第21课 两个三角形相似的判定-2024-2025学年九年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（浙教版）

第21课 两个三角形相似的判定 ( 目标导航 ) 学习目标 1.掌握三角形相似判定的预备定理:平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 2.掌握三角形相似的3个判定定理 3.会运用上述定理判定两个三角形相似. ( 知识精讲 ) 知识点01 相似三角形的判定 1.三角形相似判定的预备定理:平行于三角形一-边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与 原三角形相似. 2.三角形相似的判定定理: （1）有两个角对应相等的两个三角形相似，并能运用这个定理证明两个三角形相似. （2）三边对应成比例的两个三角形相似. （3）两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似. ( 能力拓展 )考点01 相似三角形的判定 【典例1】如图．在△ABC中，AB＝AC，点D、B、C、E在同一条直线上，且∠D＝∠CAE． （1）求证：△ABD∽△ECA； （2）若AC＝12，CE＝8．求BD的长度． 【思路点拨】（1）等边对等角结合平角的定义，得到∠ABD＝∠ACE，结合∠D＝∠CAE，即可得证； （2）根据相似三角形的性质，进行求解即可． 【解析】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴180°﹣∠ABC＝180°﹣∠ACB， ∴∠ABD＝∠ACE， 又∵∠D＝∠CAE， ∴△ABD∽△ECA； （2）解：∵△ABD∽△ECA， ∴， ∵AB＝AC＝12，CE＝8， ∴， ∴BD＝18． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法，证明三角形相似是解题的关键． 【即学即练1】如图，已知，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，连接DE．求证： （1）△ABE∽△ACD； （2）△ABC∽△AED． 【思路点拨】（1）先利用垂直的定义得到∠ADC＝∠AEB＝90°，再加上公共角即可判断△ABE∽△ACD； （2）利用△ABE∽△ACD得到＝，则利用比例性质得＝，加上公共角，于是可根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似得到结论． 【解析】证明：（1）∵CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E， ∴∠ADC＝∠AEB＝90°， ∵∠BAE＝∠CAD， ∴△ABE∽△ACD； （2）∵△ABE∽△ACD， ∴＝， ∴＝， ∵∠DAE＝∠CAB， ∴△ABC∽△AED． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．如图，，DE＝2cm，△ABC中，DE∥BC，则BC边的长是（　　） A．4cm B．6cm C．8cm D．3cm 【思路点拨】判定△ADE∽△ABC，推出DE：BC＝AD：AB＝1：2，即可求出BC＝4cm． 【解析】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴DE：BC＝AD：AB＝1：2， ∵DE＝2cm， ∴BC＝4cm． 故选：A． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，关键是掌握相似三角形的对应边成比例． 2．如图，点P是△ABC边AB上一点（AB＞AC），下列条件不一定能使△ACP∽△ABC的是（　　） A． B． C．∠ACP＝∠B D．∠APC＝∠ACB 【思路点拨】根据相似三角形的判定方法．利用公共角∠A进行求解． 【解析】解：∵∠A＝∠A， ∴当∠APC＝∠ACB或∠ACP＝∠B或或AC2＝AB•AP时，△ACP∽△ABC． 故选：B． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定： ①有两个对应角相等的三角形相似； ②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似； ③三组对应边的比相等，则两个三角形相似． 3．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC上的点，连接DE，AB＝2AE，AC＝2AD，若DE＝3，则BC的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．2 【思路点拨】首先利用已知条件可以证明△ADE∽△ACB，然后利用相似三角形的性质即可求解． 【解析】解：∵AB＝2AE，AC＝2AD， ∴＝＝， 而∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ACB， ∴＝， 而AC＝2AD，DE＝3， ∴＝， ∴BC＝6． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的性质与判定，解题的关键是熟练利用判定于性质． 4．如图，在△ABC中，∠A＝80°，AB＝8，AC＝6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与△ABC不相似的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据相似三角形的判定方法一一判断即可． 【解析】解：A、根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可，本选项不符合题意； B、根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可，本选项不符合题意； C、不满足相似三角形的条件，本选项符合题意； D、根据两边成比例夹角相等两三角形相似判断即可，本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 5．如图，在小正方形的边长为1的网格中，三角形的顶点都在格点上，与△ABC相似的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】由相似三角形的判定，即可判断． 【解析】解：显然△ABC中，∠ABC＝90°，即△ABC是直角三角形，又BC＝＝，AB＝＝2，因此BC：AB＝1：2． A、三角形是钝角三角形，故A不符合题意； B、直角三角形的两直角边的比是2：3，故C不符合题意； C、直角三角形的两直角边的比是1：2，故C符合题意． D、如图，DF2＝12+22＝5，EF2＝22+32＝13，DE2＝42＝16，DF2+EF2≠DE2，因此△DEF不是直角三角形，故D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，关键是掌握相似三角形的判定方法． 6．如图所示Rt△BAC中，∠BAC＝90°，AD⊥CB．下列结论不成立的是（　　） A．A D2＝C D•D B B．AC2＝BC•CD C．CD2＝AC•BC D．AB2＝BC•BD 【思路点拨】根据相似三角形的相似比即可求解． 【解析】解：∵Rt△ABC，CD是斜边AB的高，∠ACB＝90°， ∴∠C+∠CAD＝90°＝∠CAD+∠BAD， ∴∠C＝∠BAD， 同理可得：∠B＝∠CAD， ∴△ABD∽△CAD∽△CBA； A、∵△ABD∽△CAD， ∴， ∴A D2＝C D•D B，故不符合题意； B、∵△CAD∽△CBA， ∴， ∴AC2＝BC•CD，故不符合题意； C、由△ABD∽△CAD∽△CBA 无法得到CD2＝AC•BC； ∴CD2＝AC•BC不一定成立，故符合题意； D、∵△ABD∽△CBA， ∴， ∴AB2＝BC•BD，故符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 7．如图，在正方形网格中有5个格点三角形，分别是：①△ABC，②△ACD，③△ADE，④△AEF，⑤△AGH，其中与⑤相似的三角形是（　　） A．①③ B．①④ C．②④ D．①③④ 【思路点拨】根据相似三角形的旋转可知，相似三角形的对应角相等即可判断． 【解析】解：由图形知，⑤中∠AHG＝135°， 而①②③④中，只有①∠BAC＝135°和③∠ADE＝135°， 再根据两边成比例可判断，与⑤相似的三角形是①③， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握两个相似三角形的判定定理是解题的关键． 8．如图，在平行四边形ABCD中，E是AB延长线上一点，连接DE，交AC于点G，交BC于点F，那么图中相似三角形（不含全等三角形）共有（　　） A．6对 B．5对 C．4对 D．3对 【思路点拨】根据相似三角形的判定定理进行解答即可． 【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠EBF＝∠EAD，∠EFB＝∠EDA， ∴△EFB∽△EAD； 同理可得，△FGC∽△DGA，△EBF∽△DCF，△GAE∽△GCD，△ADE∽△CDF． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，平行四边形的性质等知识点，能运用相似三角形的判定定理进行证明是解此题的关键． 9．如图，在△ABC中，点P在边AB上，则在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP•AB；④AB•CP＝AP•CB，能满足△APC与△ACB相似的条件是（　　） A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③ 【思路点拨】根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对①②进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对③④进行判断． 【解析】解：当∠ACP＝∠B，∵∠A＝∠A， 所以△APC∽△ACB； 当∠APC＝∠ACB，∵∠A＝∠A， 所以△APC∽△ACB； 当AC2＝AP•AB， 即AC：AB＝AP：AC，∵∠A＝∠A 所以△APC∽△ACB； 当AB•CP＝AP•CB，即PC：BC＝AP：AB， 而∠PAC＝∠CAB， 所以不能判断△APC和△ACB相似． 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似． 10．已知∠1＝∠2，请添加一个条件　∠B＝∠D　，使△ABC∽△ADE． 【思路点拨】假设△ABC∽△ADE可得∠1+∠DAC＝∠2+∠EAC，∠B＝∠D，已知∠1＝∠2，则∠1+∠DAC＝∠2+∠EAC，故添加∠B＝∠D即可使得△ABC∽△ADE． 【解析】解：∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC， ∴∠BAC＝∠DAE， ∵∠B＝∠D ∴△ABC∽△ADE， 故添加∠B＝∠D即可使得△ABC∽△ADE． 【点睛】本题考查了相似三角形对应角相等的性质和相似三角形的判定，添加∠B＝∠D并证明△ABC∽△ADE是解题的关键． 11．已知：如图，AB∥CD，若AB＝6，CD＝2，AD＝12，那么AO＝　9　． 【思路点拨】由AB∥CD，可得△AOB∽△DOC，即得＝，故OA＝9． 【解析】解：∵AB∥CD， ∴∠A＝∠D，∠B＝∠C， ∴△AOB∽△DOC， ∴＝， ∵AB＝6，CD＝2，AD＝12， ∴＝， ∴OA＝9， 故答案为：9． 【点睛】本题考查相似三角形判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理． 12．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，∠ADE＝∠C，线段AG分别交线段DE，BC于点F，G，且＝． （1）求证：△AEF∽△ABG； （2）若＝，求的值． 【思路点拨】（1）由∠ADE＝∠C、∠DAE＝∠CAB利用相似三角形的判定即可证出△AED∽△ABC；根据相似三角形的性质再得出∠AED＝∠B，即可证出△AEF∽△ABG； （2）由（1）的结论以及相似三角形的性质即可求出答案． 【解析】（1）证明：∵∠ADE＝∠C，∠DAE＝∠CAB， ∴△AED∽△ABC， ∴∠AED＝∠B， ∵＝， ∴△AEF∽△ABG； （2）解：∵△AEF∽△ABG， ∴＝， ∵＝， ∴＝， ∴＝． 【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定，掌握相似三角形的判定方法是解决问题的关键． 13．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，点P为BC边上一动点（不与点B，C重合），过点P作射线PM交AC于点M，∠APM＝∠B，BC＝8． （1）求证：△ABP∽△PCM； （2）当BP＝2时，求CM的值． 【思路点拨】（1）由AB＝AC得到∠B＝∠C，由∠APM＝∠B进一步得∠BAP＝∠CPM，即可证明△ABP∽△PCM； （2）先求出CP＝6．由△ABP∽△PCM得到，代入数值即可得到答案． 【解析】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C． ∵∠APM＝∠B， ∴∠BAP＝180°﹣∠B﹣∠APB＝180°﹣∠APM﹣∠APB＝∠CPM， ∴△ABP∽△PCM． （2）解：∵AB＝AC＝5，BC＝8，BP＝2， ∴CP＝6． ∵△ABP∽△PCM， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，等边对等角等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 14．如图，点B、D、E在一条直线上，BE与AC相交于点F，． （1）求证：∠BAD＝∠CAE； （2）若∠BAD＝21°，求∠EBC的度数； （3）连接EC，若AB＝AC，BD＝5，求EC的长． 【思路点拨】（1）根据相似三角形的性质定理得到∠BAC＝∠DAE，结合图形，证明即可； （2）根据相似三角形的性质与三角形外角的性质即可得到结论； （3）根据相似三角形的判定和性质即可得到结论． 【解析】（1）证明：∵， ∴△ABC∽△ADE； ∴∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠DAF＝∠DAE﹣∠DAF， 即∠BAD＝∠CAE； （2）解：∵△ABC∽△ADE， ∴∠ABC＝∠ADE， ∵∠ABC＝∠ABE+∠EBC，∠ADE＝∠ABE+∠BAD， ∴∠EBC＝∠BAD＝21°； （3）解：连接CE， ∵△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠DAF＝∠DAE﹣∠DAF， 即∠BAD＝∠CAE， ∵， ∴△ABD∽△ACE， ∵AB＝AC，BD＝5， ∴CE＝BD＝5． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 题组B 能力提升练 15．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，点D在BC上，连接AD若BC＝1，且AD＝CD，则BD＝（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据已知条件可得∠B＝∠C＝36°、∠DAC＝∠C＝36°、∠DAB＝∠ADB，则AB＝BD＝AC，进而得到CD＝AD＝1﹣BD；再证△ABC∽△DAC可得，进而得到BD2+BD﹣1＝0求解即可． 【解析】解：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°， ∴∠B＝∠C＝36°， ∵AD＝CD， ∴∠DAC＝∠C＝36°， ∴∠DAB＝∠BAC﹣∠DAC＝72°，∠ADB＝∠DAC+∠C＝72°， ∴∠DAB＝∠ADB， ∴AB＝BD＝AC， ∵BC＝1， ∴CD＝AD＝BC﹣BD＝1﹣BD， ∵∠B＝∠C＝36°，∠DAC＝∠C＝36°， ∴△ABC∽△DAC， ∴，即， ∴BD2+BD﹣1＝0，解得：（负值已舍去）． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识点，灵活运用相似三角形的性质成为解题的关键． 16．如图，在△ABC中，DE∥BC，，DC与BE交于点F，BE＝9，则EF的长为 　　. 【思路点拨】由，可得出＝，由DE∥BC，可得出△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质，可得出＝，由DE∥BC，△DEF∽△CBF，利用相似三角形的性质，可得出＝，进而可得出BF＝3EF，再结合BE＝BF+EF＝9，即可求出EF的长． 【解析】解：∵， ∴＝＝． ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴＝＝． ∵DE∥BC， ∴△DEF∽△CBF， ∴＝＝， ∴BF＝3EF， ∵BE＝BF+EF＝3EF+EF＝9， ∴EF＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记“相似三角形的对应边成比例”是解题的关键． 17．如图所示，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，P是AC的中点，过 P点的直线交 AB于点Q，若以A、P、Q为顶点的三角形和以A、B、C为顶点的三角形相似，则AQ的长为　4或　． 【思路点拨】分△AQP∽△ABC和△AQP∽△ACB两种情况，列出比例式，计算即可． 【解析】解：∵点P是AC的中点， ∴AP＝AC＝3， 当△AQP∽△ABC时，，即， 解得，AQ＝4， 当△AQP∽△ACB时，，即， 解得，AQ＝， 故答案为：4或． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，掌握两组对边成比例，夹角相等的两个三角形相似是解题的关键． 18．如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝6，CD＝4，BD＝14．点P在BD上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似时，则PB的长为　8.4或2或12　． 【思路点拨】设DP＝x，则BP＝BD﹣x＝14﹣x，根据垂直的定义得到∠B＝∠D＝90°，再根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，当时，△ABP∽△PDC，即；然后分别解方程求出x即可． 【解析】解：设DP＝x，则BP＝BD﹣x＝14﹣x， ∵AB⊥BD于B，CD⊥BD于D， ∴∠B＝∠D＝90°， 当时，△ABP∽△CDP， 即， 解得：x＝， ∴BP＝14﹣＝8.4， 当时，△ABP∽△PDC，即； 整理得x2﹣14x+24＝0， 解得x1＝2，x2＝12， BP＝14﹣2＝12，BP＝14﹣12＝2， ∴当BP为8.4或2或12时，以C、D、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似． 