精品解析：江苏省扬州市仪征市2024-2025学年八年级下学期第二次月考数学试卷

初二数学练习 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 1. 下列调查中，最适宜采用普查的是（ ） A. 调查全国中学生每天做作业的时间 B. 了解一批圆珠笔笔芯的使用寿命 C. 调查某批次新能源汽车的电池使用寿命 D. 调查运载火箭的零部件的质量 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查选择合适的调查方法．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：调查全国中学生每天做作业的时间适合用抽样调查方法，故A选项不合题意； 了解一批圆珠笔笔芯的使用寿命，适合用抽样调查方法，故B选项不合题意； 调查某批次新能源汽车的电池使用寿命，适合用抽样调查方法，故C选项不合题意； 调查运载火箭的零部件的质量，适合用普查调查方法，即全面调查，故D选项合题意， 故选：D． 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、该图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； B、该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、该图不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 3. 在一个不透明的袋子中装有6个红球，3个白球，这些球除了颜色外都相同，从中随机抽出4个球，下列事件中，必然事件是（　　） A. 至少有一个球是白球 B. 至少有一个球是红球 C. 至少有两个球是红球 D. 至少有两个球是白球 【答案】B 【解析】 【分析】事件发生的可能性大小逐项判断即可． 【详解】解：A、至少有一个球是白球，是随机事件，故此选项不符合题意； B、至少有一个球是红球，是必然事件，故此选项符合题意； C、至少有两个球是红球，是随机事件，故此选项不符合题意； D、至少有两个球是白球，是随机事件，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件指在一定条件下，一定不发生的事件；随机事件指在一定条件下可能发生也可能不发生的事件． 4. 若关于的分式方程有增根，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查解分式方程，掌握分式方程有增根的含义是解题的关键． 根据解分式方程的方法，方程两边都乘，再根据分式方程有增根，解出，由此即可求解． 【详解】解：方程两边都乘，得， ∵原方程有增根， ∴最简公分母， 解得， 当时，， 故的值是， 故选：． 5. 已知点M，则下列各点一定与该点在同一反比例函数图象上的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了图象与点的关系，代入解析式，计算判断即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，， ∴， A、∵， ∴点在反比例函数图象上，故本选项符合题意； B、∵， ∴点不在反比例函数图象上，故本选项不符合题意； C、∵， ∴点不在反比例函数图象上，故本选项不符合题意； D、∵， ∴点不在反比例函数图象上，故本选项符合题意． 故选：A． 6. 一次函数和反比例函数的图象如图所示，若，则x的取值范围是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，与不等式的关系，解题的关键是正确运用数形结合的思想． 的解集即为直线在双曲线上方时对应交点的横坐标的取值范围，据此结合图象即可求解． 【详解】解：由函数图象可得，当时，则或， 故选：D． 7. 如图，中，，，D，E分别为的中点，平分，交于点F，则的长是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由勾股定理得：，由平分，可得，由D，E分别为的中点，可得，，，进而可得，，根据，计算求解即可． 【详解】解：由勾股定理得：， ∵平分， ∴， ∵D，E分别为的中点， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理，角平分线，中位线，等角对等边．熟练掌握勾股定理，角平分线，中位线，等角对等边是解题的关键． 8. 如图，在菱形中，分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点、，连接，若直线恰好经过点，与边交于点，连接．有以下四个结论：①，②如果，那么，③，④；其中正确结论的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质和菱形的性质．连接，如图，先利用基本作图可判断垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，，，再利用菱形的性质得到，，则可判断和都为等边三角形，从而可对①进行判断；利用勾股定理在中计算出，接着在中计算出，从而可对②进行判断；利用，可对③进行判断；最后根据三角形面积公式可对④进行判断． 【详解】解：连接，如图， 由作法得垂直平分， ，，， 四边形为菱形， ，， ， 和都为等边三角形， ，所以①正确； ， ，， 在中，， ，， ， ， ，所以②正确； ，， ，所以③错误； ，， 而， ，所以④正确． 故选：B． 二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 9. 如果分式的值为零，那么m的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分子为零，但分母不等于零解答即可． 【详解】解：， 则，解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可． 10. 函数 中自变量x的取值范围是_______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数． 根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得，且， 解得且． 故答案为：且． 11. 在一个平面上画一组间距为的平行线，将一根长度为的针任意投掷在这个平面上，针可能与某一直线相交，也可能与任意直线都不相交．根据记录在下表中的投针试验数据如下： 实验次数 相交频数 相交频率 请你根据表格数据，估计针与直线相交的概率为_______.(结果保留一位小数） 【答案】 【解析】 【分析】根据频率估计概率即可解答． 【详解】解：∵根据记录在下表中的投针试验数据稳定在附近， ∴估计针与直线相交的概率为； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了根据数据描述求频率，用频率估计概率，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 12. 利用图中的网格比较大小：_____（填“>”、“<”或“=”）． 【答案】＞ 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，三角形的三边关系等知识点．熟记相关知识点是解题关键． 利用勾股定理，借助三角形的三边关系即可求解． 【详解】解：设该网格最小单元的边长为１，如图所示： 在中， 在中， 在中，有 故 故答案为：＞． 13. 若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围为_______． 【答案】且． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解，先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求m的取值范围． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并合并同类项：， ∵分式方程的解为正数， ∴，且， ∴且， 故答案为：且． 14. 若实数满足，则的立方根为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，直接利用二次根式有意义的条件得出x的值，再得出y的值，进而利用立方根的定义得出答案． 【详解】解：∵根据二次根式有意义的条件，得： 解得，； ∴代入原式， ∴， ∴的立方根为． 故答案为：． 15. 已知点是反比例函数的图像与一次函数的图像的交点，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】把点分别代入反比例函数 与一次函数，求出与的值，将代数式根据完全平方公式变形再代入值进行计算即可． 【详解】点是反比例函数的图像与一次函数的图像的交点， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，对于本题我们可以先分别把点代入两个函数中，再对函数和所求的代数式进行适当变形，然后整体代入即可． 16. 如图，在矩形中，，对角线与相交于点O，，垂足为E，若，则的长是_________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知垂直平分，得到，再由矩形的性质推出，即可证明是等边三角形，则，，由此利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵， ， ∴垂直平分， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，勾股定理，证明是等边三角形是解题的关键． 17. 如图，在平面直角坐标系中，，，．若直线（是常数）将四边形分成面积相等的两部分，则的值为_________． 【答案】-1 【解析】 【分析】由条件可先求得矩形OABC的中心坐标，再由直线分矩形面积相等的两部分可知直线过矩形的中心，代入可求得k的值． 【详解】解：如图，连接OB、AC交于点D，过D作DE⊥x轴，过D作DF⊥y轴，垂足分别为E、F， ∵A（2，0），B（2，4），C（0，4）， ∴四边形OABC为矩形， ∴DE=OC=×4=2，DF=OA=×2=1， ∴D（1，2）， ∵直线y=kx-2k+1（k是常数）将四边形OABC分成面积相等的两部分， ∴直线过点D， ∴2=k-2k+1，解得k=-1， 故答案为：-1． 【点睛】本题主要考查矩形的判定和性质，掌握过矩形中心的直线平分矩形面积是解题的关键． 18. 如图，点A在反比例函数的图像上，以为一边作等腰，其中，则线段长的最小值是__________ 【答案】2 【解析】 【分析】设，利用勾股定理得到，进而得到；根据推出，由此即可得到答案． 【详解】解：设， ∴， ∵中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴线段长的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，勾股定理，完全平方公式的应用，正确利用勾股定理求出是解题的关键． 三、解答题（本大题共10个小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解分式方程． （1）先把除法转化为乘法，再按乘法法则即可； （2）两边都乘以化为整式方程求解，然后检验即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： ． 两边都乘以，得 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】根据分式的乘除法可以将题目中的式子化简，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解： = = 当时， 原式=． 【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 21. 某校举办了校服设计大赛，并从七年级学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，要求每名学生从个获奖作品中选择一个自己最喜欢的作品，根据调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．请你根据图中信息解答下列问题： （1）参加此次问卷调查的学生人数是__________； （2）在扇形统计图中，选择“作品”的学生所对应扇形的圆心角的度数是__________； （3）将条形统计图补充完整； （4）若该校七年级学生共有名，请估计七年级学生中选择“作品”的人数． 【答案】（1） （2） （3）见解析 （4） 【解析】 【分析】（1）用喜欢作品的人数除以所占百分比可得答案； （2）求出喜欢作品的百分比，再乘以即可； （3）用总人数分别减去喜欢其它个作品的人数求出喜欢作品的人数，补全统计图即可； （4）先求出喜欢作品的所占的百分比，再乘以总人数即可． 【小问1详解】 解：此次问卷调查的学生总人数：（人）． 【小问2详解】 解：“作品”的学生所对应扇形的圆心角的度数为：． 【小问3详解】 解：喜欢作品的人数为：（人）． 条形统计图如下： 【小问4详解】 解：（人）． 答：估计七年级学生中选择“作品”的人数为． 22. 如图所示，≌，点在上． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：， ，，， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的性质可得，，进一步可证明，，从而可得结论； （2）设，，根据全等三角形的性质得出，得出，结合图形进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知， ， ， ， 设，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解答此题的关键． 23. 小明用元买软面笔记本，小丽用元买硬面笔记本．已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵元． （1）设软面笔记本每本元，则小丽买硬面笔记本______本； （2）小明和小丽能买到相同数量的笔记本吗？ 【答案】（1） （2）不能 【解析】 【分析】（1）根据每本硬面笔记本比软面笔记本贵元，可表示出每本硬面笔记本的价格，用金额除以价格即可表示出数量； （2）假设所买的笔记本数量相同，列出分式方程算出数量，根据结果不为整数可以做出判断即可． 【小问1详解】 解：设软面笔记本每本元，则硬面笔记本每本元， 则小丽买硬面笔记本本， 故答案为：； 【小问2详解】 假设所买的笔记本数量相同可得， 解得：， 经检验，是原方程的根， ，不是整数，不符合实际意义，所以不能买到相同数量的笔记本． 【点睛】本题考查了列分式方程及分式方程的应用，找准等量关系列出方程是解答本题的关键，注意最后要验根． 24. 在四边形中， （1）若，如图1，点、分别是边、的中点，，，求的长； （2）若，如图2，点、分别是边、的中点，请仅用无刻度的直尺在图2中画一个以为边的菱形．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） 【答案】（1） （2） 解：如图：菱形即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、菱形的定义、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． （1）如图：过E作于H，由中点的定义可得，；再说明，设，由勾股定理可得，解得：，即；进而得到，最后运用勾股定理即可解答； （2）如图：连接相交于O，连接并延长交于G，连接并延长交于H，顺次连接点E、F、G、H即可解答． 【小问1详解】 解：如图：过E作于H， ∵点E、F分别是边、的中点， ∴，， 在中，． ∴， ∴， 设， ∴，解得：，即 ∴， ∴． 【小问2详解】 略 25. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点． （1）求k与m的值； （2）为x轴上的一动点，当△APB的面积为时，求a的值． 【答案】（1）k的值为，的值为6 （2）或 【解析】 【分析】（1）把代入，先求解k的值，再求解A的坐标，再代入反比例函数的解析式可得答案； （2）先求解．由为x轴上的一动点，可得．由，建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：把代入， 得． ∴． 把代入， 得． ∴． 把代入， 得． ∴k的值为，的值为6． 【小问2详解】 当时，． ∴． ∵为x轴上的一动点， ∴． ∴， ． ∵， ∴． ∴或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解反比例函数与一次函数的解析式，坐标与图形面积，利用数形结合的思想，建立方程都是解本题的关键． 26. 定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式“友好分式”． 如与，因为，， 所以是的“友好分式”． （1）分式______分式的“友好分式”（填“是”或“不是”）； （2）小明在求分式的“友好分式”时，用了以下方法： 设的“友好分式”为，则， ∴， ∴． 请你仿照小明的方法求分式的“友好分式”． （3）①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“友好分式”：______． ②若是的“友好分式”，则的值为______． 【答案】（1）是 （2） （3）①；② 【解析】 【分析】（1）根据友好分式的定义进行判断； （2）仿照题目中给到的方法进行求解； （3）①根据（1）（2）找规律求解； ②由①推出的结论，类比形式求解即可. 【小问1详解】 解：∵, ∴与是“友好分式” 故答案为：是 【小问2详解】 解：设的“关联分式”为，则， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：①设的“关联分式”为，则， ∴， ∴． 规律是：将原分式的分母加上分子,分子保持不变,则所新得的分式是原分式的“友好分式”. 故答案为：； ②将原分式的分母加上分子,分子保持不变,则所新得的分式是原分式的“友好分式”. 据此可得， 整理得 ∴． 故答案为： 【点睛】本题是创新探究类题目，读懂题目中的新定义并熟练地掌握分式的混合运算是解决本题的关键. 27. 【提出问题】某数学活动小组在学习完反比例函数后，类比学到的方法尝试研究函数时，提出了如下问题： （1）初步思考：自变量的取值范围是_______________ （2）探索发现：当时，；当时，．由此我们可猜想，该函数图像在第_________象限； （3）深入思考：当时，，于是，当时，即时，的最小值是2． 请仿照上述过程，求当时，的最大值； 【实际应用】（4）如图，四边形的对角线相交于点O，的面积分别为4和9，求四边形面积的最小值． 【答案】（1）；（2）一、三；（3）；（4）25 【解析】 【分析】（1）根据分母不为0即可求解； （2）根据当时，；当时，即可判断； （3）模仿题干所给的求解过程，利用配方法即可求解； （4）设，已知，，则由等高三角形可知：，用含的式子表示出，四边形的面积用含的代数式表示出来，再按照题中所给公式求得最小值，加上常数即可． 【详解】解：（1）函数的自变量x的取值范围为：， 故答案为：； （2）∵当时，；当时，． ∴该函数的函数图象在第一、三象限， 故答案为：一、三； （3）当时，， ∵， ∴当时，即时，的最大值是． 当时，的最大值为． 故答案为：； （4）设，已知， 由等高三角形可知：， 四边形面积， ∵ 当且仅当，即时取等号，即四边形面积的最小值为25． 【点睛】本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了函数的相关知识和等高三角形的性质，熟练掌握配方法是解题的关键． 28. （1）问题背景：如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，BE＝DF，M为AF的中点，求证：①∠BAE＝∠DAF；②AE＝2DM． （2）变式关联：如图2，点E在正方形ABCD内，点F在直线BC的上方，BE＝DF，BE⊥DF，M为AF的中点，求证：①CE⊥CF；②AE＝2DM． （3）拓展应用：如图3，正方形ABCD的边长为2，E在线段BC上，F在线段BD上，BE＝DF，直接写出的最小值． 【答案】 （1）①证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠ABE=∠ADF=90°， ∵BE=DF， ∴△ABE≌△ADF(SAS)， ∴∠BAE=∠DAF； ②证明：∵△ABE≌△ADF， ∴AE=AF， ∵M为AF的中点， ∴DM=AF， ∴AE=AF=2DM； （2）①证明：延长BE交DF于G，BG交CD于H， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BCD=90°，CD=CB， ∵BE⊥DF， ∴∠BGD=∠BCD=90°， ∵∠BHD=∠CBE+∠BCD，∠BHD=∠BGD+∠CDF， ∴∠CBE+∠BCD=∠BGD+∠CDF， ∴∠CBE=∠CDF， 又∵BE=DF， ∴△CBE≌△CDF(SAS)， ∴∠BCE=∠DCF， ∵∠BCD=90°， ∴∠ECF=∠ECD+∠DCF=∠ECD+∠BCE=90°， ∴CE⊥CF； ②延长DM到N，使DM=MN，连接AN， ∵M为AF的中点， ∴AM=MF， ∵MD=MN，∠AMN=∠FMD， ∴△AMN≌△FMD(SAS)， ∴AN=DF， ∵△CBE≌△CDF， ∴BE=DF=AN，∠NAM=∠DFM， ∴ANDF， ∴∠DAN+∠ADF=180°， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BAD=90°，AB=DA， ∵∠BGD=90°， ∴∠ABE+∠ADF=180°， ∴∠ABE=∠DAN， ∴△ABE≌△DAN(SAS)， ∴AE=DN=2DM； （3） 【解析】 【分析】（1）问题情景：①证明△ABE≌△ADF(SAS)，由全等三角形的性质得出∠BAE=∠DAF；②由全等三角形的性质得出AE=AF，由直角三角形的性质可得出结论； （2）变式关联：①延长BE交DF于G，BG交CD于H，证明△CBE≌△CDF（SAS），由全等三角形的性质得出∠BCE=∠DCF，则可得出结论； ②延长DM到N，使DM=MN，连接AN，证明△AMN≌△FMD(SAS)，由全等三角形的性质得出AN=DF，证明△ABE≌△DAN(SAS)，由全等三角形的性质得出AE=DN=2DM； （3）拓展应用：过点D作DP⊥DF，且使PD=AB，连接PF，PA，过点P作PQ⊥AD，交AD的延长线于点Q，证明△ABE≌△PDF(SAS)，由全等三角形的性质得出AE=PF，AF+AE=AF+PF≥AP，即当A，F，P三点共线时，AE+AF的最小值为AP，求出则可得出答案． 【详解】解：（1）问题情景：略． （2）变式关联：略． （3）拓展应用： 过点D作DP⊥DF，且使PD=AB，连接PF，PA，过点P作PQ⊥AD，交AD的延长线于点Q， ∴△ABE≌△PDF(SAS)， ∴AE=PF， ∵∠ADB=45°， ∴∠PDQ=45°，DQ=PQ， ∴AF+AE=AF+PF≥AP， 即当A，F，P三点共线时，AE+AF的最小值为AP， ∵AD=AB=DP=2， ∴PQ=DQ=， ∴， ∴的最小值为8+4． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二数学练习 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 1. 下列调查中，最适宜采用普查的是（ ） A. 调查全国中学生每天做作业的时间 B. 了解一批圆珠笔笔芯的使用寿命 C. 调查某批次新能源汽车的电池使用寿命 D. 调查运载火箭的零部件的质量 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 在一个不透明的袋子中装有6个红球，3个白球，这些球除了颜色外都相同，从中随机抽出4个球，下列事件中，必然事件是（　　） A. 至少有一个球是白球 B. 至少有一个球是红球 C. 至少有两个球是红球 D. 至少有两个球是白球 4. 若关于的分式方程有增根，则的值是（ ） A. B. C. D. 5. 已知点M，则下列各点一定与该点在同一反比例函数图象上的是（　　） A. B. C. D. 6. 一次函数和反比例函数的图象如图所示，若，则x的取值范围是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 或 7. 如图，中，，，D，E分别为的中点，平分，交于点F，则的长是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 8. 如图，在菱形中，分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点、，连接，若直线恰好经过点，与边交于点，连接．有以下四个结论：①，②如果，那么，③，④；其中正确结论的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 9. 如果分式的值为零，那么m的值是________． 10. 函数 中自变量x的取值范围是_______． 11. 在一个平面上画一组间距为的平行线，将一根长度为的针任意投掷在这个平面上，针可能与某一直线相交，也可能与任意直线都不相交．根据记录在下表中的投针试验数据如下： 实验次数 相交频数 相交频率 请你根据表格数据，估计针与直线相交的概率为_______.(结果保留一位小数） 12. 利用图中的网格比较大小：_____（填“>”、“<”或“=”）． 13. 若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围为_______． 14. 若实数满足，则的立方根为________． 15. 已知点是反比例函数的图像与一次函数的图像的交点，则_______． 16. 如图，在矩形中，，对角线与相交于点O，，垂足为E，若，则的长是_________． 17. 如图，在平面直角坐标系中，，，．若直线（是常数）将四边形分成面积相等的两部分，则的值为_________． 18. 如图，点A在反比例函数的图像上，以为一边作等腰，其中，则线段长的最小值是__________ 三、解答题（本大题共10个小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 某校举办了校服设计大赛，并从七年级学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，要求每名学生从个获奖作品中选择一个自己最喜欢的作品，根据调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．请你根据图中信息解答下列问题： （1）参加此次问卷调查的学生人数是__________； （2）在扇形统计图中，选择“作品”的学生所对应扇形的圆心角的度数是__________； （3）将条形统计图补充完整； （4）若该校七年级学生共有名，请估计七年级学生中选择“作品”的人数． 22. 如图所示，≌，点在上． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求的度数． 23. 小明用元买软面笔记本，小丽用元买硬面笔记本．已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵元． （1）设软面笔记本每本元，则小丽买硬面笔记本______本； （2）小明和小丽能买到相同数量的笔记本吗？ 24. 在四边形中， （1）若，如图1，点、分别是边、的中点，，，求的长； （2）若，如图2，点、分别是边、的中点，请仅用无刻度的直尺在图2中画一个以为边的菱形．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） 25. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点． （1）求k与m的值； （2）为x轴上的一动点，当△APB的面积为时，求a的值． 26. 定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式“友好分式”． 如与，因为，， 所以是的“友好分式”． （1）分式______分式的“友好分式”（填“是”或“不是”）； （2）小明在求分式的“友好分式”时，用了以下方法： 设的“友好分式”为，则， ∴， ∴． 请你仿照小明的方法求分式的“友好分式”． （3）①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“友好分式”：______． ②若是的“友好分式”，则的值为______． 27. 【提出问题】某数学活动小组在学习完反比例函数后，类比学到的方法尝试研究函数时，提出了如下问题： （1）初步思考：自变量的取值范围是_______________ （2）探索发现：当时，；当时，．由此我们可猜想，该函数图像在第_________象限； （3）深入思考：当时，，于是，当时，即时，的最小值是2． 请仿照上述过程，求当时，的最大值； 【实际应用】（4）如图，四边形的对角线相交于点O，的面积分别为4和9，求四边形面积的最小值． 28. （1）问题背景：如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，BE＝DF，M为AF的中点，求证：①∠BAE＝∠DAF；②AE＝2DM． （2）变式关联：如图2，点E在正方形ABCD内，点F在直线BC的上方，BE＝DF，BE⊥DF，M为AF的中点，求证：①CE⊥CF；②AE＝2DM． （3）拓展应用：如图3，正方形ABCD的边长为2，E在线段BC上，F在线段BD上，BE＝DF，直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $