精品解析：2025年安徽省合肥市部分学校中考数学模拟试卷

2025年安徽省合肥市部分学校中考数学模拟试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在 ，这四个数中，绝对值最小的数是（ ） A. B. 0 C. D. 2. 据网络平台数据显示，截至2025年3月19日，动画电影《哪吒之魔童闹海》累计票房（含预售）突破151亿．数据“151亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 某校图书阅览室的一个装饰品是由几个几何体组合成的．其中一个几何体的三视图（主视图也称正视图，左视图也称侧视图）如图所示，这个几何体是（ ） A. 圆锥 B. 三棱柱 C. 三棱锥 D. 四棱柱 4. 下列运算中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知两条平行线、，点是上的定点，于点，点、分别是、上的动点，且满足，连接交线段于点，于点，则当最大时，的值为（ ） A. B. C. D. 6. 全家观影已成为过年新民俗．据悉2025年春节档共有四部重磅影片上映，分别是《射雕英雄传：侠之大者》、《封神第二部：战火西岐》、《哪吒之魔童闹海》、《熊出没：重启未来》．若小明从这四部影片中随机选择一部影片观看，则选中《哪吒之魔童闹海》的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线经过点，若点也在该直线上，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，直线与轴交于点，与双曲线交于点，过点作轴于点，且，则的值为（ ） A. 10 B. 12 C. 16 D. 18 9. 已知正方形的边长为，点P是对角线上一动点（不与点A，C重合），连接，作交射线于点M，连接，设，，则y关于x的函数关系的图象大致为（） A. B. C. D. 10. 已知实数，满足，，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 在一个不透明的口袋中，装有2个黄球，3个红球和5个白球，它们除颜色外其他均相同，从袋中任意摸出一个球，是黄球的概率是________． 12. 在中，的取值范围为______． 13. 公元3世纪，我国汉代数学家赵爽注解《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，弦为25，股为20，则小正方形的面积为______． 14. 二次函数的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴下方的部分组成一个“M”形状的新图象，若直线与该新图象有两个公共点，则m的取值范围为________． 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 先化简，再求值：化简，其中x满足方程． 16. 如图所示，平面直角坐标系中，的三个顶点都在网格点上，其中点的坐标是． （1）在图中，将先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到． 画出平移后的； 如果将以上的二次平移看作是由向方向的一次平移，则平移距离为______； （2）作出关于原点的中心对称图形； 写出的坐标为______； （3）画出以点，，，为顶点且周长最小的平行四边形，此时点的坐标为______． 17. 《哪吒之魔童闹海》以势如破竹的姿态刷新全球票房纪录，哪吒玩具成为儿童的最爱欣欣商场进了、两款哪吒玩具进行销售，进价和售价如下表： 价格 类别 款玩具 款玩具 进价（元/个） 售价（元/个） （1）第一次欣欣商场用元购进、两款玩具共个进行试销，求两款玩具分别购进多少个？ （2）第一次购进的玩具非常受儿童喜爱，商场决定再购进这两款玩具共个若设购进款玩具个，第二次购进的这批玩具全部售完所获得的利润为元， 写出关于的函数解析式；（不必写出的取值范围）； 若款玩具进货数量不超过款玩具进货数量的，则欣欣商场有多少种进货方案？（两种玩具都要购进） 在条件下，怎样进货时这批玩具利润最大，最大利润是多少？ 18. 如图，是一名摄影爱好者记录下的无人机表演的“凤凰涅槃”全过程．摄影爱好者在水平地面上的点处测得无人机位置点的仰角为；当摄影爱好者沿着倾斜角（即）的斜坡从点走到点时，无人机的位置恰好从点水平飞到点，此时，摄影爱好者在点处测得点的仰角为．已知米，米，且四点在同一竖直平面内． （1）求点到地面的距离； （2）求无人机在点处时到地面的距离．（结果精确到米，测角仪的高度忽略不计，参考数据：，，，，，） 19. 如图1，点A，B在x轴上，以为边的正方形在x轴上方，点C的坐标为，反比例函数的图象经过的中点E，F是上的一个动点，将沿所在直线折叠得到． （1）求反比例函数的表达式； （2）如图2，若点G落在y轴上，过点F作轴于点N，求线段的长． 20. 如图，是的直径，是的弦，平分交于点，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点． （1）求证：是的切线． （2）若，，求的长． 21. 2024年4月15日是我国第九个全民国家安全教育日，今年的活动主题是“总体国家安全观，创新引领10周年”，某学校为了解八年级学生对“国家安全法”知识的掌握情况，对八（一）班和八（二）班进行了“国家安全法”知识测试（满分10分，测试成绩都为整数，测试成绩不低于9分的为优秀），测试结果显示所有学生成绩都不低于6分，随机从两个班各抽取a名学生的测试成绩进行比较分析知，两个班得8分的人数相同，根据抽取的学生成绩，绘制出了如下统计图． 两个班抽取的学生成绩的平均数、中位数、众数、方差如下表： 班级 平均数 中位数 众数 方差 八（一）班 8.5 8.5 10 2.05 八（二）班 8.5 9 1.45 根据以上信息，解答下列问题： （1）______，______，______； （2）补全八（一）班抽取的学生成绩条形统计图； （3）请你从众数和方差这两个统计量对两个班的学生成绩进行分析评价． 22. 在中，，，是边上的一点，将沿折叠，得到，连接． 【特例发现】 （1）如图1，当，落在直线上时，求证：． 【类比探究】 （2）如图2，当，与边相交时，在上取一点，使，交于点．试探究的值（用含的式子表示），并写出探究过程． 【拓展运用】 （3）在（2）的条件下，当，是边的中点时，若，请直接写出的长． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线：经过点，对称轴为直线，且对称轴与轴交于点． （1）求抛物线的表达式． （2）如图，将抛物线向右平移个单位，得到抛物线，抛物线与交于点． ①点是抛物线上的点，若的最大值与之差为9，求的值； ②是否存在以为直角边的？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年安徽省合肥市部分学校中考数学模拟试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在 ，这四个数中，绝对值最小的数是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查绝对值，实数的大小比较，解题的关键是求出各个数的绝对值． 先求出各个数的绝对值，再比较大小，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 即绝对值最小的数是0． 故选B． 2. 据网络平台数据显示，截至2025年3月19日，动画电影《哪吒之魔童闹海》累计票房（含预售）突破151亿．数据“151亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值，根据科学记数法的表示方法进行表示即可． 【详解】解：151亿； 故选C． 3. 某校图书阅览室的一个装饰品是由几个几何体组合成的．其中一个几何体的三视图（主视图也称正视图，左视图也称侧视图）如图所示，这个几何体是（ ） A. 圆锥 B. 三棱柱 C. 三棱锥 D. 四棱柱 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，熟悉各类几何体的三视图是解决本题的关键．根据三棱柱的三视图的特点确定结果即可． 【详解】解：根据三视图的特点可知，该几何体为三棱柱． 故选：B． 4. 下列运算中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，涉及单项式除法、积的乘方、合并同类项及完全平方公式，根据法则及公式逐一验证各选项的正确性即可． 【详解】A：，计算正确，故本选项符合题意； B：，正确结果为，与原式不符，原式错误，故本选项不符合题意； C： 与不是同类项，无法合并，结果应为，原式错误，故本选项不符合题意； D：完全平方公式应为，原式错误，故本选项不符合题意； 故选：A． 5. 如图，已知两条平行线、，点是上的定点，于点，点、分别是、上的动点，且满足，连接交线段于点，于点，则当最大时，的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题重点考查的圆周角所对的弦是直径、切线的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．作的外接圆，圆心为点，由于点，得，所以是的直径，由，点是上的定点，于点，得，为定值，而，，可证明，得，，求得，因为当与相切时，最大，此时，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：作的外接圆，圆心为点， 于点， ， 是的直径， 是的中点， ，点是上的定点，于点， ，为定值， 点、分别是、上的动点， ， 在和中， ， ， ， ， ， 点在上运动， 当与相切时，最大， ， ， ， 故选：． 6. 全家观影已成为过年新民俗．据悉2025年春节档共有四部重磅影片上映，分别是《射雕英雄传：侠之大者》、《封神第二部：战火西岐》、《哪吒之魔童闹海》、《熊出没：重启未来》．若小明从这四部影片中随机选择一部影片观看，则选中《哪吒之魔童闹海》的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，直接根据概率计算公式求解即可． 【详解】解：∵一共有四部影片，且每部影片被选中的概率相同， ∴小明从这四部影片中随机选择一部影片观看，则选中《哪吒之魔童闹海》的概率是， 故选：B． 7. 已知直线经过点，若点也在该直线上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象性质，根据题意把代入，解得，即，然后把分别代入，解出的值，即可作答． 【详解】解：∵直线经过点， ∴把代入， 即， 解得， 即， 把分别代入， 得出，， ∴． 故选：A． 8. 如图，直线与轴交于点，与双曲线交于点，过点作轴于点，且，则的值为（ ） A. 10 B. 12 C. 16 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点问题，根据题意求得点P坐标，再利用待定系数法求解k值即可． 【详解】解：∵轴于点，且， ∴点P的纵坐标为4， ∵直线与双曲线交于点， ∴将代入中，得，解得， ∴点P坐标为， 将代入中，得， 故选：C． 9. 已知正方形的边长为，点P是对角线上一动点（不与点A，C重合），连接，作交射线于点M，连接，设，，则y关于x的函数关系的图象大致为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正方形性质、等腰直角三角形性质、三角形全等判定与性质以及二次函数的应用 ，解题关键是通过作辅助线，利用相关几何性质建立与长度的函数关系。 作，，利用正方形性质得出是等腰直角三角形，得到线段、、、关于的表达式，证明四边形是正方形,通过角度关系证明，得出,在中，结合勾股定理得到，再在中求出关于的表达式，进而得到关于的函数关系式，根据函数性质确定图象。 【详解】解：过点作于点，交于点；过点作于点． ∵四边形是正方形，， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵正方形边长为， ∴． ∵， ∴四边形是正方形， ∴． ∵， ∴，即． ∵，且， ∴， ∴． 在中， 根据勾股定理， ∵， ∴． 在中， ， 将，代入可得： 则， ∴函数图象开口向上，对称轴为直线， 故选：A． 10. 已知实数，满足，，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质．把代入求出，再根据得出，最后根据不等式的性质进行计算和推理一一判断即可求解． 【详解】解：A．把代入，得，解得：，故该选项正确， B．∵， ∴， ∴， 即，故该选项正确， C．， ∵， ∴，即，故该选项错误，符合题意． D．∵，， ∴，， ∴，故该选项正确． 故选：C． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 在一个不透明的口袋中，装有2个黄球，3个红球和5个白球，它们除颜色外其他均相同，从袋中任意摸出一个球，是黄球的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了概率公式，明确概率的意义是解答问题的关键，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比 ． 由题意可得，共有10可能的结果，其中从口袋中任意摸出一个球是黄球的有2情况，利用概率公式即可求得答案 ． 【详解】解：从装有2个黄球、3个红球和5个白球的袋中任意摸出一个球有10种等可能结果， 其中摸出的球是黄球的结果有2种， 从袋中任意摸出一个球，是黄球的概率是， 故答案为∶． 12. 在中，的取值范围为______． 【答案】x>-3 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：由题意得：2x+6>0， 解得：x>-3， 故答案为：x>-3． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键． 13. 公元3世纪，我国汉代数学家赵爽注解《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，弦为25，股为20，则小正方形的面积为______． 【答案】25 【解析】 【分析】本题运用了勾股定理和正方形的面积公式．应用勾股定理和正方形的面积公式可求解． 【详解】解：∵弦为25，股为20， ∴勾， ∴小正方形的边长为， ∴小正方形的面积为， 故答案为：25． 14. 二次函数的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴下方的部分组成一个“M”形状的新图象，若直线与该新图象有两个公共点，则m的取值范围为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象，解题的关键是利用根的判别式得出不等式及数形结合来求解，先确定二次函数与轴的交点，再分析直线经过特殊点以及与翻折后抛物线相切时的情况，从而确定直线与新图象有两个公共点时的取值范围． 【详解】解：如图： 对于二次函数， 令，即， 解得或 ， 所以该二次函数与轴交点为和 ． 当直线经过点时， 把，代入直线方程得 ， 解得 ； 当直线经过点时， 把，代入直线方程得 ， 解得 ． 由此可知，当时，直线与新图象有两个交点． 先将二次函数，其图象轴上方部分沿轴翻折到轴下方后，翻折后的抛物线为． 联立直线与翻折后抛物线的方程 ， ， ． ∵直线与抛物线相切时，方程组有一组解， ∴一元二次方程的判别式． 则，即， 解得 ． 由图象可知，当时，直线与新图象有两个交点． 综上，的取值范围是或． 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 先化简，再求值：化简，其中x满足方程． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，解一元二次方程，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，接着解一元二次方程求出x的值，并根据分式有意义的条件确定x的值，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， ∵， ∴， 解得或， ∵分式要有意义， ∴， ∴且， ∴， ∴原式． 16. 如图所示，平面直角坐标系中，的三个顶点都在网格点上，其中点的坐标是． （1）在图中，将先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到． 画出平移后的； 如果将以上的二次平移看作是由向方向的一次平移，则平移距离为______； （2）作出关于原点的中心对称图形； 写出的坐标为______； （3）画出以点，，，为顶点且周长最小的平行四边形，此时点的坐标为______． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2）如图，即为所求． （3） 如图，平行四边形即为所求． 【解析】 【分析】（1）①根据平移的性质作图即可． ②利用勾股定理计算即可． （2）①根据中心对称的性质作图即可． ②由图可得答案． （3）结合平行四边形的判定与性质画图，即可得出答案． 【小问1详解】 解：①略 ②由勾股定理得，， 平移距离为． 【小问2详解】 解：①略 ②由图可得，的坐标为． 【小问3详解】 解：由图可得，此时点的坐标为． 【点睛】本题考查作图-旋转变换、平行四边形的判定与性质、勾股定理、作图-平移变换，熟练掌握平移的性质、中心对称的性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质是解答本题的关键． 17. 《哪吒之魔童闹海》以势如破竹的姿态刷新全球票房纪录，哪吒玩具成为儿童的最爱欣欣商场进了、两款哪吒玩具进行销售，进价和售价如下表： 价格 类别 款玩具 款玩具 进价（元/个） 售价（元/个） （1）第一次欣欣商场用元购进、两款玩具共个进行试销，求两款玩具分别购进多少个？ （2）第一次购进的玩具非常受儿童喜爱，商场决定再购进这两款玩具共个若设购进款玩具个，第二次购进的这批玩具全部售完所获得的利润为元， 写出关于的函数解析式；（不必写出的取值范围）； 若款玩具进货数量不超过款玩具进货数量的，则欣欣商场有多少种进货方案？（两种玩具都要购进） 在条件下，怎样进货时这批玩具利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）购进款玩具个，购进款玩具个 （2） ； 欣欣商场有种进货方案 第二次购进款玩具个、款玩具个时这批玩具利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，掌握二元一次方程组、一元一次不等式的解法及一次函数的增减性是解题的关键 （1）分别设购进这两款玩具的个数为未知数，根据题意列二元一次方程组并求解即可； （2）①根据所获利的利润款玩具的利润款玩具的利润计算即可； 根据题意列关于的一元一次不等式并求其解集，符合条件的的取值有几个就有几种进货方案； 根据一次函数的增减性和的取值范围，确定当取何值时值最大，求出其最大值及此时的值即可． 【小问1详解】 解：设购进款玩具个，购进款玩具个． 根据题意，得， 解得． 答：购进款玩具个，购进款玩具个． 【小问2详解】 解：①第二次购进款玩具个， 则， 关于的函数解析式为． 根据题意，得， 解得， 且为整数， 符合条件的的取值的个数为， 欣欣商场有种进货方案． ， 随的增大而增大， 且为整数， 当时值最大，最大， 个. 答：第二次购进款玩具个、款玩具个时这批玩具利润最大，最大利润是元． 18. 如图，是一名摄影爱好者记录下的无人机表演的“凤凰涅槃”全过程．摄影爱好者在水平地面上的点处测得无人机位置点的仰角为；当摄影爱好者沿着倾斜角（即）的斜坡从点走到点时，无人机的位置恰好从点水平飞到点，此时，摄影爱好者在点处测得点的仰角为．已知米，米，且四点在同一竖直平面内． （1）求点到地面的距离； （2）求无人机在点处时到地面的距离．（结果精确到米，测角仪的高度忽略不计，参考数据：，，，，，） 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】（）过作于，解即可； （）过作地面于，交于，过作地面，交于，可得四边形和四边形均为矩形，即得，米，，，进而由得，设米，则米，可得米，由得米，即得米，再根据列出方程解答即可求解； 本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【小问1详解】 解：过作于，如图所示： 米， 答：点到地面的距离为米； 【小问2详解】 解：过作地面于，交于，过作地面，交于，则四边形和四边形均为矩形， ∴， ， ， ∴， 设米，则米， 米， ， 米， 米， ∵， ∴， 解得， 米， 答：无人机在点处时到地面的距离为米． 19. 如图1，点A，B在x轴上，以为边的正方形在x轴上方，点C的坐标为，反比例函数的图象经过的中点E，F是上的一个动点，将沿所在直线折叠得到． （1）求反比例函数的表达式； （2）如图2，若点G落在y轴上，过点F作轴于点N，求线段的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正方形的性质得到，，，结合点C的坐标为，得到，再由中点的定义得到点E的坐标为，代入到，即可求出反比例函数的表达式； （2）设与轴交于点，则，由翻折的性质得，，利用勾股定理求出的长，通过证明四边形是矩形得到，再证明得到，代入数据即可求出线段的长． 【小问1详解】 解：正方形， ，，， 点C的坐标为， ， ， 点E为的中点， ， 点E的坐标为， 代入点到，得， 反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 解：如图，设与轴交于点，则， 由（1）得，， ，轴， ，， 由翻折的性质得，， ，， 轴， ， ，， 四边形是矩形，， ， ，， ， ，即， 解得：． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合、正方形的性质、翻折的性质、矩形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 20. 如图，是的直径，是的弦，平分交于点，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点． （1）求证：是的切线． （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接． ， ． 平分， ， ， ； ， ． 是的半径， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据平分，可得，从而得到，可得，再由，即可求解； （2）由，可得，得到，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ，， ，， ． ， ， ，即， ， ． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 21. 2024年4月15日是我国第九个全民国家安全教育日，今年的活动主题是“总体国家安全观，创新引领10周年”，某学校为了解八年级学生对“国家安全法”知识的掌握情况，对八（一）班和八（二）班进行了“国家安全法”知识测试（满分10分，测试成绩都为整数，测试成绩不低于9分的为优秀），测试结果显示所有学生成绩都不低于6分，随机从两个班各抽取a名学生的测试成绩进行比较分析知，两个班得8分的人数相同，根据抽取的学生成绩，绘制出了如下统计图． 两个班抽取的学生成绩的平均数、中位数、众数、方差如下表： 班级 平均数 中位数 众数 方差 八（一）班 8.5 8.5 10 2.05 八（二）班 8.5 9 1.45 根据以上信息，解答下列问题： （1）______，______，______； （2）补全八（一）班抽取的学生成绩条形统计图； （3）请你从众数和方差这两个统计量对两个班的学生成绩进行分析评价． 【答案】（1），， （2） 补全八（一）班抽取的学生成绩条形统计图如图所示： （3） 解：∵从众数上看，两个班抽取的学生成绩中八（一）班得10分的有4人，八（二）班得9分的有4人， ∴八（一）班学生成绩的众数比八（二）班大；这说明八（一）班的成绩比八（二）班好， ∵八（一）班抽取的学生成绩的方差为2.05，八（二）班抽取的学生成绩的方差为1.45， ∴从方差上看，八（一）班成绩波动较大，这说明八（一）班的成绩没有八（二）班稳定． 【解析】 【分析】本题考查了从条形统计图与扇形统计图中获取信息，补全条形图，理解题意，获取两个图中相关联的信息是解题的关键． （1）根据八（二）班得8分的人数和所占百分比可得值，用1减去其它分数的人数所占百分比即可得出值，根据中位数的定义找到从小到大排列第5、6位的数据的平均数即可得值； （2）先求出八（一）班得10分的人数，补全条形统计图即可； （3）根据众数和方差的意义分析即可． 【小问1详解】 解：∵两个班得8分的人数相同， ∴八（二）班得8分的人数为2人， ∴抽取的总人数为：（人），即， ， ∴， 把八（二）班成绩从小到大排列，第5、6位的数据为：9分、9分， ∴八（二）班成绩的中位数为：，即． 故答案为：，， 【小问2详解】 ∵八（一）班抽取的学生成绩中得6分的有1人，7分的有2人，8分的有2人，9分的有1人， ∴得10分的有（人）， 图略； 【小问3详解】 略 22. 在中，，，是边上的一点，将沿折叠，得到，连接． 【特例发现】 （1）如图1，当，落在直线上时，求证：． 【类比探究】 （2）如图2，当，与边相交时，在上取一点，使，交于点．试探究的值（用含的式子表示），并写出探究过程． 【拓展运用】 （3）在（2）的条件下，当，是边的中点时，若，请直接写出的长． 【答案】（1）证明：如图，延长，交于点． 由翻折得，， ∴垂直平分， ∴， ∵． ∴． ∵， ∴． （2），过程如下： 如图，延长，交于点． 同（1），知． ∵， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，轴对称的性质，中位线的性质，三角函数，等腰三角形的性质，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键． （1）延长，交于点．由翻折得证明，结合．得出．结合，即可求证； （2）延长，交于点．同（1），知．证明，即可求解； （3）同（1）可知，，证明是的中位线，得出，得，．由（2）知，得出，，可知．设，则．由，求出，，得出．证明，求出．则可求出，结合，求出，即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）同（1）可知，， ∵是边的中点， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴，． 由（2）知， ∴，， ∴． 设，则． ∵， ∴， ∴，， ∴． ∵，， ∴， ∴，， ∴． 在中，， ∴． ∵， ∴， 解得或（舍去）， 即． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线：经过点，对称轴为直线，且对称轴与轴交于点． （1）求抛物线的表达式． （2）如图，将抛物线向右平移个单位，得到抛物线，抛物线与交于点． ①点是抛物线上的点，若的最大值与之差为9，求的值； ②是否存在以为直角边的？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）根据抛物线：经过点，对称轴为直线，利用待定系数法求解即可； （2）①根据题意可得：抛物线的表达式为，得出抛物线的顶点坐标为，根据点是抛物线上的点，抛物线开口向下，得出的最大值，根据的最大值与之差为9，求出，当时，求出或，得出或，将和分别代入求解即可． ②根据题意知，设，当时，如图，过点作，则，则，列出方程，整理得：，求出，即可解答．当时，如图，过点作，则，则，列出方程，整理得：，求出，即可解答． 【小问1详解】 解：根据题意可得， 解得：， ∴抛物线的表达式为． 【小问2详解】 解：①根据题意可得：抛物线的表达式为， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵点是抛物线上的点，抛物线开口向下， ∴的最大值， ∵的最大值与之差为9， ∴， ∴， 当时，，解得：或， ∴或， 将代入得，解得：（舍去）或； 将代入得，解得：（舍去）或（舍去）； 综上，； ②根据题意知，设， 当时，如图，过点作， 则， 则， 即， ∴，整理得：， 解得：（舍去）或， ∴； 当时，如图，过点作， 则， 则， 即， ∴，整理得：， 解得：（舍去）或， ∴； 综上，或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解直角三角形，解一元二次方程，二次函数的平移，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $