精品解析：贵州省麻江县第一中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题

贵州省麻江县第一中学2023-2024学年下学期期末考试 高一数学 试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 设集合，则（ ） A B. C. D. 2. 设a，b，c为实数，不等式的解集是或，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数的定义域为，且，则（ ） A. 1 B. C. 2024 D. 4. 已知函数在区间上有且只有一个最大值和一个最小值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 在中，为边上一点，与交于点，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 直三棱柱的各个顶点都在同一个球面上，若则此球的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“影弄花枝花弄影”，既可以顺读也可以逆读．数学中有回文数，如343，12521等，两位数的回文数有共9个，若从三位数的回文数中任取一个数，则取出的数是奇数的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 已知正方体的棱长为2，E，F分别是棱AD，上的动点，若正方体的外接球的球心是，三棱锥的外接球的球心是，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知定义在上的偶函数的图象是连续的，且满足， 都有，则下列结论正确的是（ ） A. 的一个周期为6 B. 在区间上单调递减 C. 恒成立 D. 在区间上共672个零点 10. 已知复数，则（ ） A. B. C. 复数z在复平面内对应的点在直线上 D. 若复数满足，则的最大值为 11. 某校为了鼓励同学们利用课余时间阅读，开展了读书周活动．如图是某班甲，乙两名同学在一周内每天阅读时间的折线图，根据该折线图，下列结论正确的是（ ） A. 乙同学阅读时间更加稳定 B. 甲同学的平均阅读时间等于乙同学的平均阅读时间 C. 乙同学阅读时间极差为20 D. 甲同学阅读时间的分位数为25 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 甲、乙两人下围棋，若甲执黑子先下，则甲胜的概率为；若乙执黑子先下，则乙胜的概率为．假定每局之间相互独立且无平局，第二局由上一局负者先下，若甲、乙比赛两局，第一局甲、乙执黑子先下是等可能的，则甲、乙各胜一局的概率为________． 13. 已知四棱锥的底面为矩形，，，侧面为正三角形且垂直于底面，为四棱锥内切球表面上一点，则点到直线距离的最小值为______. 14. 已知函数若关于的方程有4个不相等的实数解，则实数的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5 小题，其中第 15 题 13 分，第 16、17 题 15 分，第18、19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某药物研究所发现，病人在服用某种药物后，血液中药物的含量（单位：）在0～6小时内随时间（单位：h）的变化曲线如图所示．当时，可选择用函数来近似地刻画随变化的规律；当时，可选择用函数（a为常数）来近似地刻画随变化的规律． （1）当时，求这段曲线的函数解析式； （2）如果该药物在病人血液中的含量保持在以上时才有疗效，问病人一次性服用该药物，持续有疗效时长约为多少小时？（参考数据：） 16. 设函数． （1）若，求函数值域； （2）若函数在区间上单调递增，求实数m的取值范围． 17. 某校的体育组为了了解本校高一学生的体能状况，随机抽取了名高一学生进行体能测试，将所得评分（百分制）按体育组制定的体能测试评价标准整理，得到频率分布直方图．已知评分在[70，80）中的学生有100人．体能测试评价标准如下表： 测试评分 [0，40） [90，100] 体能等级 E D C B A （1）求的值及频率分布直方图中的值； （2）在抽取的体能等级为的学生中，按照测试评分的分组，分为两层，通过分层抽样抽取出三人进行体能训练．根据以往数据统计，经体能训练后，测试评分在中的学生的体能等级转为的概率为，测试评分在中的学生的体能等级转为的概率为，假设经体能训练后的等级转化情况相互独立，求在抽取出的三人中，经体能训练后至少有一人的体能等级转为的概率. 18. 如图，在四棱锥中，，为棱的中点，平面. （1）证明：平面 （2）求证：平面平面 （3）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正切值. 19. 已知函数为奇函数. （1）求实数的值； （2）设函数，判断函数在区间上的单调性，并给出证明； （3）设函数，求证：函数区间上有且只有一个零点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 贵州省麻江县第一中学2023-2024学年下学期期末考试 高一数学 试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集运算求解即可. 【详解】因为集合，所以. 故选：C. 2. 设a，b，c为实数，不等式的解集是或，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据韦达定理得，，再利用基本不等式即可得到答案. 【详解】由题意，1和3为方程的两根，且， 所以，即，， 所以. 当且仅当，即时等号成立. 故选：C. 3. 已知函数的定义域为，且，则（ ） A. 1 B. C. 2024 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先应用赋值法得出函数对称性进而得出得出周期，结合对数运算计算求值. 【详解】令，则， 因为，所以，令，得， 所以. 令，则， 则， 则， 令，得，所以， 则. 故选:B. 4. 已知函数在区间上有且只有一个最大值和一个最小值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦型函数的最值性质进行求解即可. 【详解】因为得，则， 所以由题意可得，，解得. 故选：D 5. 在中，为边上一点，与交于点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的线性运算，结合图象，利用作为基底，表示，根据共线定理的推论，建立方程，可得答案. 【详解】由题意作图如下： 由，则， 所以， 由共线，则，由，则， 所以，整理可得， 由共线，则，解得，即， 由， 则，所以. 故选：B. 6. 直三棱柱的各个顶点都在同一个球面上，若则此球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知求出底面外接圆半径，再由直三棱柱的外接球半径与底面外接圆半径、侧棱的几何关系求球体半径，进而求此球的表面积. 【详解】由题意，棱柱底面三角形中，底面外接圆半径， 又为直三棱柱且， 所以其外接球半径，故球体表面积为. 故选：A 7. 数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“影弄花枝花弄影”，既可以顺读也可以逆读．数学中有回文数，如343，12521等，两位数的回文数有共9个，若从三位数的回文数中任取一个数，则取出的数是奇数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理，结合古典概型，可得答案. 【详解】由题意三位的回文数中个位与百位的数字相同，十位与个位的数字不同， 由于三位数字首位即百位不能为0，故个位与百位相同且不为0，十位数字可以为0，但不能与个位（百位)相同. 若满足三位的回文数是奇数，则个位能选择的数字有，共种不同选择， 十位上的数字在个位数字确定之后只能从剩余的数字和0共9个数字中选择，就只有中选择， 根据乘法计数原理，是奇数的三位回文数共有个数字； 三位的回文数个位和百位相等不能为0，共有9种不同取法， 取定后，十位必须从其它的数字(包括0在内)任取一个，有9种不同的取法， 根据乘法计数原理，三位回文数共有个， 所以从三位数的回文数中任取一个数，取出的数为奇数的概率为. 故选：D 【点睛】 8. 已知正方体的棱长为2，E，F分别是棱AD，上的动点，若正方体的外接球的球心是，三棱锥的外接球的球心是，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意找出球心和的位置，再根据线面垂直性质得出当，，G三点共线时，的最大值为. 【详解】如下图所示： 设BC中点为G，的中点为H，的外接圆圆心为M，的外接圆圆心为N， 易得，， 过M，N分别作平面，平面ABCD的垂线，交点即为， 又为GH中点，所以当MG和NG最小时，取得最大值． 设，，由，可得， 整理得，故当， 即F为的中点时，MG取得最小值， 同理可得NG的最小值也是， 此时，，G三点共线，． 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知定义在上的偶函数的图象是连续的，且满足， 都有，则下列结论正确的是（ ） A. 的一个周期为6 B. 在区间上单调递减 C. 恒成立 D. 在区间上共672个零点 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定条件，推导求出函数的周期，利用单调性定义确定函数在上的单调性，再逐项分析判断得解. 【详解】函数的定义域为，由，得， 则，因此函数的周期为12， 由都有，得函数在上单调递增， 则，因此6不是函数的周期，A错误； 由函数是偶函数，得函数在上单调递减，因此在区间上单调递减，B正确； 显然，C正确； 在中，令，得，因此， 显然，因此在区间上函数有两个零点3和9， 而，函数在区间上的图象可由区间上的图象平移而得， 则函数在区间上有1个零点，于是在上的零点个数为， 由偶函数知，在上的零点个数为，所以在区间上共674个零点，D错误. 故选：BC 【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)图象法：作出函数f(x)的图象，观察与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数. 10. 已知复数，则（ ） A. B. C. 复数z在复平面内对应的点在直线上 D. 若复数满足，则的最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项，根据复数的除法运算法则得到，然后求即可；B选项，根据复数乘法运算法则计算即可；C选项，根据复数的几何意义判断；D选项，根据绝对值不等式判断. 【详解】对于A，因为，所以，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，复数z在复平面内对应的点为，，故C正确； 对于D，，故D错误． 故选：BC． 11. 某校为了鼓励同学们利用课余时间阅读，开展了读书周活动．如图是某班甲，乙两名同学在一周内每天阅读时间的折线图，根据该折线图，下列结论正确的是（ ） A. 乙同学阅读时间更加稳定 B. 甲同学的平均阅读时间等于乙同学的平均阅读时间 C. 乙同学阅读时间的极差为20 D. 甲同学阅读时间的分位数为25 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定折线图，计算百分位数、极差、平均数、方差即可判断作答. 【详解】对于B，甲同学在一周内每天阅读时间依次为， 则甲同学阅读时间的平均数为， 乙同学在一周内每天阅读时间依次为， 则乙同学阅读时间的平均数为， 则甲同学的平均阅读时间等于乙同学的平均阅读时间，故B正确； 对于A，甲同学阅读时间的方差为 ， 乙同学阅读时间的方差为 ， 则甲同学阅读时间的方差大于乙同学阅读时间的方差，故乙同学阅读时间更加稳定，故A正确； 对于C，乙同学阅读时间的极差为，故C错误； 对于D，将甲同学阅读时间从小到大排列为，因为， 所以甲同学阅读时间的分位数为25分钟，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 甲、乙两人下围棋，若甲执黑子先下，则甲胜的概率为；若乙执黑子先下，则乙胜的概率为．假定每局之间相互独立且无平局，第二局由上一局负者先下，若甲、乙比赛两局，第一局甲、乙执黑子先下是等可能的，则甲、乙各胜一局的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】分两种情况讨论：（1）第一局甲胜，第二局乙胜：（2）第一局乙胜，第二局甲胜.分析出每局输赢的情况，结合独立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】分两种情况讨论： （1）第一局甲胜，第二局乙胜： 若第一局甲执黑子先下，则甲胜第一局的概率为，第二局乙执黑子先下，则乙胜的概率为， 若第一局乙执黑子先下，则甲胜第一局的概率为，第二局乙执黑子先下，则乙胜的概率为， 所以，第一局甲胜，第二局乙胜的概率为； （2）第一局乙胜，第二局甲胜： 若第一局甲执黑子先下，则乙胜第一局的概率为，第二局甲执黑子先下，则甲胜的概率为， 若第一局乙执黑子先下，则乙胜第一局概率为，第二局甲执黑子先下，则甲胜的概率为， 所以，第一局乙胜，第二局甲胜的概率为. 综上所述，甲、乙各胜一局的概率为. 故答案为：. 13. 已知四棱锥的底面为矩形，，，侧面为正三角形且垂直于底面，为四棱锥内切球表面上一点，则点到直线距离的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得到平面截四棱锥的内切球所得的截面为大圆，在中计算得到内切球半径，最后利用线面垂直的判定定理和性质定理得到，结合球的性质得到距离的最小值. 【详解】如图，过点作，交于点，由侧面为正三角形可知为中点， 设中点为，连接. 由题意得，平面截四棱锥的内切球所得的截面为大圆， 此圆为的内切圆，设内切圆半径为，与，分别相切于点，， 因为平面平面，平面平面， ，平面，所以平面， 而平面，则， 因为，，所以，，， 在中，，解得， 所以四棱锥的内切球的半径为1， 连接，因为平面，平面，所以， 又，，平面，，所以平面， 因为平面，所以， 所以内切球表面上一点到直线的距离的最小值即为线段的长减去球的半径， 又， 所以四棱锥内切球表面上一点到直线的距离的最小值为. 故答案为：. 14. 已知函数若关于的方程有4个不相等的实数解，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设，，作出函数的简图，结合函数图象，分情况列出不等式求解即可. 【详解】 设，，则的图象如图所示： 当时，显然不成立； 当时，有一个解，设为，由图可知，当时，显然无四个解，不成立． 当时，有三解，设为，由图可知． 无解，有三解，有一解，故满足题意． 当或时，显然不满足题意． 综上所得，实数的取值范围为：. 故答案为：. 四、解答题：本题共5 小题，其中第 15 题 13 分，第 16、17 题 15 分，第18、19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某药物研究所发现，病人在服用某种药物后，血液中药物的含量（单位：）在0～6小时内随时间（单位：h）的变化曲线如图所示．当时，可选择用函数来近似地刻画随变化的规律；当时，可选择用函数（a为常数）来近似地刻画随变化的规律． （1）当时，求这段曲线的函数解析式； （2）如果该药物在病人血液中的含量保持在以上时才有疗效，问病人一次性服用该药物，持续有疗效时长约为多少小时？（参考数据：） 【答案】（1） （2）3.50小时 【解析】 【分析】（1）通过已知函数模型代入点求参数即可； （2）通过方程，求解，相减即可； 【小问1详解】 由题意知，当时，函数过点，代入得． 所求曲线的函数解析式为 【小问2详解】 当时，令，解得． 当时，令，两边同时取常用对数得：， ∴，解得 ∴． 故病人一次性服用药物，持续有疗效时长约为3.50小时． 16. 设函数． （1）若，求函数的值域； （2）若函数在区间上单调递增，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先化简的解析式，由，可得，从而得到答案. （2）化简可得，由余弦函数的图像性质可得答案. 【小问1详解】 ，即． 因为，所以， 即，即， 所求函数的值域为． 【小问2详解】 ，即 令，，得，， 即函数在区间，上单调递增 要使函数在区间上单调递增， 只需，即， 所求实数m的取值范围是． 17. 某校的体育组为了了解本校高一学生的体能状况，随机抽取了名高一学生进行体能测试，将所得评分（百分制）按体育组制定的体能测试评价标准整理，得到频率分布直方图．已知评分在[70，80）中的学生有100人．体能测试评价标准如下表： 测试评分 [0，40） [90，100] 体能等级 E D C B A （1）求的值及频率分布直方图中的值； （2）在抽取的体能等级为的学生中，按照测试评分的分组，分为两层，通过分层抽样抽取出三人进行体能训练．根据以往数据统计，经体能训练后，测试评分在中的学生的体能等级转为的概率为，测试评分在中的学生的体能等级转为的概率为，假设经体能训练后的等级转化情况相互独立，求在抽取出的三人中，经体能训练后至少有一人的体能等级转为的概率. 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）利用公式求n的值，利用矩形的面积和为1求的值； （2）设事件“在抽取的3人中，经心理疏导后至少有一人的心理等级转为B”，利用对立事件的概率公式求解； 【小问1详解】 由已知条件可得，又因为每组的小矩形的面积之和为1. 所以，解得. 【小问2详解】 由（1）可知：， 所以调查评分在中的人数是调查评分在中人数的， 若按分层抽样抽取3人，则调查评分在中有1人，在中有2人， 设事件“在抽取的3人中，经心理疏导后至少有一人的心理等级转为B”. 因为经心理疏导后的等级转化情况相互独立， 所以， 所以， 故经心理疏导后至少有一人的心理等级转为B的概率为· 18. 如图，在四棱锥中，，为棱的中点，平面. （1）证明：平面 （2）求证：平面平面 （3）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正切值. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）因为且，所以为平行四边形，则，利用线面平行的判定定理即可得证； （2）由已知可得，，由线面垂直的判定定理可得面，进而即可证得结论； （3）由平面可得，作于，可知面，所以为直线与平面所成角，在直角中求解即可． 【小问1详解】 ∵且，∴四边形为平行四边形， ∴，又平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 ∵平面，平面，∴， 连接，∵且，∴四边形为平行四边形， ∵，，∴平行四边形为正方形，∴， 又，∴， 又，面，∴面， ∵面，∴平面平面. 【小问3详解】 ∵平面，平面，∴， 又，，平面，∴平面， 因为平面，∴ ∴为二面角的平面角，从而，所以， 作于，连接， ∵平面平面，平面，平面平面， ∴面，所以为直线与平面所成角， 在直角中，，，，∴， 因为面，面，所以， 在直角中，，， ∴， 则直线与平面所成角正切值为. 19. 已知函数为奇函数. （1）求实数的值； （2）设函数，判断函数在区间上的单调性，并给出证明； （3）设函数，求证：函数在区间上有且只有一个零点. 【答案】（1）； （2）单调递减，证明见解析； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的定义求出值. （2）求出并判断单调性，再利用函数单调性定义推理证明. （3）由（2）的结论，结合对数函数单调性判断的单调性，再利用零点存在性定理推理得证. 【小问1详解】 函数的定义域为，由是奇函数，得， 即，整理得， 而不恒为0，所以. 【小问2详解】 由（1）知，，函数在区间上单调递减， 任意，， 由，得，因此，即， 所以函数在区间上单调递减. 【小问3详解】 由（1）知，函数， 则函数，由（2）知，函数在上单调递减， 而函数在上单调递增，因此函数在上单调递减， 而，则存在唯一，使得， 所以函数在区间上有且只有一个零点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$