山东省济宁市2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试题

2023—2024学年度第二学期质量检测 高二数学试题 2024.07 本试卷共4页,满分150分,考试时间120分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本 试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 1.若集合A= x|x2-x-2≤0 ,B= -2,-1,0,1,2 ,则A ∩B 的元素个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 2.命题“∃x>0,x2 >x3”的否定是 A.∀x>0,x2 >x3 B.∀x>0,x2 ≤x3 C.∀x≤0,x2 ≤x3 D.∃x>0,x2 ≤x3 3.已知随机变量X ~N(1,σ2),若P(X ≤2)=0.8,则P(0<X <1)= A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 4.用5种不同的颜色对如图所示的四个区域进行涂色,要求相邻的区域不能使用同一种颜 色,则不同的涂色方法有 I II III IV A.60种 B.120种 C.180种 D.240种 5.已知定义在 R 上的偶函数f x ,若对于任意不等实数x1,x2 ∈ 0,+ 都满足 f x1 -f x2 x1-x2 >0,则不等式f2x >f x-2 的解集为 A.(-,-2) B.(-2,+) C.(-2, 2 3 ) D.(-,-2)∪( 2 3 ,+) )页4共( 页1第 题试学数二高 6.已知两个变量x和y之间存在线性相关关系,某兴趣小组收集了一组样本数据,并利用最 小二乘法求得的回归方程是y=0.28x+0.16,其相关系数是r1.由于某种原因,其中一 个数据丢失,将其记为m ,具体数据如下表所示: x 1 2 3 4 5 y 0.5 0.6 m 1.4 1.5 若去掉数据 (3,m)后,剩下的数据也成线性相关关系,其相关系数是r2,则 A.r1=r2 B.r1>r2 C.r1<r2 D.r1,r2的大小关系无法确定 7.已知函数f(x)= x2-2ax+a-2,x≤0 ax2-e2x,x>0 在R上是减函数,则实数a 的取值范围是 A.[0,1] B.[1,e] C.[0,2e] D.[1,2e] 8.若a= ln2 2 ,b= ln3 3 ,c= 2023 2024 2023 ,则 A.a<b<c B.a<c<b C.b<c<a D.c<a<b 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要 求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。 9.已知a>0,b>0,则下列结论正确的是 A.若a>b,则ac2 >bc2 B.若 1a > 1 b ,则a<b C.若a+b=2,则 1 a + 4 b 的最小值为9 D.若a2+b2=1,则a+b的最大值为 2 10.已知函数f x 的定义域为R,满足f x =f4-x ,f x+2 =f x-2 . 当x∈ -2,0 时,f x =x2+4x+3,则下列结论正确的是 A.f x 的图象关于直线x=2对称 B.f x 是奇函数 C.f x 在 4,6 上单调递减 D.∑ 2025 k=1 fk =1012 11.如图,一个质点在随机外力的作用下,从原点0出发,每隔1s等可能地向左或向右移动 一个单位.设移动n 次后质点位于位置Xn ,则下列结论正确的是 )页4共( 页2第 题试学数二高 A.P(X5=-1)= 5 16 B.E (X5)=0 C.D(X6)=3 D.移动6次后质点位于原点0的概率最大 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12.已知函数f x = m2-m-1 xm 为幂函数,且在区间 0,+ 上单调递减,则实数 m= ▲ . 13.现有6位同学报名参加学校的足球、篮球等5个不同的社团活动,每位同学只能参加一 个社团,且每个社团都要有同学参加,在小华报名参加足球社团的条件下,有两名同学参 加足球社团的概率为 ▲ . 14.已知P,Q 分别是函数f x =xex +x-lnx 和g x =2x-3图象上的动点,则 PQ 的最小值为 ▲ . 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 为了解高二、1班学生数学建模能力的总体水平,王老师组织该班的50名学生(其中男 生24人,女生26人)参加数学建模能力竞赛活动. (1)若将成绩在80分以上的学生定义为“有潜力的学生”,统计得到如下列联表,依据小 概率值α=0.01的独立性检验,能否认为该班学生的数学建模能力与性别有关联? 没有潜力 有潜力 合计 男生 6 18 24 女生 14 12 26 合计 20 30 50 (2)现从“有潜力”的学生中按性别采用分层随机抽样的方法抽取5人,再从这5人中随 机抽取3人作进一步的调研,记随机变量X 为这3人中男生的人数,求X 的分布列和数 学期望. 附:χ2= n(ad-bc)2 (a+b)(a+c)(c+d)(b+d) ,n=a+b+c+d. α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 )页4共( 页3第 题试学数二高 16.(15分) 在 2x-1 n 的展开式中,第3项与第10项的二项式系数相等. (1)求 (2+ 1 x )2x-1 n 的展开式中的常数项; (2)若(2x-1)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn ,求a0+a1+2a2+3a3+…+nan. 17.(15分) 已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(2-x)=0,且当x∈ (-,1]时, f(x)=(x-1)3. (1)求f(x)在R上的解析式; (2)若f(x+lnx)≤f(x2+a)恒成立,求实数a 的取值范围. 18.(17分) 已知甲、乙两位同学参加某知识竞赛活动,竞赛规则是:以抢答的形式进行,共有7道题, 抢到并回答正确者得1分,答错则对方得1分,当其中一人得分领先另一人3分或7道 题全部答完时比赛结束.甲、乙两人抢到每道题的概率都是 12 ,甲正确回答每道题的概 率均为 8 9 ,乙正确回答每道题的概率均为 5 9 ,且两人每道题是否回答正确均相互独立. (1)求答完前两道题后两人各得1分的概率; (2)设随机变量X 为比赛结束时两人的答题总个数,求X 的分布列和数学期望. 19.(17分) 已知函数f(x)=ex +ax-1 (a∈R). (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)≥0恒成立,求a 的值; (3)在(2)的条件下,证明:f(x)>lnx. )页4共( 页4第 题试学数二高 2023一2024学年度第二学期质量检测 高二数学试题参考答案及评分标准 2024.07 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1.D2.B3.C4.C5.D6.A7.D8.A 8.提示：设f(x)=ln,x>0,易知f(x)在(0，e)上单调递增，在(e,十o)上单调递减， 因为a=l2-n4=f4),6=n3=f(3),所以f(4)<f(3)<f(e),即a<b<} Γ2-4 3 因为1x≥1一1（当且仅当x=1时等号成立）（选择性必修二94页）， 2023 2024 1 2023 所以ln 2024 >1- 2023 2023 ,所以1mc=20231n2024 -1,所以c> e 所以a<b< <c.故选A e 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。 9.BD 10.ACD 11.ABD 11.提示：设随机变量表示“移动n次后质点向右移动的次数”，则~B(n,2)。 由题意知Xm=ξ一(n一)，即X.=2ξ一n. 对于A:P(X,=-D=P=2)=C(哈)°-A正确： 对于B:E(X)=E(2E-5)=2E(E)-5=2×5× -5=0,B正确： 对于C:D(X,)=D(2E-6)=4D()=4X6×号×2=6，C错误： 对于D:X。=2:一6，X。的所有可能取值有一6，一4，一2,0,2,4,6， P(X,=2i-6)=P(g=i)=C()）°. 当i=3时，C(分) 最大，P(X。=0)=P(=3)最大，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.-1 13. 四、解答题：本题共5小题，共77分。 15.解：(1)零假设为 H。:该班学生的数学建模能力与性别无关 …………1分 高二数学试题答案第1页（共4页） 因为X:=50(6×12-14×18)225 ≈4.327<6.635，…4分 24×26×20×3052 所以，依据小概率值α=0.01的独立性检验，没有充分证据证明推断H。不成立， 因此可以认为H。成立，即该班学生的数学建模能力与性别无关. 6分 (2)从“有潜力”的学生中按性别采用分层随机抽样的方法抽取5人，其中男生有3人， 女生有2人，则随机变量X服从超几何分布，X可能取1,2,3. …7分 P(X=1)= 8分 C 10 3 P(X=2) 9分 C 10 P(X=3)= CC 1 C 10分 则X的分布列为 X 1 2 3 3 3 10 5 1 11分 所以E(X)=3× 5 13分 16.解：(1)因为C=C, 2分 所以1=11.… 3分 所以(2+1)(2x-1)1=2X(2x-1)"+1×(2x-1)H 所以(2十1)(2x一1)”的展开式中的常数项为 2×(-1)"+1×Ch×2x×(-1)°=20. 7分 (2)因为(2.x-1)”=a0十a1x+a2.x2+a3x3+…+a1x1 令江=0得以0=-1.…9分 因为11X(2.x-1)0X2=a1+2a2x+3a3x2+…+11a1x0…12分 令x=1得a1+2a2十3a1+…十11a1=22.…14分 所以am十a1十2u2十3u3十…十1am=-1十22=21.…15分 17.解：(1)当x∈(1，十0)时，2-x∈(-0,1)…2分 所以f(x)=-f(2-x)=(2-x-1)3=-(1-x)=(x-1) 所以当x∈(1，十D)时，f(x)=(x一1)3，…5分 又当x∈(-o,1]时，f(x)=(x-1)3, 高二数学试题答案第2页（共4页） 所以f(x)=(x一1)3，x∈R.… ……7分 (2)因为f(x)=3(x一1)2≥0，所以f(.x)=(x-1)3在R上为增函数.…9分 又f(x+lnx)≤f(x2+a),所以x+lnx≤x2+a,即x-x2+lnx≤a.…11分 g(x)=x-x2+Inx,x >0. 则g'(x)=1-2x+1=-2x2+x+1-=-(2x+10(x-1D ,x>0,…12分 令g'(x)>0得0<x<1;令g'(x)<0得x>1. 所以g(x)的单调递增区间为(0,1]，单调递减区间为[1，十0).…13分 故g(x)x=g(1)=0,…14分 所以a≥0，即实数a的取值范围为[0，十0o).…15分 18.解：(1)设A:=“第i道题甲得1分”(i=1,2,3,4,5,6,7), B:=“第i道题乙得1分”(i=1,2,3,4,5,6,7), C=“答完前两道题后两人各得1分”. 则A,与B,独立，所以P(A,)=号×8+号×1-哥）=号 ,…2分 P(B,)=1-P(A,)=1-3=3 21 ……4分 P(C)=P(AB2 UB A2)=P(A B2)+P(B A2)=P(A)P(B2)+P(B)P(A2) 2×1+1×24 =3×3+3X3=9 …7分 (2)随机变量X的取值为3,5,7. 8分 Px=3)-(号)+)- 10分 PX=5)-C×()×号×（号）+×g)×号×（兮）=号 ……12分 P(X=7)=1-P(X=3)-P(X=5)=1-3 24 9 14分 所以随机变量X的分布列为 X 3 5 7 1 2 4 P 3 9 9 16分 2 447 所以E(X)=3×3+5×9+7×9 =9 17分 19.解：(1)f(x）=e十a,… …1分 ①当a≥0时，f′(x)>0,f(x)在R上单调递增.… 2分 高二数学试题答案第3页（共4页） ②当a<0时，令f'(x)>0得x>ln(-a):令f'(x)<0得x<ln(-a). 所以f(x)在(-o,ln(-a)上单调递减，在(n(一a),十o)上单调递增.…3分 综上，当a≥0时，f(x)在R上单调递增； 当a<0时，f(x)在(-o,ln(-a)上单调递减， 在(ln(一a),十oo)上单调递增. ……4分 (2)①当4≥0时，∫(x)在R上单调递增，又f(0)=0, 所以当x<0时，f(x)<0,所以f(x)≥0不恒成立. 5分 ②当a<0时，f(x)在（一o,ln(-a)上单调递减，在(ln(-a),十o)上单调递增. 所以f(x的最小值为f(n(-a)=一a十aln(-a)一1.…6分 因为f(x)≥0恒成立，所以只要f(ln(-a)=-u+aln(-a)-1≥0. ……7分 设g(a)=-a+aln(-a)-1(a<0),则g'(a)=-1+ln(-a)+1=ln(-a), 所以当a<-1时，g'(a)>0:当-1<a<0时，g'(a)<0. 所以g(a)在（一0，一1）上单调递增，在（一1,0）上单调递减.…8分 所以g(a)≤g(-1)=0,即g(a)=-a十aln(-a)-1≤0.（当且仅当a=-1时等号成 立)…9分 所以当且仅当a=-1时，f(ln(-a)=-a+aln(-a)-1=0. 所以Q=一1.……………10分 (3)由(2)可知，f(x)=e-x-1. 设h(x)=f(x)-lnx=e-x-1-lnx(x>0),下面证明h(x)>0. 所以=e-1-u>0,Ax)=e+是>0， 所以h′(x)在(0，十0)上单调递增.…11分 又h'0)=e-2>0,h'(2)=E-3<0, 所以3x,∈（分1），使得M'(x)=0,即e=1+ ……13分 所以当x∈(0，o)时，h'(x)<0,h(x)在(0，xo)上单调递减 当x∈(x0,十o)时，h'(x)>0,h(x)在(x0,十o)上单调递增.…14分 所以h(x)≥h(x,)=e0-x。-1-lnr。=1-t。-lnr 15分 因为x∈（分1），所以1->0，-1n。>0, 所以h(x)≥h(x)=1 -x0-lnx0>0,…16分 所以f(x)>nx成立.………… 17分 高二数学试题答案第4页（共4页）