定平移方向是，平移距离是，画出图形即可； 对于（2），根据平移的性质得，可得答案． 【小问1详解】 解：如图所示； 【小问2详解】 解：∵， ∴． 故答案为：3． 21. 已知：，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，代数式的求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键； 根据完全平方公式，平方差公式，单项式乘以多项式法则计算，再整体代入求值即可． 【详解】解： ． ∵， ∴原式． 22. 如图，在四边形中，，点E，F分别是的延长线上的点，连接，与交于点G，H，且．求证：．完成下面的推理过程： 证明：∵，（理由： ） ， ∴．（理由： ） ∴． （理由： ） ∴．（理由： ） ∵， ∴． ∴． （理由： ） 【答案】对顶角相等 ；等量代换；C；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；同旁内角互补，两直线平行 【解析】 【分析】根据平行线判定和性质，等量代换思想解答即可． 本题考查了平行线的判定和性质，等量代换，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：∵，（理由：对顶角相等） ， ∴．（理由：等量代换） ∴． （理由：同位角相等，两直线平行） ∴．（理由：两直线平行，同旁内角互补） ∵， ∴． ∴． （理由：同旁内角互补，两直线平行） 故答案为：对顶角相等 ；等量代换；C；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；同旁内角互补，两直线平行． 23. 如图，在直角三角形中，，点D是上一点，过点D作交于点E，点F是上一点，连接，且．求证：平分． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，熟练掌握相关知识是解题的关键； 先根据“同位角相等两直线平行”证明，即可得，再结合已知条件可得，则答案可证． 【详解】证明：， ． ， , ， ． ， ， ∴平分． 24. 某校围绕“弘扬长城文化，讲好长城故事”为主题开展“长城知识竞赛”活动．为了解学生的知识竞赛成绩（百分制，单位：分），从该校七、八年级各随机抽取了10名学生的成绩，进行整理、描述和分析．下面给出部分信息．根据信息，解答下列问题∶ a．七年级10名学生的竞赛成绩∶95 84 88 94 91 91 89 88 88 92 b．八年级10名学生的竞赛成绩（学生成绩用x表示）∶ 分数 ： ： ： ： 人数 1 m 3 c．八年级10名学生竞赛成绩在C组中的数据为：92 94 90 d．七、八年级学生竞赛成绩的平均数、中位数、众数如下： 年级 七年级 八年级 平均数 90 90 中位数 90 a 众数 b 89 （1）这里采用的调查方式是 （填“全面调查”或“抽样调查”）； （2） ； ； ； ； （3）若该校七年级有210名学生，八年级有200名学生参加了此次知识竞赛，请你估计参加此次竞赛成绩不低于90分的学生一共有多少人？ 【答案】（1）抽样调查 （2）； ； ； （3）225 【解析】 【分析】本题考查扇形图、用样本估计总体、中位数等知识点，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据全面调查、抽样调查定义即可解答； （2）根据扇形统计图对应组别的百分比即可求出，进而求出，再根据中位数，众数的定义求出、； （3）由各年级学生数分别乘以该年级成绩中不低于90分的百分比即可． 【小问1详解】 解∶从该校七、八年级各随机抽取了10名学生的成绩，可知采用的调查方式是抽样调查 【小问2详解】 解∶， ， 八年级的成绩按由小到大排列，第5、第6个数是，，故中位数， 七年级成绩出现最多的是88，故众数是． 【小问3详解】 解∶ 七年级10名学生中成绩不低于90分的学生为5人，占比为， 八年级10名学生中成绩不低于90分的学生为6人，占比为， 参加此次竞赛成绩不低于90分的学生有（人）， 答：该校七年级有210名学生，八年级有200名学生参加了此次知识竞赛，请你估计参加此次竞赛成绩不低于90分的学生一共有225人． 25. 某科技物流公司承包了某智能仓库的货物运输任务，拟派出A，B两种型号的无人运输车运输货物．已知2辆A型无人运输车与3辆B型无人运输车一次共运输货物60箱，5辆A型无人运输车与6辆B型无人运输车一次共运输货物135箱． （1）一辆A型无人运输车和一辆B型无人运输车一次各运输货物多少箱？ （2）该科技物流公司决定派出A，B两种型号的无人运输车共20辆参与运输，若本次运输的货物总量不少于250箱，且B型无人运输车至少派出8辆，则有哪几种派车方案？请通过计算说明． 【答案】（1）设A型无人运输车一次运输货物15箱，B型无人运输车一次运输货物10箱 （2）有3种方案：①A型无人运输车10辆，B型无人运输车10辆；②A型无人运输车11辆，B型无人运输车9辆；③A型无人运输车12辆，B型无人运输车8辆 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式组应用、二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）设A型无人运输车一次运输货物x箱，B型无人运输车一次运输货物y箱，根据题意可以得到相应的二元一次方程组，从而可得答案； （2）设派出A型无人运输车m辆，B型无人运输车辆，根据题意可以列出不等式组，从而可得答案． 【小问1详解】 解：设A型无人运输车一次运输货物x箱，B型无人运输车一次运输货物y箱． 由题意，得 解此方程组，得 经检验，是原方程组的解，也符合实际情况． 答：设A型无人运输车一次运输货物15箱，B型无人运输车一次运输货物10箱． 【小问2详解】 解：设派出A型无人运输车m辆，B型无人运输车辆． ∴． ∴． ∴有3种方案：①A型无人运输车10辆，B型无人运输车10辆； ②A型无人运输车11辆，B型无人运输车9辆； ③A型无人运输车12辆，B型无人运输车8辆． 26. 阅读下面的材料． 问题：已知，，求的值． 思考：根据整式的乘法公式的学习经验，可以用两种方法进行探究． 方法一 方法二 ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴ ． 如图， ∵， ∴． ∵， ∴． ∴ ． 请你仿照阅读材料中的方法，选择其中一种，解决下面的问题：如图，点C是线段上的一点，，大小两个正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 【答案】 【解析】 【分析】根据提供的方法，选择喜欢的一种解答即可． 本题考查了完全平方公式的变形计算和几何意义的应用，熟练掌握公式变形是解题的关键． 【详解】解： 方法（1）：设． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 方法（2）：如图，补全图形为大正方形，设． ∵， ∴． ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 27. 如图，点A，B分别是直线上的点，连接，过点B作与互余． （1）求证：； （2）如图2，平分交于点D，平分交于点H． ①补全图形； ②设，求的度数（用含α的式子表示）． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析，② 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，同角的余角相等， 对于（1），根据“同角的余角相等”得，再根据“内错角相等，两直线平行”得出答案； 对于（2），作出图形解答①； ②作，根据平行线的性质得，再根据角平分线的定义可得，然后根据平行线的性质得，进而得，最后根据可得答案． 【小问1详解】 证明：， ， ． 与互余， ， ， ； 【小问2详解】 解：①如图所示； ②过点H作． 平分，平分， ． ， ． ， ． ， ， ． ， ， ， ． （已证）， ． 28. 关于x，y的二元一次方程（a，b，c为常数，且），若，则称这个方程为“可乘方程”，由两个“可乘方程”组成的方程组称为“可乘方程组”． （1）在①；②；③中，是“可乘方程”的是 ； （2）若方程是关于x，y的“可乘方程”，求的值； （3）若是关于x，y的“可乘方程组”，且，直接写出的取值范围． 【答案】（1）②③ （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查新定义，解二元一次方程组，解不等式． （1）根据“可乘方程”的定义逐一判断即可； （2）根据“可乘方程”的定义建立关于t的一元一次方程求解即可； （3）先根据“可乘方程组”，得到，求出，再根据，得到，求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意：①， ，则①不是“可乘方程”， ②，即， ，则②是“可乘方程”， ③， ，则③是“可乘方程”， 则是“可乘方程”的是②③， 故答案为：②③； 【小问2详解】 解：∵方程是关于x，y的“可乘方程”，即方程是关于x，y的“可乘方程”， ∴，即， 解得：； 【小问3详解】 解：∵是关于x，y的“可乘方程组”， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $