精品解析：贵州省黔东南苗族侗族自治州2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题

黔东南州2024-2025学年度第二学期期末文化水平测试 八年级数学试卷 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1．本卷为数学试题卷，全卷共6页，三大题25小题，满分150分，考试时间为120分钟． 2．一律在《答题卡》相应位置作答，在试题卷上答题视为无效． 3．不能使用计算器． 一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D、四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每题3分，共36分． 1. 若二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式． 根据二次根式有意义的条件计算即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：， 故选：A． 2. 在平面直角坐标系中，将一次函数的图像向下平移2个单位长度后得到直线（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的平移，掌握平移规律是解题的关键．根据“上加下减，左加右减”的平移规律即可求解． 【详解】解：将一次函数的图像向下平移2个单位长度后得到直线为， 故选：B． 3. 如图，在中，点，分别是，的中点，，则的长为（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，根据三角形中位线定理计算即可解题． 【详解】解：∵点，分别是，的中点， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 4. 下列各组数中，可以作为直角三角形的三边长的是（    ） A. 6，9，12 B. 6，8，10 C. 4，5，6 D. 2，4，3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．根据勾股定理的逆定理分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形三角形，故不符合题意； B、，能构成直角三角形，故符合题意； C、，不能构成直角三角形，故不符合题意； D、，不能构成直角三角形，故不符合题意； 故选：B． 5. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A，C．若四边形是平行四边形，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形，熟知平行四边形的性质是解题的关键； 根据四边形是平行四边形可得，再由A、C的坐标即可得解. 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵A，C，， ∴点B的坐标为； 故选：C. 6. 如图，数轴上表示实数的点可能是( ) A. 点P B. 点Q C. 点R D. 点S 【答案】B 【解析】 【分析】根据先估算的大小，看它介于哪两个整数之间，从而得解． 【详解】解：∵ ∴，即， ∴数轴上表示实数的点可能是Q， 故选：B． 【点睛】本题考查无理数的大小估算，推出介于哪两个整数之间是解题的关键． 7. 某校九年级（1）班要对某小组5名女生一分钟仰卧起坐的次数进行统计分析，发现数据36，42，56，5■，48中第四个数的个位数字被涂污看不清楚了，则下列统计量中与被涂污数字无关的是（ ） A. 平均数 B. 方差 C. 中位数 D. 众数 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了统计量的选择，主要包括平均数、中位数、众数、方差；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．利用中位数、平均数、众数和方差的定义对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵这组数据的平均数、方差和众数都与被涂污数字有关，而这组数据的中位数为48，与被涂污数字无关， ∴与被涂污数字无关的统计量是中位数． 故选：C． 8. 若，则“”表示的运算符号是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握二次根式运算法则，准确计算． 【详解】解：∵， ∴“”中的运算符号是． 故选：D． 9. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与的图象交于点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了利用一次函数图象解一元一次不等式. 由图象得当时，，即可求解；会利用一次函数图象解一元一次不等式是解题的关键． 【详解】解：由图象得： 当时，， 不等式的解集为； 故选：A． 10. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ） A. 对边相等 B. 对角相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，属于基础题型，熟知矩形对角线相等的性质是解题的关键； 根据矩形的对角线相等，而一般平行四边形的对角线不具有此性质判断即可. 【详解】解：矩形具有一般平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分的性质，还具有一般平行四边形不具有的对角线相等的性质； 故选：D. 11. 如图，将两张宽度均为的纸条交叉重叠在一起，若，则的长为（ ） A. 4cm B. C. 2cm D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角函数等知识，证明四边形是菱形是解题的关键；过点C作于P，作于Q；首先可证明四边形是平行四边形，进而利用面积相等证明是菱形，则可得是等边三角形，利用三角函数即可求解． 【详解】解：如图，过点C作于P，作于Q； 由题意知，， ∴四边形是平行四边形； ∵两张纸宽度相同， ∴； ∵， ∴ ∴四边形是菱形， ∴； ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴； ∵， ∴； 故选：B． 12. 小明放学后从学校骑车回家，途经书店，在书店购物花费5分钟，他离家的路程（千米）与所经过的时间（分）关系如图．有下列结论： ①学校到书店速度为0.15千米／分钟；②的值为15； ③从书店到家的速度是学校到书店速度的2倍；④经18分钟后小明离家的路程为0.8千米． 其中，正确结论的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用．①根据速度=路程÷时间计算即可；②根据题意计算即可；③根据速度=路程÷时间求出从书店到家的速度，从而计算从书店到家的速度是学校到书店速度的倍数即可；④根据题意列关于t的方程并求解即可． 【详解】解：学校到书店速度为（千米/分钟）， ∴①正确，符合题意； ， ∴②正确，符合题意； 从书店到家的速度为（千米/分钟）， ， ∴从书店到家的速度是学校到书店速度的倍， ∴③不正确，不符合题意； 当小明离家的路程为0.8千米时，得， 解得， ∴经18分钟后小明离家的路程为0.8千米， ∴④正确，符合题意． 综上，正确的有3个，分别是①②④． 故选：C． 二、填空题：每小题4分，共16分． 13. 若正比例函数的函数值y随x的增大而减小，则k的取值范围是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了正比例函数的性质，在正比例函数中，，随的增大而增大，函数从左到右上升；，随的增大而减小，函数从左到右下降．据此判断即可． 【详解】解：正比例函数中，随的增大而减小， ， 故答案为． 14. 如图，在平行四边形中，的角平分线交边于点，若，则的度数是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质．由角平分线的定义可得，再由平行四边形的性质求解即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 三国时期数学家赵爽为《周髀算经》作注解写《勾股圆方图注》时给出了“赵爽弦图”，如图①，连接四条线段得到如图②的新的图案．如果图①中的直角三角形的长直角边为5，短直角边为3，图②中阴影部分的面积为__________． 【答案】16 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，先求出中间小正方形的边长，再根据阴影部分面积等于四个直角三角形面积加上中间一个正方形面积求解即可． 【详解】解；∵图①中的直角三角形的长直角边为5，短直角边为3， ∴中间小正方形的边长为， ∴． 故答案为：16． 16. 如图，在边长为8的正方形中，点E，F分别是边，上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先证明，得到，再利用直角三角形性质，线段最短原理，勾股定理解答即可． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， 点是的中点， ， 延长到点，使得， ， ， ， 连接， ， 当，，三点共线时，取得最小值， ，， ，， ， ， ， 故的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，线段最短原理，熟练掌握正方形的性质，勾股定理是解题的关键． 三、解答题：本大题9小题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或者演推步骤． 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）先化简二次根式，再计算加减即可； （2）先计算二次根式的乘除法，再化简二次根式，最后计算加法即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 某校举办“歌唱祖国”演唱比赛，十位评委对每位同学的演唱进行现场打分．对参加比赛的甲、乙、丙三位同学得分的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a．甲、乙两位同学得分的折线图： b．丙同学得分：10，10，10，9，9，8，3，9，8，10． c．甲、乙、丙三位同学得分的平均数： 同学 甲 乙 丙 平均数 根据以上信息，回答下列问题： （1）求表中的值； （2）甲同学得分的中位数为____________分；丙同学得分的众数为____________分； （3）在参加比赛的同学中，如果某同学得分的10个数据的方差越小，则认为评委对该同学演唱的评价越一致．据此推断：在甲、乙两位同学中，评委对____________的评价更一致（填“甲”或“乙”） 【答案】（1） （2），10 （3）甲 【解析】 【分析】本题主要考查折线统计图、平均数、众数、方差等知识点，理解平均数、方差的意义和计算方法是正确解答的关键． （1）根据平均数的定义即可解答； （2）根据中位数、众数的定义求解即可； （2）计算甲、乙两同学的方差，即可求解． 【小问1详解】 解：． 故答案为：． 【小问2详解】 解：甲同学得分的中位数为，丙同学得分中10出现的次数最多，故众数是10． 故答案为：，10． 【小问3详解】 解：甲同学的方差：； 乙同学的方差： ， ， ∴评委对甲同学演唱的评价更一致． 故答案为：甲． 19. 如图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即）． （1）请求出的长度； （2）根据安全标准需满足，通过计算说明该车是否符合安全标准． 【答案】（1）的长度为 （2）该车符合安全标准 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，理解题意是关键． （1）在中，由勾股定理求得； （2）由勾股定理的逆定理判断是否是直角三角形即可； 【小问1详解】 解：在中，，，， 由勾股定理得：； 答：的长度为； 【小问2详解】 解：， 即， ∴是直角三角形，且， 即； 答：该车符合安全标准． 20. 一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高和脚长之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表： 脚长 … … 身高 … … （1）在图1中描出表中数据对应的点； （2）根据表中数据，从和中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）； （3）如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为，请根据（2）中求出的函数解析式，估计这个人的身高． 【答案】（1） 如图所示： （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了函数的实际应用，正确理解题意，选择合适的函数模型是解题关键． （1）根据表格数据即可描点； （2）选择函数近似地反映身高和脚长的函数关系，将点代入即可求解； （3）将代入代入即可求解； 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 解：由图可知：随着的增大而增大， 因此选择函数近似地反映身高和脚长的函数关系， 将点代入得： ， 解得： ∴ 【小问3详解】 解：将代入得： ∴估计这个人身高 21. 先阅读，再解答．由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：．．请完成下列问题： （1）___________；___________． （2）利用这一规律计算： 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、分母有理化、二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则等知识点． （1）根据有理化因式和平方差公式求解即可； （2）先分母有理化，再把括号内合并，然后利用平方差公式求解即可． 【小问1详解】 解：； ； 故答案为：，； 【小问2详解】 解： ． 22. 如图，在四边形中，，，，垂足分别为，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求四边形的周长． 【答案】（1） 证明：，， ， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质以及勾股定理．解题关键在于通过证明三角形全等得出边平行关系以判定平行四边形；利用勾股定理结合已知线段长度求出平行四边形的边长，进而求出周长． （1）由，通过，得到 ，再结合，利用“”（斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等）定理证明 ．全等三角形对应角相等，得到 ，根据内错角相等两直线平行，推出 ，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，从而得证． （2）先求出的长度为 ．在中，已知， ，根据勾股定理（其中为斜边，、为两直角边）求出的长度．因为，在中，再根据勾股定理求出的长度．由于四边形是平行四边形，平行四边形对边相等，得出， ，最后根据平行四边形周长公式求出周长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： ，， ， ，， ， ，， ，， 四边形是平行四边形， ，， 四边形的周长为． 23. 某校八年级数学兴趣小组开展了测量学校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．测量结果如下表． 项目背景 如图1，某校八年级数学兴趣小组自主开展测量学校旗杆高度的项目研究．他们制订了测量方案，并进行实地测量． 测量实物图： 项目方案 测量过程 步骤一：如图2，线段表示旗杆高度，垂直地面于点N．将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段．用皮尺测出的长度． 步骤二：如图3，小丽同学将绳子末端放置于头顶，向正东方向水平移动，直到绳子拉直为止，此时小丽同学直立于地面点B处．用皮尺测出点A与点B之间的距离． 步骤三：用皮尺测量出小丽直立位置距旗杆底端的水平距离． 测量示意图 各项数据 测量项目 数据 绳子垂到地面多出的部分 小丽直立位置距旗杆底端的水平距离 小丽身高 请根据表格所给信息，完成下列问题． （1）直接写出线段与之间的数量关系； （2）根据该数学兴趣小组的测量方案和数据，求学校旗杆的高． 【答案】（1） （2）学校旗杆的高为． 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，矩形的判定与性质，正确理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）根据，结合题意即可获得答案； （2）先证明四边形是矩形，得到，，，设，则，在中，利用勾股定理解得的值，然后求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，可知， 则． 故答案为：； 【小问2详解】 解：如下图， ∵ ∴四边形是矩形， ∴，，， 设，则， 在中，可有 ， 即， 解得， ∴， ∴， 答：学校旗杆的高为． 24. 每年的4月23日是“世界读书日”，某校为了让学生学会读书，爱上读书，准备购进一批心理学书籍和科技类书籍放在学校和班级的图书馆及图书角里，其中购买3本心理学书籍和4本科技类书籍共需240元，购买6本心理学书籍和5本科技类书籍共需390元． （1）求心理学书籍和科技类书籍的单价各是多少元？ （2）若该校想要购进心理学书籍和科技类书籍共80本，要求心理学书籍不低于50本，设购买心理学书籍本，付款金额为元，请求出与的表达式，并求当为多少本时，有最小值，最小值是多少元？ 【答案】（1）心理学书籍的单价是40元，科技类书籍的单价是30元 （2），当本时，有最小值元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和一次函数的应用，正确理解题意、列出方程组和一次函数关系式是关键． （1）设心理学书籍的单价是元，科技类书籍的单价是元，根据：购买3本心理学书籍和4本科技类书籍共需240元，购买6本心理学书籍和5本科技类书籍共需390元，即可得出方程组，解方程组即可； （2）根据付款金额=心理学书籍和科技类书籍的购买费用之和即可得出w与a的关系式，再利用一次函数的性质即可求得最小值． 【小问1详解】 解：设心理学书籍的单价是元，科技类书籍的单价是元， 根据题意，得 解这个方程组，得 答：心理学书籍的单价是40元，科技类书籍的单价是30元． 【小问2详解】 解：由题意得，， 即， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当本时，有最小值，（元）． 25. 【问题背景】在矩形纸片中，，，点P在边上，点Q在边上，将纸片沿折叠，使顶点B落在点E处． 【初步认识】 （1）如图1，折痕的端点P与点A重合． ①当时，则___________度； ②若点E恰好落在线段上，求的长； 【深入思考】 （2）如图2，点E恰好落在边上． 过点E作交于点F，连接．请在图2中画出线段，，并判断四边形的形状，且证明你的结论； 【拓展提升】 （3）如图3，若，连接．当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）①64，②2； （2）补图如下：四边形是菱形， 证明：∵， ∴， 由折叠可知，，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （3）或 【解析】 【分析】（）①由邻补角性质得，进而由折叠性质即可求解；②由折叠和勾股定理可求出，设，则，，在中利用勾股定理列出方程解答即可求解； （）①先证四边形是平行四边形，再由即可求证； （）分和两种情况，利用折叠的性质解答即可求解． 【详解】解：（）①∵， ∴， 由折叠可得，， ∴， 故答案为：； ②当点恰好在线段上时，如图所示， 由折叠可得，，，， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴的长； （）略 （）由折叠可知，，设，则， ①当时， 在中，， 解得， ∴； ②当时，过点作交于， 则， ， 由折叠可知，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴； 综上，线段的长为或． 【点睛】本题考查了矩形与折叠的知识，菱形的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，掌握折叠的性质是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黔东南州2024-2025学年度第二学期期末文化水平测试 八年级数学试卷 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1．本卷为数学试题卷，全卷共6页，三大题25小题，满分150分，考试时间为120分钟． 2．一律在《答题卡》相应位置作答，在试题卷上答题视为无效． 3．不能使用计算器． 一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D、四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每题3分，共36分． 1. 若二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，将一次函数的图像向下平移2个单位长度后得到直线（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，点，分别是，的中点，，则的长为（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 4. 下列各组数中，可以作为直角三角形的三边长的是（    ） A. 6，9，12 B. 6，8，10 C. 4，5，6 D. 2，4，3 5. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A，C．若四边形是平行四边形，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，数轴上表示实数的点可能是( ) A. 点P B. 点Q C. 点R D. 点S 7. 某校九年级（1）班要对某小组5名女生一分钟仰卧起坐的次数进行统计分析，发现数据36，42，56，5■，48中第四个数的个位数字被涂污看不清楚了，则下列统计量中与被涂污数字无关的是（ ） A. 平均数 B. 方差 C. 中位数 D. 众数 8. 若，则“”表示的运算符号是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与的图象交于点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 10. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ） A. 对边相等 B. 对角相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线相等 11. 如图，将两张宽度均为的纸条交叉重叠在一起，若，则的长为（ ） A. 4cm B. C. 2cm D. 12. 小明放学后从学校骑车回家，途经书店，在书店购物花费5分钟，他离家的路程（千米）与所经过的时间（分）关系如图．有下列结论： ①学校到书店速度为0.15千米／分钟；②的值为15； ③从书店到家的速度是学校到书店速度的2倍；④经18分钟后小明离家的路程为0.8千米． 其中，正确结论的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：每小题4分，共16分． 13. 若正比例函数的函数值y随x的增大而减小，则k的取值范围是________． 14. 如图，在平行四边形中，的角平分线交边于点，若，则的度数是___________． 15. 三国时期数学家赵爽为《周髀算经》作注解写《勾股圆方图注》时给出了“赵爽弦图”，如图①，连接四条线段得到如图②的新的图案．如果图①中的直角三角形的长直角边为5，短直角边为3，图②中阴影部分的面积为__________． 16. 如图，在边长为8的正方形中，点E，F分别是边，上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是__________． 三、解答题：本大题9小题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或者演推步骤． 17. 计算： （1） （2） 18. 某校举办“歌唱祖国”演唱比赛，十位评委对每位同学的演唱进行现场打分．对参加比赛的甲、乙、丙三位同学得分的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a．甲、乙两位同学得分的折线图： b．丙同学得分：10，10，10，9，9，8，3，9，8，10． c．甲、乙、丙三位同学得分的平均数： 同学 甲 乙 丙 平均数 根据以上信息，回答下列问题： （1）求表中的值； （2）甲同学得分的中位数为____________分；丙同学得分的众数为____________分； （3）在参加比赛的同学中，如果某同学得分的10个数据的方差越小，则认为评委对该同学演唱的评价越一致．据此推断：在甲、乙两位同学中，评委对____________的评价更一致（填“甲”或“乙”） 19. 如图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即）． （1）请求出的长度； （2）根据安全标准需满足，通过计算说明该车是否符合安全标准． 20. 一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高和脚长之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表： 脚长 … … 身高 … … （1）在图1中描出表中数据对应的点； （2）根据表中数据，从和中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）； （3）如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为，请根据（2）中求出的函数解析式，估计这个人的身高． 21. 先阅读，再解答．由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：．．请完成下列问题： （1）___________；___________． （2）利用这一规律计算： 22. 如图，在四边形中，，，，垂足分别为，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求四边形的周长． 23. 某校八年级数学兴趣小组开展了测量学校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．测量结果如下表． 项目背景 如图1，某校八年级数学兴趣小组自主开展测量学校旗杆高度的项目研究．他们制订了测量方案，并进行实地测量． 测量实物图： 项目方案 测量过程 步骤一：如图2，线段表示旗杆高度，垂直地面于点N．将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段．用皮尺测出的长度． 步骤二：如图3，小丽同学将绳子末端放置于头顶，向正东方向水平移动，直到绳子拉直为止，此时小丽同学直立于地面点B处．用皮尺测出点A与点B之间的距离． 步骤三：用皮尺测量出小丽直立位置距旗杆底端的水平距离． 测量示意图 各项数据 测量项目 数据 绳子垂到地面多出的部分 小丽直立位置距旗杆底端的水平距离 小丽身高 请根据表格所给信息，完成下列问题． （1）直接写出线段与之间的数量关系； （2）根据该数学兴趣小组的测量方案和数据，求学校旗杆的高． 24. 每年的4月23日是“世界读书日”，某校为了让学生学会读书，爱上读书，准备购进一批心理学书籍和科技类书籍放在学校和班级的图书馆及图书角里，其中购买3本心理学书籍和4本科技类书籍共需240元，购买6本心理学书籍和5本科技类书籍共需390元． （1）求心理学书籍和科技类书籍的单价各是多少元？ （2）若该校想要购进心理学书籍和科技类书籍共80本，要求心理学书籍不低于50本，设购买心理学书籍本，付款金额为元，请求出与的表达式，并求当为多少本时，有最小值，最小值是多少元？ 25. 【问题背景】在矩形纸片中，，，点P在边上，点Q在边上，将纸片沿折叠，使顶点B落在点E处． 【初步认识】 （1）如图1，折痕的端点P与点A重合． ①当时，则___________度； ②若点E恰好落在线段上，求的长； 【深入思考】 （2）如图2，点E恰好落在边上． 过点E作交于点F，连接．请在图2中画出线段，，并判断四边形的形状，且证明你的结论； 【拓展提升】 （3）如图3，若，连接．当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $