精品解析：云南省曲靖市2024--2025学年下学期期末测试八年级数学试卷

曲靖市2024-2025学年春季学期期末考试 八年级数学试题卷 （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．本卷满分100分，考试时间为120分钟．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域无效． 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 1. 函数中，自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. △ABC的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A. a2＋b2＝c2 B. ∠A＝∠B＋∠C C. ∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5 D. a＝5，b＝12，c＝13 3. 下列图象中，不能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式运算正确的是（） A. B. C. D. 5. 在四边形中，，添加下列一个条件后，能判定四边形是平行四边形是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数图象上存在两点，，则（ ） A. B. C. D. a、b大小无法确定 7. 如图，P，Q，M均为正方形，为直角三角形，P的面积为10，Q的面积为30，则M的面积为（ ） A. 20 B. 40 C. D. 8. 二元一次方程有无数组解，若把该方程所有的解都写成坐标的形式，在平面直角坐标系中描出所有的坐标表示的点，则形成的图象大致是（ ）． A. B. C. D. 9. 按从小到大排序的样本数据2、a、6、8的中位数是5，则a的值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 10. 数独是一款风靡全球的逻辑推理填数游戏，起源于18世纪瑞士数学家莱昂哈德·欧拉研究的“拉丁方块”．其玩法规则是在一个的方格网格中，用数字1到9填满整个网格，这个网格又被划分为9个的小宫格，要求每一行、每一列、每一个的小宫格都必须包含数字1到9，且不能重复．如图，在右面的数独游戏中，◆的位置应该填的数字是（ ） A. 3 B. 6 C. 4 D. 7 11. 某乡村旅居示范点计划在村内池塘上搭建小桥，如图所示，两条村内道路、互相垂直，道路的中点M与点C被湖隔开．若测得的长为2400，则M、C两点间的距离为（ ） A 3600 B. 2400 C. 1200 D. 600 12. 下列选项中，是命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题的是（ ） A. 两直线平行，同位角不相等 B. 同位角相等，两直线平行 C. 同位角不相等，两直线不平行 D. 以上都不对 13. 如图，在菱形中，，连接，若，则菱形的周长为（ ） A. 16 B. C. 24 D. 32 14. 按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第n个单项式是（ ） A. B. C. D. 15. 如图，直线（k、b为常数，）与直线相交于点，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 直线向上平移4个单位得到的直线的解析式为____________． 17. 若a、b为等腰的两边，且a、b满足，则的周长为________． 18. 在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，参加表演的演员身高（单位：）如下表所示： 甲 163 164 164 165 165 166 166 167 乙 163 165 165 166 166 167 168 168 参加表演的演员身高的平均数（单位：）和方差分别为，，，，则________芭蕾舞团演员的身高更整齐．（填“甲”或“乙”） 19. 如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠，使得点C落在点E处，交于点F，若，，则的面积为________． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 计算：． 21. 如图，在中，是边上高，若，，，求的长． 22. 为弘扬爱国主义精神，我市某校在清明节来临之际，开展“走进清明·缅怀英烈”知识竞赛活动，现从七年级和八年级参加活动的学生中各随机抽取20名同学的成绩进行整理、描述和分析（成绩用x表示，共分为四组：A：，B：，C：，D：），下面给出了部分信息： 七年级学生成绩为：66，76，77，78，79，81，82，83，84，86，86，86，88，88，91，91，92，95，96，99； 八年级C组学生成绩为：81，83，84，86，88，88，89． 七、八年级学生成绩统计表： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 85.2 86 b 62.1 八年级 85.2 a 91 85.3 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________； （2）该校七年级有1000名学生参加了此次知识竞赛活动，估计七年级成绩为优秀（90分及以上学生共有多少人？ 23. 已知实数、满足，， （1）求的值； （2）试比较的值与3的大小． 24. 今年，土瓜冲村在云南备受瞩目，这个位于曲靖市马龙区通泉街道杨官田社区的村落，因打造乡村旅居示范点，在乡村振兴之路上的卓越表现而备受赞誉．我市某村走访了土瓜冲村，学习、了解土瓜冲村的发展模式，并决定充分利用乡村资源，结合先进理念，平衡群众、集体和企业的利益，从而推动文旅产业的新发展，助力乡村振兴．