故答案为：8.4或2或12． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似． 19．如图，△ABC内接于⊙O，弦AD平分∠BAC，BE平分∠ABC交AD于点E，AD交BC于点F，若BD∥AC，EF＝2，DF＝4． （1）求证：DE2＝DF⋅DA； （2）求⊙O的半径． 【思路点拨】（1）利用角平分线的定义，圆周角定理，三角形的内角和定理的推论，等腰三角形的判定定理得到DB＝DE，再利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论； （2）连接OA，OB，OB交AD于点G，利用平行线的性质，角平分线的定义，圆周角定理和垂径定理得到AG＝DG＝AD，利用（1）的结论求得AD，再利用勾股定理解答即可． 【解析】（1）证明：∵弦AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵∠CBD＝∠CAD， ∴∠BAD＝∠CBD． ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠FBE， ∴∠ABE+∠BAD＝∠FBE∠CBD． ∵∠BED＝∠BAD+∠ABE，∠DBE＝∠FBE+∠CBD， ∴∠DBE＝∠BED， ∴DB＝DE． ∵∠BDA＝∠FDB，∠CBD＝∠BAD， ∴△DBF∽△DAB， ∴， ∴BD2＝DF•DA． ∴DE2＝DF•DA； （2）解：连接OA，OB，OB交AD于点G，如图， ∵BD∥AC， ∴∠BDA＝∠CAD， ∵∠BAD＝∠CAD， ∴∠BAD＝∠BDA， ∴BA＝BD，， ∴OB⊥AD， ∴AG＝AD． 由（1）知：DE2＝DF•DA， ∵EF＝2，DF＝4， ∴DE＝EF+DF＝6． ∴62＝4AD，BD＝DE＝6． ∴AD＝9， ∴AG＝DG＝． ∴BG＝＝． 设OA＝OB＝r，则OG＝r﹣， 在Rt△AGO中， ∵AG2+OG2＝OA2， ∴， ∴r＝． ∴⊙O的半径． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，连接圆的半径，熟练运用垂径定理是解题的关键． 20．如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，在BC延长线上作EF＝AE，连接AF交CD于点G，设CE：EB＝λ（λ＞0）． （1）若AB＝2，λ＝1，求线段CF的长． （2）连接EG，若G点为CD的中点，①求证：EG⊥AF．②求λ的值． 【思路点拨】（1）根据AB＝2，λ＝1，可以得到BE、CE的长，然后根据正方形的性质，可以得到AE的长，再根据平行线的性质和角平分线的性质，可以得到EF的长，从而可以得到线段CF的长； （2）①要证明点G为CD边的中点，只要证明△ADG≌△FGC即可，然后根据题目中的条件，可以得到△ADG≌△FGC的条件，从而可以证明结论成立； ②根据题意和三角形相似，可以得到CE和EB的比值，从而可以得到λ的值． 【解析】解：（1）∵在正方形ABCD中，AD∥BC， ∴∠DAG＝∠F， 又∵AG平分∠DAE， ∴∠DAG＝∠EAG， ∴∠EAG＝∠F， ∴EA＝EF， ∵AB＝2，∠B＝90°，点E为BC的中点， ∴BE＝EC＝1， ∴AE＝＝， ∴EF＝， ∴CF＝EF﹣EC＝﹣1； （2）①证明：∵EA＝EF，点G为CD的中点， ∴DG＝CG， 在△ADG和△FCG中 ， ∴△ADG≌△FCG（AAS）， ∴AG＝FG， ∵AE＝EF， ∴EG⊥AF； ②设CD＝2a，则CG＝a， 由①知，CF＝DA＝2a， ∵EG⊥AF，∠GCF＝90°， ∴∠EGC+∠CGF＝90°，∠F+∠CGF＝90°，∠ECG＝∠GCF＝90°， ∴∠EGC＝∠F， ∴△EGC∽△GFC， ∴＝， ∵GC＝a，FC＝2a， ∴＝， ∴＝， ∴EC＝a，BE＝BC﹣EC＝2a﹣a＝a， ∴λ＝＝＝． 【点睛】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 题组C 培优拔尖练 21．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为F，连接DF，分析下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】①证明∠EAC＝∠ACB，∠ABC＝∠AFE＝90°即可； ②由AD∥BC，推出△AEF∽△CBF，得到，由AE＝AD＝BC，等量代换即可作答； ③作DM∥EB交BC于M，交AC于N，证明DM垂直平分CF，即可证明； ④E是AD边的中点，则AD＝2AE＝BC，由△BAE∽△ADC，则，AB＝CD，，即可作答． 【解析】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝BC， ∵BE交AC于点F， ∴∠EAC＝∠ACB，∠ABC＝∠AFE＝90°， ∴△AEF∽△CAB， 故①正确； ∵AD∥BC， ∴△AEF∽△CBF， ∴， ∵E是AD边的中点， ∴AE＝AD＝BC， ∴＝， CF＝2AF， 故②正确； 如图，过D作DM∥BE交AC于N， ∵DE∥BM，BE∥DM， ∴四边形BMDE是平行四边形， ∴BM＝DE＝BC， ∴BM＝CM， ∴CN＝NF， ∵BE交AC于点F，DM∥BE， ∴DN⊥CF， ∴DM垂直平分CF， ∴DF＝DC， 故③正确； ∵E是AD边的中点， 则AD＝2AE＝BC， 由△BAE∽△ADC， 则， ∵AB＝CD， ∴， ∴BC2＝2AB2， ∴BC＝AB， 故④正确； 正确答案为：①②③④， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，解题的关键是正确的作出辅助线构造平行四边形． 22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点M是AB上的一点，点N是CB上的一点，，当∠CAN与△CMB中的一个角相等时，则BM的值为（　　） A．3或4 B．或4 C．或6 D．4或6 【思路点拨】可分两种情况：①当∠CAN＝∠B时，△CAN∽△CBA，设CN＝3k，BM＝4k，可得，解出k值即可；②当∠CAN＝∠MCB时，过点M作MH⊥CB，可得△BMH∽△BAC，得出MH＝k，BH＝k，则CH＝8﹣k，证明△ACN∽△CHM，得出方程求解即可． 【解析】解：∵∠CMB＞∠CAB＞∠CAN， ∴∠CAN≠∠CAB，设CN＝3k，BM＝4k， ①当∠CAN＝∠B时，可得△CAN∽△CBA， ∴， ∴， ∴k＝， ∴BM＝6． ②当∠CAN＝∠MCB时，如图2中，过点M作MH⊥CB，可得△BMH∽△BAC， ∴， ∴， ∴MH＝k，BH＝k， ∴CH＝8﹣k， ∵∠MCB＝∠CAN，∠CHM＝∠ACN＝90°， ∴△ACN∽△CHM， ∴， ∴， ∴k＝1或0， ∴BM＝4． 综上所述，BM＝4或6． 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解一元二次方程等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 23．如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，E为CD边的中点，将△ADE绕点E顺时针旋转180°，点D的对应点为C，点A的对应点为F，过点E作ME⊥AF交BC于点M，连接AM、BD交于点N，现有下列结论：①AM＝AD+MC；②AE平分∠DAM；③DE2＝AD•CM；④点N为△ABM的外心．其中正确的个数为（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【思路点拨】根据全等三角形的性质以及线段垂直平分线的性质，即可得出AM＝MC+AD；根据∠DAF＝∠MAF，即可得出AF平分∠DAM；根据ME⊥FF，EC⊥MF，运用射影定理即可得出EC2＝CM×CF，据此可得DE2＝AD•CM成立；根据N不是AM的中点，可得点N不是△ABM的外心． 【解析】解：∵E为CD边的中点， ∴DE＝CE， 又∵∠D＝∠ECF＝90°，∠AED＝∠FEC， ∴△ADE≌△FCE， ∴AD＝CF，AE＝FE， 又∵ME⊥AF， ∴ME垂直平分AF， ∴AM＝MF＝MC+CF， ∴AM＝MC+AD，故①正确； ∵AM＝MF， ∴∠MAF＝∠F， ∴∠DAF＝∠MAF， ∴AF平分∠DAM，故②正确； ∵ME⊥FF，EC⊥MF， ∴EC2＝CM×CF， 又∵EC＝DE，AD＝CF， ∴DE2＝AD•CM，故③正确； ∵∠ABM＝90°， ∴AM是△ABM的外接圆的直径， ∵BM＜AD， ∴当BM∥AD时，＝＜1， ∴N不是AM的中点， ∴点N不是△ABM的外心，故④错误． 综上所述，正确的结论有3个， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质以及旋转的性质的综合应用，解决问题的关键是运用全等三角形的对应边相等以及相似三角形的对应边成比例进行推导，解题时注意：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，故外心到三角形三个顶点的距离相等． 24．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，AC＝3，BC＝4，CD平分∠ACB，交AB于点F，连接BD，作BE⊥CD，垂足为E． （1）求证：△ACF∽△DCB； （2）求证：AC+BC＝； （3）求CF的长． 【思路点拨】（1）由CD平分∠ACB，得∠ACF＝∠DCB，则圆周角定理得∠CAF＝∠CDB，所以△ACF∽△DCB； （2）连接AD，作AH⊥CD于点H，则∠AHC＝∠AHD＝90°，由BE⊥CD于点E，得∠BEC＝∠DEB＝90°，由AB是⊙O的直径，得∠ACB＝∠ABD＝90°，则∠ACH＝∠BCE＝45°，可证明AH＝CH，BE＝CE，则AC＝AH，BC＝CE，再证明△AHD∽△DEB，由＝，得AD＝DB，则＝＝1，所以AH＝DE，则AC＝DE，所以AC+BC＝DE+CE＝CD； （3）由AC＝3，BC＝4，且AC+BC＝CD，求得CD＝，由AB＝DB，且AB＝＝5，求得DB＝，由相似三角形的性质得＝，所以AF＝＝． 【解析】（1）证明：∵CD平分∠ACB， ∴∠ACF＝∠DCB， ∵∠CAF＝∠CDB， ∴△ACF∽△DCB． （2）证明：连接AD，作AH⊥CD于点H，则∠AHC＝∠AHD＝90°， ∵BE⊥CD于点E， ∴∠BEC＝∠DEB＝90°， ∴∠AHD＝∠DEB， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝∠ABD＝90°， ∴∠ACH＝∠BCE＝∠ACB＝45°，∠ADH＝∠DBE＝90°﹣∠BDE， ∴∠CAH＝∠ACH＝45°，∠CBE＝∠BCE＝45°， ∴AH＝CH，BE＝CE， ∴AC＝＝AH，BC＝＝CE， ∵∠AHD＝∠DEB，∠ADH＝∠DBE， ∴△AHD∽△DEB， ∵＝， ∴AD＝DB， ∵＝＝1， ∴AH＝DE， ∴AC＝DE， ∴AC+BC＝DE+CE＝CD． （3）解：∵AC＝3，BC＝4，且AC+BC＝CD， ∴3+4＝CD， ∴CD＝， ∵AB＝＝DB，且AB＝＝＝5， ∴DB＝5， ∴DB＝， ∵△ACF∽△DCB， ∴＝， ∴AF＝＝＝， ∴AF的长是． 【点睛】此题重点考查圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． ( 37 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第21课 两个三角形相似的判定 ( 目标导航 ) 学习目标 1.掌握三角形相似判定的预备定理:平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 2.掌握三角形相似的3个判定定理 3.会运用上述定理判定两个三角形相似. ( 知识精讲 ) 知识点01 相似三角形的判定 1.三角形相似判定的预备定理:平行于三角形一-边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与 原三角形相似. 2.三角形相似的判定定理: （1）有两个角对应相等的两个三角形相似，并能运用这个定理证明两个三角形相似. （2）三边对应成比例的两个三角形相似. （3）两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似. ( 能力拓展 )考点01 相似三角形的判定 【典例1】如图．在△ABC中，AB＝AC，点D、B、C、E在同一条直线上，且∠D＝∠CAE． （1）求证：△ABD∽△ECA； （2）若AC＝12，CE＝8．求BD的长度． 【即学即练1】如图，已知，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，连接DE．求证： （1）△ABE∽△ACD； （2）△ABC∽△AED． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．如图，，DE＝2cm，△ABC中，DE∥BC，则BC边的长是（　　） A．4cm B．6cm C．8cm D．3cm 2．如图，点P是△ABC边AB上一点（AB＞AC），下列条件不一定能使△ACP∽△ABC的是（　　） A． B． C．∠ACP＝∠B D．∠APC＝∠ACB 3．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC上的点，连接DE，AB＝2AE，AC＝2AD，若DE＝3，则BC的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．2 4．如图，在△ABC中，∠A＝80°，AB＝8，AC＝6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与△ABC不相似的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，在小正方形的边长为1的网格中，三角形的顶点都在格点上，与△ABC相似的是（　　） A． B． C． D． 6．如图所示Rt△BAC中，∠BAC＝90°，AD⊥CB．下列结论不成立的是（　　） A．A D2＝C D•D B B．AC2＝BC•CD C．CD2＝AC•BC D．AB2＝BC•BD 7．如图，在正方形网格中有5个格点三角形，分别是：①△ABC，②△ACD，③△ADE，④△AEF，⑤△AGH，其中与⑤相似的三角形是（　　） A．①③ B．①④ C．②④ D．①③④ 8．如图，在平行四边形ABCD中，E是AB延长线上一点，连接DE，交AC于点G，交BC于点F，那么图中相似三角形（不含全等三角形）共有（　　） A．6对 B．5对 C．4对 D．3对 9．如图，在△ABC中，点P在边AB上，则在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP•AB；④AB•CP＝AP•CB，能满足△APC与△ACB相似的条件是（　　） A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③ 10．已知∠1＝∠2，请添加一个条件　 　，使△ABC∽△ADE． 11．已知：如图，AB∥CD，若AB＝6，CD＝2，AD＝12，那么AO＝　　． 12．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，∠ADE＝∠C，线段AG分别交线段DE，BC于点F，G，且＝． （1）求证：△AEF∽△ABG； （2）若＝，求的值． 13．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，点P为BC边上一动点（不与点B，C重合），过点P作射线PM交AC于点M，∠APM＝∠B，BC＝8． （1）求证：△ABP∽△PCM； （2）当BP＝2时，求CM的值． 14．如图，点B、D、E在一条直线上，BE与AC相交于点F，． （1）求证：∠BAD＝∠CAE； （2）若∠BAD＝21°，求∠EBC的度数； （3）连接EC，若AB＝AC，BD＝5，求EC的长． 题组B 能力提升练 15．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，点D在BC上，连接AD若BC＝1，且AD＝CD，则BD＝（　　） A． B． C． D． 16．如图，在△ABC中，DE∥BC，，DC与BE交于点F，BE＝9，则EF的长为 　　. 17．如图所示，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，P是AC的中点，过 P点的直线交 AB于点Q，若以A、P、Q为顶点的三角形和以A、B、C为顶点的三角形相似，则AQ的长为　 　． 18．如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝6，CD＝4，BD＝14．点P在BD上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似时，则PB的长为　 　． 19．如图，△ABC内接于⊙O，弦AD平分∠BAC，BE平分∠ABC交AD于点E，AD交BC于点F，若BD∥AC，EF＝2，DF＝4． （1）求证：DE2＝DF⋅DA； （2）求⊙O的半径． 20．如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，在BC延长线上作EF＝AE，连接AF交CD于点G，设CE：EB＝λ（λ＞0）． （1）若AB＝2，λ＝1，求线段CF的长． （2）连接EG，若G点为CD的中点，①求证：EG⊥AF．②求λ的值． 题组C 培优拔尖练 21．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为F，连接DF，分析下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点M是AB上的一点，点N是CB上的一点，，当∠CAN与△CMB中的一个角相等时，则BM的值为（　　） A．3或4 B．或4 C．或6 D．4或6 23．如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，E为CD边的中点，将△ADE绕点E顺时针旋转180°，点D的对应点为C，点A的对应点为F，过点E作ME⊥AF交BC于点M，连接AM、BD交于点N，现有下列结论：①AM＝AD+MC；②AE平分∠DAM；③DE2＝AD•CM；④点N为△ABM的外心．其中正确的个数为（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 24．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，AC＝3，BC＝4，CD平分∠ACB，交AB于点F，连接BD，作BE⊥CD，垂足为E． （1）求证：△ACF∽△DCB； （2）求证：AC+BC＝； （3）求CF的长． ( 37 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$