精品解析：山东省聊城市东昌中学2024-2025学年七年级下学期数学期末试题

2024—2025学年第二学期期末考试七年级数学试题 （时间：120分钟，分值：120分） 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 方程2x﹣3y=4，，，2x+3y﹣z=5，x2﹣y=1中，是二元一次方程的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程． 【详解】解：2x﹣3y=4是二元一次方程； 2x+=4是分式方程； ﹣3y=4是二元一次方程； 2x+3y﹣z=5是三元一次方程； x2﹣y=1是二元二次方程． 故选B． 2. 下列调查中，最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 对洛阳市区空气质量的调查 B. 对某批次汽车的抗撞击能力的调查 C. 对“神舟十八号”飞船零部件质量的调查 D. 对全市市民观看电影《哪吒之魔童闹海》情况的调查 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是抽样调查和全面调查，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断． 【详解】解：A、对洛阳市区空气质量的调查，适宜采用抽样调查方式，本选项不符合题意； B、对某批次汽车的抗撞击能力的调查，适宜采用抽样调查方式，本选项不符合题意； C、对“神舟十八号”飞船零部件质量的调查，需采用全面调查方式，本选项符合题意； D、对全市市民观看电影《哪吒之魔童闹海》情况的调查，适宜采用抽样调查方式，本选项不符合题意． 故选：C． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的运算、积的乘方与幂的乘方运算以及合并同类项，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键．根据同底数幂的运算法则、积的乘方与幂的乘方运算法则以及合并同类项法则计算各项即可判断出结果． 【详解】解：A、，计算正确，故选项A符合题意； B、 ，原选项计算错误，故选项B不符合题意； C、 与不是同类项，不能合并，原选项计算错误，故选项C不符合题意； D、 ，项D错误，不符合题意； 故选：A 4. 解二元一次方程组用代入消元法消去x，得到的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了用代入消元法消去系数为1的未知数项，从而达到消元的目的，掌握此知识点是解答本题的关键． 将①变形代入②即可消去x，得到方程． 【详解】解：， ①变形为, 将其代入②可得：， 即． 故选：D． 5. 下列说法正确的是（　　） A. 相等的角是对顶角 B. 直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到这条直线的距离 C. 平行于同一条直线的两直线平行 D. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了对顶角、点到直线的距离、平行线公理、平行线的性质等知识，理解并掌握相关定义和定理是解题关键． 根据对顶角、点到直线的距离、平行线公理、平行线的性质，逐项分析判断即可． 【详解】解：A、相等的两个角不一定是对顶角，故该说法错误，不符合题意； B、直线外一点到这条直线的垂线段长度叫做点到这条直线的距离，故该说法错误，不符合题意； C、平行于同一条直线的两直线平行，故该说法正确，符合题意； D、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故该说法错误，不符合题意； 故选：C． 6. 下列各式中，可以用完全平方公式因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查用完全平方公式进行因式分解，熟练运用完全平方公式．是解题关键 利用完全平方公式逐项判断即可解答． 【详解】解：A、，不能用完全平方公式进行因式分解； B、，不能用完全平方公式进行因式分解； C、，不能用完全平方公式进行因式分解； D、，能用完全平方公式进行因式分解； 故选：D． 7. 如图，直线l与正五边形的边分别交于点M、N，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和、对顶角相等，熟练掌握多边形的内角和公式是解题的关键； 先根据多边形的内角和计算出，再根据四边形的内角和是360度求出，结合对顶角相等即可得到答案. 【详解】解：∵正五边形， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选：C. 8. 如图，，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的性质，解题的关键是由，根据平行线的性质可得，，即可求解． 【详解】解：，，， ，； ， ． 故选：C． 9. 已知的解为，则等于（ ） A. 4 B. 16 C. 8 D. 32 【答案】B 【解析】 【详解】解：将x=3，y=-1代入得： ， 解得：m=2，n=1， 则（2mn）m=（2×2×1）²=16． 故选B . 10. 某饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口． 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为“开水的体积×开水降低的温度=温水的体积×温水升高的温度”． 李老师拿空水杯先接了的温水，又接了的开水，刚好接满；小明拿空水杯先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯、温度为的水（不计热损失）．下列三个结论： ①李老师的水杯容量为； ②李老师接满水后，水杯中水温为（不计热损失）； ③小明同学的接水时间为． 其中正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次方程的应用．①根据水量等于水速乘时间列式计算，即可作答．②结合“开水的体积开水降低的温度温水的体积温水升高的温度．”即可列式，结合题意列式，解方程，即可作答．③设小明接温水的时间为，接开水的时间为，列出二元一次方程组，再解方程，即可作答． 【详解】解：①依题意： ， ∴李老师的水杯容量为． ②接入水杯的温水吸收的热量为：； 由题意：， 解得，即水温约； ③设小明接温水的时间为，接开水的时间为， 则， 解得， ， ∴小明同学的接水时间为． 综上，①③正确， 故选：B． 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 清代诗人袁枚创作了一首诗（苔）：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”歌颂了苔在恶劣环境下仍有自己的生命意向．若苔花的花粉粒直径约为0.0000083米，用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查用科学记数法表示绝对值小于 1 的数，绝对值小于 1 的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，其中由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定，据此即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 若，，则______． 【答案】63 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法和幂的乘方，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键； 先把所求式子变形为，再代值计算即可. 【详解】解：∵，， ∴； 故答案为：63. 13. 一个多边形内角和比它的外角和的3倍少，则这个多边形的边数是_____． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和定理，任意多边形的外角和都是，与边数无关．设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和公式与外角和定理列出方程，求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 根据题意，得， 解得． 故答案为：7． 14. 已知方程组，则代数式的值为______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，由得，由．然后代入计算即可． 【详解】解： ，得 ，得 ∴ 故答案为：7 15. 如图，在中，，点是、角平分线的交点，点是、角平分线的交点，若，则的度数是________． 【答案】56° 【解析】 【分析】设∠BCP=∠PCO=x，∠BOP=∠COP=y，由∠P=100°，推出x+y=80°，推出2x+2y=160°，推出∠OBC=180°-160°=20°，可得∠ABC=40°，由此即可解决问题． 【详解】解：设∠BCP=∠PCO=x，∠BOP=∠COP=y， ∵∠P=100°， ∴x+y=80°， ∴2x+2y=160°， ∴∠OBC=180°-160°=20°， ∵BO平分∠ABC， ∴∠ABC=40°， ∵∠A=84°， ∴∠ACB=180°-40°-84°=56°． 故答案为：56°． 【点睛】本题考查三角形的外角的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键思想学会利用参数解决问题，属于中考常考题型． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 解方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）用加减消元法求解即可； （2）用加减消元法求解即可． 【小问1详解】 ，得 ∴ 把代入①，得 ∴ ∴ 【小问2详解】 把②代入①，得 整理，得 ，得 ∴ 把代入②，得 ∴ 17. 分解因式： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． （1）先提取公因式，再用完全平方公式分解； （2）先用平方差公式分解，再用完全平方公式分解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，6 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，先根据完全平法公式，单项式与多项式的乘法法则计算，再合并同类项，然后把代入计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 19. 如图，点在上，于点与相交于点，且． （1）求证：． （2）若平分，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质； （1）根据对顶角相等可得，从而可得，然后利用平行线的判定可得，从而可得，再根据垂直定义可得，从而可得，即可解答； （2）利用角平分线的定义可得，然后利用（1）的结论可得：，从而利用平行线的性质可得，即可解答． 【小问1详解】 证明：，， ， ， ， 又， ， ， ； 【小问2详解】 解：平分，且， ， 由（1）得：， ． 20. 电动汽车在环保、节能等方面都有很大优势，目前已经成为消费者购车首选，某汽车制造商2023年计划生产安装240辆电动汽车，如果1名熟练工和2名新工人每月安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车， （1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？ （2）为了测试该汽车续航里程，在充满电后按正常速度匀速行驶，恰好可行驶10小时；如果将速度提升20千米/小时，行驶6小时后，还可以继续行驶40千米，求该汽车在充满电时的续航里程？ （续航里程：是指该电动汽车在动力蓄电池充满时可以行驶的路程．） 【答案】（1）每名熟练工每月安装4辆电动汽车，每名新工人每月安装2辆电动汽车 （2）该汽车的续航里程为400千米 【解析】 【分析】（1）设每名熟练工每月安装辆电动汽车，每名新工人每月安装辆电动汽车，根据“1名熟练工和2名新工人每月安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车”，再列方程组解题即可； （2）设该汽车的续航里程为千米．根据“充满电后按正常速度匀速行驶，恰好可行驶10小时；如果将速度提升20千米/小时，行驶6小时后，还可以继续行驶40千米”可得方程，再解方程即可． 【小问1详解】 设每名熟练工每月安装辆电动汽车，每名新工人每月安装辆电动汽车 根据题意，可得， 解得： ， 答：每名熟练工每月安装4辆电动汽车，每名新工人每月安装2辆电动汽车． 【小问2详解】 设该汽车的续航里程为千米． 根据题意，可得， 解得： ， 答：该汽车的续航里程为400千米． 【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，确定相等关系是解本题的关键． 21. 为了让学生更好地看到中国科技如何惊艳破圈，某校筹备“科技赋能，为祖国点赞”主题日活动． 【收集数据】为了解学生的兴趣和爱好，随机抽取的部分学生中下发调查问卷． “科技赋能，为祖国点赞”主题日学生领域意向调查问卷 请选择您感兴趣的领域，并在其后“□”内打“√”（每名同学必选且只能选择其中一项）． A．卫星太空加油□ B．华为鸿蒙系统□ C．DeepSeek的接入□ D．《哪吒2》层级渲染□ E．宇宙机器人□ 【整理数据】所有问卷全部收回且有效，根据调查数据绘制成两幅不完整的统计图． “科技赋能，为祖国点赞”主题日学生领域意向调查结果统计图 【分析数据】请根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查所抽取的学生________人，并补全条形统计图： （2）扇形统计图中领域“E”对应扇形的圆心角的度数为__________． 【做出决策】请合理安排讲座，补全活动日程表： （3）学校有600名学生参加本次活动，其中选择聆听B、D讲座的学生各有多少？ （4）在（3）的条件下，确保听取讲座的每名学生都有座位，则B报告应选______号汇报厅，D报告应选______号汇报厅． “科技赋能，为祖国点赞”主题日活动日程表 地点（座位数）时间 1号汇报厅（200座） 2号多功能厅（100座） E ______ C ______ ______ 设备检修暂停使用 【答案】（1）40人，图见解析；（2）；（3）90人和180人；（4）2，1． 【解析】 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用． （1）用选择A的学生人数除以所占的比例求出调查的总人数，进而求出选择D的学生人数补全条形图即可； （2）用360度乘以选择E的学生人数所占的比例进行求解即可； （3）利用样本估计总体的思想，进行求解即可； （4）根据人数进行合理安排即可． 【详解】（1）解：本次调查所抽取的学生人数为：（人）； 选择D的学生人数为：，补全条形图如图： 故答案为：40； （2）解：领域“E”对应扇形的圆心角的度数为：， 故答案为：； （3）解：选择聆听B报告学生有：（人）； 选择聆听D报告学生有：（人）； （4）解：由（3）知：聆听B报告学生有90人，聆听D报告学生180人， ∵1号多功能厅200座，2号多功能厅100座， ∴B报告应选2号汇报厅，D报告应选1号汇报厅． 故答案为：2，1． 22. 从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作能验证等式是 ； （请选择正确的一个） A. B. C. D. （2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知 ，，求的值． ②计算： 【答案】（1）C （2）①3；② 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式的几何表示，表示出图形阴影部分面积是解题的关键． （1）根据两个图形中阴影部分的面积相等，即可列出等式； （2）①把利用（1）的结论写成两个式子相乘的形式，然后把代入即可求解； ②利用（1）的结论化成式子相乘的形式即可求解． 【小问1详解】 解：第一个图形中阴影部分的面积是，第二个图形的面积是， 则． 故选：C； 【小问2详解】 解：①∵，， ∴ 得：； ② ． 23. 如图①所示，在中，若，则称，分别为的“三分线”．其中，是“邻三分线”，是“邻三分线”． （1）如图②，在中，，，若的邻三分线交于点，则________； （2）如图③，在中，是的邻三分线，是的邻三分线，若，求的度数； （3）在中，是的外角，的三分线与的邻三分线交于点．若，，直接写出的度数．(用含、的代数式表示) 【答案】（1） （2） （3）当是“邻三分线”时，；当是“邻三分线”时， 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角性质和三角形内角和定理； （1）根据的邻三分线交于点，得出，进而根据三角形的外角的性质，即可求解； （2）根据三角形内角和定理求得，进而根据新定义，以及三角形内角和定理可得； （3）根据题意画出符合的所有情况，①当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，②当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，根据三角形内角和定理，即可求解． 【小问1详解】 解：∵在中，，， ∵的邻三分线交于点， ∴ ∴ 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵在中，是的邻三分线，是的邻三分线 ∴ ∵ ∴ ∴ 【小问3详解】 分为两种种情况： 情况一：如图1， 当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时， 由外角可得：， ； 情况二：如图2， 当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时， 由外角可知：， ； 综上所述，当是“邻三分线”时，；当是“邻三分线”时， 24. 【发现问题】如图①，小明同学在做光的折射实验时发现：平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴上一点P． 【提出问题】小明提出：和三个角之间存在着怎样的数量关系？ 【分析问题】已知平行，可以利用平行线性质，把分成两部分进行研究． 【解决问题】 （1）探究一：请你帮小明解决这个问题，并说明理由． （2）探究二：如图②，的数量关系为 ； 如图③，已知，则 ° （3）利用探究一得到的结论解决下列问题：如图④，射线分别平分和交直线于点E，与内部的一条射线交于点F，若，求的度数． 【答案】（1），理由见解析 （2），145； （3） 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质、三角形的外角性质，关键是由平行线的性质推出，由此结论来解决问题． 探究一：由平行线的性质推出，得到即可解决问题； 探究二：如图②，由平行线的性质推出，由三角形外角的性质即可得到； 如图③，由平行线的性质推出，求出，由三角形外角的性质得到； 如图④，由探究一结论得到而，推出又，得到． 【小问1详解】 解： ，理由如下： 如图①，       ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 如图②， ，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴． 如图③，延长交于L， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【小问3详解】 ∵射线分别平分和， ∴， 如图④， 由探究一的结论得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年第二学期期末考试七年级数学试题 （时间：120分钟，分值：120分） 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 方程2x﹣3y=4，，，2x+3y﹣z=5，x2﹣y=1中，是二元一次方程的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下列调查中，最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 对洛阳市区空气质量的调查 B. 对某批次汽车的抗撞击能力的调查 C. 对“神舟十八号”飞船零部件质量的调查 D. 对全市市民观看电影《哪吒之魔童闹海》情况的调查 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 解二元一次方程组用代入消元法消去x，得到方程是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（　　） A. 相等的角是对顶角 B. 直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到这条直线的距离 C. 平行于同一条直线的两直线平行 D. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 6. 下列各式中，可以用完全平方公式因式分解的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，直线l与正五边形的边分别交于点M、N，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 已知的解为，则等于（ ） A. 4 B. 16 C. 8 D. 32 10. 某饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口． 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为“开水的体积×开水降低的温度=温水的体积×温水升高的温度”． 李老师拿空水杯先接了的温水，又接了的开水，刚好接满；小明拿空水杯先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯、温度为的水（不计热损失）．下列三个结论： ①李老师的水杯容量为； ②李老师接满水后，水杯中水温为（不计热损失）； ③小明同学的接水时间为． 其中正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 清代诗人袁枚创作了一首诗（苔）：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”歌颂了苔在恶劣环境下仍有自己的生命意向．若苔花的花粉粒直径约为0.0000083米，用科学记数法表示为______． 12. 若，，则______． 13. 一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少，则这个多边形的边数是_____． 14. 已知方程组，则代数式的值为______． 15. 如图，在中，，点是、角平分线的交点，点是、角平分线的交点，若，则的度数是________． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 解方程组： （1） （2） 17. 分解因式： （1） （2） 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，点在上，于点与相交于点，且． （1）求证：． （2）若平分，求的度数． 20. 电动汽车在环保、节能等方面都有很大优势，目前已经成消费者购车首选，某汽车制造商2023年计划生产安装240辆电动汽车，如果1名熟练工和2名新工人每月安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车， （1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？ （2）为了测试该汽车续航里程，在充满电后按正常速度匀速行驶，恰好可行驶10小时；如果将速度提升20千米/小时，行驶6小时后，还可以继续行驶40千米，求该汽车在充满电时的续航里程？ （续航里程：是指该电动汽车在动力蓄电池充满时可以行驶的路程．） 21. 为了让学生更好地看到中国科技如何惊艳破圈，某校筹备“科技赋能，为祖国点赞”主题日活动． 【收集数据】为了解学生的兴趣和爱好，随机抽取的部分学生中下发调查问卷． “科技赋能，为祖国点赞”主题日学生领域意向调查问卷 请选择您感兴趣的领域，并在其后“□”内打“√”（每名同学必选且只能选择其中一项）． A．卫星太空加油□ B．华为鸿蒙系统□ C．DeepSeek接入□ D．《哪吒2》层级渲染□ E．宇宙机器人□ 【整理数据】所有问卷全部收回且有效，根据调查数据绘制成两幅不完整的统计图． “科技赋能，为祖国点赞”主题日学生领域意向调查结果统计图 【分析数据】请根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查所抽取的学生________人，并补全条形统计图： （2）扇形统计图中领域“E”对应扇形的圆心角的度数为__________． 做出决策】请合理安排讲座，补全活动日程表： （3）学校有600名学生参加本次活动，其中选择聆听B、D讲座的学生各有多少？ （4）在（3）的条件下，确保听取讲座的每名学生都有座位，则B报告应选______号汇报厅，D报告应选______号汇报厅． “科技赋能，为祖国点赞”主题日活动日程表 地点（座位数）时间 1号汇报厅（200座） 2号多功能厅（100座） E ______ C ______ ______ 设备检修暂停使用 22. 从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作能验证的等式是 ； （请选择正确的一个） A. B. C. D. （2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知 ，，求的值． ②计算： 23. 如图①所示，在中，若，则称，分别为“三分线”．其中，是“邻三分线”，是“邻三分线”． （1）如图②，在中，，，若的邻三分线交于点，则________； （2）如图③，在中，是的邻三分线，是的邻三分线，若，求的度数； （3）在中，是的外角，的三分线与的邻三分线交于点．若，，直接写出的度数．(用含、的代数式表示) 24. 【发现问题】如图①，小明同学在做光的折射实验时发现：平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴上一点P． 【提出问题】小明提出：和三个角之间存在着怎样的数量关系？ 【分析问题】已知平行，可以利用平行线的性质，把分成两部分进行研究． 【解决问题】 （1）探究一：请你帮小明解决这个问题，并说明理由． （2）探究二：如图②，的数量关系为 ； 如图③，已知，则 ° （3）利用探究一得到的结论解决下列问题：如图④，射线分别平分和交直线于点E，与内部的一条射线交于点F，若，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$