经过深入的调查研究，该村决定利用当地盛产的甲、乙两种原料开发A、B两种商品． 如何设计合理的生产方案 素材一 为科学决策，他们试生产A、B两种商品共100千克进行深入研究，已知现有甲种原料270千克，乙种原料254千克． 素材二 生产1千克A商品，1千克B商品所需要的甲、乙两种原料及生产成本如表所示： 甲种原料（单位：千克） 乙种原料（单位：千克） 生产成本（单位：元） A商品 3 2 100 B商品 2 3 180 设生产A种商品x千克，生产A、B两种商品共100千克总成本为y元． 根据以上素材，完成下列两个任务的解答 任务一 （1）请你利用不等式的相关知识说明有多少种生产方案； 任务二 （2）求y与x的函数解析式，并求出当x取何值时，应如何安排生产方案才能使总成本y最小？最小成本为多少元？ 25. 已知：四边形是矩形，对角线、相交于点O，若，，、交于点E． （1）求证：四边形是菱形； （2）若的平分线交于点F，且，求的值． 26. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和点． （1）求这个一次函数的表达式； （2）当时，求的值． 27. 如图，在正方形中，，点分别为三边、、上的动点（三点均不与其所在线段端点重合），、交于点，． （1）如图，当点运动到中点时，直接写出的长； （2）如图，当时，过点作交于点，求证：； （3）如图，点在运动过程中，是否存在最小值，如果存在，请求出该值，如果不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 曲靖市2024-2025学年春季学期期末考试 八年级数学试题卷 （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．本卷满分100分，考试时间为120分钟．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域无效． 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 1. 函数中，自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了自变量的取值范围．根据二次根式有意义的条件解答，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故选：A 2. △ABC的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A. a2＋b2＝c2 B. ∠A＝∠B＋∠C C. ∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5 D. a＝5，b＝12，c＝13 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、∵，∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； B、∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＝∠B＋∠C， ∴∠A＝90°， ∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； C、设∠A＝3x，则∠B＝4x，∠C＝5x， ∵∠A＋∠B＋∠C＝180°， ∴3x＋4x＋5x＝180°，解得x＝15°， ∴∠C＝5×15°＝75°， ∴此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意； D、∵， ∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形内角和定理，如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． 3. 下列图象中，不能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查函数的概念，熟练掌握其定义是解题的关键． 设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．图象中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，不符合题意； B．图象中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，不符合题意； C．图象中，对于x的每一个确定的值，y不一定有唯一的值与其对应，那么y不是x的函数，符合题意； D．图象中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，不符合题意． 故选：C． 4. 下列各式运算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算性质，逐一验证各选项的正确性即可． 【详解】解：A．，故错误； B．，符合二次根式乘法法则，正确； C．，故错误； D．，故错误． 故选：B． 5. 在四边形中，，添加下列一个条件后，能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定定理，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，据此结合题意逐一判断即可． 【详解】解：A、添加条件，结合，可以根据两组对边分别相等四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，故此选项符合题意； B、添加条件，结合，不可以证明四边形是平行四边形，故此选不项符合题意； C、添加条件，结合，不可以证明四边形是平行四边形，故此选不项符合题意； D、添加条件，结合，不可以证明四边形是平行四边形，故此选不项符合题意； 故选：A． 6. 