福建省厦门双十中学2020-2021学年高一分班考数学试卷

2020-2021 高一分班考试卷 第 1 页 共 6 页 厦门双十中学 2020—2021 学年高一分班数学试卷 (考试时间:120 分钟,满分:150 分) 一、选择题（本题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选中,只有一项是符合 题目要求的） 1．如图，数轴上每相邻两点距离表示 1个单位，点 A，B互为相反数，则点 C表示的数可能是 （ ） 2．在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形、一条侧棱垂直于底 面的四棱锥称之为“阳马”（如图）．“阳马”的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3.公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽 弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成 的一个大正方形．如果大正方形的面积是 125，小正方形面积是 25，则 （sinθ﹣cosθ）2＝（ ） A. 1 5 B. 5 5 C. 3 5 5 D. 9 5 4．下列说法正确的是（ ） 5．关于 x的方程（x﹣1）（x+2）＝p2（p为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（ ） 6．已知二次函数 y＝﹣（x﹣1）2+3，当 t＜x＜4时，y随 x的增大而减小，则实数 t的取值 范围是（ ） A.t＜0 B.0≤t＜1 C.1⩽ t＜4 D.t⩾ 4 A.0 B.1 C.3 D.5 A.一组数据 2，2，3，4的众数是 2，中位数是 2.5 B．了解某市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合全面调查 C．甲、乙两人跳远成绩的方差分别为 S 甲 2＝3，S 乙 2＝4，说明乙的跳远成绩比甲稳定 D．可能性是 1%的事件在一次试验中一定不会发生 A．两个正根 B．一个正根，一个负根 C．两个负根 D．无实数根 2020-2021 高一分班考试卷 第 2 页 共 6 页 7．如图，在半径为 3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是 的中点，AC与 BD交于点 E． 若 E是 BD的中点，则 AC的长是（ ） A. 5 3 2 B.3 3 C. 3 2 D. 4 2 8．已知点（﹣3，y1），（5，y2）在二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，点（x0，y0） 是函数图象的顶点．则（ ） 9．如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是 BC的中点，直线 l经 过点 D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为 E，F，则 AE+BF的最大值为（ ） A. 6 B. 2 2 C. 2 3 D.3 2 10．如图，点 D是▱OABC内一点，CD与 x轴平行，BD与 y轴平行，BD＝ 2 ，∠ADB＝135°， S△ABD＝2．若反比例函数 0, 0) ky k x x   （ 的图象经过 A、D两点，则 k的值是（ ） (第 7题图） (第 9题图） (第 10题图） 二、填空题:（本题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分.） 11.分解因式：x3﹣4x2y+4xy2＝ ． 12.刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”， 利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，如图所示，若用 圆的内接正十二边形的面积 S1来近似估计⊙O的面积 S，设⊙O的半径为 1，则 S﹣S1＝ ．（π取 3.14，结果精确到 0.01） 13．从甲地到乙地有 A，B，C三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车 从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了 500个班次的公交车，收集了这些班次的 A．当 y1＞y2≥y0时，x0的取值范围是 1＜x0＜5 B．当 y1＞y2≥y0时，x0的取值范围是 x0＞5 C．当 y0≥y1＞y2时，x0的取值范围是 x0＜﹣3 D．当 y0≥y1＞y2时，x0的取值范围是 x0＜1 2020-2021 高一分班考试卷 第 3 页 共 6 页 公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下： 公交车用时 线路\公交车用时的频数 30≤t≤35 35＜t≤40 40＜t≤45 45＜t≤50 合计 A 59 151 166 124 500 B 50 50 122 278 500 C 45 265 167 23 500 早高峰期间，乘坐 （填“A”，“B”或“C”）线路上的公交车，从甲地到乙地“用 时不超过 45分钟”的可能性最大． 14．若不等式 5 7 2 2 x x    的解都能使不等式（m﹣6）x＜2m+1 成立，则实数 m的取值范围 是 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，OC在 x轴正半轴上， 四边形 OABC为平行四边形，反比例函数 0, 0)ky k x x   （ 的图象 经过 A，与 BC交点 D，若 S△ABC＝ 15 4 ，CD＝2BD，则 k＝ ． 16．如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，CD⊥AB，垂 足为 D，E为 BC的中点，AE与 CD交于点 F，则 DF的长为 ． 三、解答题:（本题共 9 小题,共 86 分）.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（8分）计算： 0 21 24 84sin60 ( 2) ( ) 2 2         18．(8分)如图，在平行四边形 ABCD中，线段 AC的垂直平分线交 AC于 O，分别交 BC，AD 于 E，F，连接 AE，CF． （1）证明：四边形 AECF是菱形； （2）在（1）的条件下，如果 AC⊥AB，∠B＝30°， AE＝2，求四边形 AECF的面积． 2020-2021 高一分班考试卷 第 4 页 共 6 页 19．(8分)2020 年春节前夕，一场突如其来的新冠肺炎疫情牵动着全国人民的心，因疫情发展 迅速，全国口罩等防护用品成了年货，供应紧张．某药店用 2000元购进某品牌的一批口罩后， 供不应求，又用 5000元购进这种口罩，第二批口罩的数量是第一批的 2倍，但进货单价比第一 批贵 2元． （1）第一批口罩进货单价多少元？ （2）若两次购进口罩按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于 2000元，那么销售单 价至少为多少元？ （3）由于党的好政策，爱心工人加班加点地生产，口罩变得不再紧俏，药店第三批进货单 价比第一批便宜 1元，若按照（2）中销售单价出售，每天可以售出 60个，药店为了促销， 决定降低一定的价格，每降低一元，每天多售出 20个，问单价定为多少时，每天利润最大？ 最大是多少？ 20．(8分)（1）如图 1，点 A在⊙O上，请在图中用直尺（不含刻度）和圆规作等边三角形 ABC， 使得点 B、C都在⊙O上． （2）已知矩形 ABCD中，AB＝4，BC＝m． ①如图 2，当 m＝4时，请在图中用直尺（不含刻度）和圆规作等边三角形 AEF，使点 E在 边 BC上，点 F在边 CD上； ②若在该矩形中总能作出符合①中要求的等边三角形 AEF，请直接写出 m的取值范围． 21．(8分)如图，在△ABC中，AC＝BC，D是 AB上一点，⊙O经过点 A、C、D，交 BC于点 E，过点 D作 DF∥BC，交⊙O于点 F． 求证：（1）四边形 DBCF是平行四边形； （2）AF＝EF． 2020-2021 高一分班考试卷 第 5 页 共 6 页 22．(10分)在平面直角坐标系 xOy中，直线 y＝2x+b与双曲线 5y x  交于 A，B两点．P是线段 AB上一点（不与点 A，点 B重合），过点 P作平行于 x轴的直线交双曲线 5y x  于点 M，过点 P作平行于 y轴的直线交双曲线 5y x  于点 N． （1）当点 A的横坐标为 1时，求 b的值； （2）在（1）的条件下，设 P点的横坐标为 m， ①若 m＝﹣1，判断 PM与 PN的数量关系，并说明理由； ②若 PM＜PN，结合函数图象，直接写出 m的取值范围． 23．(10分)某医院医生为了研究该院某种疾病的诊断情况，需要调查来院就诊的病人的两个生 理指标 x，y，于是他分别在这种疾病的患者和非患者中，各随机选取 20人作为调查对象，将 收集到的数据整理后，绘制统计图如图： 根据以上信息，回答下列问题： （1）在这 40名被调查者中， ①指标 y低于 0.4的有 人； ②将 20名患者的指标 x的平均数记作 ，方 差记作 S12，20名非患者的指标 x的平均数记 作 ，方差记作 S22，则 ，S12 S22（填“＞”，“＝” 或“＜”）； （2）来该院就诊的 500 名未患这种疾病的人 中，估计指标 x低于 0.3的大约有 人； （3）若将“指标 x低于 0.3，且指标 y低于 0.8”作为判断是否患有这种疾病的依据，则发 生漏判的概率是 ． 2020-2021 高一分班考试卷 第 6 页 共 6 页 24．(12分)在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC＝2，将△ABC绕点 A顺时针方向旋转α角（0° ＜α＜180°）至△AB′C′的位置． 问题探究： （1）如图 1，当旋转角为 60°时，连接 C′C与 AB交于点 M，则 C′C＝ ，CM ＝ ． （2）如图 2，在（1）条件下，连接 BB′，延长 CC′交 BB′于点 D，求 CD的长． 问题解决： （3）如图 3，在旋转的过程中，连线 CC′、BB′，CC′所在直线交 BB′于点 D，那么 CD的长有没有最大值？如果有，求出 CD的最大值：如果没有，请说明理由． 25．(14 分)将抛物线 C：y＝（x﹣2）2向下平移 6 个单位长度得到抛物线 C1，再将抛物线 C1 向左平移 2个单位长度得到抛物线 C2． （1）直接写出抛物线 C1，C2的解析式； （2）如图（1），点 A在抛物线 C1（对称轴 l右侧）上，点 B在对称轴 l上，△OAB是以 OB为斜边的等腰直角三角形，求点 A的坐标； （3）如图（2），直线 y＝kx（k≠0，k为常数）与抛物线 C2交于 E，F两点，M为线段 EF 的中点；直线 4-y x k  与抛物线 C2交于 G，H两点，N为线段 GH的中点．求证：直线 MN 经过一个定点．