立体几何：线面垂直的判定与性质、面面垂直的判定与性质复习讲义-2026届高三数学一轮复习

立体几何：线面垂直的判定与性质、面面垂直的判定与性质复习讲义 立体几何：线面垂直的判定与性质、面面垂直的判定与性质复习讲义 考点一 线面垂直的判定 【知识点解析】 1.线线垂直的常见证明方法 (1)勾股逆定理 (2)等腰三角形三线合一 (3)菱形的对角线 (4)矩形的邻边 (5)正方形对角线与邻边 (6)圆直径所对圆周角 (7)线面垂直的性质 (8)向量数量积 ※若提及空间中两个角相等，应证明全等，进而得到边相等，利用等腰三角形的性质 ※若菱形有一内角为，则角顶点与对边中点的连线与对边垂直 2.线面垂直的判定 图示 文字表示 数学语言表示 线面垂直的判定 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直. 【例题分析】 1．（2025·广东惠州·模拟预测·节选）如图，在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，且，. (1)证明：平面； 2．（2025·天津南开·模拟预测·节选）如图，在三棱柱中，平面，且，，，分别为，，，的中点，． (1)求证：平面； 3．（2025·河南驻马店·模拟预测·节选）如图，在三棱锥中，，，，，． (1)求证：平面； 4．（2025·山东泰安·模拟预测·节选）如图，在底面为正方形的四棱台中，已知，，，. (1)证明：平面； 5．（24-25高二下·四川广安·阶段练习·节选）在如图所示的多面体中，四边形为正方形，四边形是直角梯形，，平面，． (1)求证：平面； 6．（24-25高一下·海南海口·阶段练习·节选）如图，在直三棱柱中，底面为以为斜边的直角三角形，D为棱上的一点且满足，E为棱的中点，F为棱上一点，． (1)证明：平面； 7．（2025·陕西安康·模拟预测·节选）如图，在四棱锥中，，，，，． (1)求证：平面； 8．（2025·四川·模拟预测·节选）如图，已知菱形和等边三角形有公共边，，点在线段上，与交于点，将沿着翻折成，得到四棱锥． (1)求证：平面； 9．（2025·广东深圳·二模·节选）已知四棱台，底面是边长为2的菱形，平面，，E是的中点． (1)证明：平面； 考点二 线面垂直的性质 【知识点解析】 1.线面垂直的性质 图示 文字表示 数学语言表示 线面垂直的性质 一条直线与一个平面垂直，该直线与该平面内任意一条直线垂直. 【例题分析】 1．（2025·广东梅州·一模·节选）如图，在三棱锥中，，． (1)求证：； 2．（24-25高三下·重庆北碚·阶段练习·节选）如图，空间四边形中，，，. (1)证明：； 3．（24-25高一下·四川成都·期末·节选）如图，是圆O的直径，点C是圆O上的动点，过点A的直线垂直于圆O所在的平面． (1)证明：； 4．（2025·江苏宿迁·模拟预测·节选）如图，在四棱锥中，，，，，，，，其中O为AC中点． (1)求证：； 5．（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测·节选）如图，在三棱台中，平面平面，，，． (1)证明：； 考点三 面面垂直的判定 【知识点解析】 1.面面垂直的判定 图示 文字表示 数学语言表示 面面垂直的判定 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直． 【例题分析】 1．（2025高三下·甘肃白银·学业考试·节选）如图，在四棱台中，平面，底面为梯形，，，. (1)证明：为直角三角形； (2)证明：平面平面； 2．（24-25高三下·云南丽江·阶段练习·节选）三棱柱中 . (1)证明:平面平面. 3．（2025·江苏连云港·模拟预测·节选）如图，在四棱锥中，平面，，，，． (1)证明：平面平面； 4．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习·节选）已知在正四棱柱中，，点是的中点． (1)求证：平面平面； 5．（24-25高三上·福建漳州·阶段练习·节选）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，，，二面角的大小为. (1)证明：平面平面. 6．（2025·海南三亚·一模·节选）在多面体中，为平行四边形，平面，为的中点. (1)证明：平面平面； 7．（2025·河南信阳·模拟预测·节选）如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，，且． (1)求证：平面平面BDEF； 考点四 面面垂直的性质 【知识点解析】 1.面面垂直的性质 图示 文字表示 数学语言表示 面面垂直的性质 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直． 【例题分析】 1．（2025·福建厦门·三模·节选）在三棱锥中，，，，是的中点，且平面平面. (1)证明：平面； 2．（24-25高三上·陕西汉中·期末·节选）如图，，，且，平面平面，四边形为正方形. (1)求证：； 3．（2025·重庆·三模·节选）如图，已知在四棱锥中，，平面，平面平面. (1)证明：； 4．（24-25高三下·山东济南·阶段练习·节选）如图，在四棱锥中，平面平面，底面为正方形且边长为2，，. (1)证明：； 5．（2025·黑龙江佳木斯·三模·节选）如图，在四棱锥中，平面平面，，，为的中点，平面. (1)证明：. 高考真题演练 1．（2025·全国一卷·高考真题·节选）如图所示的四棱锥中，平面，． (1)证明：平面平面； 2．（2025·天津·高考真题·节选）正方体的棱长为4，分别为中点，． (1)求证：平面； 3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题·节选）如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得． (1)证明：； 4．（2023·北京·高考真题·节选）如图，在三棱锥中，平面，． (1)求证：平面PAB； 5．（2023·全国甲卷·高考真题·节选）如图，在三棱柱中，平面． (1)证明：平面平面； 6．（2023·全国乙卷·高考真题·节选）如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，. (1)证明：平面； (2)证明：平面平面BEF； 7．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题·节选）如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点． (1)证明：； 2 学科网（北京）股份有限公司 $$立体几何：线面垂直的判定与性质、面面垂直的判定与性质复习讲义 立体几何：线面垂直的判定与性质、面面垂直的判定与性质复习讲义 考点一 线面垂直的判定 【知识点解析】 1.线线垂直的常见证明方法 (1)勾股逆定理 (2)等腰三角形三线合一 (3)菱形的对角线 (4)矩形的邻边 (5)正方形对角线与邻边 (6)圆直径所对圆周角 (7)线面垂直的性质 (8)向量数量积 ※若提及空间中两个角相等，应证明全等，进而得到边相等，利用等腰三角形的性质 ※若菱形有一内角为，则角顶点与对边中点的连线与对边垂直 2.线面垂直的判定 图示 文字表示 数学语言表示 线面垂直的判定 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直. 【例题分析】 1．（2025·广东惠州·模拟预测·节选）如图，在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，且，. (1)证明：平面； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）因为平面，平面，则， 因为，即， 因为，平面，平面， 故平面. 2．（2025·天津南开·模拟预测·节选）如图，在三棱柱中，平面，且，，，分别为，，，的中点，． (1)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）证明：在中，因为，且为的中点，所以， 在矩形中，因为和分别为和的中点，可得， 因为平面，且平面，可得，所以， 又因为，且平面，所以平面. 3．（2025·河南驻马店·模拟预测·节选）如图，在三棱锥中，，，，，． (1)求证：平面； 【答案】(1)见解析 【详解】（1）因为，，，所以， 所以， 因为，且，所以，又，， 所以，，，平面， 所以平面； 4．（2025·山东泰安·模拟预测·节选）如图，在底面为正方形的四棱台中，已知，，，. (1)证明：平面； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）连接，交于点，连接，.    由题意得，且，，为中点， 所以且， 所以四边形为平行四边形，所以.① 在和中，，，是公共边， 故，故有， 又是中点，所以. 结合①可得. 又， 且，面，故平面. 5．（24-25高二下·四川广安·阶段练习·节选）在如图所示的多面体中，四边形为正方形，四边形是直角梯形，，平面，． (1)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）    因为平面，平面，所以， 作于，结合题设易知四边形为正方形， 不妨设，则，， 所以，即， 且平面，所以平面. 6．（24-25高一下·海南海口·阶段练习·节选）如图，在直三棱柱中，底面为以为斜边的直角三角形，D为棱上的一点且满足，E为棱的中点，F为棱上一点，． (1)证明：平面； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）因为为的斜边，所以， 由直棱柱的性质知，平面平面，又平面平面，平面， 所以平面，又平面ABD，所以． 又因为，平面BCD，平面BCD，， 故平面． 7．（2025·陕西安康·模拟预测·节选）如图，在四棱锥中，，，，，． (1)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）因为，为的中点，所以， 延长交于点，连接， 因为，则，所以，所以， 因为，则， 在底面中，，，所以， 因为为的中点，故为的中点， 因为，即为的中点，所以， 因为，即，故， 因为，、平面，故平面. 8．（2025·四川·模拟预测·节选）如图，已知菱形和等边三角形有公共边，，点在线段上，与交于点，将沿着翻折成，得到四棱锥． (1)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析； 【详解】（1）由菱形和等边三角形有公共边，，易知共线， 且，，即，则为菱形， 所以，而，故，故翻折后， 由都在平面内，所以平面； 9．（2025·广东深圳·二模·节选）已知四棱台，底面是边长为2的菱形，平面，，E是的中点． (1)证明：平面； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）因底面是菱形，，是BC中点，所以，又，则. 已知平面，平面，所以. 因为平面，且，所以平面. 又平面，故. 四棱台上下底面平行且相似，上底面是边长为菱形. 在四边形中，，，由勾股定理得，. 在中，，所以，即. 因为平面，，所以平面. 考点二 线面垂直的性质 【知识点解析】 1.线面垂直的性质 图示 文字表示 数学语言表示 线面垂直的性质 一条直线与一个平面垂直，该直线与该平面内任意一条直线垂直. 【例题分析】 1．（2025·广东梅州·一模·节选）如图，在三棱锥中，，． (1)求证：； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）证明：如图所示，取中点，连接，   因为，，可得且， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以. 2．（24-25高三下·重庆北碚·阶段练习·节选）如图，空间四边形中，，，. (1)证明：； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1） 由，，可得， 又因为，可得是等边三角形， 取为的中点，可知， 又因为平面， 所以平面，又因为平面， 所以； 3．（24-25高一下·四川成都·期末·节选）如图，是圆O的直径，点C是圆O上的动点，过点A的直线垂直于圆O所在的平面． (1)证明：； 【答案】(1)证明见解析； 【详解】（1）因是圆O的直径，点C是圆O上的动点，则. 因垂直于圆O所在的平面，平面，则. 因平面，，则平面，又平面， 则； 4．（2025·江苏宿迁·模拟预测·节选）如图，在四棱锥中，，，，，，，，其中O为AC中点． (1)求证：； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）因为，，所以， 又因为，点O为AC中点． 所以，且，故在同一条直线上， 在中，由余弦定理，可得， 又，，故得， 解得，又，，故是等边三角形，则， 又，平面，所以平面， 又因为平面，所以； 5．（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测·节选）如图，在三棱台中，平面平面，，，． (1)证明：； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）在三棱台中，取AC的中点O，连接BO，，， 由，得， 由平面平面，平面平面， 平面，得平面， 而平面，则， 又，，则四边形是菱形，故， 而，，平面，因此平面， 又平面，所以． 考点三 面面垂直的判定 【知识点解析】 1.面面垂直的判定 图示 文字表示 数学语言表示 面面垂直的判定 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直． 【例题分析】 1．（2025高三下·甘肃白银·学业考试·节选）如图，在四棱台中，平面，底面为梯形，，，. (1)证明：为直角三角形； (2)证明：平面平面； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）由题可得，，， 则在中，由余弦定理得 . 所以，所以， 所以为直角三角形. （2）由（1）可知， 又，所以. 因为平面，平面， 所以. 因为，平面，所以平面. 又平面，所以平面平面. 2．（24-25高三下·云南丽江·阶段练习·节选）三棱柱中 . (1)证明:平面平面. 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）证明：设为的中点，连接， 因为，所以为等边三角形， 可得， 因为，所以，可得，所以， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. 3．（2025·江苏连云港·模拟预测·节选）如图，在四棱锥中，平面，，，，． (1)证明：平面平面； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1） 取中点，连接，可得四边形是边长为1的正方形， 则，，又，故， 因为平面，平面，所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面 4．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习·节选）已知在正四棱柱中，，点是的中点． (1)求证：平面平面； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）由题可得，又平面，平面，故， 而平面，且， 平面，又平面， 所以平面平面. 5．（24-25高三上·福建漳州·阶段练习·节选）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，，，二面角的大小为. (1)证明：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）如图：    取中点，中点，连接，，. 因为，所以. 所以. 又因为四边形是正方形，所以. 所以为二面角的平面角，为. 在中，由余弦定理得：. 因为，即，所以. 由，，平面，且， 所以平面. 又平面，所以. 又，平面，，所以平面. 又平面，所以平面平面. 6．（2025·海南三亚·一模·节选）在多面体中，为平行四边形，平面，为的中点. (1)证明：平面平面； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）证明：因为平面且面，所以， 又因为，可得 因为且面，则平面 又因平面面，所以平面平面. 7．（2025·河南信阳·模拟预测·节选）如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，，且． (1)求证：平面平面BDEF； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）设AC与BD相交于点O，连接FO． 因为四边形ABCD为菱形，所以， 且O为AC中点，， 所以．又平面BDEF， 所以平面BDEF．又平面ABCD， 所以平面平面BDEF． 考点四 面面垂直的性质 【知识点解析】 1.面面垂直的性质 图示 文字表示 数学语言表示 面面垂直的性质 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直． 【例题分析】 1．（2025·福建厦门·三模·节选）在三棱锥中，，，，是的中点，且平面平面. (1)证明：平面； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）因为平面 平面 ，平面 平面 平面 ， 所以 平面 . 又 平面 ，所以 . 又 平面 ， 所以 平面 . 2．（24-25高三上·陕西汉中·期末·节选）如图，，，且，平面平面，四边形为正方形. (1)求证：； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）证明：如图，连接，.    因为，，且， 所以，，所以，即. 所以，所以. 又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面. 因为平面，所以. 因为四边形为正方形，所以. 因为，，平面，所以平面. 因为平面，所以. 3．（2025·重庆·三模·节选）如图，已知在四棱锥中，，平面，平面平面. (1)证明：； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1） 平面 , 平面 , . 过 作 ,交 于点 , 平面 平面 ,平面 平面 平面, ∴所以 平面 平面，, 又 平面 ，平面 ， 平面 ，平面 4．（24-25高三下·山东济南·阶段练习·节选）如图，在四棱锥中，平面平面，底面为正方形且边长为2，，. (1)证明：； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）因为，，，所以由勾股定理可得， 又平面平面，平面平面， 平面，且， 可得平面， 又平面，所以， 因为，平面，所以平面， 又平面，所以. 5．（2025·黑龙江佳木斯·三模·节选）如图，在四棱锥中，平面平面，，，为的中点，平面. (1)证明：. 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）， ，， 平面，平面，且平面平面， ， 为的中点，，， 又平面平面，平面平面，平面， 平面，又平面，， 又，，平面， 平面，平面， . 高考真题演练 1．（2025·全国一卷·高考真题·节选）如图所示的四棱锥中，平面，． (1)证明：平面平面； 【答案】(1)证明见解析； 【详解】（1）由题意证明如下， 在四棱锥中，⊥平面，， 平面，平面， ∴，， ∵平面，平面，， ∴平面， ∵平面， ∴平面平面. 2．（2025·天津·高考真题·节选）正方体的棱长为4，分别为中点，． (1)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）在正方形中， 由条件易知，所以， 则， 故，即， 在正方体中，易知平面，且， 所以平面， 又平面，∴， ∵平面，∴平面； 3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题·节选）如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得． (1)证明：； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）由， 得，又，在中， 由余弦定理得, 所以，则，即， 所以，又平面， 所以平面，又平面， 故； 4．（2023·北京·高考真题·节选）如图，在三棱锥中，平面，． (1)求证：平面PAB； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）因为平面平面， 所以，同理， 所以为直角三角形， 又因为，， 所以，则为直角三角形，故， 又因为，， 所以平面. 5．（2023·全国甲卷·高考真题·节选）如图，在三棱柱中，平面． (1)证明：平面平面； 【答案】(1)证明见解析. 【详解】（1）证明：因为平面，平面, 所以, 又因为，即， 平面，, 所以平面， 又因为平面, 所以平面平面. 6．（2023·全国乙卷·高考真题·节选）如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，. (1)证明：平面； (2)证明：平面平面BEF； 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； 【详解】（1）连接，设，则，，， 则， 解得，则为的中点，由分别为的中点，    于是，即，则四边形为平行四边形， ，又平面平面， 所以平面. （2）由（1）可知，则，得， 因此，则，有， 又，平面， 则有平面，又平面，所以平面平面. 7．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题·节选）如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点． (1)证明：； 【答案】(1)证明见解析； 【详解】（1）连接，因为E为BC中点，， 所以①， 因为，， 所以与均为等边三角形， ，从而②，由①②，，平面， 所以，平面，而平面， 所以． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$