精品解析：河南省商丘市2024-2025学年高二下学期7月期末联考数学试题

河南省商丘市2024-2025学年高二下学期7月期末联考数学试题 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4.本卷命题范围：集合与常用逻辑用语、不等式、函数（不含指数与对数函数）与导数、数列、计数原理、概率与统计． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. 31 B. 17 C. 15 D. 7 3. 某初级中学对本校八年级的500名男生进行1000米跑步体能测试，据统计，500名男生跑完1000米所用的时间（分钟）服从正态分布，若，则这500名男生跑完1000米所用的时间不少于6分钟的人数大约为（ ） A. 1 B. 5 C. 9 D. 50 4. 下列函数中，在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 5. 权是中国古代度量衡器具之一，“权”（秤锤）与“衡”（秤杆）配合使用，用于测量物体的重量．古代楚国的权通常是环形秤锤，这些权通常由铜或铁制成，并且常常由十个组成一套（如图所示）．已知十枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为10的数列，该数列的前3项成等差数列，后8项成等比数列，且，则（ ） A. 25 B. 24 C. 16 D. 8 6. 函数的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列的前项和为，则“，”是“数列为等差数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知函数的定义域为，，，将的图象绕原点旋转后所得图象与原图象重合，若，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. B. 若a，b都是非零实数，且，则 C. 若，则的最小值为5 D. 若x，y满足，则的最大值为2 10. 若，则（ ） A. B. C. D. 11. 苏格兰数学家约翰·纳皮尔（John Napier）发现并证明了当且时．根据约翰•纳皮尔的这个发现以及我们所学的数学知识，关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 有且只有一个极值点 B. 的最小值为 C. 的单调递减区间是 D. 存在两个不相等的正实数a，b，使 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 身高不相等的5人站成一排照相，要求最高的人排在中间，按身高向两侧递减，则共有______种不同的排法. 13. 若，则在“函数的定义域为”的条件下，“函数为奇函数”的概率为______. 14. 已知x，y，z均为正整数，且，则满足方程的解有______组. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合. （1）用区间表示集合； （2）若，求a，b的取值范围. 16. 某兴趣小组研究发现昼夜温差变化的大小与患感冒人数之间具有较强的线性相关关系，该兴趣小组在惠民医院抄录了2025年2～5月份每月5日的昼夜温差情况以及附近的居民因患感冒到惠民医院就诊的人数，得到如下数据： 日期 2月5日 3月5日 4月5日 5月5日 昼夜温差 11 13 12 8 因患感冒就诊人数（人） 25 29 26 16 （1）求因患感冒到惠民医院就诊的人数关于昼夜温差的线性回归方程； （2）如果8月5日昼夜温差是时，试预测因患感冒到惠民医院就诊的人数（精确到整数）． 附：线性回归直线中，； 17. 已知数列的首项是 （1）证明：的奇数项成等差数列； （2）求的前项和. 18. 六一儿童节，某商场为了刺激消费提升营业额，推出了消费者凭当天在该商场的消费单据参加抽奖的活动，奖品是4款不同造型的玩具摩托车与4款不同造型的玩具跑车（每款车的数量都充足），主办方将大小相同的8个乒乓球上分别标注1，2，3，4，5，6，7，8，其中标注数字1，2，3，4的乒乓球分别代表4款不同造型的摩托车，5，6，7，8的乒乓球分别代表4款不同造型的跑车，并将这8个乒乓球放在一个不透明箱子内．活动规定：儿童节当天在该商场消费满100元的消费者可从摸奖箱内摸出1个乒乓球，然后再放回箱内；消费满200元可先从摸奖箱内摸出1个乒乓球，放回后再从中摸出1个乒乓球，然后再放回箱内；消费满300元可先从摸奖箱内摸出1个乒乓球，放回后再从中摸出1个乒乓球，放回后再从中摸出1个乒乓球，然后再放回箱内；，依此类推，消费者根据自己摸出的乒乓球标注的数字即可获得相应的奖品． （1）若小明的家长当天在该商场消费恰好满400元，求这位家长能获得2款相同造型摩托车与2款不同造型跑车的概率； （2）若本次活动小明家获得的奖品是2台不同造型的摩托车和2台不同造型的跑车，小英家也获得2台不同造型的摩托车和2台不同造型的跑车． ①从他们两家获得的这8台车中随机抽取5台，如果抽出的5台车中有台摩托车，求的分布列和数学期望； ②若小明和小英将他们家本次活动获得的奖品每次各取一件进行交换，第一次交换的奖品也可以参加第二次交换，求两次交换后小明家仍有2台摩托车和2台跑车的概率． 19. “洛必达法则”是研究微积分时经常用到的一个重要定理，洛必达法则之一的内容是：若函数，的导数都存在，且，如果是常数）时，或或，且（是常数），则时，． 已知函数． （1）证明：时曲线在点处的切线与曲线也相切； （2）若函数有两个零点，函数有两个零点． ①指出的大致范围（不必说明理由），并求出的取值范围； ②试探究与的大小关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省商丘市2024-2025学年高二下学期7月期末联考数学试题 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4.本卷命题范围：集合与常用逻辑用语、不等式、函数（不含指数与对数函数）与导数、数列、计数原理、概率与统计． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的补集与交集，可得答案. 【详解】因为，所以. 故选：A. 2. 已知，则（ ） A. 31 B. 17 C. 15 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】令，求出，然后代入解析式中即可求出的值. 【详解】令，则， 得． 故选：A． 3. 某初级中学对本校八年级的500名男生进行1000米跑步体能测试，据统计，500名男生跑完1000米所用的时间（分钟）服从正态分布，若，则这500名男生跑完1000米所用的时间不少于6分钟的人数大约为（ ） A. 1 B. 5 C. 9 D. 50 【答案】B 【解析】 【分析】由正态分布的性质求出的概率，即可得答案. 【详解】解：因为， 所以， 故500名学生跑完1000米所用的时间不少于6分钟的人数大约为. 故选：B. 4. 下列函数中，在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出各函数单调性即可. 【详解】因为在（）上单调递减，在上单调递增，所以A错误； 在上单调递减，所以B错误； 在上单调递增，所以C正确； 在上单调递减，所以D错误． 故选：C. 5. 权是中国古代度量衡器具之一，“权”（秤锤）与“衡”（秤杆）配合使用，用于测量物体的重量．古代楚国的权通常是环形秤锤，这些权通常由铜或铁制成，并且常常由十个组成一套（如图所示）．已知十枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为10的数列，该数列的前3项成等差数列，后8项成等比数列，且，则（ ） A. 25 B. 24 C. 16 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】由于的后8项成等比数列，根据等比数列通项公式求出，从而可得的值，再根据等差数列通项公式求，从而得解. 【详解】因为的后8项成等比数列，且， 设其公比为，则，解得（－2舍去）， 所以，. 又因为的前3项成等差数列，所以， 解得，所以. 故选：A. 6. 函数的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意求得函数的定义域，再分别求函数与坐标轴的交点，结合图象，建立不等式，可得答案. 【详解】依题意，函数的定义域为．由图象可得，所以； 由，所以； 由图可知，否则当时，无解，和轴无交点，不符题意， 令，得，所以. 故选：B. 7. 已知数列的前项和为，则“，”是“数列为等差数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由于为等差数列，再结合等差数列的通项公式分别证明充分性和必要性. 【详解】为等差数列． 充分性：设数列的公差为，则， 所以， 两式相减得，， 又， 所以为常数，所以为等差数列； 必要性：由为等差数列，设公差为， 则， 于是为常数， 所以为等差数列． 故选：C． 8. 已知函数的定义域为，，，将的图象绕原点旋转后所得图象与原图象重合，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析可知的奇函数，推导出是周期函数，是的一个周期，进而可知也是周期函数，是的一个周期，求出、、、的值，结合周期性可求得的值. 【详解】根据题意，图象上的任意一点绕原点旋转后得到的点仍在的图象上， 联立消去得，所以是奇函数， 又因为函数的定义域为，故， 又，在该等式中，用替代可得， 故，因此，所以是周期函数，是的一个周期， 所以， 所以也是周期函数，是的一个周期． 又由可得，， 于是，， ，， 因为，故. 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. B. 若a，b都是非零实数，且，则 C. 若，则的最小值为5 D. 若x，y满足，则的最大值为2 【答案】AB 【解析】 【分析】利用特殊值可判断A，利用作差法可判断B，根据基本不等式的灵活应用可判断C、D. 【详解】对于A，时，，所以A正确； 对于B，因为a，b都是非零实数，且，所以B正确； 对于C，由， 等号仅当即时等号成立，所以C错误； 对于D，因为， 当且仅当时等号成立，所以， 所以的最大值为，所以D错误． 故选：AB． 10. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用赋值法判断ABC；对两边同时求导，再令，判断D. 【详解】令得，所以A错误； 令得，所以B正确； 令得， 显然都是正数，都是负数， 所以，所以C正确； 对两边同时求导， 得， 取得-2025，所以D正确. 故选：BCD. 11. 苏格兰数学家约翰·纳皮尔（John Napier）发现并证明了当且时．根据约翰•纳皮尔的这个发现以及我们所学的数学知识，关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 有且只有一个极值点 B. 的最小值为 C. 的单调递减区间是 D. 存在两个不相等的正实数a，b，使 【答案】ACD 【解析】 【分析】，构造函数求导，再根据导数的性质判断函数的单调性和极值情况，进而判断选项. 【详解】因为时，， 令，则， 所以时，在上单调递减； 时在上单调递增， 所以在上单调递减，在上单调递增， 时取最小值，最小值为，所以正确，B错误． 根据约翰•纳皮尔的发现可知，时的值域是， 又显然时，所以时的值域是， 又因为，所以在区间和上分别存在一个实数a，b，使，所以D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 身高不相等的5人站成一排照相，要求最高的人排在中间，按身高向两侧递减，则共有______种不同的排法. 【答案】6 【解析】 【分析】把问题看成是由1，2，3，4，5这五个数字排成一个五位数，要求最大的数字排在中间，按大小向两侧递减，然后列举所有的排列方法即可. 【详解】把问题看成是由1，2，3，4，5这五个数字排成一个五位数，要求最大的数字排在中间，按大小向两侧递减，则排成的五位数有12543，13542，14532，23541，24531与34521这6个数． 故答案为：6 13. 若，则在“函数的定义域为”的条件下，“函数为奇函数”的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】记“函数的定义域为”为事件，记“函数为奇函数”为事件，用列举法求出，再根据条件概率公式计算. 【详解】有序实数对表示的所有结果有种情况， 记“函数的定义域为”为事件，，即， 满足这个条件有共9种情况， 所以． 记“函数为奇函数”为事件，因为，， 所以，或，经检验此时为奇函数， 满足或的有共6种情况， 同时满足AB的有共4种情况，所以，所以. 故答案为：. 14. 已知x，y，z均为正整数，且，则满足方程的解有______组. 【答案】10 【解析】 【分析】由题意可得的取值范围，分类列举，根据分类加法原理，可得答案. 【详解】因为，所以. 当时，则，即， 可取； 当时，则可取； 当时，则，解得，或6，则为； 当时，则，为． 所以方程的解的个数为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合. （1）用区间表示集合； （2）若，求a，b的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）解分式不等式确定集合； （2）分，和确定集合，再由，所以，确定a，b的取值范围. 【小问1详解】 由，有，解得或， 所以. 【小问2详解】 因为，所以， 不等式可化为. 时，则，解得但不满足，舍去， 时，因为但，不满足，舍去， 时，解得或， 因为，所以解得， 所以. 16. 某兴趣小组研究发现昼夜温差变化的大小与患感冒人数之间具有较强的线性相关关系，该兴趣小组在惠民医院抄录了2025年2～5月份每月5日的昼夜温差情况以及附近的居民因患感冒到惠民医院就诊的人数，得到如下数据： 日期 2月5日 3月5日 4月5日 5月5日 昼夜温差 11 13 12 8 因患感冒就诊人数（人） 25 29 26 16 （1）求因患感冒到惠民医院就诊的人数关于昼夜温差的线性回归方程； （2）如果8月5日昼夜温差是时，试预测因患感冒到惠民医院就诊的人数（精确到整数）． 附：线性回归直线中，； 【答案】（1） （2）19. 【解析】 【分析】（1）利用公式求出，从而可求得回归方程； （2）将代入回归方程中求解估计即可. 【小问1详解】 ， ， ， 所以， ， 所以所求线性回归方程为. 【小问2详解】 时，， 因此如果8月5日昼夜温差是时，预测因患感冒到惠民医院就诊的人数大约为19. 17. 已知数列的首项是 （1）证明：的奇数项成等差数列； （2）求的前项和. 【答案】（1）证明：若为奇数，则是偶数，是奇数， 所以，即， 所以的奇数项是首项为，公差为3的等差数列． （2） 【解析】 【分析】（1）由递推公式并结合等差数列的定义即可证明求解； （2）分别讨论为奇偶数并利用分组并项求和，从而可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时， . 因为， 所以当时， . 综上所述，. 18. 六一儿童节，某商场为了刺激消费提升营业额，推出了消费者凭当天在该商场的消费单据参加抽奖的活动，奖品是4款不同造型的玩具摩托车与4款不同造型的玩具跑车（每款车的数量都充足），主办方将大小相同的8个乒乓球上分别标注1，2，3，4，5，6，7，8，其中标注数字1，2，3，4的乒乓球分别代表4款不同造型的摩托车，5，6，7，8的乒乓球分别代表4款不同造型的跑车，并将这8个乒乓球放在一个不透明箱子内．活动规定：儿童节当天在该商场消费满100元的消费者可从摸奖箱内摸出1个乒乓球，然后再放回箱内；消费满200元可先从摸奖箱内摸出1个乒乓球，放回后再从中摸出1个乒乓球，然后再放回箱内；消费满300元可先从摸奖箱内摸出1个乒乓球，放回后再从中摸出1个乒乓球，放回后再从中摸出1个乒乓球，然后再放回箱内；，依此类推，消费者根据自己摸出的乒乓球标注的数字即可获得相应的奖品． （1）若小明的家长当天在该商场消费恰好满400元，求这位家长能获得2款相同造型摩托车与2款不同造型跑车的概率； （2）若本次活动小明家获得的奖品是2台不同造型的摩托车和2台不同造型的跑车，小英家也获得2台不同造型的摩托车和2台不同造型的跑车． ①从他们两家获得的这8台车中随机抽取5台，如果抽出的5台车中有台摩托车，求的分布列和数学期望； ②若小明和小英将他们家本次活动获得的奖品每次各取一件进行交换，第一次交换的奖品也可以参加第二次交换，求两次交换后小明家仍有2台摩托车和2台跑车的概率． 【答案】（1） （2）①的分布列为： 1 2 3 4 ； ② 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用古典概率的计算公式求解； （2）①的所有取值为1，2，3，4，利用超几何分布的概率公式求出相应的概率，列出分布列，求得期望；②由题两次交换后小明家仍有2台摩托车和2台跑车，包括3种情况：第一次交换后小明家是2台摩托车2台跑车，第一次交换后小明家是1台摩托车3台跑车，第一次交换后小明家是3台摩托车1台跑车，分别求出其概率得解. 【小问1详解】 记“小明的家长得到2台相同造型摩托车与2台不同造型跑车”为事件， 则， 所以小明的家长获得2台相同造型摩托车与2台不同造型跑车的概率为. 【小问2详解】 ①依题意，的所有取值为1，2，3，4， ， 的分布列为： 1 2 3 4 所以数学期望. ②两次交换后小明家仍有2台摩托车和2台跑车，包括3种情况： （i）第一次交换后小明家是2台摩托车2台跑车， 其概率； （ii）第一次交换后小明家是1台摩托车3台跑车， 其概率； （iii）第一次交换后小明家是3台摩托车1台跑车， 其概率， 因此所求概率． 19. “洛必达法则”是研究微积分时经常用到的一个重要定理，洛必达法则之一的内容是：若函数，的导数都存在，且，如果是常数）时，或或，且（是常数），则时，． 已知函数． （1）证明：时曲线在点处的切线与曲线也相切； （2）若函数有两个零点，函数有两个零点． ①指出的大致范围（不必说明理由），并求出的取值范围； ②试探究与的大小关系． 【答案】（1）证明：时，， 因为， 所以曲线在点处的切线方程是，即． 因为， 所以曲线在点处的切线方程是，即． 所以时曲线在点处的切线与曲线也相切． （2）①，的取值范围是；② 【解析】 【分析】（1）对函数分别求导，分别求出在点的斜率和函数值，进而求出切线方程. （2）①构造新函数，求导，判断单调性，进而可判断零点范围；②构造新函数，求导，判断单调性，比较零点大小. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①． 由，得， 令，则与的零点相同，与的零点相同， 又， 时，单调递增；时，单调递减； 时，单调递增；时，单调递减， 所以和在上都是增函数，在上都是减函数， 所以时，时，， 因为有两个零点，即有两个零点， 所以，且解得． 当时，， 又时， 根据洛必达法则可知，时， 所以时， 所以时，在区间和上各有一个零点，所以， 因此，若函数各有两个零点，的取值范围是． ②令，则 与的零点相同，与的零点相同，在区间上是增函数， ， 令，则， 时单调递减；时单调递增； 所以时， 于是时等号仅当时成立， 所以在上是增函数． 所以时，即时； 时，即时； 由①知，所以， 又，所以， 又在区间上是增函数，且， 所以．同理可证， 于是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $