湖南省永州市第一中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷

永州市一中 2025 年上期高二期末考试·数学 第1页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 永州市一中 2025 年上期高二期末考试 数 学 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． 1．已知复数 z 满足  + =zi 2 2i，则 =z A． 2 B． 2 2 C．4 D．8 2．设集合 R=U ， = = −A x y x| ln 2  )( ， R= = B y y xx| 2 ,  ，则下列关系正确的是 A． A B B． B A C． C A BU D． B C AU 3．若向量 ,a b 满足 2 8a b= = ，且 ) 48a b a−  =( ，则 ,a b 的夹角为 A． 3 π2 B． 2 π C． 3 π D． 6 π 4．在 −x( 2)5 的展开式中， x2 的系数为 A．−10 B．10 C．−5 D．5 5．若 = −x 2是函数 = + − −f x x ax x1 e2 1)()( 的极值点，则 f x)( 的极小值为 A． −1 B． − −2e 3 C． −5e 3 D．1 6．已知双曲线 − =   a b C a b x y : 1( 0, 0) 2 2 2 2 的一个焦点为 F 2,0)( ，且双曲线的渐近线与圆 − + =x y2 32 2 )( 相切，则双曲线C 的离心率为 A． 3 2 3 B． 3 C．2 D． 2 3 7．已知正四棱锥的侧棱长为3 3 ，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为 A. 1 B. 3 C. 2 D. 3 永州市一中 2025 年上期高二期末考试·数学 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 8．已知 ( ) ( )2log 1 4 xf x x−= + + ，则满足 ( ) ( )2 3f m f m−  的实数m 的取值范围为 A． ( )1,3 B． 3 ,3 2       C． ( ),3− D． ( )3, + 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9．己知随机变量 X 服从正态分布 (0,1)N ，设函数 ( ) ( )f x P X x=  ，则下列说法正确的是 A． ( )0 1f = B． ( )f x 是偶函数 C． ( )f x 的图象关于点 1 0, 2       中心对称 D． ( )f x 是增函数 10．已知函数 ( )f x 是定义在 R 上的偶函数， ( )1f x+ 是定义在 R 上的奇函数，则 A． ( )f x 的图象关于点 ( )1,0 中心对称 B． ( )f x 是周期为 2 的函数 C． ( )2027 0f = D． ( ) 19 1 0 i f i = = 11．定义：一个平面封闭区域内任意两点之间的距离的最大值称为该区域的“直径”．在 ABC 中， 1,BC BC= 边上的高等于 tan A，以 ABC△ 的各边为直径向 ABC△ 外分别作三个半圆，记三个 半圆围成的平面区域为W ，其“直径”为 d ，则 A. 2 2 3AB AC+ = B. ABC△ 面积的最大值为 5 4 C. 当 π 2 ABC = 时， 5 1 2 d + = D. d 的最大值为 6 1 2 + 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12．已知 ln 1 2 a y x 为奇函数，则实数 a ． 13．已知数列 na 满足 1 1 22 2 2 n n na a a n −+ + + =  ，则数列 1 1 n na a +       前 100 项和为 ． 14．若 ,a b为正实数，函数 ( ) ( ) ( ) 2 1 2ex af x bx x+ − += + 在 xR上单调递增，则 a b− 的最大值 为 ． 永州市一中 2025 年上期高二期末考试·数学 第3页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分 13 分）已知数列 na 的首项 1 3 5 a = ，且满足 1 1 3 2 n n n a a a + = + ． （1）求证：数列 1 1 na   −    为等比数列． （2）若 1 2 3 1 1 1 1 100 na a a a + + + +  ，求满足条件的最大整数 n ． 16．（本题满分 15 分）已知函数 ( ) ln e 1x x a f x x x = − + − ． （1）若在 ( )( )1, 1f 处的切线斜率为 1− ，求 a； （2）若 ( ) 0f x  恒成立，求 a的取值范围． 17．（本题满分 15 分）如图，在四棱锥 E ABCD− 中， EA⊥平面 ABCD，平面 EAC ⊥平面EBD ， 2AB AD AE= = = ， 3 2 2 AC = ． （1）证明： BD EC⊥ ； （2）若 AB AD⊥ ， P 为 ED的中点，求 PC 与平面 EAC 所成角的正弦值． 永州市一中 2025 年上期高二期末考试·数学 第4页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 18．（本题满分 17 分）已知椭圆 2 2 2 2 : 1( 0) x y E a b a b + =   的右焦点为 (1,0)F ， ,A B 分别为椭圆 E 的 左，右顶点， ,C D分别为椭圆 E 的上，下顶点，四边形 ABCD的面积为 4 3 ． （1）求椭圆 E 的方程； （2）过点 F 且斜率不为 0 的直线 l 与椭圆 E 相交于M N、 两点，直线 AM 与 BN 的交点为 P ． ①若直线 l 的倾斜角为 π 6 ，求线段MN 的长度； ②试问 APB 是否有最大值？如果有，求出 APB 的最大值；如果没有，说明理由． 19．（本题满分 17 分）《最强大脑》“脑王争霸”是节目中最激烈 的 高智商对抗环节，通常由往届擂 主与多名挑战者进行多轮脑力对决．现有一擂主与三名挑战者甲、乙、丙． （1）擂主与甲、乙、丙各比赛一局，各局比赛结果相互独立．已知该擂主与甲、乙、丙比赛获胜 的概率分别为 1 1 1 , , 2 3 4 ．求该擂主连胜三局的概率． （2）若新赛制让甲和乙进行比赛，规定每局比赛胜者得 1 分，负者得 0 分，没有平局，比赛进行 到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为  ，乙获胜的概率为  ，且每局比赛结果相互独立． （i）若比赛最多进行 5 局，求比赛结束时比赛局数 X 的分布列及期望 ( )E X 的最大值； （ii）若比赛不限制局数，记“甲赢得比赛”为事件M ，证明： 2 2 2 ( )P M    = + ． 永州市一中2025年上期高二期末考试 数学参考答案及评分标准 单项选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B c c A A D A 二、多项选择题 题号 9 10 11 答案 CD AC ABD 三、填空题 12.4 13. 5 14.n2+1 四、解答题 15.(本题满分13分) 解析： 3a. 1)由题意，数列a,}满足a2a+7,可得。 -2a+1-1.1+2 a 13a.3a.3 2分 可得 1-1=1+-1=2-,即8= n+1 3a33a 1-13 4分 又迪4所以日1 3 2 5分 所以数列 表示首项为行，公比为的等比数列， 6分 7分 所以号号9=29 8分 设数列 的前n项和为Sn, a 求州市一中2025年上期高二期末考试·数学参考答案及评分标准第1页（共7页） 则8=++++上=2+++ )+ aaa 9分 =2× -虹 n=n+1 …10分 若S。<100,即n+1 30c100 因为函数f(y)=x+1-二为单调递增函数 3 11分 f(99)<100,f(100)>100 12分 所以满足S,<100的最大整数n的值为99. ……13分 16.(本题满分15分) 解析： 1D因为f(x)的定义域为(0，+o),所以f田=e_1-血x-Q x2 】分 依题整了0=心-1加日=1， 3分 解得a=e: 4分 (2)因为f=e_血x+-1的定义坡为(0，） 5分 又f=e_血x+g-1=xe-血r+a-x≥0 xx 所以xe-nx+a-x≥0恒成立 44年44”44 ….6分 令g()=e-血x+a-x,xe(0+).则g=(+。- 7分 令M)=。-xe(0+),则)=e+子>0 8分 所以h(x)在(0，+o)上单调递增 9分 求州市一中2025年上期高二期末考试·数学参考答案及评分标准第2页（共7页） 又月=e-2<0,h0=e-10,所以3我e 使得h(x)=0 即g(x)=0,e-=0,则h,=-x 11分 所以当x∈(0，x)时g(x)<0,当x∈(x,+o)时g(x)>0 所以g(x)在(0，x。)上单调递减，在(x,+∞)上单调递增 13分 所以g(x)=g(）=xe-血x。-x+a=1+x0-x。+a20…l4分 所以a≥-1，即实数a取值范围为[-1，+0)： 15分 17.(本题满分15分) 解析： (1)证明：连接OE,作AF⊥OE,垂足为F .1分 因为平面EAC⊥平面EBD,平面EAC∩平面EBD=OB,AFC平面EAC 所以AF⊥平面EBD 2分 又BDC平面EBD,所以AF⊥BD 3分 因为EA⊥平面ABCD,BDC平面ABCD,所以EA⊥BD …4分 又EA∩AF=A,EA,AFC平面EAC,所以BD⊥平面EAC 5分 因为ECc平面EAC,所以BD⊥EC. 6分 (2)由题意知AB,AE,AD两两垂直，以A为坐标原点，以AB,AE,AD所在的 直线分别为X轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图所示）…7分 则400，o,B(20,o.E0,20.D0.0,2).c20 P(0,11) 所以8D=(20,2.0P=（31-》 44410分 由(1)知，BD⊥平面E4C,所以BD=(-2,0,2)为平面EAC的一个法向量12分 设CP与平面EAC所成角为0， 求州市一中2025年上期高二期末考试·数学参考答案及评分标准第3页（共7页） BD.CP 所以sin6=cos BD,CP 2 厅 BD·lCr 2V2×4 7 14分 即直线CP与平面B4C所成角的正弦值为V 7 …15分 18.(本题满分17分) 解析： 2a×2b=4V5 (1)由题知 2 …2分 a2=b2+1 解得a=2,b=√5， 3分 所以椭圆E的方程为 43 4分 5 (2)①当直线1的倾斜角为严时，直线1的方程为y=」 (x-1D 5分 6 3 + =1 43 由 消x得到13y2+65y-9=0 y= 6分 3-D 所以y+片=一 6N5 9 13= 8分 13 求州市一中2025年上期高二期末考试·数学参考答案及评分标准第4页（共7页） 所以-+是-+是G+产-4=下 6W32+4×948 13 13 49分 ②由①知A(-2,0),B(2,0),易知y2≠0，设直线1：x=y+1 [x+ -=1 由 43,消x得到(32+4)y2+6y-9=010分 x=y+1 -611 9 所以片+为=3m㎡产+4y=3m2+4 12分 股直线A,BP的斜率分别为人k,且X十2= 13分 53-2 9m4+y3m士4 -6m 所套品是 -9m 315分 +3y2 32+4 得到3站=k,又tan∠APB=齿-_2 2 一s2=5 1+kk1+3 *制23 16分 1 当且收当3时，mPB的最大做为 3 又乙APB∈(O,,所以∠APB的最大值为石 …17分 VA 19.(本题满分17分) 解析： (1)设该擂主连胜三局为事件A,该擂主与甲、乙、丙比赛获胜分别为事件B,C,D,则 求州市一中2025年上期高二期末考试·数学参考答案及评分标准第5页（共7页） PC=分p以O=子p(D)=子由题知，事件4，B,C相互独立， 所以p(④=p(BCD)=Pp(B)p(C)p(D)=x{x是1 23424 1 所以该擂主连胜三局的概率为 24 …4分 (2)()因为没有平局，所以每局比赛结果仅有“甲获胜”或者“乙获胜”，则心+B=1 .5分 由题意得X的所有可能取值为：2,4,5， 6分 P(X=2)=a2+B2, .7分 P(X=4)=(aB+Ba)a+(aB+Ba)B2=2aB(a+B2) 8分 P(X=5)=(aB+Ba)(aB+Ba)a+(aB+Ba)(aB+Ba).B=4aB 所以X的分布列为： X 2 5 a'+B2 2aB(a'+Bi 4a2B2 所以X的期望为：F(x)=2(a+B）+8ap(ad+B2）+20aB =20-2c4)+8cy00-2a0)+20a2p2=4a2p2+40+2 10分 由1=a+P≥2师，得a0s行当且仅当a=B=号时取等号，则0<0≤ ..11分 因此0=4o0+4a0+2=Qa0+0+1s2x+1-号 3 所以E()的最大值为 4 …12分 求州市一中2025年上期高二期末考试·数学参考答案及评分标准第6页（共7页） ()设事件A,B分别表示每局比赛“甲获胜”，“乙获胜”. 由题知甲最后赢得比赛的局数是偶数 由题设可知前两局比赛结果可能是AA,BB,AB,BA,其中事件AA表示“甲赢得比赛”， 事件BB表示“乙赢得比赛”，事件AB,BA表示“甲、乙各得1分”， 当甲、乙得分总数相同时，甲最后赢得比赛的概率与比赛一开始甲赢得比赛的概率相同， 所PO=PAA)·1+PBB)O+P(AB·PMO+P(BA)·PMO 13分 =P(A)P(A)+P(A)P(BP(M+P(BP(AP(M 14分 =a'+aBP(M)+BaP(M)=a+2aBP(M) 15分 因此d-2ap0)PM0=a,得PM0=1-2ap 2 .16分 a" a2 Q2 而a+B=l,所以PM0=a+Pr-2a0&+2ap+p2-2a0+P 17分 求州市一中2025年上期高二期末考试·数学参考答案及评分标准第7页（共7页）