已知函数图象上存在两点，，则（ ） A. B. C. D. a、b大小无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了正比例函数图象的性质，根据解析式可得y随x增大而增大，再由即可得到答案． 【详解】解：∵正比例函数解析式为， ∴y随x增大而增大， ∵点，在正比例函数的图象上，且， ∴， 故选：A． 7. 如图，P，Q，M均为正方形，为直角三角形，P的面积为10，Q的面积为30，则M的面积为（ ） A. 20 B. 40 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握定理是解题的关键．根据正方形的面积公式结合勾股定理就可发现大正方形的面积是两个小正方形的面积和，即可求解． 【详解】解： P，Q，M均为正方形，为直角三角形，P的面积为10，Q的面积为30， ， ； 故选：B． 8. 二元一次方程有无数组解，若把该方程所有解都写成坐标的形式，在平面直角坐标系中描出所有的坐标表示的点，则形成的图象大致是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象，掌握一次函数的图象的性质是解题的关键． 先将化成一次函数解析式，然后根据一次函数的性质即可解答． 【详解】解：二元一次方程可写成一次函数， ∵， ∴一次函数的图象经过一、三、四象限，不经过第二象限，即D选项符合题意． 故选D． 9. 按从小到大排序的样本数据2、a、6、8的中位数是5，则a的值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是中位数的含义，根据中位数的定义，四个有序数据的中位数为中间两个数的平均值，由已知条件建立方程求解即可. 【详解】解：数据已按从小到大排列为2、a、6、8，共有4个数，中位数为第二个和第三个数的平均值， ∴ 解得：， 故选：C 10. 数独是一款风靡全球的逻辑推理填数游戏，起源于18世纪瑞士数学家莱昂哈德·欧拉研究的“拉丁方块”．其玩法规则是在一个的方格网格中，用数字1到9填满整个网格，这个网格又被划分为9个的小宫格，要求每一行、每一列、每一个的小宫格都必须包含数字1到9，且不能重复．如图，在右面的数独游戏中，◆的位置应该填的数字是（ ） A. 3 B. 6 C. 4 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了基本推理，掌握“拉丁方块”的规则成为解题的关键． 先分别列所出所在行、列以及小宫格的数字，然后确定◆中可填的数字，最后结合选项即可解答． 【详解】解：◆所在的行有数字7、3、2；所在的列有数字2、3、8、1；所在的小宫格有数字 1、4、7、8． ∵数独规则是每行、每列、每个小宫格数字1到9不重复， ∴已有的数字排除后，可填数字为5、6、9． ∴B选项符合题意． 答案选B． 11. 某乡村旅居示范点计划在村内池塘上搭建小桥，如图所示，两条村内道路、互相垂直，道路的中点M与点C被湖隔开．若测得的长为2400，则M、C两点间的距离为（ ） A. 3600 B. 2400 C. 1200 D. 600 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，推出，即可解题． 【详解】解：、互相垂直，M为的中点，的长为2400， ， 故选：C． 12. 下列选项中，是命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题的是（ ） A. 两直线平行，同位角不相等 B. 同位角相等，两直线平行 C. 同位角不相等，两直线不平行 D. 以上都不对 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查命题的逆命题的概念．逆命题是将原命题的条件和结论互换后的命题，据此解答即可． 【详解】解：“两直线平行，同位角相等”的逆命题为“同位角相等，两直线平行”． 故选：B 13. 如图，在菱形中，，连接，若，则菱形的周长为（ ） A. 16 B. C. 24 D. 32 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形性质，等边三角形的性质与判定，证明是等边三角形是解题的关键． 证明是等边三角形求出即可得到答案． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， 菱形的周长， 故选：D． 14. 按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第n个单项式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了单项式的规律题．观察单项式的符号、系数和指数的变化规律，分别找出各部分与项数n的关系，即可求解． 【详解】解：根据题意得：符号规律：第1项正，第2项负，依次交替，即符号为． 系数规律：系数依次为，，，，，即． 指数规律：指数依次为，即． 综合得第n个单项式为： 故选：A． 15. 如图，直线（k、b为常数，）与直线相交于点，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式；先利用直线的解析式确定点坐标，然后结合函数特征写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：直线（k、b为常数，）与直线相交于点， ， 解得， 则关于x的不等式的解集为； 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 直线向上平移4个单位得到的直线的解析式为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据“平移k不变，b值加减”可以求得新直线方程． 【详解】平移后解析式为：y=2x-1+4=2x+3， 故答案为y=2x+3． 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换．直线平移变换的规律：对直线y=kx而言：上下移动，上加下减；左右移动，左加右减． 17. 若a、b为等腰的两边，且a、b满足，则的周长为________． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系；解题主要利用了非负数的性质，分情况讨论求解时要注意利用三角形的三边关系对三边能否组成三角形做出判断．根据非负数的意义列出关于a、b的方程并求出a、b的值，再根据a是腰长和底边长两种情况讨论求解． 【详解】解：根据题意，， 解得， （1）若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8， 不能组成三角形； （2）若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8， 能组成三角形， 周长为． 故答案为：20． 18. 在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，参加表演的演员身高（单位：）如下表所示： 甲 163 164 164 165 165 166 166 167 乙 163 165 165 166 166 167 168 168 参加表演的演员身高的平均数（单位：）和方差分别为，，，，则________芭蕾舞团演员的身高更整齐．（填“甲”或“乙”） 【答案】甲 【解析】 【分析】本题考查了方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．根据方差的意义可作出判断即可． 【详解】解：，，， 甲芭蕾舞团演员的身高更整齐． 故答案为：甲． 19. 如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠，使得点C落在点E处，交于点F，若，，则的面积为________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的判定，平行线的性质，折叠的性质，勾股定理等知识，证明是解题的关键． 由折叠的性质可得，再由矩形的性质可得，，从而得到，进而得到，设，则，然后在中，利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：由折叠的性质得：， ∵四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， 即， ∴的面积为． 故答案为∶10 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是零次幂，负整数指数幂的含义，二次根式的混合运算，先计算零次幂，负整数指数幂，二次根式的乘法与除法运算，化简绝对值，再合并即可. 【详解】解： ； 21. 如图，在中，是边上的高，若，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查是勾股定理及其逆定理的应用，先证明，再求解，最后再利用勾股定理计算即可. 【详解】解：由题意可得：，，， 即：， 是直角三角形，即， 是边上的高， ， 即：， 解得：． 在中， 由勾股定理可得：， 的长为． 22. 为弘扬爱国主义精神，我市某校在清明节来临之际，开展“走进清明·缅怀英烈”知识竞赛活动，现从七年级和八年级参加活动的学生中各随机抽取20名同学的成绩进行整理、描述和分析（成绩用x表示，共分为四组：A：，B：，C：，D：），下面给出了部分信息： 七年级学生成绩为：66，76，77，78，79，81，82，83，84，86，86，86，88，88，91，91，92，95，96，99； 八年级C组学生成绩为：81，83，84，86，88，88，89． 七、八年级学生成绩统计表： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 85.2 86 b 62.1 八年级 85.2 a 91 85.3 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________； （2）该校七年级有1000名学生参加了此次知识竞赛活动，估计七年级成绩为优秀（90分及以上的学生共有多少人？ 【答案】（1）88；86 （2）300人 【解析】 【分析】本题考查了中位数、众数以及用样本估计总体，熟练掌握以上知识点是正确解答的关键． （1）根据题意先求得八年级A组有2人，B组有3人，然后把被抽取的八年级20名学生的竞赛成绩从小到大排列，得到排在中间的第10、11的两个数即可求得中位数；在被抽取的七年级20名学生的竞赛成绩中找到出现的次数最多的数即可求得众数； （2）用总人数乘以样本中七年级90分及以上的人数所占百分比即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，八年级A组有（人），B组有（人）， 因为八年级组学生成绩为：81，83，84，86，88，88，89 所以把被抽取的八年级20名学生的竞赛成绩从小到大排列，排在中间的第10、11的两个数分别为88，88， 故中位数； 在被抽取的七年级20名学生的竞赛成绩中，86分出现的次数最多，故众数； 【小问2详解】 解：根据题意，在被抽取的七年级20名学生的竞赛成绩中，成绩为优秀（90分及以上）的学生有6人， （人） 答：该校七年级成绩为优秀（90分及以上）的学生共有300人． 23. 已知实数、满足，， （1）求的值； （2）试比较的值与3的大小． 【答案】（1）16 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式和平方差公式的运用，实数比较大小． （1）利用完全平方公式将变形为，再代值计算即可； （2）先求出，，再通分化简得，再代值计算，再比较与3的大小即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴ ； 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即． 24. 今年，土瓜冲村在云南备受瞩目，这个位于曲靖市马龙区通泉街道杨官田社区的村落，因打造乡村旅居示范点，在乡村振兴之路上的卓越表现而备受赞誉．我市某村走访了土瓜冲村，学习、了解土瓜冲村的发展模式，并决定充分利用乡村资源，结合先进理念，平衡群众、集体和企业的利益，从而推动文旅产业的新发展，助力乡村振兴．经过深入的调查研究，该村决定利用当地盛产的甲、乙两种原料开发A、B两种商品． 如何设计合理的生产方案 素材一 为科学决策，他们试生产A、B两种商品共100千克进行深入研究，已知现有甲种原料270千克，乙种原料254千克． 素材二 生产1千克A商品，1千克B商品所需要的甲、乙两种原料及生产成本如表所示： 甲种原料（单位：千克） 乙种原料（单位：千克） 生产成本（单位：元） A商品 3 2 100 B商品 2 3 180 设生产A种商品x千克，生产A、B两种商品共100千克的总成本为y元． 根据以上素材，完成下列两个任务的解答 任务一 （1）请你利用不等式的相关知识说明有多少种生产方案； 任务二 （2）求y与x的函数解析式，并求出当x取何值时，应如何安排生产方案才能使总成本y最小？最小成本为多少元？ 【答案】（1）共有25种生产方案；（2）；当生产种商品70千克时，B商品千克时，成本有最小值，最小成本为12400元 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的应用，一次函数的应用； （1）设生产种商品千克，则生产种商品千克；根据表格信息建立不等式组求解即可； （2）由题意可知，总成本为元．再建立一次函数，结合一次函数的性质解答即可. 【详解】解：（1）设生产种商品千克，则生产种商品千克； 则有：， 解得：， 答：共有25种生产方案． （2）由题意可知，总成本为元． 则， ， ， 随的增大而减小，且 当时，有最小值，即：， 答：当生产种商品70千克时，B商品千克时，成本有最小值，最小成本为12400元． 25. 已知：四边形是矩形，对角线、相交于点O，若，，、交于点E． （1）求证：四边形是菱形； （2）若的平分线交于点F，且，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据对边平行可判定四边形是平行四边形，然后根据矩形的性质得到，即可判定四边形是菱形； （2）根据矩形的性质和角平分线的定义，得到，，推出为直角三角形，结合30度所对直角边等于斜边的一半，得到，设，则，，利用勾股定理得到、，结合，即可求得的值． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵四边形是矩形，对角线、相交于点， ∴， ∴四边形是菱形． 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵平分， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则，， ∴在中，， 在中，， ∴ ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定，分母有理化，勾股定理，角直角三角形的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 26. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和点． （1）求这个一次函数的表达式； （2）当时，求的值． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】本题考查的是待定系数法求解一次函数的解析式，求解自变量的值； （1）直接利用待定系数法求解一次函数的解析式即可； （2）把代入可得，再利用整体思想解题即可. 【小问1详解】 解：由题意知，将，代入中得： ， 解得， 即一次函数的表达式为：． 【小问2详解】 解：由（1）知，， ， ，则有，即：， ，即， ； 27. 如图，在正方形中，，点分别为三边、、上的动点（三点均不与其所在线段端点重合），、交于点，． （1）如图，当点运动到中点时，直接写出的长； （2）如图，当时，过点作交于点，求证：； （3）如图，点在运动过程中，是否存在最小值，如果存在，请求出该值，如果不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）存在最小值， 【解析】 【分析】（）过点作于点，证明四边形为平行四边形，得到，即得，进而可得四边形为矩形，再证明，得到，即可求解； （）证明四边形为矩形，得到，，即得，进而证明，得到，即得到，即可求证； （3）连接交于点，连接，可证，得到，，即得，又由得，得到，即得到，作点关于的对称点，过点作延长线于点，连接，则，，，可得，可知即点三点共线时，的值最小，最小值为的长，利用勾股定理求出的长，进而由即可求解． 【小问1详解】 解：过点作于点，如图所示： ∵在正方形中，，点是中点， ∴，，，， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴； 小问2详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴，， ， ， ∴四边形为矩形， ，， 又， ， ， ， ， ， 在与中 ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：存在最小值，最小值为，理由如下： 连接交于点，连接， ∵四边形为正方形， ，，， ， 在与中， ， ， ，， ， 在与中， ， ， ， ， ， 作点关于的对称点，过点作延长线于点，连接，则，，， ∴， 即点三点共线时，的值最小，最小值为的长， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ， ∵， ∴， ， 在中，， 的最小值为， ∵， 的最小值为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，勾股定理等，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$