第14讲 两个三角形相似的判定 （知识清单+5大题型+好题必刷） 核心知识点与常见题型通关讲解练【暑假预习】2025-2026学年九年级上册数学（浙教版）

第14讲 两个三角形相似的判定 （知识清单+5大题型+好题必刷） 题型汇聚 题型一 利用两角对应相等判定相似 题型二 利用三边对应成比例判定相似 题型三 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 题型四 相似三角形的判定综合 题型五 选择或补充条件使两个三角形相似 知识清单 知识点1．相似三角形的判定 （1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形． （2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； （3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 知识点2．相似三角形的判定与性质 （1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等． （2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可． 知识点3．射影定理 （1）射影定理： ①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项． ②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． （2）Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：①AD2＝BD•DC； ②AB2＝BD•BC；AC2＝CD•BC． 题型练习 【题型一】利用两角对应相等判定相似 【例1】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，D是边上的一点，，的平分线交边于点E，交于点F，则在下列给出的三角形中，与相似的是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，内接于，的平分线分别交，于点，，连结．根据题意条件，判断：①；②；③；④，成立的是（    ） A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．②③④ 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，点，分别在，上，，连接，，交于点．若，则图中与相似的三角形是 ． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，已知等腰中，，，请用尺规在上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【题型二】利用三边对应成比例判定相似 【例2】（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，在大小为的正方形网格中，是相似三角形的是（   ） A．①和② B．②和③ C．②和④ D．①和④ 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，在方格中，点，，，，点均在格点上，若与相似，则符合条件的格点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 2．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）在边长为1的小正方形网格中，的顶点、、均落在格点（小正方形的顶点）上，请只用无刻度的直尺按要求完成作图． (1)将绕点按逆时针方向旋转，得到，请在图1中作出．（点与点是对应点） (2)请在图2中画一个三角形，使得该三角形与相似（不全等）． 3．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，A，B，C三点均在格点上． (1)分别求与的值． (2)在网格中画，使A，B，E三点组成的三角形与相似．（只需画出一个） 【题型三】利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【例3】如图，在三角形纸片中，，，，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．已知图中有两组三角形，其边长和角的度数已在图上标注．对于各组中的两个三角形，下列说法正确的是（   ） A．①组和②组的两个三角形都相似 B．①组和②组的两个三角形都不相似 C．只有①组的两个三角形相似 D．只有②组的两个三角形相似 2．如图， 已知点D、E分别在的边和上， 如果 那么 得到． （填“能”或“不能”） 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，中，点D在上，连接．已知，，， 求证：． 【题型四】相似三角形的判定综合 【例4】（22-23九年级上·浙江·阶段练习）下列一定相似的两个图形是（    ） A．有一个角是的等腰三角形 B．有一个角是的三角形 C．等腰三角形 D．有一个角是的等腰三角形 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江温州·期末）已知如图所示，则下列三角形中，与相似的是（    ）    A．  B．   C．   D．   2．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，在三角形纸片中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形相似的有 ．（请在横线上填上符合条件的序号） 3．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在四边形中，，，点在对角线上，连接，．求证：． 【题型五】选择或补充条件使两个三角形相似 【例5】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，下列条件能判定的是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，在中，点、分别在边、上，下列条件中不能判断的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，与交于点，连接和，要使，请添加一个条件： ． 3．（浙江杭州·一模）在①，②，③这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，使命题正确，并证明． 问题：如图，四边形的两条对角线交于点，若 （填序号） 求证：． 好题必刷 一、单选题 1．将一个三角形的各边都缩小到原来的后，得到三角形与原三角形（    ） A．一定不相似 B．不一定相似 C．无法判断是否相似 D．一定相似 2．如图，在矩形ABCD中，将△ABF沿着AF折叠，点B恰好落在DC边上的点E处，则一定有(　　) A．△ADE∽△ECF B．△ECF∽△AEF C．△ADE∽△AEF D．△AEF∽△AFB 3．如图，在三角形纸片ABC中，，，，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是（    ） A． B． C． D． 4．如图是老师画出的，已标出三边的长度，下面四位同学画出的三角形与老师画出的不一定相似的是（    ）    A．  B．  C． D．   5．数学实践活动课上，小明和小强分别剪了一对三角形，他们经过测量得到相关数据，并标记在图形上．如图，对于他们剪的两组三角形的说法，正确的是（    ） A．都相似 B．只有图①相似 C．只有图②相似 D．都不相似 6．如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB=4，CD=12，那么EF的长是（　　） A．2 B．2.5 C．3 D．2.8 7．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，E在AD上，且CE平分∠BCD，BE�平分∠ABC，则下列关系式中成立的有(   ) ①  ； ②  ； ③；④CE2=CD×BC； ⑤BE2=AE×BC A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 8．如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC=BC．图中相似三角形共有【 】 A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 9．如图，在中，点D、E分别在边上，则下列条件中：①；②；③；④，能使得以A，D，E为顶点的三角形与相似的条件有（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，把菱形向平移至的位置，作，垂足为与相交于点的延长线交于点，连接，则下列结论：①；②；③；④，则正确的结论有（     ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 11．如图，要使和相似，请你添加一个条件 ．    12．如图，D是的边上一点，若，要使，只需添加条件________（只添一个即可）． 13．如图，为了测量一棵树AB的高度，测量者在D点立一高CD＝2m的标杆，现测量者从E处可以看到杆顶C与树顶A在同一条直线上，如果测得BD＝20m，FD＝4m，EF＝1.8m，则树AB的高度为 m． 14．如图，已知点是上的一点，连接，若，，当与，之间满足关系式 时，． 15．圆内接正方形ABCD的边长为2，弦AE平分BC边，与BC交于F，则弦AE的长为 . 16．如图是测量河宽的示意图，AE与BC相交于点D，∠B=∠C=90°，测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求得河宽AB= m． 17．如图，正方形的面积为2，是的中点，则图中阴影部分的面积是 . 18．如图标记了△ABC和△DEF的边，角的一些数据，请你添加一个条件，使△ABC∽△DEF，这个条件可以是 ．（只填一个即可）    三、解答题 19．判断下列两组三角形是否相似，并说明理由．   （1）和都是等边三角形； （2）中，，；中，，． 20．如图，在中，，，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且，求证：． 21．如图，在中，点D，E分别是上的点，且．请证明：． 22．如图，点D、E分别在AB、AC边上，且AD=5，BD=3，AE=4，CE=6. 试说明：（1）△ADE∽△ACB；（2）若BC=9，求DE的长. 23．如图，在中，，D是线段上一点，连接，若.求证：. 24．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处． （1）求证：△BDE∽△BAC； （2）已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度． 25．如图，△ABC 是等边三角形，D 为 CB 延长线上一点，E 为 BC 延长线上点． （1）当 BD、BC 和 CE 满足什么条件时，△ADB∽△EAC？ （2）当△ADB∽△EAC 时，求∠DAE 的度数． 26．如图，D为△ABC内一点，E为△ABC外一点，且∠ABC＝∠DBE，∠3＝∠4． 求证：（1）△ABD∽△CBE； （2）△ABC∽△DBE． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14讲 两个三角形相似的判定 （知识清单+5大题型+好题必刷） 题型汇聚 题型一 利用两角对应相等判定相似 题型二 利用三边对应成比例判定相似 题型三 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 题型四 相似三角形的判定综合 题型五 选择或补充条件使两个三角形相似 知识清单 知识点1．相似三角形的判定 （1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形． （2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； （3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 知识点2．相似三角形的判定与性质 （1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等． （2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可． 知识点3．射影定理 （1）射影定理： ①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项． ②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． （2）Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：①AD2＝BD•DC； ②AB2＝BD•BC；AC2＝CD•BC． 题型练习 【题型一】利用两角对应相等判定相似 【例1】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，D是边上的一点，，的平分线交边于点E，交于点F，则在下列给出的三角形中，与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形角平分线的定义、三角形的外角的定义及性质、利用两角对应相等判定相似 【分析】本题主要考查了三角形角平分线的定义，三角形外角的性质，相似三角形的判定等知识点，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 由三角形角平分线的定义可得，即，由三角形外角的性质可推出，于是可证得，且依据已知条件，无法证明、、与相似，综上，即可得出答案． 【详解】解：是的平分线， ， 即：， 又， ， ， 且依据已知条件，无法证明、、与相似， 故选：． 【举一反三】 1．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，内接于，的平分线分别交，于点，，连结．根据题意条件，判断：①；②；③；④，成立的是（    ） A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．②③④ 【答案】D 【知识点】利用两角对应相等判定相似、同弧或等弧所对的圆周角相等 【分析】本题考查相似三角形的判定，同弧或等弧所对的圆周角相等． 由角平分线得到，由同弧或等弧所对的圆周角相等得到，从而，再由，得到，故②成立；由，，得到，故③成立；由，，得到，故④成立．综上即可解答． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故②成立； ∵， ∴， ， ，故③成立； ∵，， ∴，故④成立； 根据条件无法证明①成立，因此成立的结论是②③④． 故选：D． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，点，分别在，上，，连接，，交于点．若，则图中与相似的三角形是 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、利用两角对应相等判定相似、等边对等角 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定，全等三角形的判定与性质，难度较大，解题的关键在于构造辅助线． 在上截取，，导角证明，即可证明． 【详解】解：在上截取， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴图中与相似的三角形是， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，已知等腰中，，，请用尺规在上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【知识点】利用两角对应相等判定相似、作垂线(尺规作图)、等边对等角 【分析】本题考查了相似三角形的判定、线段垂直平分线的尺规作图，熟练掌握相似三角形的判定是解题关键． 作的垂直平分线，交于点，连接，由此即可得． 【详解】解：如图，点即为所求．    理由：由线段垂直平分线的性质得：， ， ， ， ， 在和中， ， ． 【题型二】利用三边对应成比例判定相似 【例2】（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，在大小为的正方形网格中，是相似三角形的是（   ） A．①和② B．②和③ C．②和④ D．①和④ 【答案】D 【知识点】利用三边对应成比例判定相似、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查勾股定理，相似三角形的判定，掌握相似三角形的定理是解题关键．利用勾股定理分别求出每个三角形的三边长，再根据两三角形的三组对应边的比例相等，则这两个三角形相似判断即可． 【详解】解：①中三角形三边分别为，2，， ②中三角形三边分别为，3，， ③中三角形三边分别为，，， ④中三角形三边分别为2，，， ∵， ∴是相似三角形的是①和④． 故选D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，在方格中，点，，，，点均在格点上，若与相似，则符合条件的格点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【知识点】勾股定理与网格问题、利用三边对应成比例判定相似 【分析】本题考查了网格与勾股定理、相似三角形的判定，先分别算出每条边的长度，再根据三边成比例进行判定两个三角形相似，据此进行作答即可． 【详解】解：依题意，，，， 则 ∵， ∴与不相似， 故A选项不符合题意； 则 ∵， ∴与不相似， 故B选项不符合题意； 则 ∵， ∴与相似， 故C选项符合题意； 则 ∵， ∴与不相似， 故D选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）在边长为1的小正方形网格中，的顶点、、均落在格点（小正方形的顶点）上，请只用无刻度的直尺按要求完成作图． (1)将绕点按逆时针方向旋转，得到，请在图1中作出．（点与点是对应点） (2)请在图2中画一个三角形，使得该三角形与相似（不全等）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】画旋转图形、利用三边对应成比例判定相似 【分析】本题主要考查了旋转作图，相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握旋转的性质和相似三角形的判定定理． （1）根据旋转的性质，先作出点B、C的对应点、，然后再顺次连接即可； （2）根据相似三角形的判定求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，为所求作的三角形； （2）解：如图所示， 3．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，A，B，C三点均在格点上． (1)分别求与的值． (2)在网格中画，使A，B，E三点组成的三角形与相似．（只需画出一个） 【答案】(1)， (2)见解析 【知识点】利用三边对应成比例判定相似、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定： （1）利用勾股定理求出的值，然后求比值即可； （2）利用勾股地理和相似三角形的判定方法画图即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， （2）解：如图 ∵，， ∴， ∴． 当点E在点处时，同理可证． 【题型三】利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【例3】如图，在三角形纸片中，，，，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似、相似三角形的判定综合 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等且夹角相等的两三角形相似是解题关键． 根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案即可． 【详解】解：在三角形纸片中，，，． A．因为，则，又由，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似，故此选项符合题意； B．因为 ，，，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不合题意； C．因为 ，，即：，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不合题意； D、因为 ，， ，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不合题意； 故选：A． 【举一反三】 1．已知图中有两组三角形，其边长和角的度数已在图上标注．对于各组中的两个三角形，下列说法正确的是（   ） A．①组和②组的两个三角形都相似 B．①组和②组的两个三角形都不相似 C．只有①组的两个三角形相似 D．只有②组的两个三角形相似 【答案】A 【知识点】利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似、利用两角对应相等判定相似 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键． 根据相似三角形的判定去判断两个三角形是否相似即可． 【详解】解：在图①中：第一个三角形三个角分别为：，，；第二个三角形的两个角分别为：，；故根据两个角分别相等的两个三角形相似，得两个三角形相似； 在图②中：，， ∴， ∵， ∴， 故①组和②组的两个三角形都相似． 故选：A． 2．如图， 已知点D、E分别在的边和上， 如果 那么 得到． （填“能”或“不能”） 【答案】不能 【知识点】利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】本题考查相似三角形的判定定理，根据条件无法判断，据此即可得到结论． 【详解】解：∵，不能判断， ∴不能得到， 故答案为：不能． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，中，点D在上，连接．已知，，， 求证：． 【答案】证明见解析 【知识点】利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据已知线段的长度，推出，利用两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似，即可得证． 【详解】证明：∵，，． ∴，， ∴，即， 又， ∴． 【题型四】相似三角形的判定综合 【例4】（22-23九年级上·浙江·阶段练习）下列一定相似的两个图形是（    ） A．有一个角是的等腰三角形 B．有一个角是的三角形 C．等腰三角形 D．有一个角是的等腰三角形 【答案】D 【知识点】相似三角形的判定综合 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定．解题的关键是掌握相似三角形的判定定理．本题根据相似三角形的判定定理进行求解即可． 【详解】解：A、的角可能是顶角，也可能是底角，没有交代清楚，不能判定两个图形相似，不符合题意； B、有一个角是的三角形没指明是等腰三角形，不能判定两个图形相似，不符合题意； C、等腰三角形没有交代顶角相等或底边比等于腰的比，不能判定两个图形相似，不符合题意； D、有一个角是的等腰三角形可根据两角对应相等可判定两个图形相似，符合题意． 故选D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江温州·期末）已知如图所示，则下列三角形中，与相似的是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【知识点】相似三角形的判定综合 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，是等腰三角形，顶角是，看各个选项是否符合相似的条件． 【详解】解：∵由图可知，， A、三角形各角的度数都是， B、三角形各角的度数分别为， C、三角形各角的度数分别为， D、三角形各角的度数分别为， ∴只有C选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等， 故选：C． 2．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，在三角形纸片中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形相似的有 ．（请在横线上填上符合条件的序号） 【答案】①②④ 【知识点】相似三角形的判定综合 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：①阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似； ②阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似； ③两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似； ④两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似． 故答案为：①②④． 3．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在四边形中，，，点在对角线上，连接，．求证：． 【答案】见解析 【知识点】相似三角形的判定综合 【分析】利用等边对等角，平行线的性质可得出，然后利用相似的判定即可得证．本题考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】证明：， ， ， ， ， ， ∴． 【题型五】选择或补充条件使两个三角形相似 【例5】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，下列条件能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．逐个选项利用相似的判定方法判断是否相似即可． 【详解】解：在和中，已知， A中，无法推出和另外一对角相等，故选项不符合题意； B中，，，两边成比例，但不是夹角相等，无法证明，故选项不符合题意； C中，∵， ∴， 又∵， ∴，故选项符合题意； D中，，无法得出和的两边成比例，无法证明，故选项不符合题意； 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，在中，点、分别在边、上，下列条件中不能判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．根据此，分别进行判断即可． 【详解】解：由题意得， A、当时，不能推断，故本选项符合题意； B、当时，，故本选项不符合题意； C、当时，，故本选项不符合题意； D、当时，，则，故本选项不符合题意； 故选：A． 2．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，与交于点，连接和，要使，请添加一个条件： ． 【答案】(答案不唯一) 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定方法可增加角或边的条件即可． 【详解】解：可添加一个条件是：． ∵，， ∴ 故答案为：(答案不唯一)． 3．（浙江杭州·一模）在①，②，③这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，使命题正确，并证明． 问题：如图，四边形的两条对角线交于点，若 （填序号） 求证：． 【答案】①，证明见解析或②，证明见解析． 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】若选择条件①，可利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； 若选择条件②，可利用两角相等的两个三角形相似． 【详解】解：选择条件①的证明为： ∵， ∴， 又∵， ∴； 选择条件②的证明为： ∵， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，能熟记相似三角形的判定定理，并正确识图是解题关键． 好题必刷 一、单选题 1．将一个三角形的各边都缩小到原来的后，得到三角形与原三角形（    ） A．一定不相似 B．不一定相似 C．无法判断是否相似 D．一定相似 【答案】D 【分析】根据题意可得原三角形的各边与得到的三角形的各边比均为，再由三边对应成比例的两个三角形相似，即可求解． 【详解】解：∵将一个三角形的各边都缩小到原来的， ∴原三角形的各边与得到的三角形的各边比均为， ∴得到三角形与原三角形一定相似． 故选：D 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 2．如图，在矩形ABCD中，将△ABF沿着AF折叠，点B恰好落在DC边上的点E处，则一定有(　　) A．△ADE∽△ECF B．△ECF∽△AEF C．△ADE∽△AEF D．△AEF∽△AFB 【答案】A 【分析】由矩形的性质得出∠C=∠D=∠C=90°，由折叠的性质得出∠AEF=∠B=90°，利用等角的余角相等得出∠DAE＝∠CEF，从而可得出△ADE∽△ECF，得出答案． 【详解】根据题意可知，∠DAE＋∠AED＝∠AED＋∠CEF＝90°， ∴∠DAE＝∠CEF. 又∵∠D＝∠C＝90°， ∴△ADE∽△ECF. 故选：A． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的条件是解题的关键． 3．如图，在三角形纸片ABC中，，，，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案即可． 【详解】解：在三角形纸片ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12． A．因为 ，对应边， ，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误； B．因为 ，对应边，又∠A＝∠A，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似，故此选项正确； C．因为 ，对应边，即：，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误； D、因为 ，对应边， ，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等切夹角相等的两三角形相似是解题关键． 4．如图是老师画出的，已标出三边的长度，下面四位同学画出的三角形与老师画出的不一定相似的是（    ）    A．  B．  C． D．   【答案】C 【分析】此题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键，故根据条件分别判断两个三角形是否相似即可解答． 【详解】解：A.可根据两个角对应相等的两个三角形相似判定画出的三角形与相似，故不符合题意； B.∵，且夹角相等，∴画出的三角形与相似，故不符合题意； C. ，但夹角不一定相等，不能判定画出的三角形与相似，故符合题意； D. 可根据两个角对应相等的两个三角形相似判定画出的三角形与相似，故不符合题意； 故选：C． 5．数学实践活动课上，小明和小强分别剪了一对三角形，他们经过测量得到相关数据，并标记在图形上．如图，对于他们剪的两组三角形的说法，正确的是（    ） A．都相似 B．只有图①相似 C．只有图②相似 D．都不相似 【答案】A 【分析】此题考查了相似三角形的判定．图（1）根据三角形的内角和定理，即可求得各自的第三角，由有两角对应相等的三角形相似，即可判定（1）中的两个三角形相似；图（2）根据图形中的已知数据即可证得，又有对顶角相等，即可根据对应边成比例且夹角相等的三角形相似证得相似． 【详解】解：图（1）由和得另一个角为，由和得另一个角为，则两三角形全等； 图（2）∵，，，， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 6．如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB=4，CD=12，那么EF的长是（　　） A．2 B．2.5 C．3 D．2.8 【答案】C 【详解】试题解析：∵AB、CD、EF都与BD垂直， ∴AB∥EF∥CD， ∴△DEF∽△DAB，△BFE∽△BDC， ∴ ， ， ∴=1， ∵AB=4，CD=12， ∴EF=3， 故选C． 7．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，E在AD上，且CE平分∠BCD，BE�平分∠ABC，则下列关系式中成立的有(   ) ①  ； ②  ； ③；④CE2=CD×BC； ⑤BE2=AE×BC A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】根据角平分线的性质，推出角相等，再得出边相等，判断出①②正确，再利用三角形不相似，排除其它选项，最后得解． 【详解】解：如图，∵BE平分∠ABC，CE平分∠BCD ∴∠ABE=∠CBE，∠ABE=∠CBE． ∵CD∥BA， ∴∠ABC+∠BCD=180°． ∴∠BEC=∠D=∠A=90°． 则有△CED∽△EBA∽△CBE, ∴①  正确，③  正确； 无法证明CD=DE，故②不正确； 故④CE 2=CD×BC正确； 故BE2=AE×BC不正确． 因此只有③④正确． 故选A． 【点睛】本题利用了平行线的性质，角的平分线的性质，等边对等角，相似三角形的判定和性质求解． 8．如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC=BC．图中相似三角形共有【 】 A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【详解】根据正方形的性质，求出各边长，应用相似三角形的判定定理进行判定： 同已知，设CF=a，则CE=DE=2a，AB=BC=CD=DA=4a，BF=3a． 根据勾股定理，得EF=，AE=，AF=5a． ∴，，． ∴△CEF∽△DAE，△CEF∽△EAF，△DEA∽△EFA．共有3对相似三角形． 故选C． 9．如图，在中，点D、E分别在边上，则下列条件中：①；②；③；④，能使得以A，D，E为顶点的三角形与相似的条件有（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查的是相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理对各条件进行逐一判断即可． 【详解】解：①，则，故①符合题意； ②，则，故②符合题意； ③，且夹角，则，故③符合题意； ④由可得，此时不确定，故④不符合题意， 故选：C． 10．如图，把菱形向平移至的位置，作，垂足为与相交于点的延长线交于点，连接，则下列结论：①；②；③；④，则正确的结论有（     ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】先证明，再根据直角三角形性质和菱形性质以及相似三角形的判定即可一一判断． 【详解】解：∵把菱形向右平移至的位置， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即，故①正确； ∵DE=DH， ∴∠DHE=∠DEH， ∵四边形CDFE是菱形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴，故③正确； ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴．故④正确； 正确的有：①②③④， 故选：D． 【点睛】本题考查菱形的性质、平移变换、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 二、填空题 11．如图，要使和相似，请你添加一个条件 ．    【答案】（答案不唯一） 【分析】根据相似三角形的判定即可得． 【详解】∵， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 12．如图，D是的边上一点，若，要使，只需添加条件________（只添一个即可）． 【答案】 【分析】因为，则，所以只要再找到另一组对应角相等即可． 【详解】解：只需添加条件使，证明如下： 因为，则， 当，则（两组对应角相等的三角形相似）， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是三角形相似的判定内容，正确掌握证明三角形相似的方法是解题的关键． 13．如图，为了测量一棵树AB的高度，测量者在D点立一高CD＝2m的标杆，现测量者从E处可以看到杆顶C与树顶A在同一条直线上，如果测得BD＝20m，FD＝4m，EF＝1.8m，则树AB的高度为 m． 【答案】3 【分析】过E点作AB的垂线，然后构造的相似三角形中，利用相似三角形的性质求得树的高度. 【详解】如图，过E作EH⊥AB于H，交CD于G， 则CG=CD-EF=0.2米，EG=FD=4米， EH=BF=BD+DF=24米， 易证△CEG∽△AEH， ∴ =,即=， ∴AH=1.2米， ∴AB=AH+BH=AH+EF=3米， 即数的高度为3米. 【点睛】此题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是作出辅助线，构造相似三角形来求解. 14．如图，已知点是上的一点，连接，若，，当与，之间满足关系式 时，． 【答案】 【分析】根据相似三角形的判定方法进行分析即可. 【详解】要使△ACP∽△ABC成立,∠A是公共角,则AB:AC=AC:AP应成立,即m:n=n:AP,则. 故答案为. 【点睛】此题考查了相似三角形的判定，常用的判定方法有： ①有两个对应角相等的三角形相似； ②有两组对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似； ③三组对应边的比相等，则两个三角形相似． 15．圆内接正方形ABCD的边长为2，弦AE平分BC边，与BC交于F，则弦AE的长为 . 【答案】. 【分析】根据圆周角定理求得∠AEC=90°，由勾股定理求出AF的长，再证明△AFB∽△CFE，根据相似三角形对应边比例即可求出EF的长． 【详解】解：如图 ∵四边形ABCD为圆内正方形， ∴AC必过圆心O，且∠AEC=∠ABC=90°， ∵AB=2，BF=． ∴AF== ∵∠CFE=∠AFB， ∴AFB∽△CFE， ∴ ∴ ∴EF＝ ∴AE=AF+EF= 【点睛】本题考查了正多边形和圆、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；证明三角形相似是解决问题的关键． 16．如图是测量河宽的示意图，AE与BC相交于点D，∠B=∠C=90°，测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求得河宽AB= m． 【答案】100 【分析】由两角对应相等可得△BAD∽△CED，利用对应边成比例即可得两岸间的大致距离AB的长． 【详解】解：∵∠ADB=∠EDC，∠ABC=∠ECD=90°， ∴△ABD∽△ECD， ∴， 即 ， 解得：AB= =100（米）． 故答案为100． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，用到的知识点为：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例． 17．如图，正方形的面积为2，是的中点，则图中阴影部分的面积是 . 【答案】 【分析】根据正方形的性质可得到△AMG∽△CDG，根据相似三角形的边对应边成比例，求得GH，GF的长，从而即可求得阴影部分的面积． 【详解】如图，过点G作HF⊥AB． ∵AM∥CD，∴∠DCG=∠GAM，∠CDG=∠GMA，∴△AMG∽△CDG，∴AM：DC=GH：GF=1：2，HF=AD ． 设HF=AD=a，∴GH，GF，AM=，DC=a， ，∴阴影部分的面积=S正方形ABCD﹣S△AMG﹣S△CDG﹣S△MBC====． 故答案为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键． 18．如图标记了△ABC和△DEF的边，角的一些数据，请你添加一个条件，使△ABC∽△DEF，这个条件可以是 ．（只填一个即可）    【答案】DF＝6或∠C＝60°或∠B＝35° 【分析】利用三角形相似的条件即可进行解答. 【详解】(1)当DF＝6时，利用SAS可证明. (2)当∠C＝60°或∠B＝35°时，利用AAA可解答. 【点睛】本题考查三角形相似，掌握证明条件是解题关键. 三、解答题 19．判断下列两组三角形是否相似，并说明理由．   （1）和都是等边三角形； （2）中，，；中，，． 【答案】（1）相似，理由详见解析；（2）相似，理由详见解析． 【分析】（1）根据等边三角形各角相等，各边成比例，故这两个三角形相似； （2）易知两三角形均为等腰直角三角形，符合两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似的判定． 【详解】（1）相似，等边三角形各角相等，各边成比例，故两这个三角形相似得到． （2）相似，由在中，，；中，，，易知两三角形均为等腰直角三角形，符合两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似的判定． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，熟记相似三角形的判定方法是解题关键． 20．如图，在中，，，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】利用三角形的外角性质证明∠EDC=∠DAB，即可证明△ABD∽△DCE． 【详解】证明：∵AB=AC，且∠BAC=120°， ∴∠ABD=∠ACB=30°， ∵∠ADE=30°， ∴∠ABD=∠ADE=30°， ∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠ABD+∠DAB， ∴∠EDC=∠DAB， ∴△ABD∽△DCE． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，利用三角形的外角性质证明∠EDC=∠DAB是解题的关键． 21．如图，在中，点D，E分别是上的点，且．请证明：． 【答案】见解析 【分析】题目主要考查相似三角形的判定，根据平行线的性质得出，再由公共角即可判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题关键． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴． 22．如图，点D、E分别在AB、AC边上，且AD=5，BD=3，AE=4，CE=6. 试说明：（1）△ADE∽△ACB；（2）若BC=9，求DE的长. 【答案】（1）证明见解析；（2）DE=4.5 【分析】（1）由条件可得，且为公共角，则可证明； （2）由（1）可得，可求得. 【详解】⑴  ∵AD=5，BD=3，AE=4，CE=6， ∴AB=8，AC=10， ∴， ∵∠A=∠A， ∴△ADE∽△ACB； ⑵ ∵△ADE∽△ACB， ∴， ∵BC=9， ∴DE=4.5. 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握三角形相似的判定方法，即有两组角对应相等、两组对应边的比相等且夹角相等或三组对应边的比相等是解题的关键. 23．如图，在中，，D是线段上一点，连接，若.求证：. 【答案】见解析 【分析】根据等腰三角形及相似三角形的判定定理即可求解. 【详解】解：∵， ∴. ∵， ∴. 又∵， ∴. 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知等腰三角形的性质. 24．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处． （1）求证：△BDE∽△BAC； （2）已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度． 【答案】（1）证明见试题解析；（2）． 【分析】（1）由折叠的性质可知∠C=∠AED=90°，因为∠DEB=∠C，∠B=∠B证明三角形相似即可； （2）由折叠的性质知CD=DE，AC=AE．在Rt△BDE中运用勾股定理求DE，进而得出AD即可． 【详解】（1）∵∠C=90°，△ACD沿AD折叠， ∴∠C=∠AED=90°， ∴∠DEB=∠C=90°， ∵∠B=∠B， ∴△BDE∽△BAC； （2）由勾股定理得，AB=10， 由折叠的性质知，AE=AC=6，DE=CD，∠AED=∠C=90°， ∴BE=AB﹣AE=10﹣6=4， 在Rt△BDE中，由勾股定理得，， 即， 解得：CD=3， 在Rt△ACD中，由勾股定理得， 即， 解得：AD=． 【点睛】本题考查翻折变换，勾股定理，相似三角形的判定等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键. 25．如图，△ABC 是等边三角形，D 为 CB 延长线上一点，E 为 BC 延长线上点． （1）当 BD、BC 和 CE 满足什么条件时，△ADB∽△EAC？ （2）当△ADB∽△EAC 时，求∠DAE 的度数． 【答案】（1）见解析；（2）120°． 【分析】（1）由等边三角形得 AB＝BC＝CA、∠ABC＝∠ACB＝60°，即∠ABD＝∠ACE＝120°，结合 BC²＝BD•CE 知 AB•AC＝BD•CE，据此可得答案；（2）由△ADB∽△EAC 知∠D＝∠CAE，由∠ABC＝∠D+∠DAB＝60°知∠CAE+∠DAB＝60°，根据∠DAE＝∠CAE+∠DAB+∠BAC 可得答案. 【详解】（1）当 BC²＝BD•CE 时，△ADB∽△EAC， ∵△ABC 是等边三角形， ∴AB＝BC＝CA，∠ABC＝∠ACB＝60°， ∴∠ABD＝∠ACE＝120°， ∵BC²＝BD•CE， ∴AB•AC＝BD•CE， ， ∴△ADB∽△EAC； （2）∵△ADB∽△EAC， ∴∠D＝∠CAE， ∵∠ABC＝∠D+∠DAB＝60°， ∴∠CAE+∠DAB＝60°， ∴∠DAE＝∠CAE+∠DAB+∠BAC＝60°+60°＝120°． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定及等边三角形的性质． 26．如图，D为△ABC内一点，E为△ABC外一点，且∠ABC＝∠DBE，∠3＝∠4． 求证：（1）△ABD∽△CBE； （2）△ABC∽△DBE．    【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析； 【分析】（1）根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断△ABD∽△CBE； （2）先利用得到∠1=∠2得到∠ABC=∠DBE，再利用△ABD∽△CBE得 , 根据比例的性质得到 , 然后根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断△ABC与△DBE相似． 【详解】（1）相似．理由如下： ∵∠1=∠2，∠3=∠4． ∴△ABD∽△CBE； （2）相似．理由如下： ∵∠1=∠2， ∴∠1+∠DBC=∠2+DBC，即∠ABC=∠DBE， ∵△ABD∽△CBE， ∴=， ∴=， ∴△ABC∽△DBE． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握三角形相似的判定方法是解题关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$