数列的概念与简单表示法 讲义-2026届高三数学一轮复习

数列的概念与简单表示法 课前学习任务 一、必备知识 知识点一　数列的有关概念 概念 含义 数列 按照 一定顺序排列的一列数 数列的项 数列中的 每一个数 数列的通项 数列{an}的第n项an 通项公式 数列{an}的第n项an与n之间的关系能用公式 an＝f(n)表示，这个公式叫做数列{an}的通项公式 前n项和 数列{an}中，Sn＝ a1＋a2＋…＋an叫做数列{an}的前n项和 知识点二　数列的表示方法 列表法 列表格表示n与an的对应关系 图象法 把点 (n，an)画在平面直角坐标系中 公式法 通项公式 把数列的通项使用 公式表示的方法 递推公式 使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示数列的方法 知识点三　an与Sn的关系 若数列{an}的前n项和为Sn， 则an＝ 知识点四　数列的分类 归 纳 拓 展 1．数列与函数 数列可以看作是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值．数列的通项公式是相应函数的解析式，它的图象是一群孤立的点． 2．常见数列的通项公式 (1)自然数列：1，2，3，4，…，an＝n. (2)奇数列：1，3，5，7，…，an＝2n－1. (3)偶数列：2，4，6，8，…，an＝2n. (4)平方数列：1，4，9，16，…，an＝n2. (5)2的乘方数列：2，4，8，16，…，an＝2n. (6)乘积数列：2，6，12，20，…，an＝n(n＋1)． (7)正整数的倒数列：1，，，，…，an＝. (8)重复数串列：9，99，999，9 999，…，an＝10n－1. (9)符号数列：－1，1，－1，1，…，或1，－1，1，－1，…，an＝(－1)n或an＝(－1)n＋1. 3．在数列{an}中，若an最大，则(n≥2，n∈N＋)；若an最小，则(n≥2，n∈N＋)． 二、双基自测 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)所有数列的第n项都可以用公式表示出来．(　　) (2)依据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．(　　) (3)数列的项与项数是同一个概念．(　　) (4)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对于任意n∈N*，都有an＝Sn－Sn－1.(　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× [解析]　(1)因为数列是按一定顺序排列的一列数，如我班某次数学测试成绩，按考号从小到大的顺序排列，这个数列肯定没有通项公式，所以错误． (2)比如数列1，0，1，0，…的通项公式为：an＝或an＝或an＝，所以正确． (3)数列{an}中第n项an，其中n为项数，an为项． (4)由数列前n项和的定义可知，当n∈N*，且n≥2都有an＝Sn－Sn－1，而n＝1时a1＝S1，所以不正确． 题组二　走进教材 2．(选择性必修2P8T2改编)在数列{an}中，已知a1＝1，a2＝2且an＋2＝an＋1＋2an，则32是数列的(　　) A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项 [答案]　C [解析]　由a1＝1，a2＝2，得a3＝a2＋2a1＝4，a4＝a3＋2a2＝8，a5＝a4＋2a3＝16，a6＝a5＋2a4＝32.故选C． 3．(选择性必修2P9T5改编)已知数列{an}的前n项和为Sn＝，则a5＋a6＝________. [答案]　 [解析]　a5＋a6＝S6－S4＝－＝－＝. 题组三　走向高考 4．(2022·全国乙卷)嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星．为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{bn}：b1＝1＋，b2＝1＋，b3＝1＋，…，依此类推，其中αk∈N*(k＝1，2，…)．则(　　) A．b1<b5 B．b3<b8 C．b6<b2 D．b4<b7 [答案]　D [解析]　解法一：当n取奇数时，由已知b1＝1＋，b3＝1＋，因为>，所以b1>b3，同理可得b3>b5，b5>b7，…，于是可得b1>b3>b5>b7>…，故A不正确；当n取偶数时，由已知b2＝1＋，b4＝1＋，因为>，所以b2<b4，同理可得b4<b6，b6<b8，…，于是可得b2<b4<b6<b8<…，故C不正确；因为>，所以b1>b2，同理可得b3>b4，b5>b6，b7>b8，又b3>b7，所以b3>b8，故B不正确．故选D． 解法二(特殊值法)：不妨取αk＝1，则b1＝1＋＝2，b2＝1＋＝1＋＝1＋＝，b3＝1＋＝1＋＝1＋＝，所以b4＝1＋＝1＋＝，b5＝1＋＝1＋＝，b6＝1＋＝1＋＝，b7＝1＋＝1＋＝，b8＝1＋＝1＋＝.逐一判断选项可知选D． 5．(2020·浙江卷，11，4分)我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列就是二阶等差数列．数列 (n∈N*)的前3项和是________. [答案]　10 [解析]　数列的前三项依次为＝1，＝3，＝6， ∴所求和为1＋3＋6＝10. 课堂核心考点 考点一 由数列的前几项求数列的通项公式 例根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式an. (1)－1，7，－13，19，…； (2)3，5，9，17，33，…； (3)5，55，555，5 555，…； (4)1，0，，0，，0，，0，…； (5)，1，，，…. [解析]　(1)符号可通过(－1)n或(－1)n＋1调节，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5)． (2)观察各项的特点：每一项都比2的n次幂多1，所以an＝2n＋1. (3)将原数列改写为×9，×99，×999，…，易知数列9，99，999，…的通项为10n－1，故原数列的一个通项公式为an＝(10n－1)． (4)把原数列改写成，，，，，，，，…，分母依次为1，2，3，…，而分子1，0，1，0，…周期性出现，因此原数列的一个通项公式为an＝. (5)将原数列改写为，，，，…，对于分子3，5，7，9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为bn＝2n＋1，对于分母2，5，10，17，…，联想到数列1，4，9，16，…，即数列{n2}，可得分母的通项公式为cn＝n2＋1，故可得原数列的一个通项公式为an＝. 考点点拨：由前几项归纳数列通项公式的常用方法及具体策略 1．常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等． 2．具体策略 (1)分式中分子、分母的特征； (2)相邻项的变化特征； (3)拆项后的特征； (4)各项的符号特征和绝对值特征； (5)化异为同．对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系； (6)对于符号交替出现的情况，可用(－1)k或(－1)k＋1，k∈N*处理． 注意：并不是每个数列都有通项公式，有通项公式的数列，其通项公式也不一定唯一． 【变式训练】 (2024·贵州黔南二模)n∈N*，数列1，－3，7，－15，31，…的一个通项公式为(　　) A．an＝(2n－1)cos nπ B．an＝(1－2n)sin C．an＝2n－1 D．an＝(－1)n(1－2n) [答案]　D [解析]　因为a1＝(2－1)cos π＝－1≠1，故A错误；因为a2＝(1－22)sin π＝0≠－3，故B错误；因为a2＝22－1＝3≠－3，故C错误；检验可知对n＝1，2，3，4，5均成立，故D正确．故选D． 考点二 由an与Sn的关系求通项公式 角度1　已知Sn求an问题 例1．若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n，则此数列的通项公式为an＝________. [答案]　2n－11 [解析]　当n＝1时，a1＝S1＝1－10＝－9； 当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝n2－10n－[(n－1)2－10(n－1)]＝2n－11. 当n＝1时，2×1－11＝－9＝a1，所以an＝2n－11. 2．若数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1，则此数列的通项公式为an＝____________. [答案]　 [解析]　当n＝1时，a1＝S1＝21＋1＝3； 当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1)－(2n－1＋1)＝2n－2n－1＝2n－1. 综上有an＝ 3．(2025·福州质检)已知数列{an}满足a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝，n∈N*，则数列{an}的通项公式为____________. [答案]　an＝(n∈N*) [解析]　∵a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝，① ∴当n≥2时，a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－2an－1＝，② ①－②得，2n－1an＝，∴an＝(n≥2)，③ 又∵a1＝也适合③式，∴an＝(n∈N*)． 角度2　由Sn与an的关系求an 例Sn是各项均为正数的数列{an}的前n项和，且Sn＝a＋an－14，则an＝(　　) A． 　 B．n＋3 C． D． [答案]　A [解析]　由题得Sn＝a＋an－14，Sn－1＝a＋an－1－14(n≥2)，两式相减得an＝a－a＋an－an－1(n≥2)，所以a－a－an－an－1＝0(n≥2)，所以(an－an－1)(an＋an－1)－(an＋an－1)＝0(n≥2)，所以(an＋an－1)·＝0(n≥2)．因为数列各项均为正数，所以an＋an－1>0，所以an－an－1－＝0(n≥2)，所以an－an－1＝(n≥2)，所以数列{an}是以a1为首项，以为公差的等差数列．令n＝1得a1＝a＋a1－14，解得a1＝4或－(舍去)，所以an＝4＋(n－1)＝.故选A． 考点点拨：已知Sn求an的一般步骤 1．当n＝1时，由a1＝S1，求a1的值． 2．当n≥2时，由an＝Sn－Sn－1，求得an的表达式． 3．检验a1的值是否满足2中的表达式，若不满足，则分段表示an. 4．写出an的完整表达式． Sn与an关系问题的求解思路 根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化． 1．利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式． 2．利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解． 【变式训练】 1．(角度1)(2025·福建三明一中期中)已知Sn为数列{an}的前n项和，且log2(Sn＋1)＝n＋1，则数列{an}的通项公式(　　) A．an＝2n B．an＝ C．an＝2n－1 D．an＝2n＋1 [答案]　B [解析]　由log2(Sn＋1)＝n＋1，得Sn＋1＝2n＋1.当n＝1时，a1＝S1＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n，所以数列{an}的通项公式为an＝故选B． 2．(角度2)(2024·江苏南通三模)设数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＋n＝2an，则a7＝(　　) A．65 B．127 C．129 D．255 [答案]　B [解析]　n＝1时，a1＋1＝2a1，则a1＝1.n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－n－[2an－1－(n－1)]＝2an－2an－1－1，∴an＝2an－1＋1，∴an＋1＝2(an－1＋1)，a1＋1＝2≠0，∴{an＋1}是2为首项，2为公比的等比数列，∴a7＋1＝2×26＝27＝128，∴a7＝127，故选B． 3．(角度1)设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，则an＝________. [答案]　 [解析]　因为a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，① 则当n≥2时， a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝，② ①－②得3n－1an＝，所以an＝(n≥2)． 由题意知a1＝符合上式，所以an＝. 考点三 用累加法、累乘法求通项公式 角度1　形如an＋1＝an＋f(n)，求an 例(2025·河南师大附中月考)已知数列{an}满足an＋1＝an＋，a1＝1，则an＝____________. [答案]　2－ [解析]　由题意知an－an－1＝(n≥2) ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝＋＋…＋＋1 ＝＝2－. 角度2　形如an＋1＝anf(n)，求an 例(2024·四川泸州三模)已知Sn是数列{an}的前n项和，a1＝1，nan＋1＝(n＋2)Sn，则an＝____________. [答案](n＋1)·2n－2 [解析]　当n≥2时，(n－1)an＝(n＋1)Sn－1， 即Sn＝an＋1，Sn－1＝an， 则Sn－Sn－1＝an＋1－an＝an， 即＝， 则有＝，＝，…，＝， 则an＝××…××a1＝(n＋1)·2n－2， 当n＝1时，a1＝1，符合上式，故an＝(n＋1)·2n－2. [引申]本例中Sn＝________ [答案]　n·2n－1 [解析]　Sn＝＝＝n·2n－1. 考点点拨： 1．累加法求通项公式 如果数列{an}的递推公式满足an＋1－an＝f(n)的形式，且f(n)可求和，那么就可以运用累加法an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋(an－2－an－3)＋…＋(a2－a1)＋a1(n≥2)，求出数列{an}的通项公式． 2．累乘法求通项公式 如果数列{an}的递推公式满足＝f(n)(an≠0)的形式，且f(n)可求积，那么就可以运用累乘法an＝···…··a1(n≥2)，求出数列{an}的通项公式． 【变式训练】 1．(角度1)(2024·河北保定三模)设{bn}是公差为3的等差数列，且bn＝an＋1＋an，若a1＝1，则a21＝(　　) A．21 B．25 C．27 D．31 [答案]　D [解析]　由bn＝an＋1＋an，得bn＋1＝an＋2＋an＋1，则bn＋1－bn＝an＋2－an＝3，从而a21＝a21－a19＋a19－a17＋…＋a3－a1＋a1＝3×10＋1＝31.故选D． 2．(角度2)已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝an，则{an}的通项公式为____________. [答案]　an＝(n＋1)·2n－1 [解析]　因为数列{an}满足a1＝2，an＋1＝an，则＝，所以，当n≥2时，an＝a1···…·＝2×××…×＝(n＋1)·2n－1，a1＝2也满足an＝(n＋1)·2n－1，所以，对任意的n∈N*，an＝(n＋1)·2n－1. 考点四 数列的函数性质 角度1　数列的周期性 例(2025·云南大理统测)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝－，则a2 025＝________. [答案]　1 [解析]　解法一：由题意知，a1＝1，a2＝2， a3＝－＝－2，a4＝－＝－1，a5＝－＝1， a6＝－＝2，…，因此数列{an}是周期为4的周期数列，所以a2 025＝a506×4＋1＝a1＝1. 解法二：把an＋2＝－看作f(n＋2)＝－， 则f(n＋4)＝－＝f(n)， 因此数列{an}是周期为4的周期数列， 所以a2 025＝a506×4＋1＝a1＝1. 角度2　数列的单调性 例(2024·天津南开区二模)设数列{an}的通项公式为an＝n2＋bn，若数列{an}是单调递增数列，则实数b的取值范围为(　　) A．(－3，＋∞) B．(－2，＋∞) C．[－2，＋∞) D．[－3，＋∞) [答案]　A [解析]　由题意可得an＋1－an>0恒成立，即(n＋1)2＋b(n＋1)－n2－bn＝2n＋1＋b>0，即b>－2n－1，又n≥1，－2n－1≤－3，故b∈(－3，＋∞)．故选A． 角度3　数列的最大(小)项问题 例(2025·衡水联考)已知数列{an}满足a1＝28，＝2，则的最小值为(　　) A． 　 B．4－1 C． D． [答案]　C [解析]　由an＋1－an＝2n，可得an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝28＋2＋4＋…＋2(n－1)＝n2－n＋28，∴＝n＋－1，设f(x)＝x＋，可知f(x)在(0，]上单调递减，在(，＋∞)上单调递增，又n∈N*，且＝<＝，故选C． 考点点拨： 1．解决数列周期性问题的方法：先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值． 2．判断数列单调性的方法：(1)作差(或商)法；(2)目标函数法：写出数列对应的函数，利用导数或利用基本初等函数的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去． 3．求数列中最大(小)项的方法：(1)根据数列的单调性判断；(2)利用不等式组求出n的值，进而求得an的最值． 【变式训练】 1．(角度1)(2024·山东济宁三模)已知数列{an}中，a1＝2，a2＝1，an＋1＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，则a2 024＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 [答案]　C [解析]　由a1＝2，a2＝1，an＋1＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，得a3＝a2－a1＝－1，a4＝a3－a2＝－2，a5＝a4－a3＝－1，a6＝a5－a4＝1，a7＝a6－a5＝2，a8＝a7－a6＝1，……则{an}是以6为周期的周期数列，所以a2 024＝a337×6＋2＝a2＝1.故选C． 2．(角度2)(2024·江西模拟预测)已知数列{an}满足an＝n－a(a∈R)，则“a≤1”是{|an|}是递增数列的(　　) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [答案]　B [解析]　当a≤1时an＝n－a≥0，则|an|＝|n－a|＝n－a，所以|an＋1|－|an|＝n＋1－a－(n－a)＝1>0，即|an＋1|>|an|，所以{|an|}是递增数列，故充分性成立；当a＝时|an|＝|n－|＝则|a1|<|a2|<|a3|<…，所以{|an|}是递增数列，所以当数列{|an|}是递增数列，a可以大于1，所以必要性不成立，所以“a≤1”是{|an|}是递增数列的充分不必要条件．故选B． 3．(角度3)已知数列{an}，an＝，则下列说法正确的是(　　) A．此数列没有最大项 B．此数列的最大项是a3 C．此数列没有最小项 D．此数列的最小项是a2 [答案]　B [解析]　令t＝n－1≥0，则n＝t＋1， 则y＝，当t＝0时，y＝0， 当t>0时，y＝≤＝，当且仅当t＝2，即n＝3时，取等号， 所以数列{an}有最大项a3，有最小项a1.故选B． 课后素养提升 递推数列的通项公式的求法 热点一　an＋1＝Aan＋B(A、B为常数)型 例(2025·西北师大附中调研)已知数列{an}满足a1＝－2，且an＋1＝3an＋6，则an＝____________. [答案]　3n－1－3 [解析]　∵an＋1＝3an＋6， ∴an＋1＋3＝3(an＋3)， 又a1＝－2，∴a1＋3＝1， ∴{an＋3}是首项为1，公比为3的等比数列， ∴an＋3＝3n－1，∴an＝3n－1－3. 考点点拨： 形如an＋1＝Aan＋B(其中A，B均为常数，AB(A－1)≠0)，可把原递推公式转化为an＋1－t＝A(an－t)，其中t＝，再利用换元法转化为等比数列求解． 热点二　an＋1＝(A、B、C为常数)型 例(2025·江苏南京模拟预测)已知数列{an}满足a1＝1，2an＋1－an＋anan＋1＝0(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为____________. [答案]　an＝ [解析]　数列{an}中，a1＝1，2an＋1－an＋anan＋1＝0，显然an≠0，则有＝2·＋1，即＋1＝2，而＋1＝2，因此数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以＋1＝2n，即an＝. 考点点拨： 形如an＋1＝(A，B，C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解． 热点三　an＋1＝pan＋f(n)(p为常数)型 例(1)在数列{an}中，若a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*，则an＝__________. (2)若a1＝1，an＋1＝2an＋3n，n∈N*，则an＝____________. [分析]　观察递推式特征：an＋1＝pan＋f(n)，类似等比数列，故可尝试化为等比数列求解，以(1)为例可设an＋1＋λ(n＋1)＋μ＝4(an＋λn＋μ)，整理得an＋1＝4an＋3λn＋(3μ－λ)所以即转化成功． [答案]　(1)4n－1＋n　(2)3n－2n [解析]　(1)∵an＋1＝4an－3n＋1，∴an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，即＝4，又a1＝2，∴a1－1＝1，∴{an－n}是首项为1，公比为4的等比数列，∴an－n＝4n－1.∴an＝4n－1＋n. (2)解法一：∵an＋1＝2an＋3n，令an＋1＋λ·3n＋1＝2(an＋λ·3n)比较系数得λ＝－1.∴an＋1－3n＋1＝2(an－3n)，即＝2，又a1＝1，∴a1－3＝－2，∴{an－3n}是首项为－2，公比为2的等比数列，∴an－3n＝－2n，∴an＝3n－2n. 解法二：∵an＋1＝2an＋3n，∴＝·＋1， ∴－3＝，又a1＝1， ∴是首项为－2，公比为的等比数列， ∴－3＝－2n－1，∴an＝3n－2n. 考点点拨： 1．形如an＋1＝pan＋An＋B(p、A、B为常数)的类型，可令an＋1＋λ(n＋1)＋μ＝p(an＋λn＋μ)，求出λ、μ的值即可知{an＋λn＋μ}为等比数列，进而可求an. 2．形如an＋1＝pan＋Aqn(p、A为常数)的类型．当p≠q时，可令an＋1＋λqn＋1＝p(an＋λqn)，求出λ的值即可知{an＋λqn}是等比数列，进而可求an，当p＝q时可化为＝＋A即－＝A(常数)知为等差数列，进而可求an. 【变式训练】 在数列{an}中， (1)若a1＝1，an＋1＝3an＋2，则an＝____________； (2)a1＝1，an＝(n≥2)，则an＝____________； (3)若a1＝1，an＋1＝2an－3n，n∈N*，则an＝____________； (4)若a1＝1，an＋1＝2an＋3·2n，n∈N*，则an＝____________. [答案]　(1)2×3n－1－1　(2) (3)－5·2n－1＋3n＋3　(4)(3n－2)·2n－1 [解析]　(1)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，又a1＝1， ∴a1＋1＝2，∴{an＋1}是首项为2公比为3的等比数列， ∴an＋1＝2×3n－1，∴an＝2×3n－1－1. (2)将an＝两边取倒数，得－＝2，这说明是一个等差数列，首项是＝1，公差为2，所以＝1＋(n－1)×2＝2n－1，即an＝. (3)∵an＋1＝2an－3n，令an＋1＋λ(n＋1)＋μ＝2(an＋λn＋μ)，则即 ∴an＋1－3(n＋1)－3＝2(an－3n－3)． 又a1＝1，∴{an－3n－3}是首项为－5，公比为2的等比数列，∴an－3n－3＝－5·2n－1 ∴an＝－5·2n－1＋3n＋3. (4)∵an＋1＝2an＋3·2n，∴－＝3，又a1＝1， ∴是首项为1，公差为3的等差数列， ∴＝1＋3(n－1)，∴an＝(3n－2)·2n－1. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数列的概念与简单表示法 课前学习任务 一、必备知识 知识点一　数列的有关概念 概念 含义 数列 按照 一定顺序排列的一列数 数列的项 数列中的 每一个数 数列的通项 数列{an}的第n项an 通项公式 数列{an}的第n项an与n之间的关系能用公式 an＝f(n)表示，这个公式叫做数列{an}的通项公式 前n项和 数列{an}中，Sn＝ a1＋a2＋…＋an叫做数列{an}的前n项和 知识点二　数列的表示方法 列表法 列表格表示n与an的对应关系 图象法 把点 (n，an)画在平面直角坐标系中 公式法 通项公式 把数列的通项使用 公式表示的方法 递推公式 使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示数列的方法 知识点三　an与Sn的关系 若数列{an}的前n项和为Sn， 则an＝ 知识点四　数列的分类 归 纳 拓 展 1．数列与函数 数列可以看作是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值．数列的通项公式是相应函数的解析式，它的图象是一群孤立的点． 2．常见数列的通项公式 (1)自然数列：1，2，3，4，…，an＝n. (2)奇数列：1，3，5，7，…，an＝2n－1. (3)偶数列：2，4，6，8，…，an＝2n. (4)平方数列：1，4，9，16，…，an＝n2. (5)2的乘方数列：2，4，8，16，…，an＝2n. (6)乘积数列：2，6，12，20，…，an＝n(n＋1)． (7)正整数的倒数列：1，，，，…，an＝. (8)重复数串列：9，99，999，9 999，…，an＝10n－1. (9)符号数列：－1，1，－1，1，…，或1，－1，1，－1，…，an＝(－1)n或an＝(－1)n＋1. 3．在数列{an}中，若an最大，则(n≥2，n∈N＋)；若an最小，则(n≥2，n∈N＋)． 二、双基自测 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)所有数列的第n项都可以用公式表示出来．(　　) (2)依据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．(　　) (3)数列的项与项数是同一个概念．(　　) (4)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对于任意n∈N*，都有an＝Sn－Sn－1.(　　) 题组二　走进教材 2．(选择性必修2P8T2改编)在数列{an}中，已知a1＝1，a2＝2且an＋2＝an＋1＋2an，则32是数列的(　　) A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项 3．(选择性必修2P9T5改编)已知数列{an}的前n项和为Sn＝，则a5＋a6＝________. 题组三　走向高考 4．(2022·全国乙卷)嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星．为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{bn}：b1＝1＋，b2＝1＋，b3＝1＋，…，依此类推，其中αk∈N*(k＝1，2，…)．则(　　) A．b1<b5 B．b3<b8 C．b6<b2 D．b4<b7 5．(2020·浙江卷，11，4分)我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列就是二阶等差数列．数列 (n∈N*)的前3项和是________. 课堂核心考点 考点一 由数列的前几项求数列的通项公式 例根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式an. (1)－1，7，－13，19，…； (2)3，5，9，17，33，…； (3)5，55，555，5 555，…； (4)1，0，，0，，0，，0，…； (5)，1，，，…. 考点点拨：由前几项归纳数列通项公式的常用方法及具体策略 1．常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等． 2．具体策略 (1)分式中分子、分母的特征； (2)相邻项的变化特征； (3)拆项后的特征； (4)各项的符号特征和绝对值特征； (5)化异为同．对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系； (6)对于符号交替出现的情况，可用(－1)k或(－1)k＋1，k∈N*处理． 注意：并不是每个数列都有通项公式，有通项公式的数列，其通项公式也不一定唯一． 【变式训练】 (2024·贵州黔南二模)n∈N*，数列1，－3，7，－15，31，…的一个通项公式为(　　) A．an＝(2n－1)cos nπ B．an＝(1－2n)sin C．an＝2n－1 D．an＝(－1)n(1－2n) 考点二 由an与Sn的关系求通项公式 角度1　已知Sn求an问题 例1．若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n，则此数列的通项公式为an＝________. 2．若数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1，则此数列的通项公式为an＝____________. 3．(2025·福州质检)已知数列{an}满足a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝，n∈N*，则数列{an}的通项公式为____________. 角度2　由Sn与an的关系求an 例Sn是各项均为正数的数列{an}的前n项和，且Sn＝a＋an－14，则an＝(　　) A． 　 B．n＋3 C． D． 考点点拨：已知Sn求an的一般步骤 1．当n＝1时，由a1＝S1，求a1的值． 2．当n≥2时，由an＝Sn－Sn－1，求得an的表达式． 3．检验a1的值是否满足2中的表达式，若不满足，则分段表示an. 4．写出an的完整表达式． Sn与an关系问题的求解思路 根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化． 1．利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式． 2．利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解． 【变式训练】 1．(角度1)(2025·福建三明一中期中)已知Sn为数列{an}的前n项和，且log2(Sn＋1)＝n＋1，则数列{an}的通项公式(　　) A．an＝2n B．an＝ C．an＝2n－1 D．an＝2n＋1 2．(角度2)(2024·江苏南通三模)设数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＋n＝2an，则a7＝(　　) A．65 B．127 C．129 D．255 3．(角度1)设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，则an＝________. 考点三 用累加法、累乘法求通项公式 角度1　形如an＋1＝an＋f(n)，求an 例(2025·河南师大附中月考)已知数列{an}满足an＋1＝an＋，a1＝1，则an＝____________. 角度2　形如an＋1＝anf(n)，求an 例(2024·四川泸州三模)已知Sn是数列{an}的前n项和，a1＝1，nan＋1＝(n＋2)Sn，则an＝____________. [引申]本例中Sn＝________ 考点点拨： 1．累加法求通项公式 如果数列{an}的递推公式满足an＋1－an＝f(n)的形式，且f(n)可求和，那么就可以运用累加法an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋(an－2－an－3)＋…＋(a2－a1)＋a1(n≥2)，求出数列{an}的通项公式． 2．累乘法求通项公式 如果数列{an}的递推公式满足＝f(n)(an≠0)的形式，且f(n)可求积，那么就可以运用累乘法an＝···…··a1(n≥2)，求出数列{an}的通项公式． 【变式训练】 1．(角度1)(2024·河北保定三模)设{bn}是公差为3的等差数列，且bn＝an＋1＋an，若a1＝1，则a21＝(　　) A．21 B．25 C．27 D．31 2．(角度2)已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝an，则{an}的通项公式为____________. 考点四 数列的函数性质 角度1　数列的周期性 例(2025·云南大理统测)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝－，则a2 025＝________. 角度2　数列的单调性 例(2024·天津南开区二模)设数列{an}的通项公式为an＝n2＋bn，若数列{an}是单调递增数列，则实数b的取值范围为(　　) A．(－3，＋∞) B．(－2，＋∞) C．[－2，＋∞) D．[－3，＋∞) 角度3　数列的最大(小)项问题 例(2025·衡水联考)已知数列{an}满足a1＝28，＝2，则的最小值为(　　) A． 　 B．4－1 C． D． 考点点拨： 1．解决数列周期性问题的方法：先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值． 2．判断数列单调性的方法：(1)作差(或商)法；(2)目标函数法：写出数列对应的函数，利用导数或利用基本初等函数的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去． 3．求数列中最大(小)项的方法：(1)根据数列的单调性判断；(2)利用不等式组求出n的值，进而求得an的最值． 【变式训练】 1．(角度1)(2024·山东济宁三模)已知数列{an}中，a1＝2，a2＝1，an＋1＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，则a2 024＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 2．(角度2)(2024·江西模拟预测)已知数列{an}满足an＝n－a(a∈R)，则“a≤1”是{|an|}是递增数列的(　　) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．(角度3)已知数列{an}，an＝，则下列说法正确的是(　　) A．此数列没有最大项 B．此数列的最大项是a3 C．此数列没有最小项 D．此数列的最小项是a2 课后素养提升 递推数列的通项公式的求法 热点一　an＋1＝Aan＋B(A、B为常数)型 例(2025·西北师大附中调研)已知数列{an}满足a1＝－2，且an＋1＝3an＋6，则an＝____________. 考点点拨： 形如an＋1＝Aan＋B(其中A，B均为常数，AB(A－1)≠0)，可把原递推公式转化为an＋1－t＝A(an－t)，其中t＝，再利用换元法转化为等比数列求解． 热点二　an＋1＝(A、B、C为常数)型 例(2025·江苏南京模拟预测)已知数列{an}满足a1＝1，2an＋1－an＋anan＋1＝0(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为____________. 考点点拨： 形如an＋1＝(A，B，C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解． 热点三　an＋1＝pan＋f(n)(p为常数)型 例(1)在数列{an}中，若a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*，则an＝__________. (2)若a1＝1，an＋1＝2an＋3n，n∈N*，则an＝____________. 考点点拨： 1．形如an＋1＝pan＋An＋B(p、A、B为常数)的类型，可令an＋1＋λ(n＋1)＋μ＝p(an＋λn＋μ)，求出λ、μ的值即可知{an＋λn＋μ}为等比数列，进而可求an. 2．形如an＋1＝pan＋Aqn(p、A为常数)的类型．当p≠q时，可令an＋1＋λqn＋1＝p(an＋λqn)，求出λ的值即可知{an＋λqn}是等比数列，进而可求an，当p＝q时可化为＝＋A即－＝A(常数)知为等差数列，进而可求an. 【变式训练】 在数列{an}中， (1)若a1＝1，an＋1＝3an＋2，则an＝____________； (2)a1＝1，an＝(n≥2)，则an＝____________； (3)若a1＝1，an＋1＝2an－3n，n∈N*，则an＝____________； (4)若a1＝1，an＋1＝2an＋3·2n，n∈N*，则an＝____________. 学科网（北京）股份有限公司 $$