椭圆 考点练习-2026届高三数学一轮复习

椭圆 基础巩固 一、单选题 1．(2024·四川成都七中开学考)椭圆＋＝1的焦距是2，则m的值为(　　) A．5 B．3 C．5或3 D．20 [答案]　C [解析]　因为焦距是2，所以c＝1，当焦点在x轴时，a2＝m，b2＝4，∴c2＝a2－b2＝m－4＝1，解得m＝5，当焦点在y轴时，a2＝4，b2＝m，∴c2＝a2－b2＝4－m＝1，解得m＝3，故选C． 2．(2024·福建百校联盟联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴长为2，点M在椭圆上，若|MF|的最大值是最小值的3倍，则椭圆的焦距为(　　) A．3 B．4 C．1 D．2 [答案]　D [解析]　依题意，椭圆短轴长为2，得b＝，则a2－c2＝b2＝3，又|MF|的最大值是最小值的3倍，即a＋c＝3(a－c)，所以a＝2c，所以a＝2，c＝1，则其焦距为2c＝2.故选D. 3．(2025·辽宁葫芦岛模拟)已知椭圆G：＋＝1，A，B为G的短轴端点，P为G上异于A，B的一点，则直线AP，BP的斜率之积为(　　) A． B． C．－ D．－ [答案]　C [解析]　设P(x0，y0)，则有＋＝1，即有y－3＝，由椭圆方程可得其短轴端点坐标分别为(0，)、(0，－)，则kAP·kBP＝·＝＝＝－.故选C． 4．(2024·福建泉州二模)若椭圆＋＝1(a>0)的离心率为，则该椭圆的焦距为(　　) A． B． C．2或 D．2或 [答案]　D [解析]　若椭圆的焦点在x轴，则离心率e＝＝，得a2＝6，此时焦距2c＝2＝2，若椭圆的焦点在y轴，则离心率e＝＝，得a2＝，此时焦距2c＝2＝，所以该椭圆的焦距为2或.故选D. 5．(2025·安徽重点高中联盟校摸底)已知椭圆C：＋＝1(λ>0且λ≠4)，则“C的离心率e＝，是λ＝8”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [答案]　B [解析]　当焦点在x轴时，e＝＝， 解得λ＝8，当焦点在y轴时，e＝＝， 解得λ＝2，故“C的离心率e＝”是“λ＝8”的必要不充分条件．故选B. 6．(2023·新课标Ⅰ卷)设椭圆C1：＋y2＝1(a>1)，C2：＋y2＝1的离心率分别为e1，e2.若e2＝e1，则a＝(　　) A． B． C． D． [答案]　A [解析]　由e2＝e1，得e＝3e，因此＝3×，而a>1，所以a＝.故选A． 7．(2025·河南平许济络质检)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若·＝－2，则椭圆C的方程为(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 [答案]　B [解析]　显然离心率e＝＝＝，解得＝，即b2＝a2，A1，A2分别为C的左右顶点，B为上顶点，则A1(－a,0)，A2(a,0)，B(0，b)，于是＝(－a，－b)，＝(a，－b)，而·＝－2，即－a2＋b2＝－2，又b2＝a2，因此联立解得a2＝8，b2＝6，所以椭圆的方程为＋＝1.故选B. 8．(2025·广西示范性高中质检)已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在M上，Q为PF2的中点，且F1Q⊥PF2，|F1Q|＝b，则M的离心率为(　　) A． B． C． D． [答案]　C [解析]　由题意得|PF1|＝|F1F2|＝2c，则|QF2|＝|PF2|＝(2a－|PF1|)＝a－c.在△QF1F2中，由|F1Q|2＋|QF2|2＝|F1F2|2，得b2＋(a－c)2＝4c2，则a2－c2＋a2－2ac＋c2＝4c2，得a2－ac－2c2＝(a－2c)(a＋c)＝0，解得a＝2c，所以M的离心率为＝. 9．(2024·河南焦作期中)已知椭圆C：＋＝1的右焦点为F，点E(0,2)，点P是C上的动点，则|PF|＋|PE|的最小值为(　　) A．5 B．10－2 C．10 D．10＋2 [答案]　B [解析]　若F′为椭圆左焦点且F′(－4,0)，则|PF′|＋|PF|＝2a＝10，故|PF|＝10－|PF′|，所以|PF|＋|PE|＝|PE|－|PF′|＋10，而||PE|－|PF′||≤|EF′|＝2，所以－2≤|PE|－|PF′|≤2，仅当P，E，F′共线时取等号，综上，|PF|＋|PE|的最小值为10－2，取值条件为P，E，F′共线且E在P，F′之间．故选B. 二、多选题 10．(2024·山东临沂联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在C上，且|PF1|的最大值为3，最小值为1，则(　　) A．椭圆C的离心率为 B．△PF2F1的周长为4 C．若∠F2PF1＝60°，则△PF2F1的面积为3 D．若|PF1||PF2|＝4，则∠F2PF1＝60° [答案]　AD [解析]　由题意a＋c＝3，a－c＝1，故a＝2，c＝1，故A正确；△PF2F1的周长为2a＋2c＝6，故B错误；若∠F2PF1＝60°，则|F2F1|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1|·|PF2|，即(2c)2＝(2a)2－3|PF1|·|PF2|，故|PF1|·|PF2|＝4，故S△PF2F1＝|PF1|·|PF2|sin 60°＝，故C错误；由余弦定理|F2F1|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos∠F2PF1＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|(1＋cos∠F2PF1)，即4＝16－2×4(1＋cos∠F2PF1)，解得cos∠F2PF1＝，故∠F2PF1＝60°，故D正确．故选AD. 11．(2025·河南许昌高级中学测试)已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P是椭圆C上一点，则(　　) A．当a＝b时，满足∠F1PF2＝90°的点P有2个 B．△PF1F2的周长一定小于4a C．△PF1F2的面积可以大于 D．若|PF1|≤2b恒成立，则C的离心率的取值范围是 [答案]　ABD [解析]　当点P的坐标为(0，b)或(0，－b)时，∠F1PF2最大，此时，若a＝b，则b＝c，所以∠F1PF2＝90°，A正确；△PF1F2周长为2a＋2c<4a，故B正确；△PF1F2的面积为|F1F2||yP|≤bc≤＝，故C错误；因为a－c≤|PF1|≤a＋c，所以a＋c≤2b，可得5c2＋2ac－3a2≤0，得5e2＋2e－3≤0，得－1≤e≤，又e∈(0,1)，所以e∈，故D正确．故选ABD. 三、填空题 12．(2025·湖南长沙长郡中学月考)点M在椭圆＋＝1上，F是椭圆的一个焦点，N为MF的中点，|ON|＝3，则|MF|＝________. [答案]　4 [解析]　如图，根据椭圆的对称性，不妨设F为左焦点，F′为右焦点，由椭圆＋＝1，得a＝5,2a＝10，∵N是MF的中点，O是FF′的中点，∴ON为△FMF′的中位线，∴|MF′|＝2|ON|＝6，∴由椭圆的定义得|MF|＝2a－|MF′|＝10－6＝4. 13．(2025·河北唐山摸底)已知椭圆C的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，若△ABF为等腰三角形，则C的离心率为________. [答案]　 [解析]　不妨设椭圆的长轴、短轴、焦距分别为2a,2b,2c(a>0，b>0，c>0)，则a2＝b2＋c2，且根据椭圆性质易知F(－c,0)，A(a,0)，B(0，b)，所以|AB|＝，|AF|＝a＋c，|BF|＝a，显然若△ABF为等腰三角形，则只能有|AB|＝|AF|，即a2＋b2＝(a＋c)2⇒a2－2ac－2c2＝0，则1－2－22＝0⇒e＝＝. 14．(2025·广东调研)已知点P在椭圆C：＋y2＝1上运动，D(0,6)，动点Q满足|DQ|＝，则|PQ|的最大值为________. [答案]　6 [解析]　依题设P(x，y)，则＋y2＝1，－1≤y≤1，由|DQ|＝，可得点Q的轨迹是以D为圆心，为半径的圆．|DP|2＝x2＋(y－6)2＝10－10y2＋(y－6)2＝－9y2－12y＋46＝－92＋50≤50，|DP|≤5，当且仅当y＝－取等号，即|DP|max＝5，故|PQ|max＝|DP|max＋＝5＋＝6. 15．(2024·云南曲靖一中阶段测试)曲线＋＝1上点到直线x－2y＋8＝0距离的最小值为________. [答案]　 [解析]　解法一：令x－2y＋m＝0与＋＝1相切，联立整理可得25y2－16my＋4m2－36＝0， 所以Δ＝256m2－400(m2－9)＝0，可得m＝±5， 当x－2y＋5＝0，此时与x－2y＋8＝0的距离为＝， 当x－2y－5＝0，此时与x－2y＋8＝0的距离为＝， 所以曲线到直线距离的最小值为. 解法二：设x＝3cos θ，则y＝2sin θ，则曲线上的点到直线x－2y＋8＝0的距离d＝＝≥＝. ，即dmin＝. 能力提升 1．(2025·湖南长沙雅礼中学开学考)过椭圆C：＋＝1的中心作直线l交椭圆于P、Q两点，F是C的一个焦点，则△PFQ周长的最小值为(　　) A．16 B．14 C．12 D．10 [答案]　B [解析]　设C的另一个焦点为F′，根据椭圆的对称性知|PF|＝|QF′|，所以△PFQ的周长为|PF|＋|QF|＋|PQ|＝|QF′|＋|QF|＋|PQ|＝8＋|PQ|，当线段PQ为椭圆短轴时，|PQ|有最小值6，所以△PFQ的周长的最小值为14.故选B. 2．(2024·江西五市九校联考)若点P既在直线l：x－y＋2＝0上，又在椭圆C：＋＝1(a>b>0)上，C的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝2，且∠F1PF2的平分线与l垂直，则C的长轴长为(　　) A． B． C．或 D．或 [答案]　B [解析]　由|F1F2|＝2，得F1(－1,0)，F2(1,0)，因为∠F1PF2的平分线与l垂直，所以直线PF1，PF2关于l对称，点F1关于直线x－y＋2＝0的对称点为F′1(－2,1)，所以直线F′1F2的方程为y＝－(x－1)，与x－y＋2＝0联立得P，2a＝|PF1|＋|PF2|＝＋＝.故选B. 3．(2025·云南昆明摸底)设椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，过坐标原点O的直线与E交于A，B两点，点C满足＝，若·＝0，·＝0，则E的离心率为(　　) A． B． C． D． [答案]　D [解析]　设E的左焦点为F′，由＝，可设|FC|＝3t，则|AF|＝2t，由·＝0，结合椭圆的性质知|BC|＝|AC|＝|AF|＋|FC|＝5t，由·＝0，可得|BF|＝4t，又|BF′|＝2t，所以|BF|＋|BF′|＝6t＝2a，解得t＝a，在Rt△BFF′中，由勾股定理得(2t)2＋(4t)2＝(2c)2，即4c2＝20t2＝a2，所以e＝＝.故选D. 4．(2024·河北沧州七县期中联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为点F1(－c,0)，F2(c,0)，若椭圆C上存在一点M使得△MF1F2的内切圆半径为，则椭圆C的离心率的最大值是(　　) A． B． C． D． [答案]　C [解析]　由题意可得|MF1|＋|MF2|＝2a，|F1F2|＝2c，所以S△MF1F2＝(|MF1|＋|MF2|＋|F1F2|)·＝，又S△MF1F2＝|F1F2|·|yM|＝c·|yM|，所以|yM|＝，又|yM|≤b，所以≤b＝，化简，得≤a2－c2，即≤a－c，解得≤，所以e的最大值为.故选C． 5．(2024·吉林四平期中)已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆C上的一点，则|PF1|·(|PF2|＋2)的最大值为________. [答案]　25 [解析]　因为点P是椭圆C上的一点，所以|PF1|＋|PF2|＝8，又由均值不等式可得|PF1|(|PF2|＋2)≤2＝25，当且仅当|PF1|＝|PF2|＋2，即|PF1|＝5，|PF2|＝3时等号成立． 拓展应用(选作) (2025·湖北武汉部分学校调研)设椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左右焦点为F1，F2，右顶点为A，已知点P在椭圆E上，若∠F1PF2＝90°，∠PAF2＝45°，则椭圆E的离心率为(　　) A． B． C．2－ D．－1 [答案]　D [解析]　由椭圆E：＋＝1(a>b>0)，可得F1(－c,0)，F2(c,0)，A(a,0)，不妨设点P(x1，y1)在第一象限，由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a， 因为∠F1PF2＝90°，可得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即(|PF1|＋|PF2|2)－2|PF1||PF2|＝4c2， 可得4a2－2|PF1||PF2|＝4c2， 所以|PF1||PF2|＝2(a2－c2)＝2b2， 所以△F1PF2的面积为S＝|PF1||PF2|＝b2， 可得×2c·y1＝b2，解得y1＝， 又因为a－x1＝y1，可得x1＝a－， 即P，将点P代入椭圆的方程， 可得＋＝1，整理得a2＋b2－2ac＝0， 因为b2＝a2－c2，可得c2＋2ac－2a2＝0， 即e2＋2e－2＝0，解得e＝－1和e＝－－1(舍去)， 即椭圆C的离心率为－1.故选D. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 椭圆 基础巩固 一、单选题 1．(2024·四川成都七中开学考)椭圆＋＝1的焦距是2，则m的值为(　　) A．5 B．3 C．5或3 D．20 2．(2024·福建百校联盟联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴长为2，点M在椭圆上，若|MF|的最大值是最小值的3倍，则椭圆的焦距为(　　) A．3 B．4 C．1 D．2 3．(2025·辽宁葫芦岛模拟)已知椭圆G：＋＝1，A，B为G的短轴端点，P为G上异于A，B的一点，则直线AP，BP的斜率之积为(　　) A． B． C．－ D．－ 4．(2024·福建泉州二模)若椭圆＋＝1(a>0)的离心率为，则该椭圆的焦距为(　　) A． B． C．2或 D．2或 5．(2025·安徽重点高中联盟校摸底)已知椭圆C：＋＝1(λ>0且λ≠4)，则“C的离心率e＝，是λ＝8”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．(2023·新课标Ⅰ卷)设椭圆C1：＋y2＝1(a>1)，C2：＋y2＝1的离心率分别为e1，e2.若e2＝e1，则a＝(　　) A． B． C． D． 7．(2025·河南平许济络质检)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若·＝－2，则椭圆C的方程为(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 8．(2025·广西示范性高中质检)已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在M上，Q为PF2的中点，且F1Q⊥PF2，|F1Q|＝b，则M的离心率为(　　) A． B． C． D． 9．(2024·河南焦作期中)已知椭圆C：＋＝1的右焦点为F，点E(0,2)，点P是C上的动点，则|PF|＋|PE|的最小值为(　　) A．5 B．10－2 C．10 D．10＋2 二、多选题 10．(2024·山东临沂联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在C上，且|PF1|的最大值为3，最小值为1，则(　　) A．椭圆C的离心率为 B．△PF2F1的周长为4 C．若∠F2PF1＝60°，则△PF2F1的面积为3 D．若|PF1||PF2|＝4，则∠F2PF1＝60° 11．(2025·河南许昌高级中学测试)已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P是椭圆C上一点，则(　　) A．当a＝b时，满足∠F1PF2＝90°的点P有2个 B．△PF1F2的周长一定小于4a C．△PF1F2的面积可以大于 D．若|PF1|≤2b恒成立，则C的离心率的取值范围是 三、填空题 12．(2025·湖南长沙长郡中学月考)点M在椭圆＋＝1上，F是椭圆的一个焦点，N为MF的中点，|ON|＝3，则|MF|＝________. 13．(2025·河北唐山摸底)已知椭圆C的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，若△ABF为等腰三角形，则C的离心率为________. 14．(2025·广东调研)已知点P在椭圆C：＋y2＝1上运动，D(0,6)，动点Q满足|DQ|＝，则|PQ|的最大值为________. 15．(2024·云南曲靖一中阶段测试)曲线＋＝1上点到直线x－2y＋8＝0距离的最小值为________. 能力提升 1．(2025·湖南长沙雅礼中学开学考)过椭圆C：＋＝1的中心作直线l交椭圆于P、Q两点，F是C的一个焦点，则△PFQ周长的最小值为(　　) A．16 B．14 C．12 D．10 2．(2024·江西五市九校联考)若点P既在直线l：x－y＋2＝0上，又在椭圆C：＋＝1(a>b>0)上，C的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝2，且∠F1PF2的平分线与l垂直，则C的长轴长为(　　) A． B． C．或 D．或 3．(2025·云南昆明摸底)设椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，过坐标原点O的直线与E交于A，B两点，点C满足＝，若·＝0，·＝0，则E的离心率为(　　) A． B． C． D． 4．(2024·河北沧州七县期中联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为点F1(－c,0)，F2(c,0)，若椭圆C上存在一点M使得△MF1F2的内切圆半径为，则椭圆C的离心率的最大值是(　　) A． B． C． D． 5．(2024·吉林四平期中)已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆C上的一点，则|PF1|·(|PF2|＋2)的最大值为________. 拓展应用(选作) (2025·湖北武汉部分学校调研)设椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左右焦点为F1，F2，右顶点为A，已知点P在椭圆E上，若∠F1PF2＝90°，∠PAF2＝45°，则椭圆E的离心率为(　　) A． B． C．2－ D．－1 学科网（北京）股份有限公司 $$