精品解析：山东省济宁市2024-2025学年高二下学期期末质量检测数学试题

2024-2025学年度第二学期质量检测 高二数学试题 2025.07 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合. 【详解】因为，， 故. 故选：A 2. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题不等式可化简为且，然后解不等式即可. 【详解】， ，解得且， 所以不等式的解集为. 故选：D. 3. 已知，则“”是“与相互独立”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件概率公式、独立事件的乘法公式及检验可分析其充要性. 【详解】， ，即与相互独立； 若与相互独立，则， ， 综上，“”是“与相互独立”的充要条件. 故选：C. 4. 已知函数，且，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接代入计算即可. 【详解】由题可知：， 所以. 故选：B 5. 已知由样本数据组成的一个样本，得到经验回归方程为，且，去除两个样本点和后，新得到的经验回归直线斜率不变，则新得到的经验回归方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据原经验回归方程和求出原样本数据的，再计算去除两个样本点后的和，最后根据经验回归方程的性质求出新的经验回归方程. 【详解】因为经验回归方程为，， 所以. 原样本有10个数据点，， 则. 去除两个样本点后，样本有8个数据点，且， 所以新样本的 因为新的经验回归直线的斜率不变，则设新的经验回归方程为， 将代入方程得， 所以新经验回归方程为. 故选：A. 6. 某公司升级了智能客服系统，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．则智能客服的回答被采纳的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由全概率公式计算可得. 【详解】设输入的问题表达清晰为事件，回答被采纳为事件， 则， 根据全概率公式，. 故选：B. 7. 已知函数的最小值为1，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分和两段讨论，当时利用一次函数的单调性得到最小值，当时，利用均值不等式得到最小值. 详解】（1）当时，，当时，单调递增，当时，不合题意， 当时，，合题意， 当时，单调递减，，得， 所以，的取值范围为； （2）当时，，当且仅当时，等号成立， 所以，当时，的最小值为； 综上，要使得在上的最小值为，的取值范围为， 故选：A. 8. 已知是定义在上的偶函数，，且恒成立，，则满足的的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用构造函数法，结合函数的单调性、奇偶性来求得的取值范围. 【详解】设，由， 得， 令，则， 所以函数在上单调递减，因为是定义在上的偶函数， 所以，所以对任意的，， 所以，函数为上的偶函数，且， 由，得：， ，或，解得或 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则样本相关系数的值越接近于1 B. 回归分析中，决定系数越大，说明残差平方和越小，拟合效果越好 C. 若随机变量，且，则 D. 若两个随机变量满足，且，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据相关系数、决定系数的意义、正态分布的对称性和性质、方差的公式等知识对选项逐一判断. 【详解】对于A，对于两个具有线性相关关系的变量，样本相关系数的取值范围是. 当时，变量正相关；当时，变量负相关； 相关性越强，越接近于1，而不只是接近于1，也可能是，所以A错误； 对于B，在回归分析中，决定系数，越大，意味着残差平方和越小， 说明模型对数据的拟合效果越好，所以B正确； 对于C，因为随机变量服从正态分布，且， 所以， 根据对称即可得到，所以C正确； 对于D，，所以D正确. 故选：BCD. 10. 已知，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据不等式的性质可逐项判断. 【详解】对于A，不等式的同向同正可乘，未强调正， 例如：，故A错误； 对于B，，，则，即，故B正确； 对于C，，则，故C错误； 对于D，，则，所以，故D正确； 故选：BD. 11. 设是定义在上的函数，满足，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. 是偶函数 C. D 【答案】ABD 【解析】 【分析】由可推导可判断A；由，结合偶函数的定义可判断B；根据周期性可判断C；由周期性及对称性可知，，即可求得的值即可. 【详解】对于A，，， ，两式相减得，， 即，故A正确； 对于B，，， 即，所以是偶函数，故B正确； 对于C，当时，， 又，所以，所以的周期为4， 所以，故C错误； 对于D，，， 即，，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若幂函数在上是增函数，则实数______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据给定条件，利用幂函数的定义及单调性列式求解. 【详解】由幂函数在上是增函数，得， 所以. 故答案为：4 13. 已知函数在处有极小值，则实数______． 【答案】1 【解析】 【分析】利用求得，然后进行验算即可. 【详解】由题可知：，且或. 当时，， 令，则；令，则. 所以函数在单调递增，在单调递减. 所以函数在处有极小值，成立； 当时，， 令，则；令，则. 所以函数在单调递增，在单调递减. 所以函数在处有极大值，不成立； 故答案为：1 14. 一袋中有大小、质地相同的5个球，标号为1，2，3，4，5．从中有放回的取球，每次取一个，一共取5次．把每次取出的球的标号排成一列数，则这列数中恰有3个不同整数的概率为______． 【答案】##0.48 【解析】 【分析】由题可知，总共有种结果，再选出3个数进行排列，根据容斥原理共有，然后即可求概率. 【详解】根据题意，有放回的取5次共有种结果； 又这列数中恰有3个不同整数，首先选出3个整数有种方法， 3个整数中其中1个出现一次，另外2个出现2次， 根据容斥原理共有种方法， 所以这列数中恰有3个不同整数的概率. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在网络信息发达的今天，学会甄别网络信息的真假至关重要，某高校随机抽取了100名学生，对其是否有甄别习惯进行了调查统计，样本数据如下： 性别 是否有甄别习惯 没有甄别习惯 有甄别习惯 合计 男 25 35 60 女 15 25 40 合计 40 60 100 （1）依据小概率值的独立性检验，分析表中的数据，能否据此认为是否有甄别习惯与性别有关？ （2）为进一步增强学生的网络信息甄别能力，该高校拟组织一场宣讲，以样本频率估计总体概率，从该校所有学生中随机抽取3人进行宣讲业务培训，求这3人中至少有2人有甄别习惯的概率． 附：， 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）不能认为该校学生是否有甄别习惯与性别有关． （2） 【解析】 【分析】（1）计算卡方判断； （2）按照独立重复试验乘法公式计算. 【小问1详解】 零假设：该校学生是否有甄别习惯与性别无关 ， 则根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 即可以认为成立，故不能认为该校学生是否有甄别习惯与性别有关． 【小问2详解】 由（1）可知抽取的100名学生中有甄别习惯的有60人，故可估计该校学生 有甄别习惯的概率为． 所以随机抽取3人至少有2人有甄别习惯的概率为：． 16. 已知函数，. （1）求； （2）求的最小值； （3）求的值． 【答案】（1）81 （2）16 （3）304 【解析】 【分析】（1）由赋值法可求二项式展开式的系数和； （2）方法一、利用均值不等式，由即可求解；方法二、对函数进行求导，根据单调性确定最值； （3）方法一、直接利用三项式展开式求常数；方法二、把三项展开问题转化为二项展开问题，即可求解. 【小问1详解】 当时，. 【小问2详解】 方法1：，当且仅当时，取等号． 所以． 方法2：． 由得：；由得：． 所以在上单调递减，在上单调递增． 所以． 【小问3详解】 方法1：由三项展开式可得通项为， 所以． 方法2： ． 所以． 17. 已知函数的定义域与值域相同． （1）求的值； （2）若，讨论的单调性． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）按，情况讨论，计算定义域和值域比较判断即可； （2）得到，然后进行求导，按，进行讨论判断. 【小问1详解】 当时，的定义域为，值域为，不符合题意，舍去． 当时，由得：， 的定义域为，值域为， 所以得：． 【小问2详解】 由（1）可知， ， 当时，在上恒成立， 所以在上单调递增； 当时，得；得， 所以在上单调递减；在上单调递增． 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减；在上单调递增． 18. 某校航空航天社团学生利用AI训练平台对无人机完成飞行任务进行训练．无人机每轮训练有以下规律：若上一轮成功，本轮成功概率为；若上一轮失败，本轮成功概率为．已知首轮成功概率为，且前两轮都成功的概率为． （1）求； （2）在三轮训练中，求第一轮失败的条件下，第二轮、第三轮都成功的概率； （3）设随机变量表示三轮训练中成功的次数，求的分布列及数学期望． 【答案】（1） （2） （3）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）设表示第轮训练成功，利用即可求； （2）根据即可求解； （3）由题知随机变量的所有取值可能为0，1，2，3，利用随机事件乘法公式计算概率，列出分布列，计算出期望即可. 【小问1详解】 设表示第轮训练成功． 由得：，解得：， 【小问2详解】 ， 【小问3详解】 随机变量所有取值可能为0，1，2，3． ， ． ． ． 所以随机变量的分布列为 0 1 2 3 ． 19. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求证：当时，； （3）一袋中有大小、质地相同的25个小球，标号为1到25．从中有放回的取球，每次取一个，一共取次，并记录每次抽取的小球的号码，设记录的个号码都不相同的概率为． 证明：． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义算出斜率，利用点斜式写出方程； （2）构建函数，求导判断即可； （3）得出，然后求和可得，利用不等式可判断结果. 【小问1详解】 ， ， ， 所以， 所以曲线在处的切线方程为． 【小问2详解】 当时，要证：，即证：，只需证：， 令，在上恒成立． 所以在上单调递减． 所以． 令，则，所以，证毕． 【小问3详解】 ，所以， 所以． 所以要证．即证：，即证：， 只需证：即证：， 由（2）知， 令，得，证毕． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第二学期质量检测 高二数学试题 2025.07 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则“”是“与相互独立”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4 已知函数，且，则（ ） A. 2 B. C. D. 5. 已知由样本数据组成的一个样本，得到经验回归方程为，且，去除两个样本点和后，新得到的经验回归直线斜率不变，则新得到的经验回归方程为（ ） A B. C. D. 6. 某公司升级了智能客服系统，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．则智能客服的回答被采纳的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的最小值为1，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 8. 已知是定义在上的偶函数，，且恒成立，，则满足的的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则样本相关系数的值越接近于1 B. 回归分析中，决定系数越大，说明残差平方和越小，拟合效果越好 C. 若随机变量，且，则 D. 若两个随机变量满足，且，则 10. 已知，下列说法正确的是（ ） A 若，则 B. 若，则 C. D. 11. 设是定义在上的函数，满足，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. 是偶函数 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若幂函数在上是增函数，则实数______． 13. 已知函数在处有极小值，则实数______． 14. 一袋中有大小、质地相同的5个球，标号为1，2，3，4，5．从中有放回的取球，每次取一个，一共取5次．把每次取出的球的标号排成一列数，则这列数中恰有3个不同整数的概率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在网络信息发达的今天，学会甄别网络信息的真假至关重要，某高校随机抽取了100名学生，对其是否有甄别习惯进行了调查统计，样本数据如下： 性别 是否有甄别习惯 没有甄别习惯 有甄别习惯 合计 男 25 35 60 女 15 25 40 合计 40 60 100 （1）依据小概率值的独立性检验，分析表中的数据，能否据此认为是否有甄别习惯与性别有关？ （2）为进一步增强学生的网络信息甄别能力，该高校拟组织一场宣讲，以样本频率估计总体概率，从该校所有学生中随机抽取3人进行宣讲业务培训，求这3人中至少有2人有甄别习惯的概率． 附：， 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 16. 已知函数，. （1）求； （2）求的最小值； （3）求的值． 17. 已知函数的定义域与值域相同． （1）求值； （2）若，讨论的单调性． 18. 某校航空航天社团学生利用AI训练平台对无人机完成飞行任务进行训练．无人机每轮训练有以下规律：若上一轮成功，本轮成功概率为；若上一轮失败，本轮成功概率为．已知首轮成功概率为，且前两轮都成功的概率为． （1）求； （2）在三轮训练中，求第一轮失败的条件下，第二轮、第三轮都成功的概率； （3）设随机变量表示三轮训练中成功的次数，求的分布列及数学期望． 19. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求证：当时，； （3）一袋中有大小、质地相同的25个小球，标号为1到25．从中有放回的取球，每次取一个，一共取次，并记录每次抽取的小球的号码，设记录的个号码都不相同的概率为． 证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$