精品解析：2025年广东省东莞中学中考数学三模试卷

2025年广东省东莞中学中考数学三模试卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列实数中最大的是（　　） A. π B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握实数大小比较的方法是解答本题的关键．正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小．先化简绝对值，再比较大小即可． 【详解】， ∵， ∴最大的实数是π． 故选A． 2. 如图是由5个相同的小立方体搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识．俯视图是从物体的上面看得到的视图．找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中． 【详解】解：从上面看到的图形是： 故选：D． 3. 在东莞的可园、观音山国家森林公园、松山湖景区、鸦片战争博物馆、粤晖园这五个著名旅游景点中，随机抽取一个景点去游玩，抽到观音山国家森林公园的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了概率的运算，熟悉掌握运算方法是解题的关键． 根据概率的运算方式直接运算即可． 【详解】解：∵景点的总数为：， ∴， 故选：B． 4. 一杆古秤在称物时的状态如图所示，此时，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、邻补角，熟练掌握平行线的性质是解题关键．如图（见解析），先根据平行线的性质可得，再根据邻补角的定义求解即可得． 【详解】解：如图，∵，， ∴， ∴， 故选：C． 5. 已知是关于，的二元一次方程的一个解，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解以及解一元一次方程，理解并掌握二元一次方程的解的定义是解题关键．将代入原二元一次方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：是关于，的二元一次方程的一个解， ， 解得：， 故选：A． 6. 如图，与位似，点为位似中心，相似比为，若的周长为6，则的周长是（ ） A. 4 B. 6 C. 9 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似的性质，熟练掌握位似图形的周长之比等于位似比是解题的关键．根据周长之比等于位似比计算即可． 【详解】解：设的周长是x， ∵ 与位似，相似比为，的周长为6， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， 故选：C． 7. 方程解是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，掌握分式的运算是解题的关键，注意分式方程要检验．方程两边同时乘以公分母，进而转化为整式方程求解即可，注意分式方程要检验． 【详解】解： 两边同时乘以得：， 解得， 检验，当时， 是原方程的解， 故选：C． 8. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标“如果两个点关于原点对称，那么这两个点的横、纵坐标均互为相反数”、点所在的象限，熟练掌握关于原点对称的点的坐标变换规律是解题关键．根据如果两个点关于原点对称，那么这两个点的横、纵坐标均互为相反数求出点的坐标，由此即可得． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为， ∵， ∴点在第四象限， 即在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点在第四象限， 故选：D． 9. 如果2xmy2与﹣7x2yn﹣1可合并，则m+n为（　　） A. ﹣5 B. 5 C. ﹣4 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据同类项的概念进行求解，先求出m，n的值，再计算m+n即可得解. 【详解】与可以合并，得 ． 解得， ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了同类项的概念，熟练掌握同类项的区分方法是解决本题的关键. 10. 如图，某校九年级两个班级的劳动实践基地是两块边长为m、n的正方形，其中重叠部分B为池塘，分别表示两个阴影部分的面积．若，则（　　） A. 6 B. 21 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的变形求值，因式分解的应用，利用完全平方公式的变形求出的值，得出，进而利用平方差公式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴（取正值）， ∵ ， ∴； 故选：C． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 要使分式有意义，则的取值应该满足的条件为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件．根据分式有意义的条件：分母不为零，列不等式求解即可． 【详解】解：由题意可得：， 解得：， 故答案为：． 12. 如图，四边形是的内接四边形，若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补，由圆内接四边形对角互补，可得答案． 【详解】解：四边形是的内接四边形， ， ， ， 故答案为：． 13. 如图，一名滑雪运动员沿着坡度为：的斜坡，从滑行至，已知，则这名滑雪运动员的高度下降了_________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坡度坡比的定义，利用勾股定理解直角三角形，解题的关键是掌握坡比的定义．根据坡比的定义，得到，根据含30度角的直角三角形的性质，从而求解． 【详解】解：∵斜坡的坡度为： ∴ ∴ 在中，，， 则， 故答案为：． 14. 如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律，依此规律，用含有a，b的代数式表示y，即y=_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了数字类规律探究，经观察发现：最上面的数与左下的数为两个连续整数，右下的数是最上面的数字加2再乘以左下的数，据此即可求解． 【详解】解：由，，， 得． 故答案为：． 15. 如图，是等腰三角形，，，为边上一动点，以，为边作，，交于点，则对角线长度的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，垂线段最短，勾股定理；设交于点，以，为邻边作平行四边形，由平行四边形的性质可知是中点，最短也就是最短，所以应该过作的垂线，然后根据等腰直角三角形的性质即可求出的最小值． 【详解】解：如图，设交于点， 四边形是平行四边形， ，， 最短也就是最短， 过点作于点， ∵，， ， 是等腰直角三角形， ， '， 的最小值， 故答案为：． 三、解答题（一）（本大题共3个小题，16题6分，17，18题各7分，共20分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据零指数幂负整数指数幂，二次根式的性质化简，化简绝对值，即可求解． 【详解】解： ． 17. 如图，已知每个小正方形的边长为，都在小正方形顶点上，扇形是某个圆锥的侧面展开图． （1）计算这个圆锥侧面展开图的面积； （2）求这个圆锥的底面半径． 【答案】（1） （2）这个圆锥的底面半径为． 【解析】 【分析】（1）利用图形可以得到扇形的圆心角，和半径，利用扇形面积公式计算扇形的面积即可； （2）根据（1）的结果可求得圆锥底面半径． 【小问1详解】 解：由图可知，； 则弧的长为， ∴面积为：； 【小问2详解】 解：设底面半径为r， 则， ． 这个圆锥的底面半径为． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，解答本题需要准确掌握扇形的弧长公式，并且要善于读图． 18. 某校广播站在新学期计划招聘一名播音主持．经过层层选拔，最后甲、乙两名同学进入决赛．决赛成绩由位评委打分（满分分），广播站管理员将根据决赛数据选择一名同学担任播音主持． 数据整理：管理员将甲、乙两名同学的决赛成绩整理成如下统计图： 数据分析：管理员对甲、乙两名同学的决赛成绩进行了如下分析： 同学 平均数/分 中位数分 众数分 方差 甲 乙 请认真阅读以上信息，回答下列问题： （1）填空：_________，_________，_________． （2）甲、乙两名同学决赛成绩公布后，甲、乙两人都认为自己能够担任播音主持．请你分别站在甲、乙的角度谈谈他们各自的理由．（甲、乙各写出一条理由即可） 【答案】（1），，； （2） 甲的理由：甲、乙的决赛成绩的平均数都是分，从方差来看，甲成绩的方差为，小于乙成绩的方差为3.94，所以甲认为自己能够担任播音主持； 乙的理由：甲、乙的决赛成绩的平均数都是分，从中位数来看，乙的成绩的中位数为分，大于甲的成绩的中位数分，所以乙认为自己能够担任播音主持． 【解析】 【分析】本题考查了平均数、中位数、众数、方差，折线统计图，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据平均数、中位数、众数的定义可得答案； （）根据方差和中位数来看即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵甲同学的决赛成绩为，，，，，，，， ∴从小到大排序为：，，，，，，，， ∴中位数为第个之和的平均值， ∴， ∵乙同学的决赛成绩为，，，，，，，， ∴， ∵出现次，次数最多， ∴众数， 故答案为：，，； 【小问2详解】 略 四、解答题（二）（本大题共3小题，19，20题各9分，21题10分，共28分） 19. 如图为某公园“水上滑梯”的侧面图，其中段可看成是一段双曲线，矩形为向上攀爬的梯子，米，米．以点为原点，水面所在直线为轴建立如图的直角坐标系，其中点在轴上． （1）求段滑梯所在的双曲线的解析式不需写出的取值范围； （2）出口点距离水面的距离为米，求，之间的水平距离； （3）若要在滑梯上的点处设置一个安全警示牌，要求安全警示牌到的距离不超过米，求点到水面的距离至少多少米？ 【答案】（1） （2）米 （3）米 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的应用，掌握待定系数法求反比例函数的关系式是解题的关键． （1）利用待定系数法计算即可； （2）设点的坐标为并代入与的函数关系式，求出的值再减去的长即可； （3）设点的坐标为并代入与的函数关系式，将用表示出来，根据列关于的不等式并求其解集，从而得到的最小值即可． 【小问1详解】 解：米，米， 点的坐标为， 设段滑梯所在的双曲线的解析式为为常数，且， 将坐标代入， 得， 解得， 段滑梯所在的双曲线的解析式为． 【小问2详解】 设点的坐标为， 将代入， 得， 解得， 米， ，之间的水平距离为米． 【小问3详解】 设点的坐标为， 将代入， 得， ， 根据题意，得， 解得， 点到水面的距离至少米． 20. 某小区有一个长为米，宽为米的矩形停车场，布局如图所示．阴影部分为停车位，其余部分是等宽的通道通道与停车场的边平行或垂直，小区打算对所有停车位的地面进行重新喷漆，已知喷漆面积为平方米． （1）求通道的宽是多少米？ （2）据调查分析，小区停车场多余个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨元，就会少租出个车位，求当每个车位的月租金上涨多少元时，对外开放的总月租金收入最高，最高为多少元？ 【答案】（1）米 （2）当每个车位的月租金上涨元时，对外开放的总月租金收入最高，最高为元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，根据题意列出方程和函数关系式是解题的关键 （1）设通道的宽是米，根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解； （2）设每个车位的月租金上涨元，对外开放的总月租金收入为元，根据题意列出二次函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：设通道的宽是米， 由题意得：， 整理得：， 解得： (舍去)， ∴通道的宽是米； 【小问2详解】 设每个车位的月租金上涨元，对外开放的总月租金收入为元， 由题意得： ， ，， ∴150， 当时，(元)， ∴当每个车位的月租金上涨元时，对外开放的总月租金收入最高，最高为元． 21. 阅读以下材料，回答问题： 夏天到了，小姜想利用学过的数学知识做一个风筝．她在网上查找了制作风筝的注意事项： （1）轻质耐用：优先选用竹篾、塑料棒等轻质且有一定强度的骨架材料，搭配宣纸、尼龙布等轻便蒙面材料，以减轻自重并提升抗风性； （2）对称平衡：确保骨架左右对称，避免飞行时偏斜失衡． 制作准备 小姜找到一块形状为平行四边形的尼龙布料以及长度足够长的轻质竹条，其中，，． 制作过程 （1）如图1，小姜以点为圆心，为半径作弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，射线交于点．沿着将四边形剪下． （1）如图2，为了美化风筝，小姜打算将剩余布料四边形平均裁成四条布料，每条两端分别剪去一个直角三角形，做成长方形条状，粘在风筝上作为尾带． 任务1 裁剪下来的四边形是什么形状，是否符合风筝的形状要求？请说明理由． 任务2 用与线段和等长的竹条作为风筝骨架并固定，求需要竹条的总长度． 任务3 直接写出每条长方形尾带的长． 【答案】任务一：四边形AB是菱形，符合，理由如下： 由尺规作图可知，，为的角平分线． ，，， ，， 又， ， 又， ， ， ，四边形是菱形． 制作风筝在形状上要求图形对称；菱形是轴对称图形，符合要求． 任务二：；任务三： 【解析】 【分析】本题考查了作角平分线，全等三角形的性质与判定，菱形的判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键； 任务一：明确尺规作图的结果是四边形为菱形，结合，通过，证明，则证明菱形． 任务二：通过，可知为等边三角形，；再结合求出，再求出即可． 任务三：剪掉的部分是斜边为的直角三角形，其短直角边为，所以尾带长为． 【详解】解：任务一：略； 任务二：，， 是等边三角形． ； ， 在中，，， 任务三：取其中一条尾带，四边形为平行四边形． 如图作，，，， ∴ ， 同理， ． 每条长方形尾带的长． 五、解答题（三）（本大题共2个小题，22题13分，23题14分，共27分） 22. 【问题呈现】 （1）和都是直角三角形，，，，连接，，探究，的位置关系． ①如图1，当时，与的位置关系为______； ②如图2，当时，①中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由； 【拓展应用】 （2）某村有一块形状为直角三角形的空地如图，村长打算在点的周边，围出形状为直角三角形的区域作为菜地点，，接逆时针方向排列，且点，，要在同一直线上．已知，千米，千米，，，求点到点的距离． 【答案】（1）①； ②当时，（）中的结论还成立，证明如下： 延长交于点，交于点，如图： ，， ， ， ，即， ， ， ， ， ， （）千米或千米 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）①通过观察图形和简单的几何直观判断，当给定特定条件时，可直接得出与的位置关系为垂直； ②延长交于点，交于点，根据两角对应相等的两个三角形相似，可证，再根据相似三角形对应角相等，得到，而，所以，进而得出，即； （2）①当点在线段上时，在中，，求解，舍去负值； ②当点在线段上时，在中，，求解，舍去负值． 【详解】解：（1）①A或垂直， 如图，延长交于点， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 故答案为：； ②略 （2）①当点在线段上时，如图： 同①②可得，， ， ， 千米， ， ， ， 解得已舍去； ②当点在线段上时，如图： 同理可得， 解得负值已舍去； 综上所述，取水点到入口的距离为千米或千米． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，与轴正半轴交于点，． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点，是线段上的动点点在点的右侧，且，是否存在这样的点、使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）动直线：与抛物线交于、两点，以为直径的圆与上方的抛物线始终交于一定点，请求定点的坐标． 【答案】（1） （2）存在， （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，圆的性质，此题计算量较大，准确地计算是解题的关键． （1）根据正切的定义求得，进而得出的坐标，再用待定系数法求函数的解析式即可； （2）求出直线的解析式，设，根据，得到方程，求出的值即可求点坐标； （3）设，，由，可得，，设为直径的圆的圆心为，则，则，设，根据，可得，由是定点，可知，即可求点坐标． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， 将，，代入， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 存在这样的点、使得，理由如下： 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， 设， ∵， ∴， 解得(舍)或， ∴； 【小问3详解】 设，， ， 整理得， ∴，， 设为直径的圆的圆心为，则， 如图，过点作，轴， ∴， ∴， 设， ， ， 整理得， 是定点， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年广东省东莞中学中考数学三模试卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列实数中最大的是（　　） A. π B. C. D. 1 2. 如图是由5个相同的小立方体搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 在东莞的可园、观音山国家森林公园、松山湖景区、鸦片战争博物馆、粤晖园这五个著名旅游景点中，随机抽取一个景点去游玩，抽到观音山国家森林公园的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 一杆古秤在称物时的状态如图所示，此时，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知是关于，的二元一次方程的一个解，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，与位似，点为位似中心，相似比为，若的周长为6，则的周长是（ ） A. 4 B. 6 C. 9 D. 16 7. 方程解是（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 9. 如果2xmy2与﹣7x2yn﹣1可合并，则m+n为（　　） A. ﹣5 B. 5 C. ﹣4 D. 4 10. 如图，某校九年级两个班级的劳动实践基地是两块边长为m、n的正方形，其中重叠部分B为池塘，分别表示两个阴影部分的面积．若，则（　　） A. 6 B. 21 C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 要使分式有意义，则的取值应该满足的条件为___________． 12. 如图，四边形是的内接四边形，若，则_________． 13. 如图，一名滑雪运动员沿着坡度为：的斜坡，从滑行至，已知，则这名滑雪运动员的高度下降了_________米． 14. 如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律，依此规律，用含有a，b的代数式表示y，即y=_________． 15. 如图，是等腰三角形，，，为边上一动点，以，为边作，，交于点，则对角线长度的最小值为_________． 三、解答题（一）（本大题共3个小题，16题6分，17，18题各7分，共20分） 16. 计算：． 17. 如图，已知每个小正方形的边长为，都在小正方形顶点上，扇形是某个圆锥的侧面展开图． （1）计算这个圆锥侧面展开图的面积； （2）求这个圆锥的底面半径． 18. 某校广播站在新学期计划招聘一名播音主持．经过层层选拔，最后甲、乙两名同学进入决赛．决赛成绩由位评委打分（满分分），广播站管理员将根据决赛数据选择一名同学担任播音主持． 数据整理：管理员将甲、乙两名同学的决赛成绩整理成如下统计图： 数据分析：管理员对甲、乙两名同学的决赛成绩进行了如下分析： 同学 平均数/分 中位数分 众数分 方差 甲 乙 请认真阅读以上信息，回答下列问题： （1）填空：_________，_________，_________． （2）甲、乙两名同学决赛成绩公布后，甲、乙两人都认为自己能够担任播音主持．请你分别站在甲、乙的角度谈谈他们各自的理由．（甲、乙各写出一条理由即可） 四、解答题（二）（本大题共3小题，19，20题各9分，21题10分，共28分） 19. 如图为某公园“水上滑梯”的侧面图，其中段可看成是一段双曲线，矩形为向上攀爬的梯子，米，米．以点为原点，水面所在直线为轴建立如图的直角坐标系，其中点在轴上． （1）求段滑梯所在的双曲线的解析式不需写出的取值范围； （2）出口点距离水面的距离为米，求，之间的水平距离； （3）若要在滑梯上的点处设置一个安全警示牌，要求安全警示牌到的距离不超过米，求点到水面的距离至少多少米？ 20. 某小区有一个长为米，宽为米的矩形停车场，布局如图所示．阴影部分为停车位，其余部分是等宽的通道通道与停车场的边平行或垂直，小区打算对所有停车位的地面进行重新喷漆，已知喷漆面积为平方米． （1）求通道的宽是多少米？ （2）据调查分析，小区停车场多余个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨元，就会少租出个车位，求当每个车位的月租金上涨多少元时，对外开放的总月租金收入最高，最高为多少元？ 21. 阅读以下材料，回答问题： 夏天到了，小姜想利用学过的数学知识做一个风筝．她在网上查找了制作风筝的注意事项： （1）轻质耐用：优先选用竹篾、塑料棒等轻质且有一定强度的骨架材料，搭配宣纸、尼龙布等轻便蒙面材料，以减轻自重并提升抗风性； （2）对称平衡：确保骨架左右对称，避免飞行时偏斜失衡． 制作准备 小姜找到一块形状为平行四边形的尼龙布料以及长度足够长的轻质竹条，其中，，． 制作过程 （1）如图1，小姜以点为圆心，为半径作弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，射线交于点．沿着将四边形剪下． （1）如图2，为了美化风筝，小姜打算将剩余布料四边形平均裁成四条布料，每条两端分别剪去一个直角三角形，做成长方形条状，粘在风筝上作为尾带． 任务1 裁剪下来的四边形是什么形状，是否符合风筝的形状要求？请说明理由． 任务2 用与线段和等长的竹条作为风筝骨架并固定，求需要竹条的总长度． 任务3 直接写出每条长方形尾带的长． 五、解答题（三）（本大题共2个小题，22题13分，23题14分，共27分） 22. 【问题呈现】 （1）和都是直角三角形，，，，连接，，探究，的位置关系． ①如图1，当时，与的位置关系为______； ②如图2，当时，①中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由； 【拓展应用】 （2）某村有一块形状为直角三角形的空地如图，村长打算在点的周边，围出形状为直角三角形的区域作为菜地点，，接逆时针方向排列，且点，，要在同一直线上．已知，千米，千米，，，求点到点的距离． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，与轴正半轴交于点，． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点，是线段上的动点点在点的右侧，且，是否存在这样的点、使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）动直线：与抛物线交于、两点，以为直径的圆与上方的抛物线始终交于一定点，请求定点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $