22.1.3二次函数 y=a(x-h)²+k的图象和性质(第1课时)（教学设计）数学人教版九年级上册

22.1.3二次函数的图象和性质 （第1课时）（教学设计） 1. 教学内容 本课时是人教版九年级上册教材第二十二章二次函数,22.1二次函数的图象和性质，22.1.3二次函的图象和性质（第1课时），内容为二次函数的图象和性质。 2.内容解析 本节课从抛物线与抛物线的关系，讨论抛物线怎样由抛物线平移得到的，进而讨论抛物线与抛物线的关系，明确了抛物线间的关系，进而可以得到二次函数性质。 基于以上分析，确定本节课的教学重点为：理解二次函数的性质及其图象与的图象之间的关系，了解利用二次函数的图象和性质解决实际问题. 1.教学目标 （1）会用描点法画出二次函数的图象。 （2）掌握抛物线与之间的平移规律。 （3）依据具体问题情境建立二次函数模型来解决实际问题。 （4）进一步培养学生的数学抽象意识、数学建模意识和逻辑推理能力，渗透数形结合、从特殊到一般的思想方法，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。 2.目标解析 （1）通过本节课的学习使学生会用描点法画二次函数的图象。学生已经学习了二次函数的图像和性质学习已有很好的基础和经验。 （2）从二次函数的图象，可以观察并归纳出抛物线与之间的平移规律。 （3）从学生熟悉具体的问题情境，建立二次函数，运用二次函数模型来解决实际问题。 （4）类比二次函数的图像和性质得到二次函数的基础，是对二次函数及其应用知识学习的深化和提高，二次函数的学习为学生进一步学习函数，进而体会函数的思想奠定基础，积累经验，获得一般地认识和研究函数的基本方法，为进一步学习、研究函数、体会函数的思想奠定基础和积累经验。 学生已经学习了二次函数图象和性质，类比二次函数学生会用描点法画二次函数的图象，二次函数的图象和性质学习已有很好的基础和经验。抛物线、间的图象和性质的讨论，既是认识新内容，又是对已学内容的复习巩固。教学要特别注意引导学生正确理解二次函数的图象与二次函数的图象之间的关系以及二次函数的性质，掌握利用二次函数的图象和性质解决实际问题。 基于以上分析，确定本节课的教学难点为：正确理解二次函数的图象与二次函数的图象之间的关系以及二次函数的性质，掌握利用二次函数的图象和性质解决实际问题。 创设情景，引入新课 二次函数的图象和性质： 抛物线的对称轴是轴，顶点是原点.当时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点;当时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点，对于抛物线，越大，抛物线的开口越小。 从二次函数的图象可以看出：如果，当时,随的增大而减小，当时，随的增大而增大；如果，当时,随的增大而增大，当时，随的增大而增小。 (设计意图：复习旧知，为类比学习新知做铺垫) 探究点1 二次函数，的图象 操作 在同一直角坐标系中，画出二次函数，的图象。 (活动方法：学生按照“列表、描点、连线”独立画出图象，教师相机指导) 作出函数图象如图： 观察思考： 追问1：二次函数，的图象的开口方向、对称轴和顶点各如何？ 抛物线的开口向上，对称轴是y轴，顶点是(0，1)；抛物线的开口向上，对称轴是y轴，顶点是(0，一1)。 追问2：抛物线上的点是，将它的各个点的纵坐标都加1（减1），相应的点在什么抛物线上？由此你能得出什么结论？ 抛物线上的点是，将它的各个点的纵坐标都加1（减1），相应的点在抛物线（）的上；就是将抛物线向上（下）平移1个单位长度，得到抛物线（）。 典例分析 例1．已知二次函数的图像与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于C点．    (1)分别写出A、B、C三点坐标：A______，B______，C______； (2)在所给的平面直角坐标系中画出该函数图像示意图； (3)任写出两条该函数图像具备的特征：①______；②______; (4)怎样通过平移抛物线得到抛物线？ 【分析】（1）令，即可得到A、B的坐标，令，即可得到C的坐标； （2）根据二次函数图像特点描点连线即可； （3）根据二次函数图像特点即可解答； （4）抛物线上的点是，将它的各个点的纵坐标都加4，得到的点在抛物线上. 【详解】（1）（1）令，得 ， 又∵A在B左侧， ∴，， 令，得， 故答案为：，，． （2）描点连线得图像如图所示； （3）根据二次函数图像特点，该函数图像开口向上，当时，随的增大而增大， 故答案为：①开口向上；②当时，随的增大而增大． （4）抛物线上的点是，将它的各个点的纵坐标都加4，得到的点在抛物线上，所以抛物线向上平移4个单位，得到抛物线. (设计意图：通过具体的二次函数类比这些抛物线有什么共同点和不同点) 探究点2 二次函数的图象 操作 在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象:、、. 观察三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点. (活动方法：学生独立画出图象，教师相机指导) 问题：通过观察上面的三条抛物线，我们能得到二次函数和的图象之间的关系？ 追问1：二次函数和的图象的形状、大小、开口方向、顶点坐标怎样？位置关系如何？ 二次函数和的图象和形状、大小、开口方向相同；顶点坐标不同抛物线的标点为；只是位置不同，二次函数图象可以由的图象向上或向下平移个单位得到，其中当时，向上平移个单位，当时，向上平移个单位。 追问2：你能归纳出二次函数的图象和性质？ 当时，二次函数的图象开口向上，对称轴为轴，顶点（最低点）为；当时，二次函数的图象开口向下，对称轴为轴，顶点（最高点）为； 若，当时，抛物线，随的增大而增大，当时，抛物线，随的增大而减小； 若，当时，抛物线，随的增大而减小，当时，抛物线，随的增大而增大； (活动方法:学生用自己语言归纳二次函数的图象和性质,教师相机指导。) 典例分析 例2．已知函数是关于的二次函数． (1)求二次函数的解析式； (2)当为何值时，该函数图象的开口向下？ (3)当为何值时，该函数有最小值？ 【分析】该题主要考查了二次函数的定义及其性质的应用问题． （1） 根据二次函数的定义求出的值即可解决问题；　 （2） 运用当二次项系数小于0时，抛物线开口向下； （3）运用当二次项系数大于0时，抛物线开口向上，图象有最低点，函数有最小值． 【详解】（1）解：∵函数是关于x的二次函数， ∴，， 解得：， 所以二次函数的解析式为：或； （2）解：∵函数图象的开口向下， ， ， ∴当时，该函数图象的开口向下； （3）解：∵当时，抛物线有最低点，函数有最小值， ， ∵或1， ∴当时，该函数有最小值． (设计意图：类比讨论这些抛物线有什么共同点和不同点，归纳出二次函数的图象和性质，并能应用) 探究点3 运用二次函数模型解决实际问题 例3．某桥洞为抛物线形，水面宽米，桥洞顶点C到水面的距离为3米，    (1)求这个桥洞所在抛物线的解析式； (2)若水面再上升1米，求水面的宽度．（结果保留根号） 【分析】本题考查了二次函数的应用、待定系数法求函数解析式： （1）由图得，，设抛物线的解析式为，利用待定系数法即可求解； （2）当时，，解得：，进而可求解． 【详解】（1）解：由图得：， 米， 米， ， 则可设抛物线的解析式为， 将点代入得：， 解得：， 抛物线的解析式为． （2）当时，， 解得：， 此时水面的宽度为：米． (设计意图：应用二次函数模型解决实际问题） 1．如图，一工厂大门为抛物线形，现量得地面的宽度米，大门顶端距离地面4米．为了迎接国庆节，需在大门C，D两点处拉一条彩色丝带作装饰，若彩色丝带的宽度忽略不计，且丝带所在的直线与地面平行，当丝带到大门顶端的距离为米时，求此彩色丝带所需要的长度． 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是：以中点为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，求出抛物线的函数解析式，再根据点，的纵坐标，求出对应的横坐标，即可求出答案． 【详解】解：以中点为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图， 大门顶端距离地面4米． 抛物线顶点坐标为， 米， 点的坐标为，点的坐标为， 设抛物线的解析式为， 将代入解析式， 得， 解得， 抛物线的解析式为， 丝带到大门顶端的距离为米， 点，的纵坐标为， 当时，， 解得， （米）， 答：此彩色丝带所需要的长度为米． (设计意图：拓展对二次函数模型的应用) 1.已知，在平面直角坐标系中，二次函数的顶点，且过点． （1）求二次函数解析式; （2）这个函数图象有最高点还是最低点？点的坐标是什么？ 【详解】解：（1）由题意得可设二次函数的解析式为， 将代入得：， 解得：， 二次函数解析式为. （2），∴这个函数图象的开口向上，函数图象有最低点，这个点是 （设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略） 1．（2025上·江苏南京·九年级统考期末）已知二次函数的图像经过点和，求a、c的值． 【分析】直接把两个已知点的坐标代入得到关于a、c的方程组，然后解关于a和c的方程组求出a和c的值即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 2．（2025上·广东汕尾·九年级阶段考试）已知二次函数．    (1)该抛物线的对称轴是 ，顶点坐标 ； (2)补充下列表格，并在下图的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象； … … … … (3)若该抛物线上两点，的横坐标满足，则 （比较大小）． 【分析】（）根据表格中得数据可得对称轴，根据解析式可求出顶点坐标； （）把的值代入解析式，即可得到的值； （）根据性质即可得出结论； 本题考查了二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵时，；时，， ∴抛物线的对称轴为直线，即轴， 当时，， ∴抛物线的顶点坐标为， 故答案为：轴，； （2）当时，； 当时，； 故答案为：，； 利用描点法作出的函数图象如下所示：    （3）∵， ∴抛物线开口向下，在轴的右侧，随的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． （设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力） （1）抛物线的对称轴是轴，顶点是原点.当时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点;当时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点，对于抛物线，越大，抛物线的开口越小。 （2）从二次函数的图象可以看出：如果，当时,随的增大而减小，当时，随的增大而增大；如果，当时,随的增大而增大，当时，随的增大而增小. （3）二次函数图象可以由的图象向上或向下平移个单位得到，其中当时，向上平移个单位，当时，向上平移个单位。 （4）经历通过特殊到一般秩序渐进讨论二次函数的图象和性质过程体会数学的严谨性与逻辑性。 （设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性. ） 必做题：习题22.1 第5题 探究性作业：已知是二次函数，且当x<0时，y随x的增大而增大． （1）求k的值； （2）直接写出顶点坐标和对称轴． （3）直接写出将此函数图象向下平移4个单位得到的函数图象的解析式 【详解】解：（1）由是二次函数，且当x<0时，y随x的增大而增大，得 ， 解得k=-3； （2）由（1）得二次函数的解析式为y=-x2， y=-x2的顶点坐标是（0，0），对称轴是y轴． （3）函数图象的解析式为. 主板书 22.1.2 二次函数的图象和性质（第1课时） 探究点1 二次函数，的图象 探究点2 二次函数的图象 探究点3 运用二次函数模型解决实际问题 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$