精品解析：河南省漯河市普通高中2024-2025学年高一下学期期末教学质量监测数学试题

机密★启用前 2024－2025学年下学期高一期末质量监测 数学试题 本试卷共4页，19题，满分150分，考试时间120分钟． ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 2 2. 数据的第分位数是（ ） A. 13 B. 15 C. 17 D. 25 3. 如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，，，则原四边形的面积为（ ） A. B. C. 10 D. 12 4. 社会实践课上，老师让甲、乙两同学独立地完成某项任务，已知两人能完成该项任务的概率分别为，则此项任务被甲、乙两人完成的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 若函数为奇函数，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 6. 天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为．我们通过设计模拟实验的方法求概率．由计算机产生1～5的随机数，当出现随机数1，3，5时，表示天下雨，利用计算产生20组随机数：423，123，425，344，124，453，524，332，152，342，534，443，521，541，125，432，324，151，314，245．则这三天中恰有两天下雨的概率近似为（ ） A. B. C. D. 7. 将一个直角边长分别为2，4的直角三角形绕其较长直角边所在的直线旋转一周得到一个圆锥、则该圆锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知为函数图象上的一点，其中为不超过的最大整数，则函数（，且，）零点的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚反面向上”，事件“第二枚正面向上”，则下列说法正确的是（ ） A. 与互斥 B. C. 与对立 D. 与相互独立 10. 设为菱形所在平面外一点，与交于为上（异于）的一点，则（ ） A. B. 与异面 C. 若为的中点，则平面 D. 若，则平面 11. 已知的面积为，，为的平分线，则（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填写在答题卡上的相应位置． 12. 已知平面向量，，若与垂直，则______． 13. 非零复数的共轭复数为，若，则______． 14. 如图，在中，，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量． （1）若，求的值； （2）若与的夹角是钝角，求x的取值范围． 16. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式及单调递增区间； （2）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数图象，若不等式对任意成立，求m的取值范围. 17. 在中，角所对的边分别为，已知，且，． （1）若，求； （2）若的面积，求内切圆的周长． 18. 人工智能的广泛应用，给人们的生活带来了便捷．随着DeepSeek的开源，促进了AI技术的共享和进步．某网站组织经常使用DeepSeek的人进行了AI知识竞赛．从参赛者中随机选出100人作为样本，并将这100人按成绩分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示． （1）求； （2）求样本数据的中位数与第35百分位数； （3）已知直方图中成绩在内的平均数为85，方差为10，内的平均数为95，方差为15，求成绩在内的平均数与方差． 19. 如图，四棱锥中，平面平面，是边长为6的等边三角形，，，点在棱上，且． （1）求证：∥平面； （2）已知． ①若二面角的正切值为2，求三棱锥的体积； ②若，设直线与平面所成的角为，若，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 机密★启用前 2024－2025学年下学期高一期末质量监测 数学试题 本试卷共4页，19题，满分150分，考试时间120分钟． ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法运算可得，即可得虚部. 【详解】由题意可得：， 所以复数的虚部为2. 故选：D. 2. 数据的第分位数是（ ） A. 13 B. 15 C. 17 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用第分位数的定义求解. 【详解】由，得的第分位数是17. 故选：C 3. 如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，，，则原四边形的面积为（ ） A. B. C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求矩形的面积，再根据运算求解. 【详解】由题意可知：矩形的面积为， 所以原四边形的面积为. 故选：B. 4. 社会实践课上，老师让甲、乙两同学独立地完成某项任务，已知两人能完成该项任务的概率分别为，则此项任务被甲、乙两人完成的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知：两人不能完成该项任务的概率分别为，根据对立事件以及独立事件概率公式运算求解即可. 【详解】由题意可知：两人不能完成该项任务的概率分别为， 则此项任务不被甲、乙两人完成的概率为， 所以此项任务被甲、乙两人完成的概率为. 故选：D. 5. 若函数为奇函数，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知函数的定义域为，根据奇函数定义取特值可得，并结合奇函数定义检验即可. 【详解】令，解得，可知函数的定义域为， 若函数为奇函数，则， 可得，即，则， 可得， 即，可知函数为奇函数， 所以. 故选：B. 6. 天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为．我们通过设计模拟实验的方法求概率．由计算机产生1～5的随机数，当出现随机数1，3，5时，表示天下雨，利用计算产生20组随机数：423，123，425，344，124，453，524，332，152，342，534，443，521，541，125，432，324，151，314，245．则这三天中恰有两天下雨的概率近似为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知：共20个随机数，其中随机数1，3，5出现2次的有9次，结合古典概型运算求解. 【详解】由题意可知：共20个随机数， 其中随机数1，3，5出现2次的有123，453，332，152，534，521，541，125，314，共9次， 所以这三天中恰有两天下雨的概率近似为. 故选：C. 7. 将一个直角边长分别为2，4的直角三角形绕其较长直角边所在的直线旋转一周得到一个圆锥、则该圆锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得：圆锥外接球半径即为圆锥轴截面外接圆半径，据此用相似比可得答案. 【详解】由题知所得圆锥的底面半径为2，高为4，则母线长为， 该圆锥外接球半径即为圆锥轴截面外接圆半径. 设圆锥外接球的半径为R，则与相似， ， 故选：B 8. 已知为函数图象上的一点，其中为不超过的最大整数，则函数（，且，）零点的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据在函数图象上，得到的解析式，将函数零点个数问题转化为函数图象交点个数问题，分且和且两段讨论的解析式，根据函数图象交点判断零点个数. 【详解】因为点在函数图象上，所以，所以，， 函数零点的个数转化为方程即的解的个数， 也可转化为函数的图象与函数图象交点的个数， 因为的取值会改变的表达式，所以需要分类讨论， （1）当且时，，，， 当时，，当时，， 由图可知，与图象有个交点； （2）当且时，，，， 当时，，当时，， 由图可知，与图象有个交点； 综上，零点个数为个. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚反面向上”，事件“第二枚正面向上”，则下列说法正确的是（ ） A. 与互斥 B. C. 与对立 D. 与相互独立 【答案】BD 【解析】 【分析】根据互斥事件、相互独立事件的概念以及事件的概率求法判断即可. 【详解】抛掷两枚质地均匀的硬币的样本空间(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)， 对于AC，事件可以同时发生，因此事件与不互斥，不对立，AC错误； 对于B，，则，B正确； 对于D，，与相互独立，D正确. 故选：BD 10. 设为菱形所在平面外一点，与交于为上（异于）的一点，则（ ） A. B. 与异面 C. 若为的中点，则平面 D. 若，则平面 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用异面直线的判定定理判断AB；利用线面平行的判定推理判断C；利用线面垂直的判定推理判断D. 【详解】对于AB，在菱形中，是的中点，平面，平面， ，而平面，因此与与都是异面直线，A错误，B正确； 对于C，在菱形中，是的中点，为的中点，则， 而平面，平面，因此平面，C正确； 对于D，由，是的中点，得，而，， 平面，因此平面，D正确. 故选：BCD 11. 已知的面积为，，为的平分线，则（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】由正弦定理及逆用正弦两角和公式化简可得，即可对A判断；由的面积可得，再由余弦定理及基本不等式可对B判断求解；由，可得，再结合基本不等式可对C判断求解；结合C中，讨论当或趋近于无穷大时，则趋近于无穷大，趋近于，可对D判断求解. 【详解】A：由题意，，即， 化简整理：，即， 即，又因， 所以，又因为，， 所以，所以.故A正确； B：由的面积，解得， 余弦定理可得， 当且仅当时取等号，此时，故B错误； C：由，即， 即，当且仅当时取等号，故C正确； D：由，当或趋近于无穷大时，则趋近于无穷大，趋近于，无最小值，故D错误； 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填写在答题卡上的相应位置． 12. 已知平面向量，，若与垂直，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，结合向量垂直的坐标表示运算求解. 【详解】因为平面向量，，则， 若与垂直，则，所以. 故答案为：. 13. 非零复数的共轭复数为，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】设出复数的代数形式，再利用共轭复数的意义、复数乘法及复数模的意义求解. 【详解】设，则， ，由，得， 整理得，而，即，则， 所以. 故答案为： 14. 如图，在中，，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意结合三点共线可得，再结合平面向量基本定理可得，利用乘“1”法结合基本不等式运算求解. 【详解】因为三点共线，则，且， 且，，即，， 可得， 又因为，则， 可得，则，可得， 显然，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量． （1）若，求的值； （2）若与的夹角是钝角，求x的取值范围． 【答案】（1）1或 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据向量共线的坐标表示求出的值，进而求出及的坐标，再根据向量模的坐标计算式计算即可； （2）先分析出若与的夹角是钝角，则，且与不共线，再列出不等式组，求解即可. 【小问1详解】 若，则有，解得或. ①当时，，， 所以； ②当时，，， 所以. 所以是1或； 【小问2详解】 若与的夹角是钝角，则，且与不共线， ，解得且， 即的取值范围为. 16. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式及单调递增区间； （2）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数图象，若不等式对任意成立，求m的取值范围. 【答案】（1）；， （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数的图象，由最大值确定，由对称轴和零点的距离确定，再由最大值点确定，再代入正弦公式的单调递增区间，即可求解； （2）首先求函数的解析式，根据函数的定义域，利用代入法求函数的只有，再将不等式恒成立问题，转化为最值问题，列不等式，即可求解. 【小问1详解】 由图象可知，，，得， 当时，，，得，， 因为，所以， 所以， 令，， 得，， 所以函数的单调递增区间是，； 【小问2详解】 ， 当时，， 则， 若不等方式对任意成立，则， 得. 17. 在中，角所对的边分别为，已知，且，． （1）若，求； （2）若的面积，求内切圆的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理可得，结合题意即可得结果； （2）由正弦定理可得，利用面积公式可得，结合三角形内切圆半径公式运算求解即可. 【小问1详解】 因为，由余弦定理可得， 整理可得， 又因为，所以. 【小问2详解】 因为，，由正弦定理可得， 又因为的面积，即， 可得，且， 则，可得， 则内切圆的半径， 所以内切圆的周长. 18. 人工智能的广泛应用，给人们的生活带来了便捷．随着DeepSeek的开源，促进了AI技术的共享和进步．某网站组织经常使用DeepSeek的人进行了AI知识竞赛．从参赛者中随机选出100人作为样本，并将这100人按成绩分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示． （1）求； （2）求样本数据的中位数与第35百分位数； （3）已知直方图中成绩在内的平均数为85，方差为10，内的平均数为95，方差为15，求成绩在内的平均数与方差． 【答案】（1） （2）中位数为80，第35百分位数为75 （3）平均数为89，方差为36 【解析】 【分析】（1）由所有矩形面积之和为1可得答案； （2）由（1）中结果可估计中位数与百分位数； （3）由题可得成绩在，内的人数分别为30，20，然后由样本方差估计总体方差计算方法得答案. 【小问1详解】 由，得 【小问2详解】 前三组频率之和为， 所以样本数据的中位数为80； 前两组频率之和为 则样本数据的第35百分位数落在第三组，设第35百分位数为x， 则； 【小问3详解】 由题意，成绩在，内的人数分别为30，20． 设内数据的平均数为，方差为， 内数据的平均数为，方差为，总平均数为，方差为， 依题意，，，，则， . 所以，成绩在内的平均数为89，方差为36． 19. 如图，四棱锥中，平面平面，是边长为6的等边三角形，，，点在棱上，且． （1）求证：∥平面； （2）已知． ①若二面角的正切值为2，求三棱锥的体积； ②若，设直线与平面所成的角为，若，求的取值范围． 【答案】（1） 连接交于点，连接， ，，由相似三角形的性质，可得， 又，所以， 平面，平面， 平面． （2）① ；② 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，得到，进而证明出线面平行； （2）①作出辅助线，为二面角的平面角，根据二面角的正切值求出，求出其他各边长，利用求出体积； ②作出辅助线，得到为与平面所成角，即，求出各边长，其中，由余弦定理得，由求出，，得到答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①取的中点，取的中点，连接，，， 则，， ，， ∵是边长为6的等边三角形，则，， 又平面平面，平面平面，平面， 平面，平面，． 又，平面，平面， ∵平面，，所以为二面角的平面角． 在中，． 在中，， ， ． ②过作交于，连接，由于平面， 所以平面， 则为与平面所成角，即，． 点在棱上，且． 由，，， 由余弦定理得 ， ，，，， 故的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $