精品解析：福建省福州市部分校2024-2025学年高二下学期7月质量检测数学试题

高二数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第一册、必修第二册、选择性必修第三册第六～七章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则（ ） A. B. i C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的四则运算求解即可. 【详解】由得，. 故选：A. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的补集与交集，可得答案. 【详解】因为，所以. 故选：A. 3. 已知向量，不共线，若与共线，则实数k的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量平行得到，得到方程组，求出答案. 【详解】因为与共线，所以存在实数x使， 故，解得，. 故选：A. 4. 某初级中学对本校八年级的500名男生进行1000米跑步体能测试，据统计，500名男生跑完1000米所用的时间（分钟）服从正态分布，若，则这500名男生跑完1000米所用的时间不少于6分钟的人数大约为（ ） A. 1 B. 5 C. 9 D. 50 【答案】B 【解析】 【分析】由正态分布的性质求出的概率，即可得答案. 【详解】解：因为， 所以， 故500名学生跑完1000米所用的时间不少于6分钟的人数大约为. 故选：B. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数的性质比较大小. 【详解】因为，所以， 又因为，所以，所以． 故选：D． 6. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则图象的一条对称轴为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简函数得，根据平移得，结合正弦函数的图象求其对称轴即可. 【详解】因， 将其图象向左平移个单位长度后得到函数的图象， 则， 令，解得. 结合选项可知D正确． 故选:D. 7. 已知正四棱台的上底面的四个顶点，，，都在圆锥SO的侧面上，下底面的四个顶点A，B，C，D都在圆锥SO的底面圆周上，且，，则圆锥SO的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】得到圆锥SO的轴截面，作出辅助线，求出正四棱台的高为，进而得到圆锥的高，结合底面半径，利用圆锥体积公式进行求解. 【详解】由已知点在圆锥的母线SA上，在正四棱台中，连接AC，， 下面图为圆锥SO的轴截面， 由，得，又， 所以在四边形中，过点作⊥于点， 则，由勾股定理得， 可得正四棱台的高为， 由可知，所以圆锥SO的高. 又圆锥底面半径， 所以圆锥SO的体积为. 故选：D. 8. 已知函数的定义域为，，，将的图象绕原点旋转后所得图象与原图象重合，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析可知的奇函数，推导出是周期函数，是的一个周期，进而可知也是周期函数，是的一个周期，求出、、、的值，结合周期性可求得的值. 【详解】根据题意，图象上的任意一点绕原点旋转后得到的点仍在的图象上， 联立消去得，所以是奇函数， 又因为函数的定义域为，故， 又，在该等式中，用替代可得， 故，因此，所以是周期函数，是的一个周期， 所以， 所以也是周期函数，是的一个周期． 又由可得，， 于是，， ，， 因为，故. 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中，在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据幂函数、二次函数、绝对值函数的性质判断单调性. 【详解】因为在上单调递减，所以A错误； 在上单调递增，所以B正确； 在上单调递增，所以C正确； 在上单调递减，所以D错误． 故选：BC． 10. 下列说法正确的是（ ） A. B. 若a，b都是非零实数，且，则 C. 若，则的最小值为5 D. 若x，y满足，则的最大值为2 【答案】AB 【解析】 【分析】利用特殊值可判断A，利用作差法可判断B，根据基本不等式的灵活应用可判断C、D. 【详解】对于A，时，，所以A正确； 对于B，因为a，b都是非零实数，且，所以B正确； 对于C，由， 等号仅当即时等号成立，所以C错误； 对于D，因为， 当且仅当时等号成立，所以， 所以的最大值为，所以D错误． 故选：AB． 11. 已知锐角中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，由题意得即可判断；对于B，由即可判断；对于C，由即可判断；对于D，举反例即可判断. 【详解】因为，所以，， 又，所以，A正确； 因为为锐角三角形，， 所以，所以，B错误； 因为，所以，C正确； 当，，时，，D错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 身高不相等的5人站成一排照相，要求最高的人排在中间，按身高向两侧递减，则共有______种不同的排法. 【答案】6 【解析】 【分析】把问题看成是由1，2，3，4，5这五个数字排成一个五位数，要求最大的数字排在中间，按大小向两侧递减，然后列举所有的排列方法即可. 【详解】把问题看成是由1，2，3，4，5这五个数字排成一个五位数，要求最大的数字排在中间，按大小向两侧递减，则排成的五位数有12543，13542，14532，23541，24531与34521这6个数． 故答案为：6 13. 若，则在“函数的定义域为R”的条件下，“函数为奇函数”的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】记“函数的定义域为R”为事件A，“函数为奇函数”为事件B，求出，再结合条件概率公式求解即可. 【详解】有序实数对表示的所有结果有种情况， 记“函数的定义域为R”为事件A， ，即， 满足这个条件有，，，，，，，，共9种情况， 所以. 记“函数为奇函数”为事件B， 因为，，， 所以，或， 经检验此时为奇函数，满足或的有，，，共4种情况， 所以， 同时满足AB的有，，共3种情况， 所以，所以. 故答案为：. 14. 已知10个样本数据的平均值为10，方差为6，则这10个数据的65％分位数的最大值为______. 【答案】13 【解析】 【分析】设设，，，，，的平均值为m，方差为S，，，，的平均值为n，方差为T，由题意，根据分层抽样的方差公式并放缩得，说明时，满足的条件即可. 【详解】设这10个样本数据分别为，，…，，且. 因为％＝6.5，所以这10个数据的65％分位数为. 设，，，，，的平均值为m，方差为S，，，，的平均值为n，方差为T， 由题意知，，则； ， 所以， 整理得，解得， 进而，当且仅当时等号成立， 即，时，取到最大值13. 故答案为：13. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合. （1）用区间表示集合； （2）若，求a，b的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）解分式不等式确定集合； （2）分，和确定集合，再由，所以，确定a，b的取值范围. 【小问1详解】 由，有，解得或， 所以. 【小问2详解】 因为，所以， 不等式可化为. 时，则，解得但不满足，舍去， 时，因为但，不满足，舍去， 时，解得或， 因为，所以解得， 所以. 16. 已知． （1）求的值； （2）若，，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意化简可得，再根据同角三角函数的关系求解即可； （2）先求得，再根据正切函数值分析可得，进而可得. 【小问1详解】 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， ． 【小问2详解】 由，可得， 则， 因为，所以，又，则， 因为，又，则， 所以，所以． 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，分别为棱，的中点． （1）证明：平面平面； （2）利用题中条件能否得出平面？若不能，试添加一个适当的条件后证明平面． 【答案】（1）证明：因为，，为棱的中点 所以，， 所以四边形是平行四边形，所以． 因为平面，平面，且，所以平面， 因为分别是，的中点，所以， 又平面，平面，且，所以平面， 因为平面，平面，，平面， 所以平面平面． （2）利用题中条件不能得出平面， 添加条件， 证明如下： 因为，，，平面， 所以平面． 【解析】 【分析】（1）先得到两个线线平行“，”，进而得到两个线面平行“平面，平面”，应用面面平行的判定定理问题得证； （2）现有条件不能得出平面，考虑到条件“”，添加条件“”，应用线面垂直的判定定理即可得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）若，求的值； （2）若为锐角三角形，求证：； （3）若的面积为，求边AB的最小值. 【答案】（1） （2）证明：因为， 所以， 即， 所以， 所以， 又，，所以，即， 所以， 又为锐角三角形，所以， 所以. （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理结合已知得，结合平方关系、半角公式即可求解； （2）由题意得，由乘1法即可求解； （3）由题意得，求出的范围即可. 【小问1详解】 若，由正弦定理得， 又，所以， 又，解得或（舍）， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为，由正弦定理得， 所以， 因为的面积 ， 所以， 因为，且， 所以，所以， 所以当，即时，取得最小值， 即边AB的最小值为. 19. 六一儿童节，某商场为了刺激消费提升营业额，推出了消费者凭当天在该商场的消费单据参加抽奖的活动，奖品是4款不同造型的玩具摩托车与4款不同造型的玩具跑车（每款车的数量都充足），主办方将大小相同的8个乒乓球上分别标注1，2，3，4，5，6，7，8，其中标注数字1，2，3，4的乒乓球分别代表4款不同造型的摩托车，5，6，7，8的乒乓球分别代表4款不同造型的跑车，并将这8个乒乓球放在一个不透明箱子内．活动规定：儿童节当天在该商场消费满100元的消费者可从摸奖箱内摸出1个乒乓球，然后再放回箱内；消费满200元可先从摸奖箱内摸出1个乒乓球，放回后再从中摸出1个乒乓球，然后再放回箱内；消费满300元可先从摸奖箱内摸出1个乒乓球，放回后再从中摸出1个乒乓球，放回后再从中摸出1个乒乓球，然后再放回箱内；，依此类推，消费者根据自己摸出的乒乓球标注的数字即可获得相应的奖品． （1）若小明的家长当天在该商场消费恰好满400元，求这位家长能获得2款相同造型摩托车与2款不同造型跑车的概率； （2）若本次活动小明家获得的奖品是2台不同造型的摩托车和2台不同造型的跑车，小英家也获得2台不同造型的摩托车和2台不同造型的跑车． ①从他们两家获得的这8台车中随机抽取5台，如果抽出的5台车中有台摩托车，求的分布列和数学期望； ②若小明和小英将他们家本次活动获得的奖品每次各取一件进行交换，第一次交换的奖品也可以参加第二次交换，求两次交换后小明家仍有2台摩托车和2台跑车的概率． 【答案】（1） （2）①的分布列为： 1 2 3 4 ； ② 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用古典概率的计算公式求解； （2）①的所有取值为1，2，3，4，利用超几何分布的概率公式求出相应的概率，列出分布列，求得期望；②由题两次交换后小明家仍有2台摩托车和2台跑车，包括3种情况：第一次交换后小明家是2台摩托车2台跑车，第一次交换后小明家是1台摩托车3台跑车，第一次交换后小明家是3台摩托车1台跑车，分别求出其概率得解. 【小问1详解】 记“小明的家长得到2台相同造型摩托车与2台不同造型跑车”为事件， 则， 所以小明的家长获得2台相同造型摩托车与2台不同造型跑车的概率为. 【小问2详解】 ①依题意，的所有取值为1，2，3，4， ， 的分布列为： 1 2 3 4 所以数学期望. ②两次交换后小明家仍有2台摩托车和2台跑车，包括3种情况： （i）第一次交换后小明家是2台摩托车2台跑车， 其概率； （ii）第一次交换后小明家是1台摩托车3台跑车， 其概率； （iii）第一次交换后小明家是3台摩托车1台跑车， 其概率， 因此所求概率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第一册、必修第二册、选择性必修第三册第六～七章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则（ ） A. B. i C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，不共线，若与共线，则实数k的值是（ ） A. B. C. D. 4. 某初级中学对本校八年级的500名男生进行1000米跑步体能测试，据统计，500名男生跑完1000米所用的时间（分钟）服从正态分布，若，则这500名男生跑完1000米所用的时间不少于6分钟的人数大约为（ ） A. 1 B. 5 C. 9 D. 50 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则图象的一条对称轴为（ ） A. B. C. D. 7. 已知正四棱台的上底面的四个顶点，，，都在圆锥SO的侧面上，下底面的四个顶点A，B，C，D都在圆锥SO的底面圆周上，且，，则圆锥SO的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，，，将的图象绕原点旋转后所得图象与原图象重合，若，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中，在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. B. 若a，b都是非零实数，且，则 C. 若，则的最小值为5 D. 若x，y满足，则的最大值为2 11. 已知锐角中，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 身高不相等的5人站成一排照相，要求最高的人排在中间，按身高向两侧递减，则共有______种不同的排法. 13. 若，则在“函数的定义域为R”的条件下，“函数为奇函数”的概率为______. 14. 已知10个样本数据的平均值为10，方差为6，则这10个数据的65％分位数的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合. （1）用区间表示集合； （2）若，求a，b的取值范围. 16. 已知． （1）求的值； （2）若，，且，求的值． 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，分别为棱，的中点． （1）证明：平面平面； （2）利用题中条件能否得出平面？若不能，试添加一个适当的条件后证明平面． 18. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）若，求的值； （2）若为锐角三角形，求证：； （3）若的面积为，求边AB的最小值. 19. 六一儿童节，某商场为了刺激消费提升营业额，推出了消费者凭当天在该商场的消费单据参加抽奖的活动，奖品是4款不同造型的玩具摩托车与4款不同造型的玩具跑车（每款车的数量都充足），主办方将大小相同的8个乒乓球上分别标注1，2，3，4，5，6，7，8，其中标注数字1，2，3，4的乒乓球分别代表4款不同造型的摩托车，5，6，7，8的乒乓球分别代表4款不同造型的跑车，并将这8个乒乓球放在一个不透明箱子内．活动规定：儿童节当天在该商场消费满100元的消费者可从摸奖箱内摸出1个乒乓球，然后再放回箱内；消费满200元可先从摸奖箱内摸出1个乒乓球，放回后再从中摸出1个乒乓球，然后再放回箱内；消费满300元可先从摸奖箱内摸出1个乒乓球，放回后再从中摸出1个乒乓球，放回后再从中摸出1个乒乓球，然后再放回箱内；，依此类推，消费者根据自己摸出的乒乓球标注的数字即可获得相应的奖品． （1）若小明的家长当天在该商场消费恰好满400元，求这位家长能获得2款相同造型摩托车与2款不同造型跑车的概率； （2）若本次活动小明家获得的奖品是2台不同造型的摩托车和2台不同造型的跑车，小英家也获得2台不同造型的摩托车和2台不同造型的跑车． ①从他们两家获得的这8台车中随机抽取5台，如果抽出的5台车中有台摩托车，求的分布列和数学期望； ②若小明和小英将他们家本次活动获得的奖品每次各取一件进行交换，第一次交换的奖品也可以参加第二次交换，求两次交换后小明家仍有2台摩托车和2台跑车的概率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $