《1.5等腰三角形（一）》 暑假预习手册11-2025-2026学年苏科版数学八年级上册

2025年暑假苏科版新八年级数学预习手册11-《1.5等腰三角形（一）》 ( 一、 预习 目标 1.理解等腰三角形的概念，能准确识别等腰三角形的腰、底边、顶角和底角。 2.掌握等腰三角形的性质，包括 “ 等边对等角 ” 和 “ 三线合一 ” ，并能运用这些性质进行简单的推理和计算。 3.通过观察、操作、思考等活动，培养自主探究能力和逻辑思维能力，体会数学中的转化思想和分类讨论思想 。 ) ( 一、 预习内容 （一）等腰三角形的定义 【活动】 如图，把一张长方形纸片对折，沿虚线剪下并展开，得到的三角形有什么特征? 这个三角形有两条边相等，有两个角相等. 【 等腰三角形的定义 】 ： 两条边相等的三角形叫做等腰三角形。其中，相等的两条边称为腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 （ 二） 等腰三角形的性质 【 讨论探究 】 在等腰三角形ABC 中，AB=AC. 那么 ∠ B= ∠ C ？ 作边BC的中线AD.在 △ ABD和 △ ACD中，AB =AC,BD =CD,AD=AD，通过 “ SSS ” ，可以证明也可以用等腰三角对称性证明 △ ABD ≌△ ACD,所以 ∠ B= ∠ C 于是，我们得到等腰三角形的性质定理1: 等腰三角形的两底角相等(简称 “ 等边对等角 ” ). 【 几何语言 】 ： ∵ 在 △ ABC中，AB=AC ∴∠ B= ∠ C ) ( 【 讨论探究 】 已知:如图在 △ ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线. 求证:　AD ⊥ BC, ∠ BAD= ∠ CAD　　　　　　　　　　.   已知:如图在 △ ABC中,AB=AC,AD是 △ ABC的角平分线. 求证:　BD=CD,AD ⊥ BC　　　　　　　　.   已知:如图在 △ ABC中,AB=AC,AD是 △ ABC的高线. 求证:　BD=CD, ∠ BAD= ∠ CAD　　　　　　　　　　　.   于是，我们得到等腰三角形的性质定理2: 等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合(简称 “ 三线合一 ” ). 【 几何语言 】 ：在 △ ABC中 ①∵ AB=AC, ∠ BAD= ∠ CAD ∴ BD=CD,AD ⊥ BC ②∵ AB=AC,BD=CD ∴∠ BAD= ∠ CAD，AD ⊥ BC ③∵ AB=AC，AD ⊥ BC ∴∠ BAD= ∠ CAD，BD=CD ) ( （三）等腰三角形的尺规作图 已知:如图,线段a和h.求作等腰三角形ABC,使底边BC=a,底边上的高AD=h.(保留作图痕迹并写出相应的作法) ) ( 三．经典例题 例1 已知:如图在 △ ABC中,AB=AC,点D在BC上,且AD=BD. 求证: ∠ ADB= ∠ BAC. 例2. 如图，AB＝AC，AC的垂直平分线交AB于D，交AC于E.若 ∠ A＝40°， 求 ∠ BCD 的度数. 例3. 如图，点 D 、 E 在 △ ABC 的边 BC 上， AB ＝ AC ， BD ＝ CE ， F 为 DE 的中点， 求证： AF ⊥ BC . 例4. 如图，在 △ ABC中，AB＝AC，BD＝CD，DE ⊥ AB，DF ⊥ AC，垂足分别为点E、F. 求证： △ BED ≌△ CFD. 例5. 如图，在 △ ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE ⊥ AC于点E. 求证： ∠ CBE＝ ∠ BAD. ) ( 例6. 如图，在 △ ABC中，D是BC边上一点，AD＝BD，AD＝AC， ∠ BAC＝63°， 求 ∠ DAC的度数. 例7 .如图，在 △ ABC中，AB＝AC，AD ⊥ BC于点D. (1)若 ∠ C＝42°，求 ∠ BAD的度数； (2)若点E在边AB上，F在AD的延长线上，且AE＝FE.求证：EF ∥ AC. 例8 .问题：如图，在 △ ABD中，BA＝BD，在BD的延长线上取点E，C，作 △ AEC，使EA＝EC.若 ∠ BAE＝90°， ∠ B＝45°，求 ∠ DAC的度数. 答案： ∠ DAC＝45°. 思考： (1) 如果把以上“问题”中的条件“ ∠ B＝45°”去掉，其余条件不变，那么 ∠ DAC的度数会改变吗？说明理由； (2)如果把以上“问题”中的条件“ ∠ B＝45°”去掉，再将“ ∠ BAE＝90°”改为“ ∠ BAE＝n°”，其余条件不变，求 ∠ DAC的度数. ) ( 四．基础过关 （一）选择题 1.若等腰三角形的顶角为80°，则它的底角度数为( ) A.80° B.50° C.40° D.20° 2.若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为( ) A.50° B.80° C.50°或80° D.65°或50° 3 .已知等腰三角形的周长为24，其中两边之差为6，则这个等腰三角形的腰长为( ) A.10 B.6 C.4或6 D.6或10 4. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD=DE，∠BAD=20°，∠EDC=10°，则∠DAE的度数为 ( ) A.30° B.40° C.60° D.80° ) ( （ 二）填空题 5. 过等腰三角形顶角顶点的一条直线，将该等腰三角形分成的两个三角形均为等腰三角形，则原等腰三角形的底角度数为 _________. 6 ．如图，已知 △ ABC的面积为24，AB＝AC＝8，点D为BC边上一点，过点D分别作DE ⊥ AB于E，DF ⊥ AC于F，若DF＝2DE，则DF长为 ________. 7 ．如图，在 △ ABD中，BA＝BD．在BD的延长线上取点E，C，作 △ AEC，使EA＝EC．若 ∠ BAE＝90 ° ， ∠ B＝45 ° ，则 ∠ DAC的度数为 　 　 ． 8 ．在等腰三角形ABC中， ∠ B＝40 ° ，若AB＜BC，则 ∠ C＝ 　 　 ． （三）解答题 9. 如图 ① ，在 △ ABC 中， AB=AC ，点 D 是 BC 的中点，点 E 在 AD 上． (1) 求证： BE=CE ； (2) 如图 ② ，若 BE 的延长线交 AC 于点 F ，且 BF ⊥ AC ，垂足为 F ， ∠ BAC= 45 ° ，原题设其他条件不变． 求证： △ AEF ≌△ BCF ． 1 0 ． (1)已知在△ABC中 ， ∠ A ＝90 ° ， ∠ B ＝67.5 ° ， 请画一条直线 ， 把这个三角形分割成两个等腰三角形(请你选用下面给出的备用图 ， 把所有不同的分割方法都画出来．只需画图 ， 不必说明理由 ， 但要在图中标出相等两角的度数)． (2)已知在△ABC中 ， ∠ C 是其最小的内角 ， 过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形 ， 请探求∠ABC与∠C之间的关系． ) ( 五．强化练习 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（30分） 1．如图在 △ ABC中，AB=AC，D为BC的中点， ∠ BAD= 35 ° ，则 ∠ C 的度数为 ( ) A．35 ° B．45 ° C．55 ° D．60 ° 2 .在等腰三角形ABC中,若∠A=80°,则∠B的度数是(　　) A.20°　　　B.50° C.80°　　　D.20°或50°或80° 3 .等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在的直线夹角为30°，则这个等腰三角形的顶角的度数为( ) A.30° B.60° C.30°或150° D.60°或120° 4 .已知一等腰三角形的三边长分别是 3x-1 ， x+1 ， 5 ，则 x 的值为( ) A.2 B.1或2 C.2或4 D.1或2或4 5. 等腰三角形一腰上的高与底边所夹的角等于 ( ) A．顶角 B．顶角的一半 C．顶角的2倍 D．底角的一半 ) ( 6. 如图D为 △ ABC内一点，CD平分 ∠ ACB ，BE ⊥ CD，垂足为点D，交AC于点E，A= ∠ ABE ，若AC= 10，BC=6，则BD的长为 ( ) A.5 B.3 C.4 D.2 7. AD，CE分别是 △ ABC的中线和角平分线．若AB =AC， ∠ CAD =20 ° ，则 ∠ ACE 的度数是 ( ) A.20 ° B.35 ° C.40 ° D.70 ° 8 ． 如图，在 △ A BC中，AB=AC， ∠ A=30°，E为BC延长线上一点， ∠ ABC与 ∠ ACE的平分线相交于点D，则 ∠ D的度数为（　　） A．15° B．17.5° C．20° D．22.5° 9. 如图， ∠ B= ∠ C， ∠ 1= ∠ 3，则 ∠ 1与 ∠ 2之间的关系是（　　） A． ∠ 1=2 ∠ 2 B．3 ∠ 1﹣ ∠ 2=180° C． ∠ 1 + 3 ∠ 2=180° D．2 ∠ 1 + ∠ 2=180° 10 . 在等腰△ABC中，AB＝AC，一腰上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两部分，则这个等腰三角形的底边长为（ ） A. 7 B. 7或11 C. 11 D. 7或10 二．填空题（30分） 11 ．如图在 △ ABC中，AB=AC，ADI BC于点D．若AB=6，CD=4，则 △ ABC的周长是________． 12 ．如图等腰三角形ABC中．AB =AC． ∠ BAC=70 ° ，D是BC的中点．DE ⊥ AB于点E，延长DE至点F，使EF=DE，连结AF，则 ∠ F的度数是 ______. 13 .如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,∠BAD=28°,且AD=AE,求∠EDC的度数 为_____. ) ( 14 ．如图在等腰 △ ABC中，AB=AC， ∠ B AC= 50 ° ， ∠ B AC的平分线AO与AB的中垂线DO交于点D．点C沿EF折叠后与点O重合，连结OC，则 ∠ CEF 的度数是 _______. 15 . 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=80°，E，F，P分别是AB，AC，BC边上一点，且BE=BP，CP=CF，则∠EPF=__ ____ 度． 1 6．等腰三角形顶角是84°，则一腰上的高与底边所成的角的度数是 ________. 17. 如图，在 △ ABC中，AB=AC，且AE=AD， ∠ EDC=α，则 ∠ BAD= ______. 18. 已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为（　　） 19. 如图 ， 在△ABC中 ，AB ＝AC ，BD ⊥ AC， ∠ ABC ＝72 ° ， ∠ABD的 度数 为______ ． 20 ． 如图 ， 在△PAB中 ，PA ＝PB ，M，N，K 分别是PA ，PB，AB 上的点 ， 且AM＝BK ，BN ＝AK.若∠MKN＝44° ， 则∠P的度数为 _________. 三．解答题（60分） 21 ．如图已知角 a ．线段m． 求作：等腰三角形ABC，使其顶角 ∠ B AC =x ， △ ABC的角平分线AD=m．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 22. 如图，在 △ ABC中，AB=AC，D为BC边上一点， ∠ B=30 ° ， ∠ DAB=45 ° . (1)求 ∠ DAC的度数； (2)求证：DC=AB. ) ( 23 ．如图 △ ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且 BD=CE，AD与BE相交于点F．（1）试说明 △ ABD ≌△ BCE；（2）求 ∠ AFE的度数． 25 .如图，BE是△ABC的角平分线，在AB上取点D，使DB＝DE. (1)求证：DE∥BC； (2)若∠A＝65°，∠AED＝45°，求∠EBC的度数． 2 5 . 如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上． 求证：（1）△ABD≌△ACD； （2）BE=CE． 26. 如图，在 △ ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M． （1）若 ∠ B=70 ° ，则 ∠ NMA的度数是________． （2）连接MB，若AB=8cm， △ MBC的周长是14cm． ① 求BC的长； ② 在直线MN上是否存在点P，使由P，B，C构成的 △ PBC的周长值最小？若存在，标出点P的位置并求 △ PBC的周长最小值；若不存在，说明理由． 27 ．已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝100°，AB＝AC，点D在BC上，且BD＝BA，点E在BC的延长线上，且CE＝CA. (1)求∠DAE的度数； (2)如果把题目中“AB＝AC”的条件去掉，其他条件不变，那么∠DAE的度数会改变吗？请说明理由； (3)若∠BAC＝α，其他条件与(2)相同，则∠DAE的度数是多少？为什么？ ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年暑假苏科版新八年级数学预习手册11-《1.5等腰三角形（一）》 ( 一、 预习 目标 1.理解等腰三角形的概念，能准确识别等腰三角形的腰、底边、顶角和底角。 2.掌握等腰三角形的性质，包括 “ 等边对等角 ” 和 “ 三线合一 ” ，并能运用这些性质进行简单的推理和计算。 3.通过观察、操作、思考等活动，培养自主探究能力和逻辑思维能力，体会数学中的转化思想和分类讨论思想 。 ) ( 一、 预习内容 （一）等腰三角形的定义 【活动】 如图，把一张长方形纸片对折，沿虚线剪下并展开，得到的三角形有什么特征? 这个三角形有两条边相等，有两个角相等. 【 等腰三角形的定义 】 ： 两条边相等的三角形叫做等腰三角形。其中，相等的两条边称为腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 （ 二） 等腰三角形的性质 【 讨论探究 】 在等腰三角形ABC 中，AB=AC. 那么 ∠ B= ∠ C ？ 作边BC的中线AD.在 △ ABD和 △ ACD中，AB =AC,BD =CD,AD=AD，通过 “ SSS ” ，可以证明也可以用等腰三角对称性证明 △ ABD ≌△ ACD,所以 ∠ B= ∠ C 于是，我们得到等腰三角形的性质定理1: 等腰三角形的两底角相等(简称 “ 等边对等角 ” ). 【 几何语言 】 ： ∵ 在 △ ABC中，AB=AC ∴∠ B= ∠ C ) ( 【 讨论探究 】 已知:如图在 △ ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线. 求证:　AD ⊥ BC, ∠ BAD= ∠ CAD　　　　　　　　　　.   证明: ∵ AD是BC边上的中线, ∴ BD=CD. 在 △ ABD和 △ ACD中, ∴△ ABD ≌△ ACD(SSS). ∴∠ ADB= ∠ ADC, ∠ BAD= ∠ CAD. ∵∠ ADB+ ∠ ADC=180 ° , ∴∠ ADB=1/2 × 180 ° =90 ° . ∴ AD ⊥ BC. 已知:如图在 △ ABC中,AB=AC,AD是 △ ABC的角平分线. 求证:　BD=CD,AD ⊥ BC　　　　　　　　.   证明: ∵ AD是 △ ABC的角平分线, ∴∠ BAD= ∠ CAD.在 △ ABD和 △ ACD中, ∴△ ABD ≌△ ACD(SAS). ∴ BD=CD, ∠ ADB= ∠ ADC. ∵∠ ADB+ ∠ ADC=180 ° , ∴∠ ADB=1/2 × 180 ° =90 ° . ∴ AD ⊥ BC. 已知:如图在 △ ABC中,AB=AC,AD是 △ ABC的高线. 求证:　BD=CD, ∠ BAD= ∠ CAD　　　　　　　　　　　.   证明: ∵ AD是 △ ABC的高线, ∴∠ ADB= ∠ ADC=90 ° .在Rt △ ABD和Rt △ ACD中, ∴ Rt △ ABD ≌ Rt △ ACD(HL). ∴ BD=CD, ∠ BAD= ∠ CAD. 于是，我们得到等腰三角形的性质定理2: 等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合(简称 “ 三线合一 ” ). 【 几何语言 】 ：在 △ ABC中 ①∵ AB=AC, ∠ BAD= ∠ CAD ∴ BD=CD,AD ⊥ BC ②∵ AB=AC,BD=CD ∴∠ BAD= ∠ CAD，AD ⊥ BC ③∵ AB=AC，AD ⊥ BC ∴∠ BAD= ∠ CAD，BD=CD ) ( （三）等腰三角形的尺规作图 已知:如图,线段a和h.求作等腰三角形ABC,使底边BC=a,底边上的高AD=h.(保留作图痕迹并写出相应的作法) 作法:(1)作线段BC=a; (2)作线段BC的垂直平分线MN,与线段BC交于点D; (3)在MN上截取DA=h; (4)连接AB,AC,则 △ ABC即为所求的等腰三角形. ) ( 三．经典例题 例1 已知:如图在 △ ABC中,AB=AC,点D在BC上,且AD=BD. 求证: ∠ ADB= ∠ BAC. 证明: ∵ AB=AC,AD=BD, ∴∠ B= ∠ C, ∠ B= ∠ BAD(等边对等角). ∴∠ C= ∠ BAD. ∵∠ ADB是 △ ADC的外角, ∴∠ ADB= ∠ C+ ∠ CAD. ∴∠ ADB= ∠ BAD+ ∠ CAD= ∠ BAC. 例2. 如图，AB＝AC，AC的垂直平分线交AB于D，交AC于E.若 ∠ A＝40°， 求 ∠ BCD 的度数. 解： ∵ AB ＝ AC ， ∴∠ B ＝ ∠ ACB ＝ (180°－ ∠ A )＝70°. ∵ DE 垂直平分 AC ， ∴ AD ＝ CD . ∴∠ ACD ＝ ∠ A ＝40°. ∴∠ BCD ＝ ∠ ACB － ∠ ACD ＝70°－40°＝30°. 例3. 如图，点 D 、 E 在 △ ABC 的边 BC 上， AB ＝ AC ， BD ＝ CE ， F 为 DE 的中点， 求证： AF ⊥ BC . 证明： ∵ F 为 DE 的中点， ∴ DF ＝ EF .又 ∵ BD ＝ CE ， ∴ BD ＋ DF ＝ CE ＋ EF . ∴ BF ＝ CF . ∵ AB ＝ AC . ∴ AF ⊥ BC . 例4. 如图，在 △ ABC中，AB＝AC，BD＝CD，DE ⊥ AB，DF ⊥ AC，垂足分别为点E、F. 求证： △ BED ≌△ CFD. 证明： ∵ DE ⊥ AB，DF ⊥ AC， ∴∠ BED＝ ∠ CFD＝90°. ∵ AB＝AC， ∴∠ B＝ ∠ C. 在 △ BED和 △ CFD中， ∴△ BED ≌△ CFD(AAS). ) ( 例5. 如图，在 △ ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE ⊥ AC于点E. 求证： ∠ CBE＝ ∠ BAD. 证明： ∵ AB＝AC，AD是BC边上的中线， ∴∠ CAD＝ ∠ BAD，AD ⊥ BC.又 ∵ BE ⊥ AC， ∴∠ CBE＋ ∠ C＝ ∠ CAD＋ ∠ C＝90°. ∴∠ CBE＝ ∠ CAD. ∴∠ CBE＝ ∠ BAD. 例6. 如图，在 △ ABC中，D是BC边上一点，AD＝BD，AD＝AC， ∠ BAC＝63°， 求 ∠ DAC的度数. 解： ∵ AD＝BD，AD＝AC， ∴∠ B＝ ∠ BAD， ∠ ADC＝ ∠ C.又 ∵∠ ADC＝ ∠ B＋ ∠ BAD＝2 ∠ B， ∴∠ C＝2 ∠ B.在 △ ABC中， ∠ B＋ ∠ C＋ ∠ BAC＝180°，即 ∠ C＋ ∠ C＋63°＝180°， ∴∠ C＝78°.在 △ ACD中， ∠ DAC＝180°－ ∠ C－ ∠ ADC＝180°－2 ∠ C＝24°. 例7 .如图，在 △ ABC中，AB＝AC，AD ⊥ BC于点D. (1)若 ∠ C＝42°，求 ∠ BAD的度数； (2)若点E在边AB上，F在AD的延长线上，且AE＝FE.求证：EF ∥ AC. (1)解： ∵ AB＝AC，AD ⊥ BC于点D， ∴∠ BAD＝ ∠ CAD， ∠ ADC＝90°.又 ∵∠ C＝42°， ∴∠ BAD＝ ∠ CAD＝90°－42°＝48°. (2)证明：由(1)知 ∠ BAD＝ ∠ CAD. ∵ AE＝FE， ∴∠ BAD＝ ∠ F. ∴∠ F＝ ∠ CAD. ∴ EF ∥ AC. 例8 .问题：如图，在 △ ABD中，BA＝BD，在BD的延长线上取点E，C，作 △ AEC，使EA＝EC.若 ∠ BAE＝90°， ∠ B＝45°，求 ∠ DAC的度数. 答案： ∠ DAC＝45°. 思考： (1) 如果把以上“问题”中的条件“ ∠ B＝45°”去掉，其余条件不变，那么 ∠ DAC的度数会改变吗？说明理由； (2)如果把以上“问题”中的条件“ ∠ B＝45°”去掉，再将“ ∠ BAE＝90°”改为“ ∠ BAE＝n°”，其余条件不变，求 ∠ DAC的度数. 解：(1) ∠ DAC的度数不会改变.理由如下： ∵ EA＝EC， ∴∠ CAE＝ ∠ C. ∴∠ AED＝2 ∠ C. ∵∠ BAE＝90°， ∴∠ B＝90°－ ∠ AED＝90°－2 ∠ C. ∵ BA＝BD， ∴∠ BDA＝ (180°－ ∠ B)＝ [180°－(90°－2 ∠ C)]＝45°＋ ∠ C. ∴∠ DAC＝ ∠ BDA－ ∠ C＝45°. (2)设 ∠ B＝m°，则 ∠ BDA＝ (180°－m°)＝90°－ m°， ∠ AEB＝180°－n°－m°. ∵ EA＝EC， ∴∠ C＝ ∠ AEB＝90°－ n°－ m°. ∴∠ DAC＝ ∠ BDA－ ∠ C＝ n°. ) ( 四．基础过关 （一）选择题 1.若等腰三角形的顶角为80°，则它的底角度数为( ) A.80° B.50° C.40° D.20° 【 答案 】 ：B 【 解析】在等腰三角形中，根据等边对等角，因此两个底角的度数相等，顶角度数为80 ° ，则底角的度数为(180 ° -80 ° ) ÷ 2=50 ° ，故选 B. 2.若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为( ) A.50° B.80° C.50°或80° D.65°或50° 【 答案 】 ：C 【 解析】因为题中没有明确说明该角是顶角还是底角，所以需分两种情况: ① 50 ° 是顶角，则顶角即为50 ° ; ② 50 ° 是底角，则根据三角形的内角和是180 ° ，可知顶角为80 ° ...该等腰三角形的顶角的度数为50 ° 或80 ° .故选 C. 3 .已知等腰三角形的周长为24，其中两边之差为6，则这个等腰三角形的腰长为( ) A.10 B.6 C.4或6 D.6或10 【 答案 】 ： A 【 解析】设等腰三角形的腰长为x.因为题中没有明确说明是腰长比底边长长6还是底边长比腰长长6，所以需分两种情况: ① 当腰长比底边长长6时，底边长为(x-6)，则x-6+2x=24,解得x=10，此时三角形的三边长为10，10，4，满足三角形的三边关系， ∴ 腰长是 10; ② 当底边长比腰长长6时，底边长为(x+6)，则x+6+2x=24，解得x=6，此时三角形的三边长为6，6，12，不满足三角形的三边关系，故不成立.综上，该三角形的腰长是10.故选 A. 4. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD=DE，∠BAD=20°，∠EDC=10°，则∠DAE的度数为 ( ) A.30° B.40° C.60° D.80° 【 答案 】 ：C 【 解析】设 ∠ B=a. ∵ AB=AC. ∴∠ B= ∠ C； ∴∠ C=a； ∵ ∠ ADC是 △ ABD 的一个外角 ∠ ADC= ∠ B+ ∠ BAD； ∵ ∠ BAD=20 °∠ EDC=10 ° ； ∴∠ ADE=a+20 ° -10 ° =a+10 °∵∠ AED是 △ CDE的一个外角.. ∠ AED=ZC+ ∠ EDC=a+10 °∵ AD=DE； ∴∠ DAE= ∠ AED=a+10 ° ； ∴ a+10 ° +a+10 ° +a+10 ° =180 °∴ a=50 ° ； ∴∠ DAE=a+10 ° =60 ° 故选 C. （ 二）填空题 5. 过等腰三角形顶角顶点的一条直线，将该等腰三角形分成的两个三角形均为等腰三角形，则原等腰三角形的底角度数为 _________. 【 答案】 36°或45° . 【 解析】 如图 ① ，AD＝BD，AC＝DC，可求得 ∠ B＝ ∠ C＝36°；如图 ② ，AD＝BD＝DC，可求得 ∠ B＝ ∠ C＝45°. 6 ．如图，已知 △ ABC的面积为24，AB＝AC＝8，点D为BC边上一点，过点D分别作DE ⊥ AB于E，DF ⊥ AC于F，若DF＝2DE，则DF长为 ________. ) ( 【 答案】 4 【 解析】 连接AD，则：S △ ABD +S △ ACD ＝S △ ABC ，即： × 8 • DF+ 8 • DE＝24，可得：DE+DF＝6， ∵ DF＝2DE， ∴ DF＝4， 7 ．如图，在 △ ABD中，BA＝BD．在BD的延长线上取点E，C，作 △ AEC，使EA＝EC．若 ∠ BAE＝90 ° ， ∠ B＝45 ° ，则 ∠ DAC的度数为 　 　 ． 【 答案】 45 ° 【 解析】 ∵ EA＝EC， ∴∠ EAC＝ ∠ C， ∵ BA＝BD， ∴∠ BAD＝ ∠ BDA， ∴∠ ADB＝ ∠ BAD＝ （180 °﹣ 45 ° ）＝67.5 ° ， ∵∠ BAE＝90 ° ， ∠ B＝45 ° ， ∵∠ AEB＝ ∠ B＝45 ° ， ∠ EAC＝ ∠ C， ∴∠ EAC＝22.5 ° ， ∴∠ DAE＝ ∠ DAE+ ∠ EAC＝45 ° ，故答案为：45 ° ． 8 ．在等腰三角形ABC中， ∠ B＝40 ° ，若AB＜BC，则 ∠ C＝ 　 　 ． 【 答案】 40 ° 【 解析】 ∵ AB＜BC， ∴∠ B是底角， ① 当 ∠ B＝ ∠ A＝40 ° 时， ∠ C＝100 ° ，此时AB＞BC，不符合题意； ② 当 ∠ B＝ ∠ C＝40 ° 时，条件成立；综上， ∠ C＝40 ° ．故答案为：40 ° ． （三）解答题 9. 如图 ① ，在 △ ABC 中， AB=AC ，点 D 是 BC 的中点，点 E 在 AD 上． (1) 求证： BE=CE ； (2) 如图 ② ，若 BE 的延长线交 AC 于点 F ，且 BF ⊥ AC ，垂足为 F ， ∠ BAC= 45 ° ，原题设其他条件不变． 求证： △ AEF ≌△ BCF ． 证明： (1 ) ∵ AB=AC ， D 是 BC 的中点， ∴∠ BAE= ∠ EAC ，在 △ ABE 和 △ ACE 中， ， △ ABE ≌ ACE (SAS) ， ∴ BE=CE ； (2) ∵∠ BAC=45 ° ， BF ⊥ AF ， ∴△ ABF 为等腰直角三角形， ∴ AF=BF ， ∵ AB=AC ，点 D 是 BC 的中点， ∴ AD ⊥ BC ， ∴∠ EAF+ ∠ C=90 ° ， ∵ BF ⊥ AC ， ∴∠ CBF+ ∠ C=90 ° ， ∴ 么 EAF= ∴ CBF ，在 △ AEF 和 △ BCF 中， ， ∴ △ AEF ≌△ BCF (ASA) ． ) ( 1 0 ． (1)已知在△ABC中 ， ∠ A ＝90 ° ， ∠ B ＝67.5 ° ， 请画一条直线 ， 把这个三角形分割成两个等腰三角形(请你选用下面给出的备用图 ， 把所有不同的分割方法都画出来．只需画图 ， 不必说明理由 ， 但要在图中标出相等两角的度数)． (2)已知在△ABC中 ， ∠ C 是其最小的内角 ， 过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形 ， 请探求∠ABC与∠C之间的关系． 解 ： 如解图①②(共有2种不同的分割法)． (2)设∠ABC＝y ， ∠ C ＝x ， 过点B的直线交边AC于点D.在△DBC中 ， ① 若∠C是顶角 ， 如解图③ ， 则∠CBD＝∠CDB＝90 ° － x ， ∠ A ＝180 ° －x－y. 故∠ADB＝180 ° －∠CDB＝90 ° ＋ x＞90 ° ， 此时只能有∠A＝∠ABD ， 即180 ° －x－y＝y－ （ 90 o - x ） ， ∴ 3x ＋4y＝540 ° ， ∴∠ ABC ＝135 ° － ∠C. ② 若∠C是底角 ， 第一种情况：如解图④ ， 当DB＝DC时 ， ∠ DB C＝x.在△ABD中 ， ∠ ADB ＝2x ， ∠ ABD ＝y－x.若AB＝AD ， 则2x＝y－x ， 此时有y＝3x ， ∴∠ ABC ＝3∠C.若AB＝BD ， 则180 ° －x－y＝2x ， 此时有3x＋y＝180 ° ， ∴∠ ABC ＝180 ° －3∠C.若AD＝BD ， 则180 ° －x－y＝y－x ， 此时有y＝90 ° ， 即∠ABC＝90 ° ， ∠ C 为小于45 ° 的任意锐角． , , 第二种情况：如解图⑤ ， 当BD＝BC时 ， ∠ BDC ＝x ， ∠ ADB ＝180 ° －x＞90 ° ， 此时只能有AD＝BD ， ∴∠ A ＝∠ABD＝ ∠BDC＝ ∠C＜∠C ， 这与题设∠C是最小角矛盾． ∴ 当∠C是底角时 ，BD ＝BC 不成立． 综上所述 ， ∠ ABC 与∠C之间的关系是∠ABC＝135 ° － ∠C或∠ABC＝3∠C或∠ABC＝180 ° － 3 ∠ C 或∠ABC＝90 ° ， ∠ C 是小于45 ° 的任意锐角． ) ( 五．强化练习 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（30分） 1．如图在 △ ABC中，AB=AC，D为BC的中点， ∠ BAD= 35 ° ，则 ∠ C 的度数为 ( ) A．35 ° B．45 ° C．55 ° D．60 ° 【 答案】 C 【 解析】 ∵ AB=AC,D为BC的中点， ∴ ∠ C AD= ∠ B AD=35 ° ,AD ⊥ DC, ∴ 在 △ ADC中, ∠ C =90 ° - ∠ C AD=55 ° ，故选C． 2 .在等腰三角形ABC中,若∠A=80°,则∠B的度数是(　　) A.20°　　　B.50° C.80°　　　D.20°或50°或80° 【 答案】 D　 【解析】 当∠A=∠B时,∠B=80°;当∠A=∠C时,∠C=80°,∴∠B=180°-∠A-∠C =180°-80°-80°=20°;当∠B=∠C时,∵∠A+∠B+∠C=180°,即80°+∠B+∠B=180°, ∴∠B=50°.综上所述,∠B的度数为20°或50°或80°.故选D. 3 .等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在的直线夹角为30°，则这个等腰三角形的顶角的度数为( ) A.30° B.60° C.30°或150° D.60°或120° 【 答案 】 ：D 【 解析】因为题中没有明确说明等腰三角形是锐角三角形还是钝角三角形，所以需分两种情况: ① 当为锐角三角形时，如图1，此时顶角 ∠ A=180 ° -30 ° -90 ° =60 ° ，而且此时的等腰三角形恰好为等边三角形; ② 当为钝角三角形时，如图2,此时顶角 ∠ BAC=90 ° +30 ° =120 ° .所以该等腰三角形的顶角的度数为60 ° 或120 ° .故选D. 4 .已知一等腰三角形的三边长分别是 3x-1 ， x+1 ， 5 ，则 x 的值为( ) A.2 B.1或2 C.2或4 D.1或2或4 【 答案 】 ： A 【 解析】由等腰三角形的定义，有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，所以需分三种情况: ① 3x-1=5，解得x=2，此时三角形的三边长为5，5，3，满足三角形三边关系，. ∴ x的值为 2; ② x+1=5，解得x=4，此时三角形的三边长为5，5，11，不满足三角形的三边关系，故不成立; ③ 3x-1=x+1，解得x=1，此时三角形的三边长为 2，2，5，不满足三角形的三边关系，故不成立.所以x的值为 2.故选A. 5. 等腰三角形一腰上的高与底边所夹的角等于 ( ) A．顶角 B．顶角的一半 C．顶角的2倍 D．底角的一半 【 答案】 B 【 解析】 如图，在 △ ABC中，AB=AC,CD ⊥ A B于点D，作BC边上的高 A E，与CD相交于点D． ∵ ∠ A OD= ∠ C OE．AE ⊥ BC．CD ⊥ AB, ∴ ∠ D AO= ∠ E CO．根据等腰 三 角形 “ 三线合一 ” 的性质知，AE为 △ ABC顶角的平分线 ， ∴ ∠ B AE= ∠ C AE= ∠ E CO， ∴ ∠ ECO= ∠ CAB． ∴ 等腰三角形一腰上的高与底边所夹的角等于顶角的一半．故选B． ) ( 6. 如图D为 △ ABC内一点，CD平分 ∠ ACB ，BE ⊥ CD，垂足为点D，交AC于点E，A= ∠ ABE ，若AC= 10，BC=6，则BD的长为 ( ) A.5 B.3 C.4 D.2 【 答案】 D 【 解析】 ∵ ∠ A = ∠ ABE ， ∴ AE= BE， ∵ CD — 平分 ∠ ACB ， ∴ ∠ B CD= ∠ E CD， ∵ BE ⊥ CD， ∴ ∠ B DC= ∠ E DC=90 ° ， 又 ∵ DC= DC, ∴ ABDC △ EDC(ASA), ∴ EC= BC= 6,BD= ED, ∴ BE =AE=AC-EC= 10-6=4， ∴ B D= BE=2．故选D． 7. AD，CE分别是 △ ABC的中线和角平分线．若AB =AC， ∠ CAD =20 ° ，则 ∠ ACE 的度数是 ( ) A.20 ° B.35 ° C.40 ° D.70 ° 【 答案】 B 【解析】 ∵ AD是 △ ABC的中线，AB=AC ， ∠ C AD=20 ° ， ∴ ∠ C AB=2 ∠ C AD=40 ° ， ∠ B = ∠ ACB ， ∴ ∠ ACB = × （180 ° - ∠ CAB） =70 ° ．又 ∵ CE 是 △ ABC的角平分线 ， ∴ ∠ ACE = ∠ ACB =35 ° .故选B． 8 ． 如图，在 △ A BC中，AB=AC， ∠ A=30°，E为BC延长线上一点， ∠ ABC与 ∠ ACE的平分线相交于点D，则 ∠ D的度数为（　　） A．15° B．17.5° C．20° D．22.5° 【 答案】 A 【解答】 ∵∠ ABC的平分线与 ∠ ACE的平分线交于点D， ∴∠ 1= ∠ 2， ∠ 3= ∠ 4， ∵∠ ACE= ∠ A + ∠ ABC，即 ∠ 1 + ∠ 2= ∠ 3 + ∠ 4 + ∠ A， ∴ 2 ∠ 1=2 ∠ 3 + ∠ A， ∵∠ 1= ∠ 3 + ∠ D， ∴∠ D= ∠ A= × 30°=15°．故选A． 9. 如图， ∠ B= ∠ C， ∠ 1= ∠ 3，则 ∠ 1与 ∠ 2之间的关系是（　　） A． ∠ 1=2 ∠ 2 B．3 ∠ 1﹣ ∠ 2=180° C． ∠ 1 + 3 ∠ 2=180° D．2 ∠ 1 + ∠ 2=180° 【 答案】 B 【 解析 】 ∵∠ 1= ∠ 3， ∠ B= ∠ C， ∠ 1 + ∠ B + ∠ 3=180°， ∴ 2 ∠ 1 + ∠ C=180°， ∴ 2 ∠ 1 + ∠ 1﹣ ∠ 2=180°， ∴ 3 ∠ 1﹣ ∠ 2=180°．故选B． ) ( 10 . 在等腰△ABC中，AB＝AC，一腰上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两部分，则这个等腰三角形的底边长为（ ） A. 7 B. 7或11 C. 11 D. 7或10 【 答案】B 【 解析】 设这个等腰三角形的腰长为a，底边长为b．∵D为AC的中点，∴AD＝DC＝ AC＝ a．根据题意得 或 解得 或 又∵三边长为10，10，7和8，8，11均可以构成三角形．∴这个等腰三角形 底边长为7或11． 二．填空题（30分） 11 ．如图在 △ ABC中，AB=AC，ADI BC于点D．若AB=6，CD=4，则 △ ABC的周长是________． 【 答案 】 20 【 解析 】 ∵ 在 △ ABC中,AB =.4C,11B=6， ∴ AC=6，又 ∵ AD ⊥ BC 于 点D,CD=4， ∴ BD= CD =4（等腰三角形 三 线合一）， ∴ BC=8， ∴ AB+AC+BC=6+6+8=20，即 △ ABC的周长为20. 12 ．如图等腰三角形ABC中．AB =AC． ∠ BAC=70 ° ，D是BC的中点．DE ⊥ AB于点E，延长DE至点F，使EF=DE，连结AF，则 ∠ F的度数是 ______. 【 答案 】 55 ° 【 解析 】 ∵ A B=AC,D是BC的中点， ∴∠ BAD= ∠ BAC = × 70 ° = 35 ° , ∵ DE ⊥ AB, ∴ ∠ A DE= 55 ° , ∵ EF= DE, DE ⊥ AB, ⊥ AF=AD, ⊥∠ F= ∠ A D E =55 ° . 13 .如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,∠BAD=28°,且AD=AE,求∠EDC的度数 为_____. 【答案】 14°. 【 解析 】 　∵AB=AC,AD⊥BC,∴∠DAE=∠BAD=28°,∠ADC=90°.∵AD=AE,∴∠ADE = (180°-∠DAE)= ×(180°-28°)=76°,∴∠EDC=90°-∠ADE=90°-76°=14°. 14 ．如图在等腰 △ ABC中，AB=AC， ∠ B AC= 50 ° ， ∠ B AC的平分线AO与AB的中垂线DO交于点D．点C沿EF折叠后与点O重合，连结OC，则 ∠ CEF 的度数是 _______. 【 答案 】 50 ° 【 解析 】 连结OB , ∵ AO是等腰 △ ABC顶角的平分线， ∠ BAC =50 ° , ∴∠ OAD= ∠ OAC=25 ° ，且OA所在的直线是BC的垂直平分线 ， ∴ OB =OC，又 ∵ OD所在的直线是AB的垂直平分线， ∴ OA= OB, ∴ OA= OC, ∴∠ OCA= ∠ OAC= 25 ° ． ∵ AB =AC, ∴ ∠ ACB = ∠ ABC = 65 ° , ∴∠ OCE= ∠ ACB - ∠ OCA=65 ° -25 ° = 40 ° ．又 ∵ ∠ OEF= ∠ C EF, ∠ E CO= ∠ E OC= 40 ° , ∴∠ OEC=2 ∠ CEF=180 ° - ∠ E CO- ∠ E OC= 100 ° , ∴ ∠ CEF=50 ° . ) ( 15 . 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=80°，E，F，P分别是AB，AC，BC边上一点，且BE=BP，CP=CF，则∠EPF=__ ____ 度． 【答案】50 【解析】 ∵在△ABC中，AB=AC，∠A=80°，∴∠B=∠C=50°，∵BE=BP，∴∠BEP=∠EPB=65°，同理，∠FPC=65°，∠EPF=180°-65°-65°=50°．故答案为50°． 1 6．等腰三角形顶角是84°，则一腰上的高与底边所成的角的度数是 ________. 【 答案】 42° 【 解析 】如图： △ ABC中，AB=AC，BD是边AC上的高． ∵∠ A=84°，且AB =AC， ∴∠ ABC= ∠ C=（180°﹣84°） ÷ 2=48°；在Rt △ BDC中， ∠ BDC=90°， ∠ C=48°； ∴∠ DBC=90°﹣48°=42°． 17. 如图，在 △ ABC中，AB=AC，且AE=AD， ∠ EDC=α，则 ∠ BAD= ______. 【 答案】 2α 【 解析】 ∵ AB=AC， ∴∠ B= ∠ C．设 ∠ B= ∠ C=β， ∴∠ AED= ∠ EDC + ∠ C=α + β，又 ∵ AD=AE， ∴∠ ADE= ∠ AED=α + β，则 ∠ ADC= ∠ ADE + ∠ EDC=2α + β，又 ∵∠ ADC= ∠ B + ∠ BAD， ∴ 2α + β=β + ∠ BAD， ∴∠ BAD=2α． 18. 已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为（　　） 【 答案】 50°或80° 【 解析】 如图所示， △ ABC中，AB=AC．有两种情况：①顶角 ∠ A=50°；②当底角是50°时， ∵ AB=AC， ∴∠ B= ∠ C=50°， ∵∠ A + ∠ B + ∠ C=180°， ∴∠ A=180°﹣50°﹣50°=80°， ∴ 这个等腰三角形的顶角为50°和80°． 19. 如图 ， 在△ABC中 ，AB ＝AC ， BD ⊥ AC， ∠ ABC ＝72 ° ， ∠ABD的 度数 为______ ． 【答案】 54 ° 【 解析 】　∵AB＝AC ， ∠ ABC ＝72 ° ， ∴∠ ACB ＝∠ABC＝72 ° ， ∴∠ A ＝36 ° . ∵ BD ⊥ AC， ∴∠ ABD ＝90 ° －36 ° ＝54 ° . 20 ． 如图 ， 在△PAB中 ，PA ＝PB ，M，N，K 分别是PA ，PB，AB 上的点 ， 且AM＝BK ，BN ＝AK.若∠MKN＝44° ， 则∠P的度数为 _________. ) ( 【 答案】 92° 【解析 】 　∵PA＝PB ， ∴∠ A ＝∠B.在△AMK和△BKN中 ， ∵ ∴△ AMK ≌△ BKN (SAS)．∴∠AMK＝∠BKN. ∵∠ MKB ＝∠MKN＋∠BKN＝∠A＋∠AMK ， ∴∠ A ＝∠MKN＝44° ， ∴∠ P ＝180°－∠A－∠B＝92°. 三．解答题（60分） 21 ．如图已知角 a ．线段m． 求作：等腰三角形ABC，使其顶角 ∠ B AC =x ， △ ABC的角平分线AD=m．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【 答案】 【 解析 】 ① 作 ∠ MAN=a; ② 作 ∠ MAN的平分线AF; ③ 在AF上截取AD=m; ④ 过点D作BD ⊥ AF，交射线AM于点 B ，交射线AN于点C．则 △ ABC即为所求作的三角形． 22. 如图，在 △ ABC中，AB=AC，D为BC边上一点， ∠ B=30 ° ， ∠ DAB=45 ° . (1)求 ∠ DAC的度数； (2)求证：DC=AB. 解：(1) ∵ AB=AC， ∴∠ B= ∠ C=30 ° ， ∵∠ C+ ∠ BAC+ ∠ B=180 ° ， ∴∠ BAC=180 °﹣ 30 °﹣ 30 ° =120 ° ， ∵∠ DAB=45 ° ， ∴∠ DAC= ∠ BAC ﹣∠ DAB=120 °﹣ 45 ° =75 ° ； (2)证明： ∵∠ DAB=45 ° ， ∴∠ ADC= ∠ B+ ∠ DAB=75 ° ， ∴∠ DAC= ∠ ADC， ∴ DC=AC， ∴ DC=AB. 23 ．如图， △ ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且 BD=CE，AD与BE相交于点F． （1）试说明 △ ABD ≌△ BCE； （2）求 ∠ AFE的度数． 解 ： （1）证明： ∵△ ABC为等边三角形， ∴ AB=BC， ∠ ABD= ∠ C=60°， 在 △ ABD和 △ BCE中 ∴△ ABD ≌△ BCE（SAS）； （2）由（1）有 △ ABD ≌△ BCE， ∴∠ BAF= ∠ FBD， ∴∠ AFE= ∠ BAF + ∠ ABF= ∠ ABF + ∠ FBD= ∠ ABD=60°． ) ( 25 .如图，BE是△ABC的角平分线，在AB上取点D，使DB＝DE. (1)求证：DE∥BC； (2)若∠A＝65°，∠AED＝45°，求∠EBC的度数． 证明： (1)∵BE是△ABC的角平分线，∴∠DBE＝∠EBC，∵DB＝DE，∵∠DEB＝∠DBE，∴∠DEB＝∠EBC，∴DE∥BC； (2)∵DE∥BC，∴∠C＝∠AED＝45°，在△ABC中，∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，∴∠ABC＝180°－∠A－∠C＝180°－65°－45°＝70°.∵BE是△ABC的角平分线，∴∠DBE＝∠EBC＝ ∠ABC＝35°. 2 5 . 如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上． 求证：（1）△ABD≌△ACD； （2）BE=CE． 证明：（1）∵D是BC的中点，∴BD＝CD，在△ABD和△ACD中， ， ∴△ABD≌△ACD（SSS）； （2）由（1）知△ABD≌△ACD，∴∠BAD＝∠CAD，即∠BAE＝∠CAE，在△ABE和△ACE中，∵ ∴△ABE≌△ACE （SAS），∴BE＝CE（全等三角形的对应边相等）． 26. 如图，在 △ ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M． （1）若 ∠ B=70 ° ，则 ∠ NMA的度数是________． （2）连接MB，若AB=8cm， △ MBC的周长是14cm． ① 求BC的长； ② 在直线MN上是否存在点P，使由P，B，C构成的 △ PBC的周长值最小？若存在，标出点P的位置并求 △ PBC的周长最小值；若不存在，说明理由． 解：（1）50 ° （2）猜想的结论为： ∠ NMA=2 ∠ B ﹣ 90 ° ． 理由： ∵ AB=AC， ∴∠ B= ∠ C， ∴∠ A=180 °﹣ 2 ∠ B，又 ∵ MN垂直平分AB， ∴∠ NMA=90 °﹣∠ A=90 °﹣ （180 °﹣ 2 ∠ B）=2 ∠ B ﹣ 90 ° ．如图： ①∵ MN垂直平分AB． ∴ MB=MA，又 ∵△ MBC的周长是14cm， ∴ AC+BC=14cm， ∴ BC=6cm． ② 当点P与点M重合时，PB+CP的值最小，最小值是8cm． 27 ．已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝100°，AB＝AC，点D在BC上，且BD＝BA，点E在BC的延长线上，且CE＝CA. (1)求∠DAE的度数； (2)如果把题目中“AB＝AC”的条件去掉，其他条件不变，那么∠DAE的度数会改变吗？请说明理由； (3)若∠BAC＝α，其他条件与(2)相同，则∠DAE的度数是多少？为什么？ ) ( 解： (1)∵AB＝AC，∠BAC＝100°，∴∠B＝∠ACB＝40°，∵BD＝BA，∴∠BAD＝∠BDA＝ (180°－∠B)＝70°，∵CE＝CA，∴∠CAE＝∠E＝ ∠ACB＝20°，在△ABE中，∠BAE＝180°－∠B－∠E＝120°，∴∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝50°； (2)不改变，设∠CAE＝x°，∵CE＝CA，∴∠E＝∠CAE＝x°，∴∠ACB＝∠E＋∠CAE＝2x°，∵在△ABC中，∠BAC＝100°，∴∠B＝180°－∠BAC－∠ACB＝80°－2x°，又∵BD＝BA，∴∠BAD＝∠BDA＝ (180°－∠B)＝50°＋x°，∴∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝(100°＋x°)－(50°＋x°)＝50°； (3)∠DAE＝ α，∵BD＝BA，∴∠BAD＝∠BDA＝ (∠180°－∠B)，∴∠DAC＝∠BAC－∠BAD＝ α－ (180°－∠B)＝α－90°＋ ∠B，∵CE＝CA，∴∠CAE＝∠E＝ ∠ACB，∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE＝α－90°＋ ∠B＋ ∠ACB＝α－90°＋ (180°－α)＝ α. ) 学科网（北京）股份有限公司 $$