精品解析：贵州省黔东南州2024-2025学年高一下学期期末文化水平测试数学试卷

黔东南州2024―2025学年度第二学期期末文化水平测试 高一数学试卷 注意事项： 1.本试卷分为选择题和非选择题两部分，共19道小题，满分150分，考试用时120分钟. 2.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，将条形码贴在答题卡“考生条形码区”. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 第Ⅰ卷 选择题部分（共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求. 1. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 一个公司共有240名员工，要采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为30的样本.已知某部门有80名员工，那么从这一部门抽取的员工人数为（ ） A. 9 B. 6 C. 10 D. 8 3. 袋中装有除颜色外其他均相同的2个白球，4个黄球，3个红球，从中任取一球，取到红球的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，，，，则（ ） A. 30° B. 60° C. 150° D. 120° 5. 在正方体中，则异面直线与的所成角为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 设l是直线，α，β是两个不同平面，则下面命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 8. 已知分别为内角对边，下面四个结论正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形或直角三角形 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 若，，且有两解，则的取值范围是 D. 若，则为锐角三角形 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 凯里市某七天每天的最高气温分别是37，35，34，36，39，36，34（单位℃），则（ ） A. 该组数据的平均数为36 B. 该组数据的极差为5 C. 该组数据的第60百分位数为37 D. 该组数据的中位数为36 10 已知向量，，则（ ） A. B. 向量在向量上的投影向量是 C. D. 与向量方向相同的单位向量是 11. 如图，现有一个与中国国家馆结构类似的正四棱台，上下底面的中心分别为和O，已知正四棱台的上、下底面的边长分别为2、4，侧棱长为2，则关于此正四棱台的结论正确的有（ ） A. 侧面积为 B. 体积为 C. 侧面与底面所成角的正切值为 D. 外接球的表面积为 第Ⅱ卷 非选择题部分（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12. 若，则________． 13. 相看两不厌，只有敬亭山.李白曾七次登顶拜访的敬亭山位于安徽省宣城市北郊，其上有一座太白独坐楼（如图（1）），如图（2），为了测量该楼的高度，一研究小组选取了与该楼底部B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得，，，在C点处测得该楼顶端A的仰角为60°，则该楼的高度为______m. 14. 《哪吒》的玉虚宫，形态由九宫八卦阵演变而来，设计灵感来源于汉代，内饰充满了中国文化符号．我校高一数学实践小组将玉虚宫轮廓抽象为正八边形，结合向量知识进行主题探究活动．如图，正八边形，边长为，点为线段上的动点，则的最大值为________ ． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知向量， （1）若，求值； （2）若，求实数k的值. 16. 记的内角、、的对边分别为、、，已知． （1）求； （2）若，，求的面积． 17. 中国AI大模型正处于一个技术进步迅速、市场规模快速增长的爆发式发展阶段.为了解中国AI大模型用户的年龄分布，A公司调查了500名中国AI大模型用户，统计他们的年龄（都在内），按照，，，，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求m的值； （2）求这500名中国AI大模型用户的年龄在内的人数； （3）估计这500名中国AI大模型用户年龄的平均数（各组数据以该组区间的中点值作代表）. 18. 如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，平面. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值. 19. 为了建设书香校园，营造良好读书氛围，学校开展“送书券”活动该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响.连胜两个游戏可以获得一张书券，连胜三个游戏可以获得两张书券.游戏规则如下表： 游戏一 游戏二 游戏三 箱子中球的 颜色和数量 大小质地完全相同的红球3个，白球2个 （红球编号为“1，2，3”，白球编号为“4，5”） 取球规则 取出一个球 有放回地依次取出两个球 不放回地依次取出两个球 获胜规则 取到白球获胜 取到两个白球获胜 编号之和为获胜 （1）分别求出游戏一，游戏二的获胜概率； （2）当时，求游戏三的获胜概率； （3）一名同学先玩了游戏一，试问为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率更大. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黔东南州2024―2025学年度第二学期期末文化水平测试 高一数学试卷 注意事项： 1.本试卷分为选择题和非选择题两部分，共19道小题，满分150分，考试用时120分钟. 2.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，将条形码贴在答题卡“考生条形码区”. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 第Ⅰ卷 选择题部分（共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求. 1. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法计算方法，求解. 【详解】已知,则. 故选:A. 2. 一个公司共有240名员工，要采用分层抽样的方法从全体员工中抽取一个容量为30的样本.已知某部门有80名员工，那么从这一部门抽取的员工人数为（ ） A. 9 B. 6 C. 10 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】由抽样比比值即可求解. 【详解】由题可得分层抽样的抽样比比值为， 所以从这一部门抽取的员工人数为. 故选：C 3. 袋中装有除颜色外其他均相同的2个白球，4个黄球，3个红球，从中任取一球，取到红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由古典概型直接得解. 【详解】由题可得取到红球的概率为. 故选：C 4. 已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，，，，则（ ） A. 30° B. 60° C. 150° D. 120° 【答案】B 【解析】 【分析】由余弦定理直接计算求解即可. 【详解】由题可得， 因为，所以. 故选：B 5. 在正方体中，则异面直线与的所成角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用异面直线夹角的定义求出角的大小. 【详解】在正方体中，， 因此是异面直线与的所成角或其补角， 在等腰中，， 所以异面直线与的所成角为. 故选：B 6. 如图，在中，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由向量的线性运算，即可得到结果. 【详解】因为， 所以， 即得. 故选：B. 7. 设l是直线，α，β是两个不同平面，则下面命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【分析】由线面平行，线面垂直，面面平行，面面垂直的性质逐项判断即可； 【详解】A：若，，则或相交，故A错误； B：若，，由线面平行和垂直的性质可得，故B正确； C：若，，则或，故C错误； D：若，，则相交或或，故D错误； 故选：B. 8. 已知分别为内角的对边，下面四个结论正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形或直角三角形 B. 锐角中，不等式恒成立 C. 若，，且有两解，则的取值范围是 D. 若，则为锐角三角形 【答案】ABC 【解析】 【分析】由余弦定理角化边，因式分解得到或，从而判断的形状，得到A选项；根据正弦函数在的单调性得到B选项；根据三角形的个数判断C选项；利用正弦定理只能得到为锐角，无法证明D选项. 【详解】对于A，若，则由余弦定理得， 即，， 所以，所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形，故A正确； 对于B，在锐角中，，故且， 故，所以不等式恒成立，故B正确； 对于C，若，且有两解， 则，故，即，故C正确； 对于D，若，则， 即，由正弦定理得，所以角为锐角， 但角未知，无法判断为锐角三角形，故D错误. 故选：ABC. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 凯里市某七天每天的最高气温分别是37，35，34，36，39，36，34（单位℃），则（ ） A. 该组数据的平均数为36 B. 该组数据的极差为5 C. 该组数据的第60百分位数为37 D. 该组数据的中位数为36 【答案】BD 【解析】 【分析】根据平均数、极差、百分位数和中位数定义和公式逐一求解即可得解. 【详解】该7个数据从小到大排列为：34，34，35，36，36，37，39， 所以改组数据平均数为，极差为，中位数为第4个数据36， 因为，所以该组数据第60百分位数为36. 故AC错误，BD正确. 故选：BD 10. 已知向量，，则（ ） A. B. 向量在向量上的投影向量是 C. D. 与向量方向相同的单位向量是 【答案】ABC 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示、投影向量定义、模长公式和单位向量定义逐一计算即可得解. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，向量在向量上的投影向量是，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，与向量方向相同的单位向量是，故D错误. 故选：ABC 11. 如图，现有一个与中国国家馆结构类似的正四棱台，上下底面的中心分别为和O，已知正四棱台的上、下底面的边长分别为2、4，侧棱长为2，则关于此正四棱台的结论正确的有（ ） A. 侧面积为 B. 体积为 C. 侧面与底面所成角的正切值为 D. 外接球的表面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】题意求出侧面等腰梯形并求出侧面等腰梯形的高即可计算求解判断A；求出正四棱台的高即可由棱台体积公式求解判断B；分别取的中点，连接，得到为侧面与底面所成角，计算求解即可判断C；先由求出球心位置再由求出外接球半径即可由球的表面积公式计算求解判断D. 【详解】对于A，由题可知正四棱台侧面是全等的上、下底边长分别为2、4以及腰长为2的等腰梯形， 所以正四棱台侧面等腰梯形的高为， 所以正四棱台侧面积为，故A正确； 对于B，由题可得，所以正四棱台的高为， 所以正四棱台体积为，故B正确； 对于C，分别取的中点，连接， 则由等腰梯形性质和正方形性质可得，则为侧面与底面所成角， 则由A可得，故C错误； 对于D，因为，所以球心H在的延长线上， 又，， 则， 则， 所以外接球半径为，所以外接球的表面积为，故D正确. 故选：ABD 第Ⅱ卷 非选择题部分（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的模的公式计算即得. 【详解】因，则. 故答案为：. 13. 相看两不厌，只有敬亭山.李白曾七次登顶拜访的敬亭山位于安徽省宣城市北郊，其上有一座太白独坐楼（如图（1）），如图（2），为了测量该楼的高度，一研究小组选取了与该楼底部B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得，，，在C点处测得该楼顶端A的仰角为60°，则该楼的高度为______m. 【答案】 【解析】 【分析】先由正弦定理求出，然后在直角中即可求解. 【详解】中，由正弦定理得， 所以， 直角中，. 故答案为：. 14. 《哪吒》的玉虚宫，形态由九宫八卦阵演变而来，设计灵感来源于汉代，内饰充满了中国文化符号．我校高一数学实践小组将玉虚宫轮廓抽象为正八边形，结合向量知识进行主题探究活动．如图，正八边形，边长为，点为线段上的动点，则的最大值为________ ． 【答案】1 【解析】 【分析】应用向量数量积的运算律有，再由已知和数量积的定义得到关于的表达式，即可求最大值. 【详解】由， 且，，，， 所以 ， 当时，的最大值为1. 故答案为：1 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知向量， （1）若，求的值； （2）若，求实数k的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量平行坐标表示求出向量即可由模长公式求解； （2）由向量垂直的坐标表示直接计算求解即可. 【小问1详解】 因为，所以， 所以，所以. 【小问2详解】 因为，， 所以. 16. 记的内角、、的对边分别为、、，已知． （1）求； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合余弦定理可求出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）利用余弦定理结合已知条件求出的值，再结合三角形的面积公式可求得的面积. 【小问1详解】 由及正弦定理可得，即， 由余弦定理可得， 因为，故. 【小问2详解】 因为，即， 所以的面积为. 17. 中国AI大模型正处于一个技术进步迅速、市场规模快速增长的爆发式发展阶段.为了解中国AI大模型用户的年龄分布，A公司调查了500名中国AI大模型用户，统计他们的年龄（都在内），按照，，，，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求m的值； （2）求这500名中国AI大模型用户的年龄在内的人数； （3）估计这500名中国AI大模型用户年龄的平均数（各组数据以该组区间的中点值作代表）. 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 由题可得. 【小问2详解】 这500名中国AI大模型用户的年龄在内的人数为人； 【小问3详解】 估计这500名中国AI大模型用户年龄的平均数为. 18. 如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，平面. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）若二面角大小为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可证四边形为平行四边形，则，结合线面平行的判定定理即可证明； （2）如图，易证，根据线面垂直的性质与判定定理可得平面，结合面面垂直的判定定理即可证明； （3）根据线面垂直的性质与判定定理可得为二面角的平面角，即，作，由面面垂直的性质确定为直线与平面所成的角，即可求解. 【小问1详解】 因为且，所以四边形为平行四边形， 则，又平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 由平面，平面，得， 连接，由且， 所以四边形为平行四边形，又， 所以平行四边形为正方形，所以， 又，所以，又平面， 所以平面，由平面， 所以平面平面； 【小问3详解】 由平面，平面，所以， 又，平面， 所以平面，又平面，所以， 故为二面角的平面角，即， 在中，，作，垂足为M， 由（2）知，平面平面，平面平面，平面， 所以平面，则为直线在平面上的投影， 所以为直线与平面所成的角， 在中，，所以， 在中，， 即直线与平面所成角的正弦值为. 19. 为了建设书香校园，营造良好的读书氛围，学校开展“送书券”活动该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响.连胜两个游戏可以获得一张书券，连胜三个游戏可以获得两张书券.游戏规则如下表： 游戏一 游戏二 游戏三 箱子中球的 颜色和数量 大小质地完全相同的红球3个，白球2个 （红球编号为“1，2，3”，白球编号为“4，5”） 取球规则 取出一个球 有放回地依次取出两个球 不放回地依次取出两个球 获胜规则 取到白球获胜 取到两个白球获胜 编号之和为获胜 （1）分别求出游戏一，游戏二的获胜概率； （2）当时，求游戏三的获胜概率； （3）一名同学先玩了游戏一，试问为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率更大. 【答案】（1）游戏一获胜的概率为，游戏二获胜的概率为 （2） （3）的所有可能取值为5，6，7 【解析】 【分析】（1）根据古典概型概率计算公式来求得正确答案. （2）根据古典概型概率计算公式来求得正确答案. （3）根据相互独立事件、互斥事件（对立事件）求得先玩游戏三或先玩游戏二获得书券的概率，由此列不等式来求得的所有可能取值. 【小问1详解】 设事件“游戏一获胜”，“游戏二获胜”，“游戏三获胜”，游戏一中取出一个球的样本空间为，则， 因为，所以，.所以游戏一获胜的概率为. 游戏二中有放回地依次取出两个球的样本空间， 则，因为， 所以，所以，所以游戏二获胜的概率为. 【小问2详解】 游戏三中不放回地依次取出两个球的样本的个数为， 时，样本的个数为2，所以所求概率为； 【小问3详解】 设“先玩游戏二，获得书券”，“先玩游戏三，获得书券”， 则，且，，互斥，相互独立， 所以 又，且，，互斥， 所以 若要接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率大，则， 所以，即. 进行游戏三时，不放回地依次取出两个球的所有结果如下表： 第二次 第一次 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 当时，，舍去 当时，，满足题意， 因此的所有可能取值为. 【点睛】关键点睛：本题第3小问解决关键是利用互斥事件与独立事件的概率公式求得先玩游戏二与先玩游戏三获得书券的概率，从而得到游戏三获胜的概率，由此得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $