精品解析：福建省福州高级中学2025届高三第一次适应性测试数学试题

福州高级中学2025届高三第一次适应性测试数学试题 命卷：张平 审卷：汤钧 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必要填涂答题卷上的有关项目. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效. 4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合，再根据并集的定义求解即可. 【详解】由，解得，所以， 因为，所以. 故选：B． 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将分式进行整理得出，再利用复数除法运算化简即可. 【详解】，则，即， 则. 故选：B 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】由，得或，则不一定成立，如； 由，得且，则必成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 4. 函数 的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，可得，函数为奇函数，排除B、D项，再由，排除C项，即可得到答案. 【详解】由函数，定义域为， 有， 所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，可排除B、D项； 又由，可排除C项， 所以函数的图象为选项A. 故选：A. 5. 展开式中，项的系数为（　　） A. 5 B. -5 C. 15 D. -15 【答案】B 【解析】 【分析】根据展开式的含义，可确定出现有两种情况，求出每种情况展开式中含有的项，即可求得答案. 【详解】，表示5个相乘， 展开式中出现有两种情况，第一种是中选出3个和2个1， 第二种是中选出4个和1个， 所以展开式中含有项有和， 所以项的系数为, 故答案为：B 6. 已知函数的部分图象如图所示.若四点在同一个圆上，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对称性可知为圆心，根据即可求解. 【详解】连接交轴于, 由于，，，四点在同一个圆上，且和均关于点对称， 故为圆心，故， ,, 故，解得， 故选：D 7. 在天文学中，天体的明暗程度可以用视星等和绝对星等来描述.视星等是在地球上看到的星体亮度等级，视星等受恒星距离影响.绝对星等M是假设把恒星放在距离地球10秒差距（10秒差距≈32.6光年）时的视星等，这样能比较不同恒星本身的亮度.视星等和绝对星等M满足，其中是与地球的距离，单位为秒差距.若恒星A距离地球约32.6光年，恒星B距离地球约326光年，恒星A，B的视星等满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意，，， 两式相减可得：， 又， 所以， 所以， 故选：C 8. 点M、N为正四面体的内切球球面上的两个动点，T为棱上的一动点，则当取最大值时，（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正四面体体积的等积性求得内切球半径，由球的性质可知：当，与圆相切时，最大，结合圆的切线性质，结合锐角三角函数定义、正切二倍角公式、正弦函数的单调性进行求解即可. 【详解】设正四面体的棱长为，正四面体的内切球的球心为，顶点在底面的射影为， 显然在线段上，该正四面体内切球的半径为， 如图，为正三角形的中心，则， ， 由三棱锥的等体积得，即， 解得， ， 由球的性质可知：当，与圆相切时，最大， 如图所示：， 由圆的切线长定理可知：， 在中，， 最大时，最小，因为， 所以此时为的中点，即有， 正四面体的内切球的球心为，显然也是该正四面体的外接球的球心， 所以， 因此，， ， 所以. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用球的几何性质即当，与圆相切时，最大，结合圆的切线性质求解. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 一组数5，7，9，11，3，13，15的第60百分位数是11 B. 若随机变量，满足，，则 C. 一组数据的线性回归方程为，若，则 D. 某学校要从12名候选人（其中7名男生，5名女生）中，随机选取5名候选人组成学生会，记选取的男生人数为，则服从超几何分布 【答案】ACD 【解析】 【分析】将数据从小到大排列，根据百分位数的定义计算可判定A;根据方差的线性性质计算可判定B；根据回归方程必经过样本均值点，计算可判定C；根据超几何分布的概念判定D. 【详解】数据组为5，7，9，11，3，13，15，排序后为3，5，7，9，11，13，15. 计算第60百分位数： 根据人教版教材方法，位置计算为 ，向上取整到第5个位置，对应数值11,因此选项A正确; 选项分析： 随机变量，已知，根据方差性质： 方差线性变换公式为 ，选项中错误; 选项分析： 线性回归方程  必经过样本均值点,当  时，代入方程得 ，选项正确; 选项分析： 从12名候选人（7男5女）中不放回地抽取5人，男生人数X服从超几何分布H(12, 7, 5)，选项D正确. 故选：ACD. 10. 等差数列中，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，则， 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，结合等差数列的性质、前n项和公式逐项分析判断即得. 【详解】等差数列中，， 对于A，，，A正确； 对于B，，则，， 则，，因此，即，B错误； 对于C，，则，C正确； 对于D，设的公差为，由，得，解得， 则，，D正确. 故选：ACD 11. 已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. 是以8为周期的周期函数 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据函数奇偶性以及表达式，可得，则的图象关于点对称，故A错误；化简可得，故B正确；又，可得，故C正确；利用赋值法可求得，故D错误. 【详解】对于A，由题意，，且， 又，即①， 用替换中的，得②， 由①+②得，所以的图象关于点对称，故A错误； 对于B，由，可得，即， 所以， 所以是以8为周期的周期函数，故B正确； 对于C，由①可得，则， 所以，故C正确； 对于D，因为，为偶函数，所以， 令，则有， 令，则有， 令，则有， ， 令，则有， 所以 ，故D错误. 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，满足，，则向量在向量上投影向量的坐标为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用向量的数量积的运算和投影向量的计算方法，求解即可. 【详解】因为，所以，又， 所以向量在向量上投影向量为，故所求坐标为. 故答案：. 13. 如图所示，已知双曲线的焦点分别是是等边三角形，若的中点在双曲线上，则双曲线的离心率等于______． 【答案】##. 【解析】 【分析】由等边三角形性质可得，然后由双曲线的定义可得的关系，即可求得离心率. 【详解】因为是等边三角形，点是的中点，则， 又，所以， 因为点在双曲线上，所以， 所以． 故答案为： 14. 我们称（为正整数）元有序实数组为维向量，为该向量的范数.已知维向量，其中，记范数为奇数的的个数为，则___________________ 【答案】 【解析】 【分析】考虑当为偶数时，的个数为奇数，当为奇数时，的个数为偶数，根据乘法原理和加法原理，以及和的展开式的加减，求得的通项公式. 【详解】当为偶数时，范数为奇数，则的个数为奇数，则的个数为 根据乘法原理和加法原理可得：， 因① ② 由，故； 当为奇数时，范数为奇数，则的个数为偶数，则的个数为 根据乘法原理和加法原理可得：， 因① ② 由，故. 综上，，故. 故答案为： . 【点睛】关键点点睛：本题考查了向量的新定义，乘法原理，加法原理，二项式定理，数列的通项公式，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用和的展开式求数列通项是解题的关键，需要灵活掌握. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足．设． （1）求证：数列是等比数列，并求数列通项公式； （2）设数列，且对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） 由， 可得， 即数列是首项和公比均为3的等比数列， （2） 【解析】 【分析】（1）由数列的递推式，两边同时加上2，结合等比数列的定义和通项公式，可得所求； （2）求得，推得递减，可得，由不等式恒成立思想，可得所求取值范围． 【小问1详解】 则，即； 【小问2详解】 数列， 则， 可得递减，可得，对任意正整数，不等式恒成立， 可得，即的取值范围是. 16. 某工厂采购了甲、乙两台新型机器， 现对这两台机器生产的第一批零件的直径进行测量， 质检部门随机抽查了 100 个零件的直径进行了统计如下: 零件直径 (单位: 厘米) [1.8，2.0] 零件个数 10 25 30 25 10 （1）经统计，零件的直径服从正态分布，据此估计这批零件直径在区间 内的概率; （2）以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记直径在区间内的零件个数为，求的分布列和数学期望; （3）在甲、乙两台新型机器生产的这批零件中，甲机器生产的零件数是乙机器生产的零件数的 2 倍， 且甲机器生产的零件的次品率为 0.3， 乙机器生产的零件的次品率为0.2， 现从这批零件中随机抽取一件， 若检测出这个零件是次品， 求这个零件是甲机器生产的概率. 参考数据: 若随机变量，则，，. 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 4 （3） 【解析】 【分析】（1）根据正态分布的性质，进而可得； （2）以频率估计概率得随机抽取1个直径在区间内的概率为，由题意满足二项分布，根据二项分布的概率公式和期望公式可得； （3）根据条件概率和全概率公式可得. 【小问1详解】 由题意， 得. 【小问2详解】 由题意，随机抽取一个零件，直径在区间的概率为， 故由题意满足二项分布， 故，， ，， ， 故的分布列为 0 1 2 3 4 的数学期望为 【小问3详解】 设事件为“从这批零件中随机抽取一件来自甲机器生产”，事件为“从这批零件中随机抽取一件为次品” 则为“从这批零件中随机抽取一件来自乙机器生产”， 由题意，，，， 则， ， 故， 故从这批零件中随机抽取一件， 若检测出这个零件是次品， 求这个零件是甲机器生产的概率为. 17. 在中，，为的中点，. （1）若，求的长； （2）若，求的长. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）在中，利用余弦定理可求得，在中，再利用余弦定理，即可求得； （2）如图，延长，使，则为等腰三角形，进而可得，则，则，结合平面向量基本定理，可得，联立即可求解. 【小问1详解】 如图，在中，，，， 根据余弦定理，得， 又在中，，，， 根据余弦定理，得， 解得； 【小问2详解】 如图，延长，使，则为等腰三角形，， ， 又，所以，所以， 所以，则，即， 所以，则， 又，， 所以， ， 所以， 所以，即，解得或（舍）. 18. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设，求证：是上的单调递减函数； （3）求证：当时，. 【答案】（1）； （2） 由（1）知，，， 所以. 令，则， 因为，所以，即， 所以在上单调递减，所以， 即，所以是上的单调递减函数. （3） 令， 则， 由（2）知，在上单调递减， 所以当时，，此时，即在上单调递减， 所以，即， 当时，，，. 所以即， 所以即， 综上可得：当时，. 【解析】 【分析】（1）求出，再计算得切点和切线斜率即可得到切线方程； （2）通过二次求导得，则，则是上的单调递减函数； （3）令，求导得，再利用放缩法得，最后再次放缩即可证明. 【小问1详解】 依题意，． 又， 所以. 所以曲线在点处的切线方程为， 即. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 如图所示，用一个不平行于圆柱底面的平面截该圆柱所得的截面为椭圆面，得到的几何体称之为“斜截圆柱”.图一与图二是完全相同的“斜截圆柱”，是底面圆的直径，，椭圆所在平面垂直于平面，且与底面所成的二面角的大小为.在图一中，是椭圆上的动点，点在底面上的投影为点.在图二中，椭圆上的点在底面上的投影分别为点，且点均在直径的同一侧. （1）当时，求的长度；当时，试将的长度表示成关于的表达式； （2）（i）在图二中，当时，若点将半圆均分成5等份，求； （ii）证明：. 【答案】（1）2， （2）（i）； （ii）证明：由（1）知，即是关于的函数， 即将斜截圆柱的侧面沿着展开，其椭圆面的轮廓线即为函数的图象， 如图3所示. 如图4，将绘制于函数的图象上， 并以为边作矩形，则矩形的面积即为， 所以即为这些矩形的面积之和. 而两个该斜截圆柱可拼成一个底面半径为1，高为4的圆柱， 因此该斜截圆柱的侧面积为， 所以函数图象与坐标轴围成的图形的面积为. 又因为无论点是否均匀分布在半圆弧上， 这些矩形的面积之和都小于函数图象与坐标轴围成的图形的面积， 所以，得证. 【解析】 【分析】（1）根据线线垂直可证明平面，进而根据二面角的定义可得，结合锐角三角函数即可求解； （2）（i）根据三角函数的定义可得，，，即可根据正弦的二倍角公式求解；（ii）根据，可得椭圆面的轮廓线即为函数的图象，根据矩形的面积结合拼接可得斜截圆柱的侧面积为，根据函数图象与坐标轴围成的图形的面积为，即可求解. 【小问1详解】 如图1，取的中点，过点作与该斜截圆柱的底面平行的平面， 交于点，交的延长线于点，与交于点. 因为， 所以. 过点作的垂线，交圆于两点，过点作交于点， 又PI圆面圆面，所以. 又因为，所以平面. 因为平面，所以，所以为椭圆面与圆所在平面的夹角， 即为椭圆面与底面所成的角，所以，则为等腰直角三角形，. 设，如图2，作圆所在平面的俯视图，则， 由，得，则， 得， 所以， 当时，. 【小问2详解】 （i）当时，， 则，，，. 则. ， （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州高级中学2025届高三第一次适应性测试数学试题 命卷：张平 审卷：汤钧 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必要填涂答题卷上的有关项目. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效. 4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 函数 的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 展开式中，项的系数为（　　） A. 5 B. -5 C. 15 D. -15 6. 已知函数的部分图象如图所示.若四点在同一个圆上，则（ ） A. 1 B. C. D. 7. 在天文学中，天体的明暗程度可以用视星等和绝对星等来描述.视星等是在地球上看到的星体亮度等级，视星等受恒星距离影响.绝对星等M是假设把恒星放在距离地球10秒差距（10秒差距≈32.6光年）时的视星等，这样能比较不同恒星本身的亮度.视星等和绝对星等M满足，其中是与地球的距离，单位为秒差距.若恒星A距离地球约32.6光年，恒星B距离地球约326光年，恒星A，B的视星等满足，则（ ） A. B. C. D. 8. 点M、N为正四面体的内切球球面上的两个动点，T为棱上的一动点，则当取最大值时，（ ） A. 1 B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 一组数5，7，9，11，3，13，15的第60百分位数是11 B. 若随机变量，满足，，则 C. 一组数据的线性回归方程为，若，则 D. 某学校要从12名候选人（其中7名男生，5名女生）中，随机选取5名候选人组成学生会，记选取的男生人数为，则服从超几何分布 10. 等差数列中，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，则， 11. 已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. 是以8为周期的周期函数 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，满足，，则向量在向量上投影向量的坐标为_____________. 13. 如图所示，已知双曲线的焦点分别是是等边三角形，若的中点在双曲线上，则双曲线的离心率等于______． 14. 我们称（为正整数）元有序实数组为维向量，为该向量的范数.已知维向量，其中，记范数为奇数的的个数为，则___________________ 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足．设． （1）求证：数列是等比数列，并求数列通项公式； （2）设数列，且对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 16. 某工厂采购了甲、乙两台新型机器， 现对这两台机器生产的第一批零件的直径进行测量， 质检部门随机抽查了 100 个零件的直径进行了统计如下: 零件直径 (单位: 厘米) [1.8，2.0] 零件个数 10 25 30 25 10 （1）经统计，零件的直径服从正态分布，据此估计这批零件直径在区间 内的概率; （2）以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记直径在区间内的零件个数为，求的分布列和数学期望; （3）在甲、乙两台新型机器生产的这批零件中，甲机器生产的零件数是乙机器生产的零件数的 2 倍， 且甲机器生产的零件的次品率为 0.3， 乙机器生产的零件的次品率为0.2， 现从这批零件中随机抽取一件， 若检测出这个零件是次品， 求这个零件是甲机器生产的概率. 参考数据: 若随机变量，则，，. 17. 在中，，为的中点，. （1）若，求的长； （2）若，求的长. 18. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设，求证：是上的单调递减函数； （3）求证：当时，. 19. 如图所示，用一个不平行于圆柱底面的平面截该圆柱所得的截面为椭圆面，得到的几何体称之为“斜截圆柱”.图一与图二是完全相同的“斜截圆柱”，是底面圆的直径，，椭圆所在平面垂直于平面，且与底面所成的二面角的大小为.在图一中，是椭圆上的动点，点在底面上的投影为点.在图二中，椭圆上的点在底面上的投影分别为点，且点均在直径的同一侧. （1）当时，求的长度；当时，试将的长度表示成关于的表达式； （2）（i）在图二中，当时，若点将半圆均分成5等份，求； （ii）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $