黑龙江省佳木斯市桦南县第一中学2024-2025学年高一下学期第二次月考数学试卷

2024-2025学年度第二学期第二次月考 高一数学试卷 第I卷（选择题，共58分） 一、单顶选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求.) 1.已知腹数a=2-6=-2+1,若：-导，则=（） A. C.迈 D.2 4 B.② 2.已知响量a与的方向湘反，-(3.-4)，同=10，则a=（) A.(6-8） B.(-68 c.(8.-6) D.(-86) 4 5 3.已知a,B均方锐角，simx-亏，s如(a-B)=,则snB=（） 4 C. 33 65 D. 65 4.在长方体ABCD-4BCD中，若AB=AD=2,A41=4,则异面直线AB,AD所成角 的余弦值为() 3 B. c.5 D. 5.折扇是我国古老文化的诞续，在我国已有四千年左右的历史，“扇与“善谐音，折扇也 寓意“善良"“善行”、它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大 智大勇的象征（如图甲），图乙是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧DE, AC所在圆的半径分别是3和6，且∠4BC=120°，则关于该圆台，下列说法错误的是() A.高为2√互 B.体积为V2 :C.表面积为14πD.轴截面面积为6w2 3 6.已知a,6,c>0,且b>c,则2a+6 的最小值为(). ab+c(b-c) A.2. B.3. C.5+1. D.5-1. 7.已知了)是定义在R上的偶函数，若任意，飞0，+四且5>5时，)-过>+为 为-x 恒成立，且f3)=0，则满足f(m+3)≤m2+6m的实数m的取值范围为(） A.【-60] B.[0.1] c.[-32] D.[-2.2] 8.如图，在直三棱柱ABC-4BC1中，AC⊥BC,AC=BC=A41,E、F、G、H分别为 AB、BB、CC、AC的中点，则下列说法中错误的是（)A A.E、F、G、H四点共面 B.EF、GH、A41三线共点 C.AC与平面EFGH所成角为45 D.设BC=2,则平面EFC截该三棱柱所得截面的周张为1+5+25 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项 中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部盼选对的得部分分，有选错的得0分.) 9.下列四个命题中，真命题是(） A.若a.b是两条直线，心，B是两个平面，且aca,bcB,则a,b是异面直线. B.两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内. C.若直线m,n相交，ax是平面且m/1a,则直线n不在平面a内. D.若a是平面，直线ca,直线l1fa,则1/川 10.已知函数/)-3血2x+写+2，则下列结论正确的是() A.直线x一号是/八y的图家的一条对称轴 B.-x-石+2为奇图数 C.f(x)在区间(0，π)内有两个零点 D.若f),)=-5且f)<f),则p-的最小值为子 11.如图放置的边长为1的正方形P4BC沿x轴滚动.设顶点P(x,y)的纵坐标与横坐标的函 数关系式是y=f(x),则下列说法正确的有() A.y=f(x)是周期函数，且最小正期为4 B.y=f(x)的最大值为互 (P) C.x=[o,4]时，y=f(x)的图象与x轴围成的封闭图形的面积为π D.[,4]时，点P经过的路程为2+2， 2 第Ⅱ卷（共92分) 三、填空题：（本大题共3小题，每题5分，共计15分） 12.已知数f(x)=x2+ax-1的一个零点大于1，另一个零点小于1，则实数a的取值苑 围 13.已知圆锥的顶点$和底面圆周都在球O的球面上，且母线长为2,4，B为其底面圆周上 的两点，若△S4B面积的最大值为5，则球O的表面积为 14.已知四助形ABCD为矩形，AB=2.AD=4,M为AB的中点将△4DM沿DM折起得到四 棱锥4-DMBC,设4C的中点为N,在翻折过程中，得到如下有三个命题： 0BV/平面4DM,且BV的K度力定值V5;®三棱锥N-DMC的最大体积为2 3 ③在翻折过程中，存在某个位置，使得DM⊥4C. 其中正确命题的序号为 ·(写出所有正结论的序号) 四、解答题：（本大题共5小题，共计77分） 15.(13分)已知心ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且3a=2csn4 (1)求sinC的值； (2)若c=3,C为钝角，求△ABC面积s的最大值. 16.(15分)如图，在正方体ABCD,-ABCD中，E是DD的中点 (1)求证：DB∥平面ACE; (2)设正方体的棱长为1，求三棱锥B-AEC的体积. 17.(15分)已知函数f（x)=4cos(ox+p)(o>0,0<p<)的图像经过 44,().C行4三点，且-的最小值为 (1)求f(x)的解析式： 上的值歧； 18.(17分)如图，在圆锥P0中，已知P0=2,⊙0的直径AB=2,点C是AB的中点， 点D为AC的中点 (1)证明：平面POD⊥平面P.4C; (2)求直线PB与平面POD夹角的正弦值. 19.(17分)著名的悬链线拱桥问题与数学中的双曲函数相关函数y=-e叫做双 曲正弦函数，微g(付=e+e叫徽双曲余弦数，其中e≈271828是自然对数的底数 2 已知a数，a e +e )对任意实数x,[g(x订-[f(x]是否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说明理由， (2)求不等式f(3x-2)+f(x+1)>0的解集； (3)当xe[0,1n3]时，求h(x)=4mf(x-2g(2x)的最大值p(m) 答案 1迈 包l2w5 55 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 210102×5迈2 案 B B C B B d g D BC AC 故选：B 2.B 号 11 【分析】根据向量共线可设ā=石，再由模 案 ABD 长的坐标运算解方程可得结果 【详解】依题意可设向量a=石，且2<0； 1.B 所以a=(3元，-42)， 【分折】先根据复数的除法运算法则求出 :,再根据复数的模的计算公式求出|； 由-10可得32)2+(-42}2=102，解得 也可利阳美效技的性质皇骨来求解 2=-2或2=2（舍)为 1. 即可得a-(-6,8). 【详解】方法一： 故选：B 由题意， 3.C 0 【分析】首先求出cos(a-),cos心，再由 sinB=sin[ax-(a-B)】及两角差的正弦公 式计算可得 周- 【详解】因为a,B均为锐角，则 方法二： a-(引，又n(-- 已知31=-2-6i,则 所以-引， 1√-2)2+（←6-V4+36=0=2w10 已知2=-2+4i,则 a-图-号 12V-2y+4平-4+16=20=2N5. 所以 因为：一子，根据复数横的性质 sinB=sin a-(a-B)=sinacos(a-B)-cosasin(a-B) 可得： 4125333 =551565 B 故选：C 4.B 【分析】注意到DC∥AB,则AB、AD所 成角，即为AD与DC所成角，然后由题意 5.B 及余弦定理可得答案 【分析】设圆台的上底面半径为？，下底面 【详解】连接DC、AC,由题可得 半径为R,根据圆弧所在圆的半径和圆心 AD∥DIBC,又AD=BC, 角，求出r,R,计算圆台的高、体积、表 面积轴截面面积即可逐一判断： 则四边形ADCB为平行四边形，则 【详解】设圆台的上底面半径为”，下底面 DCllAB, 半径为R, 即AB,AD所成角，即为AD与DC所成 依题意，2m=2红×3,2R=2×6,解得 3 角∠ADC或其补角， r=1,R=2, 又圆台的母线长1=6-3=3，则圆台的高为 又由题可得4D,=CD=V22+4-25, h=√P-(R-)=22,故A正确； 4C=√22+2-25， 圆台的体积为 则 c0s∠40c=40+C0-4C2_20+20-8 V=写x2x21x2+1-145,故 3 2AD·CD 2×20 =:B错误； 圆台的表面积为 S=π1+2)×3+元×12+元×22=14π，故C正 因此，异面直线4B,AD所成角的余弦值 为的 确 圆台的轴截面面积为 故选：B 5x-0+0×25=65,故D正确 故选：B. 6.A 【分析】先利用均值不等式消掉分母上的 c,然后利用齐次化（同时除以）最后换 元求解即可. 由fm+3)≤m2+6m可得 【详解】 f(m+3)-(m+3)≤-9， a 2a2+b2 ≥2+_8d+46 8 +4 而g(3)-f3)-9--9,即gm+3)≤g(3), ab+c(b-c) ab+ 4ab+b2 4 4 由函数g(x)的单性和奇偶性，可得 m+33,解得-6≤m≤0. 设 =1, 故选：A. 8.C 8+4 【分析】根据两直线平行确定平面判断A; 4t+1 4t+1 4t+1 利用相胶平面的公共点共线得三点共线可 ≥2，可以取等 当组限y2 判断B;作出截面四边形，根据截面边长的 t=-1(舍)或 大小判断C;作CM1HG于M,利用线面 垂直的荆定定理证明CM⊥平面EFGH,进 故选：A 而得到∠CM为AC与平面EFG丑所成的 7.A 角可得D正确 【分析】由条件构造函数g(x)=f八x)-x2, 【详解】如图， 依次判断函数g(x)的单调性和奇偶性，将待 解不等式转化为f(m+3)-(m+3)≤-9，再 B 利用g(3)=-9,将其化成gm+3)≤g(3), 即可利用单调性和奇偶性解决. 【详解】由)-过>+可得 B 为-X2 fx)-fx)>x-戈，即 A:连接HE,GF,因为E、F、G、H分别 f(x)-xi>f(x)-, 为AB、BB、CC、AC的中点， 所以HE1/BC,GF1IBC,所以GF11HE, 设g(x)=fx)-x2,则有g()>g(x),因 所以E、F、G、H四点共面，故A正确； 为>x,则g()在[0.+)上单调递增， B:由A知，GF/1HE且HE≠GF,所以 又fx)是定义在R上的偶函数， 梯形的两腰EF、G所在直线必相交于一点 g(-x)=f(-x)-(（←)2=fx)-x2=g),故g() P', 为R上的函数 因为P'∈平面AABB,P∈平面AACC, 平面EFGH, 所以CM⊥平面EFGH, 又平面4ABBO平面4ACC1=A4,所以 所以∠CHM为AC与平面EFGH所成的 P∈AA,所以p与P重合， 角，等于45°，故D正确) 即EF、G丑、A4三线共点于P,故B正 故选：C 【点晴】关键点点晴：利用共面的判定，结 确 合直线与平面的关系，作出平面与三棱柱截 C:延长FE交AA的延长线于P点，连接 面的图形，是解决C选项的关键所在 PC,交AC于Q点，连接QE,CF, 9.BC 设FE,FC确定平面为a,则P,C∈a,所 【分析】对于A,通过特例可判断；对于B, 利用确症平面的条件和点、线、面的包含关 以PCca,所以CO.OE Ca, 系即可判断出正误；对于C,利用直线与平 则易知三棱柱的藏面四边形为FEQC,,在 面平行的定义和直线与平面的位置关系即 RtaCB,F中，CF=V22+1=5, 可判断出正误；对于D,利用平面内两直线 的位置关系即可判断出正误： 在RBEF中，EF=√2+12-5，而 【详解】选项A,例如长方体对面的两条对 Rt△AEH中，QE>EH=1, 角线就是共面的，不合题意； 而CQ>CH=VP+2=√5所以截面的周 选项B,设a⌒b=A,bnc=B.a⌒c=C， 长大于1+5+25，故C错误； A,B,C不重合，易知a,b可确定唯一平面 D:作CM⊥hHG于M, a, 又B∈b,C∈a,所以B∈aC∈a,又 因为CH=CG,所以M为G中点， 因为 B∈c,C∈c,所以cCa,符合题意； BC⊥AC,BC⊥CC,AC∩CC=C,ACc平 面AACC,,CCC平面AACC, 所以BC⊥平面AACC, 选项C,设m∩n=P,m/1a,所以PEa, 因为CMc平面AACC,所以BC⊥CM, 故直线1不在平面心内，符合题意； 又E/BC,所以CM⊥E, 选项D,因为直线1c,,直线/a,则1/叫 又HG∩HE-H.HGc平面EFGH,EC 或与2异面，不符合题意. 故选：BC 10.AC 【分析】代入捡证判断对称轴判断A;化简 直线y=-名与y=snx的图象有两个交点， 函数解折式后利用奇函数定义判断B;将零 2 点问转化为血2x+-子有两解，根 则2x引号有两解， 所以f(x)在区间(0，π)内有两个零点，C正 据正弦函数图象与性质即可判断C,根据函 确. 数的有界性求得f()=-1,f()=5,根 对于D,因为-1≤sin2x+ s1,所以 据最值求得，为即可判断D. -1≤f(x)≤5， 【详解】对于A,当x=B时， 若f()fx)=-5且f()<f(x2),则 f()=-1,f(6)=5. 所以直线x=元是f(x)图像的一条对称 当)-1时，2+骨-2a,ke2; 3 12 轴，A正确。 当5)-5时，2+骨-2m 2’m∈2， 对于B, 则 ,其最小值为无，D错误。 12 故选：AC f(-x)=3sin(-2x)+4=-3sin2x+4≠-f（x) 11.ABD ,不是奇函数，B错误 【分析】先根据正方形滚动过程确定函数周 对于C,令fx)=3sin2x+ +2=0,即 期，再分别叶算滚动过程中P点运动嫩迹所 形成的扇形面积以及正方形本身与x轴围 成的面积，进而得出图像与x轴围成的封闭 在区间Q内，2x+号，结盒 图形的面积，以此来判断选项正误 元7元 y=sinx在xe33上的图像可知， 【详解】假设A落在x轴上时开始计时，下 一次A落在x轴上，过程中四个顶点依次落 在了x轴上，而相邻两个顶点距离为正方形 边长，即为1，因此该函数期为4.考查 正方形向右滚动时，P点运动情况： 首先以A为圆心，正方形边长为半径运动妇 个县， E 然后以B为圆心，正方形树角线长为半径运 B 动个圆， 所以当△S4B为轴截面时，∠4SB最大， 因为△SAB的面积最大值为5， 最后以c为圆心，正方形边长为半径运动 个圆，最终运动迹如下曲线： 则sn458-9,所以（∠48 3 即圆锥的轴截面SPQ为等边三角形 解法一：因为圆锥的母线长为2，所以在 Rs0中，5证-S0sm骨-5， 设球0的半径为R,则 由图知：图像与x轴围城的封闭图形的面积 OP=R,PE=1,OE=3-R, 为π+1，C错误， 在Rt△OPE中，OP2=OE2+PE2, 故选ABD 即R=5-R对+1，解得R=百？ 2 12.(-x,0) 13.13.337 16π，16 【分折】本题根据已知条件得△S4B为轴截 面时，∠4SB最大，再根据球心在SE上， 由此列仿程或者根据正弦定理可求得外接 解法二：因为O为SPQ的外心，所以外接 球的半径，即可求出外接球表面积 【详解】如图所示，因为 球直径2R-2 4 2 万，即R-店， 3 Sa4e-284,S8-sin∠45B=2sim∠，158≤2 所以外接球表面职S0=机2-16 故答案为： 16π 14.①② 【分析】取AD的中点E,连接EM、EN, 证明四边形BEV为平行四形，得出