第35讲 正弦函数和正弦型函数讲义-2026届高三数学一轮复习

正弦函数的性质及图象 一．正弦函数的定义 正弦函数：对于任意一个角x，都有唯一确定的正弦sin x与之对应，因此y＝sin x是一个函数，一般称为正弦函数． 一般地，函数y＝sin x的图像称为正弦曲线，利用五点法作正弦曲线，这五个点是：，，，，．y＝sin x，x∈[0,2π]的图像向左、右平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y＝sin x，x∈R的图像． 函数 y＝sin x 图象 定义域 R 值域 [－1,1] 周期性 2kπ（） 最小正周期 2π 奇偶性 奇函数 递增区间 递减区间 对称中心 (kπ，0) 对称轴 x＝kπ＋ 二．正弦函数的图像与性质 考点一 正弦函数的图像 【例1】1．根据函数的图像，可得方程的解为（ ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】B 【解析】由题意和正弦函数的图象可知，可得（）． 【训练1】1．函数与图像交点的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】作出函数的图像，并作出直线，如图： 观察图像知函数在的图像与直线有两个公共点， 所以函数与图像交点的个数为2个． 2．（25天津）设，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由，则“”是“”的充分条件； 又当时，，可知， 故“”不是“”的必要条件， 综上可知，“”是“”的充分不必要条件.故选：A. 考点二 解正弦不等式 【例2】1．在内，不等式的解集是（ ） A．(0，π) B． C． D． 【答案】C 【解析】画出的草图如图， 在内，令，解得，结合图像可知不等式的解集为． 2．函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】若函数有意义，则，， 所以函数的定义域为． 【训练2】1．不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】不等式，即为，解得，因为，所以，所以不等式的解集是故选：D 2．使不等式成立的的取值集合是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以，， 故的取值集合是． 3．设，则“”是“”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】解得，则，充分性成立；若，因为， 所以必要性不成立，故“”是“”的充分不必要条件． 4．若函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，得，则． 考点三 含正弦函数的值域 【例3】1．函数的值域是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由可知：单增区间为，单减区间为，最大值为：，最小值为：，∴函数的值域是． 2．函数的最大值是（ ） A．2 B． C． D．5 【答案】C 【解析】令，∴，有二次函数的对称轴和性质可知当时，y有最大值，． 【训练3】1．函数的最小值为（ ） A．2 B．－1 C．－2 D．5 【答案】B 【解析】因为，所以；所以； 所以函数的最小值为． 2．当x∈时，函数y＝3－sin x－2cos2x的最小值是________，最大值是________． 【答案】：　2 【解析】y＝3－sin x－2cos2x＝3－sin x－2(1－sin2x)＝2sin2 x－sin x＋1，令sin x＝t∈， ∴y＝2t2－t＋1＝22＋，t∈，∴ymin＝，ymax＝2. 3． 已知，求函数的最小值． 【答案】 【解析】∵，∴， 原式， ∴当时，原式y有最小值，故答案为． 4．已知函数f(x)＝sin，若关于x的方程f(x)＝k在区间上有且只有一个实数解，则实数k的取值范围为________________________；若有两个实数解，则实数k的取值范围为________． 【答案】； 【解析】作出f(x)＝sin图像如图：分析的图像可知当时，f(x)＝k有一个交点，即一个实数解，当时有两个交点，即两个实数解． 考点四 含正弦函数的单调性与奇偶性 【例4】1．已知函数，下列结论错误的是（ ） A．函数的最小正周期是 B．函数在区间上是减函数 C．函数的图像关于直线对称 D．函数为偶函数 【答案】D 【解析】的最小正周期为, A正确;在上是增函数, 在上是减函数, B正确;,的图像关于直线对称, C正确;，则是奇函数, D不正确． 【训练4】1．函数 的一个单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数的增区间，即的减区间，为，，． 结合，，可得的减区间为，，故选：． 2．函数y=sin2x的图象可能是( ) 【答案】D 【解析】令，，所以为奇函数①；当时，，可正可负，所以可正可负②．由①②可知，选D． 3．函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，，即函数为奇函数，其图象关于原点对称，故CD错误；，故B错误；故选：A 正弦型函数的性质与图象 一．正弦型函数的定义 一般地，形如的函数，称为正弦型函数，其中都是常数，且. |A|叫做振幅，T＝叫做周期，f＝叫做频率，叫做相位，叫做初相，叫做角频率． 2． 正弦型函数（）的性质 定义域 对称中心 令解得 值域 对称轴 解得： 周期性 单调性 解得增区间： 解得减区间： 例：求函数f(x)＝3sin的定义域，值域，最小正周期，对称轴，对称中心，单调性． 【解析】定义域：R；值域：；最小正周期： 对称轴：,解得： 对称中心：,解得：，∴ 递增区间：，解得 递减区间：，解得 三．函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径 例：说明y＝2sin的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到． 【解析】法一：把y＝sin x的图象上所有的点向左平移个单位，得到y＝sin的图象； 再把y＝sin的图象上的点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin的图象；最后把y＝sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y＝2sin的图象． 法二：将y＝sin x的图象上所有点的横坐标x缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin 2x的图象； 再将y＝sin 2x的图象向左平移个单位，得到y＝sin 2＝sin的图象；再将y＝sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到y＝2sin的图象． 1．对正弦型函数的判断 (1)将y＝sin 2x的图象向右平移个单位，得到y＝sin的图象．(×) 【解析】y＝sin 2x的图象向右平移个单位，得到y＝sin． (2)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A．(×) 【解析】当A＜0时，f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值为－A，最小值为A． (3)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象的两个相邻对称轴间的距离为一个周期．(×) 【解析】两个相邻对称轴间的距离为周期的一半． (4)函数f(x)＝sin(－2x)与f(x)＝sin 2x的单调增区间都是(k∈Z)．(×) 【解析】f(x)＝sin(－2x)＝－sin 2x，它与f(x)＝sin 2x的单调增区间相反． (5)函数f(x)＝sin在区间上的最小值为－．(√) 考点一 周期性 【例1】1．函数的最小正周期为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】． 【训练1】1．已知函数的最小正周期为，则实数的值为（ ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【解析】∵函数的最小正周期为，∴，∴.故选：B 考点二 对称轴与对称中心 【例2】1．函数图象的对称轴方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】结合正弦函数的性质，可得函数图象的对称轴满足， 解得对称轴方程为． 2．函数的一个对称中心的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，令，所以函数的一个对称中心的坐标是． 【训练2】1．函数图象的一条对称轴是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A：将代入可得，故不是函数的对称轴，故选项A不正确；对于B：将代入可得，故不是函数的对称轴，故选项B不正确；对于C：将代入可得，故是函数的对称轴，故选项C正确；对于D：将代入可得，故不是函数的对称轴，故选项D不正确；故选：C. 2．函数的图像（ ） A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 【答案】B 【解析】令,得,所以对称点为.当,为,故B正确；令,则对称轴为,因此直线和均不是函数的对称轴.故选B 3．已知函数f(x)＝sin－1(ω＞0)的最小正周期为，则f(x)的图象的一条对称轴方程是(　　) A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝ 【答案】A 【解析】依题得，＝，|ω|＝3，又ω＞0，因此ω＝3，所以3x＋＝kπ＋，解得x＝＋，当k＝0时，x＝.因此函数f(x)的图象的一条对称轴方程是x＝. 4．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)对任意x都有f＝f，则f等于(　　) A．2或0 B．－2或2 C．0 D．－2或0 【答案】B 【解析】由f＝f知，函数图象关于x＝对称，f是函数f(x)的最大值或最小值． 5．（24新高考二）（多选）对于函数和，下列正确的有（ ） A．与有相同零点 B．与有相同最大值 C．与有相同的最小正周期 D．与的图像有相同的对称轴 【答案】BC 【解析】A选项，令，解得，即为零点，令，解得，即为零点，显然零点不同，A选项错误； B选项，显然，B选项正确； C选项，根据周期公式，的周期均为，C选项正确； D选项，根据正弦函数的性质的对称轴满足， 的对称轴满足， 显然图像的对称轴不同，D选项错误.故选：BC 考点三 增减区间 【例3】1．函数的单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，解得， 即函数的单调递增区间为． 2．函数的单调减区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题设，有，∴上函数单调递减， 即，而． 【训练3】1．函数的单调减区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】的单调减区间为，， 解得函数的单调减区间为.故选A. 2．下列区间中，函数单调递增的区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数的单调递增区间为，对于函数，由，解得，取，可得函数的一个单调递增区间为，则，，A选项满足条件，B不满足条件；取，得函数的一个单调递增区间为，且，，CD选项均不满足条件.故选：A. 考点四 图像平移 【例4】1．要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】C 【解析】将向左移动个单位长度有，∴只需将函数的图象向左平移个单位长度，即可得的图象． 2．将函数y=的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是 _________． 【答案】 【解析】 当时故答案为： 【训练4】1．（22浙江） 为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】D 【解析】因为，所以把函数图象上的所有点向右平移个单位长度即可得到函数的图象． 2．把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把所得曲线向右平移个单位长度，最后所得曲线的一条对称轴是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题得图像变换最后得到的解析式为， 令，令k=-1,所以． 3．把函数y＝sin图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为(　　) A．x＝－ B．x＝－ C．x＝ D．x＝ 【答案】A 【解析】将y＝sin图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝sin；再将图象向右平移个单位，得到函数y＝sin＝sin，x＝－是其图象的一条对称轴方程． 4．已知函数y＝g(x)的图象由f(x)＝sin 2x的图象向右平移φ(0＜φ＜π)个单位得到，这两个函数的部分图象如图所示，则φ＝________． 【答案】 【解析】函数f(x)＝sin 2x的图象在y轴右侧的第一个对称轴为2x＝，所以x＝，关于x＝对称的直线为x＝，由图象可知，通过向右平移之后，横坐标为x＝的点平移到x＝，所以φ＝－＝. 5．已知函数是奇函数，将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为.若的最小正周期为，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为为奇函数，∴； 又，，又 ∴， 6．把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象，根据已知得到了函数的图象，所以，令,则 ,所以,所以； 7．（多选）为了得到函数的图像，只需把函数图像上所有点（ ） A．向左平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 B．向左平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍 C．所得各点的横坐标缩短到原来的，向左平行移动个单位长度 D．所得各点的横坐标缩短到原来的，向右平行移动个单位长度 【答案】AC 【解析】A：向左平行移动个单位长度，得到，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，得到．C：所得各点的横坐标缩短到原来的，得到，向左平行移动个单位长度，得到．故选AC． 考点五 由图像求解析式 【例5】1．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为 ． 【答案】f(x)＝sin 【解析】由图可知A＝，＝－＝，所以T＝π，故ω＝2，因此f(x)＝sin(2x＋φ)， 又对应五点法作图中的第三个点，因此2×＋φ＝π，所以φ＝，故f(x)＝sin. 【训练5】1．下列函数中，图象的一部分如图所示的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设函数的最小正周期为T，由图像可知：，解得：,所以，解得：.对照四个选项，满足的只有D.验证选项D符合题意． 2．下图是函数的图象，那么（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由图知：，解得：，所以， 令，所以，因为，所以，所以． 3．如图是函数的部分图象，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由图可知.最小正周期，∴，又由，得，∴，即． 4．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线x＝是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得解得又函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k的最小正周期为， 所以ω＝＝4，所以y＝2sin(4x＋φ)＋2.又直线x＝是函数图象的一条对称轴，所以4×＋φ＝kπ＋(k∈Z)，所以φ＝kπ－(k∈Z)，故可得y＝2sin＋2符合条件． 5．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为2，且过点，则函数解析式f(x)＝________． 【答案】f(x)＝sin 【解析】据已知两个相邻最高和最低点距离为2，可得，解得T＝4， 故ω＝＝，即f(x)＝sin，又函数图象过点，故f(2)＝sin＝－sin φ＝－，又－≤φ≤，解得φ＝，故f(x)＝sin. 6．如图是函数y＝sin(ωx＋φ)在区间上的图象，将该图象向右平移m(m＞0)个单位后，所得图象关于直线x＝对称，则m的最小值为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令f(x)＝y＝sin(ωx＋φ)，由三角函数图象知，T＝π＋＝π，所以＝π，所以ω＝2. 因为函数f(x)过点，且0＜φ＜，所以－×2＋φ＝0，所以φ＝，所以f(x)＝sin，将该函数图象向右平移m个单位后，所得图象的解析式是g(x)＝sin，因为函数g(x)的图象关于直线x＝对称，所以2×＋－2m＝＋kπ(k∈Z)，解得m＝－(k∈Z)，又m＞0，所以m的最小值为． 7．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．不等式的解集为 D．将的图象向右平移个单位长度后所得函数的图象在上单调递增 【答案】C 【解析】由函数图象可知，最小正周期为，所以， 将点代入，得， 又，所以，故，故A错误； 所以，故B错误； 令，则，所以，，解得，，所以不等式的解集为，故C正确； 将的图象向右平移个单位长度后，得到的图象，令，，解得，， 令得，因为，故D错误.故选：C. 8．（23新高考二.16）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则______． 【答案】 【解析】设，由可得，由可知，或，，由图可知，，即，． 因为，所以，即，． 所以，所以或，又因为，所以，．故答案为：． 规律方法：振幅；周期；特殊点． 考点六 由正弦函数性质求参数 【例6】1．函数y＝2sin(3x＋φ)的一条对称轴为x＝，则φ＝________． 【答案】 【解析】由y＝sin x的对称轴为x＝kπ＋(k∈Z)，所以3×＋φ＝kπ＋(k∈Z)，得φ＝kπ＋(k∈Z)， 又|φ|＜，∴k＝0，故φ＝. 3．（24天津）已知函数的最小正周期为．则函数在的最小值是（ ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【解析】，由得，即，当时，，画出图象，如下图，由图可知，在上递减，所以，当时，，故选：A 【训练6】1．（22新高考Ⅱ）函数的图象以中心对称，则（ ） A．在单调递减 B．在有2个极值点 C．直线是一条对称轴 【答案】A 【解析】由题意得：，所以，，即， 又，所以时，，故．对A，当时，，由正弦函数图象知在上是单调递减； 对B，当时，，由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点； 对C，当时，，，直线不是对称轴； 2．设函数f(x)＝sin(－2x＋φ)(0＜φ＜π)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝． (1) 求φ； (2)求函数y＝f(x)的单调区间． 【答案】（1）；（2）单调增区间为(k∈Z)；单调减区间为(k∈Z). 【解析】(1)令(－2)×＋φ＝kπ＋，k∈Z，∴φ＝kπ＋，k∈Z，又0＜φ＜π，∴φ＝. (2)由(1)得f(x)＝sin＝－sin，令g(x)＝sin，由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，即g(x)的单调增区间为，k∈Z；由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，即g(x)的单调减区间为(k∈Z)，故f(x)的单调增区间为(k∈Z)；单调减区间为(k∈Z). 3．（22新高考Ⅰ） 记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（ ） A．1 B． C． D．3 【答案】A 【解析】由函数的最小正周期T满足，得，解得，又因为函数图象关于点对称，所以，且，所以，所以，，所以． 4．（22全国甲理）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ） A． B. C. D. 【答案】C 【解析】依题意可得，因为，所以，要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示：则， 解得，即． 5．（23全国乙文理）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，可知，．当时，取得最小值， 则，则，不妨取，则， 则，故选D． 6．（25天津），在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为（ ） A． B． C．1 D．0 【答案】A 【解析】设最小正周期为，根据题意有，， 由正弦函数的对称性可知，即， 又在上单调递增，则，∴， 则，∵，∴时，，∴， 当时，，由正弦函数的单调性可知.故选：A 考点七 五点作图法 【例7】1．(1)利用“五点法”画出函数在长度为一个周期的闭区间的简图． 列表： x y 作图： (2)并说明该函数图象可由的图象经过怎么变换得到的． (3)求函数图象的对称轴方程． 【答案】(1)见解析(2) 见解析(3) . 【解析】（1）先列表,后描点并画图 0 x y 0 1 0 -1 0 ； （2）把的图象上所有的点向左平移个单位, 再把所得图象的点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）,得到的图象，即的图象； （3）由，所以函数的对称轴方程是. 2．（24新高考一）当时，曲线与的交点个数为（ ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【解析】因为函数的的最小正周期为，函数的最小正周期为， 所以在上函数有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示： 由图可知，两函数图象有6个交点.故选：C 【训练7】1．已知函数． （1）求它的振幅、周期、初相； （2）用“五点法”作出它在一个周期内的图象． 【答案】（1）振幅为2，周期，初相为；（2）见解析. 【解析】（1）函数所以振幅为2,周期,初相为（2）函数 利用五点法作图,列表如下: X 描点,连线如下图所示: 2．已知函数. （1）请用“五点法”画出函数在一个周期上的图象（先在所给的表格中填上所需的数字，再画图）； 0 （2）求的单调递增区间； （3）求在区间上的最大值和最小值及相应的值 【答案】（1）答案见解析；（2）；（3）时，取最小值0；时，取最大值1. 【解析】（1）分别令，可得： x 0 0 1 0 -1 0 画出在一个周期的图像如图所示： （2）要求的单调递增区间，只需令，解得：，所以函数的单调递增区间为; （3）因为，所以，所以当，即时，取最小值0； 当，即时，取最大值1. 考点八 正弦型函数综合应用 【例8】1．设函数f(x)＝sin，则下列命题： ①f(x)的图象关于直线x＝对称； ②f(x)的图象关于点对称； ③f(x)的最小正周期为π，且在上为增函数； ④把f(x)的图象向右平移个单位，得到一个奇函数的图象． 其中正确的命题为________(把所有正确命题的序号都填上)． 【答案】③④ 【解析】对于①，f＝sin＝sin＝，不是最值，所以x＝不是函数f(x)的图象的对称轴，该命题错误；对于②，f＝sin＝1≠0，所以点不是函数f(x)的图象的对称中心，故该命题错误；对于③，函数f(x)的周期为T＝＝π，当x∈时，令t＝2x＋∈，显然函数y＝sin t在上为增函数，故函数f(x)在上为增函数，所以该命题正确；对于④，把f(x)的图象向右平移个单位后所对应的函数为g(x)＝sin＝sin 2x，是奇函数，所以该命题正确．故填③④. 2．关于函数f（x）=有如下四个命题： ①f（x）的图像关于y轴对称． ②f（x）的图像关于原点对称． ③f（x）的图像关于直线x=对称． ④f（x）的最小值为2． 其中所有真命题的序号是__________． 【答案】②③ 【解析】对于命题①，，，则， 所以，函数的图象不关于轴对称，命题①错误；对于命题②，函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， 所以，函数图象关于原点对称，命题②正确； 对于命题③，， ，则， 所以，函数的图象关于直线对称，命题③正确； 对于命题④，当时，，则，命题④错误.故答案为：②③. 【训练8】1．已知函数．给出下列结论： ①的最小正周期为； ②是的最大值； ③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象． 其中所有正确结论的序号是（ ） A. ① B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】B 【解析】因为，所以周期，故①正确；，故②不正确；将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象，故③正确． 2．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，下列结论： ①最小正周期为π； ②将f(x)的图象向左平移个单位，所得到的函数是偶函数； ③f(0)＝1； ④f＜f； ⑤f(x)＝－f． 其中正确的是(　　)． A． ①②③ B．②③④ C．①④⑤ D．②③⑤ 【答案】C 【解析】由题图可知，A＝2，＝π－＝⇒T＝π⇒ω＝2,2×π＋φ＝2kπ＋，φ＝2kπ＋(k∈Z)．所以f(x)＝2sin⇒f(0)＝，f＝2sin＝2sin，所以②，③不正确； f(x)的对称轴为直线x＝＋(k∈Z)，一个对称中心为，所以f(x)的图象关于直线x＝对称，且f(x)的最大值为，－＝＞－＝，所以＜，即④正确；设(x，f(x))为函数f(x)＝2sin的图象上任意一点，其关于对称中心的对称点也在函数f(x)＝2sin的图象上，即f＝－f(x)⇒f(x)＝－f，故⑤正确．综上，①④⑤正确． 3．将函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象向左平移个单位，所得函数的图象与函数y＝f(x)的图象关于x轴对称，则ω的值不可能是(　　) A．2 B．4 C．6 D．10 【答案】B 【解析】依题意，f＝Asin＝Asin的图象与y＝f(x)的图象关于x轴对称，于是有Asin＋Asin(ωx＋φ)＝0；注意到ω＝4时，Asin＋Asin(4x＋φ)＝2Asin(4x＋φ)不恒等于0，故选B. 4．关于函数有下述四个结论： ①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间（,）单调递增 ③f(x)在有4个零点 ④f(x)的最大值为2 其中所有正确结论的编号是( ) A. ①②④ B. ②④ C. ①④ D. ①③ 【答案】C 【解析】为偶函数，故①正确． 当时，，它在区间单调递减，故②错误．当时，，它有两个零点：；当时，，它有一个零点：，故在有个零点：，故③错误．当时，；当时，，又为偶函数，的最大值为，故④正确．综上所述，①④正确． 5．（多选）已知函数，则下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．将的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称 C．函数的最小正周期为 D．若在上有且仅有3个零点，则的取值范围为 【答案】ABD 【解析】由，故必有一个最大值和一个最小值，则为半个周期长度，故正确；由题意的图象关于轴对称，B正确；C错误. ，在上有且仅在3个零点， 结合正弦函数的性质知：，则，D正确；故选：ABD 6．已知函数f(x)＝2sin，将函数y＝f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的，再把所得到的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，求函数y＝g(x)在区间上的值域． 【答案】[－1,2] 【解析】函数y＝f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的，得到y＝2sin； 再把所得到的图象向左平移个单位长度，得到g(x)＝2sin＝2sin＝2cos 4x， 当x∈时，4x∈，所以当x＝0时，g(x)max＝2，当x＝－时，g(x)min＝－1. ∴y＝g(x)在区间上的值域为[－1,2]． 7．已知函数f(x)＝sin，将函数f(x)的图象向右平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象，若关于x的方程g(x)＋k＝0在区间上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围． 【答案】 【解析】将f(x)的图象向右平移个单位后，得到y＝sin的图象；再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sin的图象，所以g(x)＝sin，因为0≤x≤， 所以－≤2x－≤，所以g(x)∈又g(x)＋k＝0在区间上有且只有一个实数解， 即函数y＝g(x)与y＝－k在区间上有且只有一个交点， 由正弦函数的图象可知－≤－k＜或－k＝1，解得－＜k≤或k＝－1， 所以实数k的取值范围是 8．已知函数的图象在y轴上的截距图像与y轴交点的纵坐标为1，在相邻两个最值点和上，函数分别取最大值和最小值． （1）求函数的解析式； （2）若在区间内有两个不同的零点，求k的取值范围； （3）求函数的单调区间，最值及取得最值时x的取值集合，并求函数在区间上的对称轴方程． 【答案】（1）；（2）（3），． 【解析】，则，，因此，代入点，，，，． ；由正弦函数的图像易知，若在区间内有两个不同的零点，则． 令得， 因此函数的单调增区间为， 由，得，因此函数的单调减区间为，当，即时，函数取得最大值2，即函数的最大值为2，此时x的取值集合为，当，即，时，函数取得最小值，即函数的最小值为，此时x的取值集合为，令，所以函数在区间上的对称轴方程为，． 考点九 正弦型函数模型 【例9】1．如图，摩天轮的半径为m，其中心点距离地面的高度为m，摩天轮按逆时针方向匀速转动，且转一圈，若摩天轮上点P的起始位置在最高点处，则摩天轮转动过程中下列说法正确的是（   ） A．转动后点P距离地面 B．若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的 C．第和第点P距离地面的高度相同 D．摩天轮转动一圈，点P距离地面的高度不低于m的时间长为 【答案】D 【解析】设转动过程中，点P离地面距离的函数为：， 由题意得：， ，则 ，所以 ， 选项A，转到后，点P距离地面的高度为：，故A不正确； 选项B，若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的2倍，故B不正确； 选项C，因为 ， ，所以 ， 即第和第点P距离地面的高度不相同，故C不正确； 选项D，令，则 ，由， 解得 ，所以，即摩天轮转动一圈，点P距离地面的高度不低于m的时间为，故D正确；故选：D. 【训练9】1．水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时8秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，则的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因点在水车上，所以.由题可知的最小正周期为8，则，又，则.因，则，又，故.综上：. 2．某摩天轮的半径约为40m，圆心O距地面的高度约为60m，摩天轮逆时针匀速转动，每15min转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在最低点处，已知在时刻t（min）时P距离地面的高度，当距离地面的高度在以上时可以看到长春的全貌，则在转一圈的过程中可以看到整个城市全貌的时间约为（    ） A．2.0min B．2.5min C．2.8min D．3.0min 【答案】B 【解析】由题意可知摩天轮运动一周距离底面的最高点为(60+40)米与最低点(60-40)米，相差80米， ∴；运动一周15分钟，即；由，可得， 故.要看到全景需，解之得：，故时间长为min. 故选：B 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 正弦函数的性质及图象 一．正弦函数的定义 正弦函数：对于任意一个角x，都有唯一确定的正弦sin x与之对应，因此y＝sin x是一个函数，一般称为正弦函数． 一般地，函数y＝sin x的图像称为正弦曲线，利用五点法作正弦曲线，这五个点是：，，，，．y＝sin x，x∈[0,2π]的图像向左、右平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y＝sin x，x∈R的图像． 函数 y＝sin x 图象 定义域 值域 周期性 最小正周期 奇偶性 递增区间 递减区间 对称中心 对称轴 二．正弦函数的图像与性质 考点一 正弦函数的图像 【例1】1．根据函数的图像，可得方程的解为（ ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【训练1】1．函数与图像交点的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（25天津）设，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点二 解正弦不等式 【例2】1．在内，不等式的解集是（ ） A．(0，π) B． C． D． 2．函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【训练2】1．不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 2．使不等式成立的的取值集合是（ ） A． B． C． D． 3．设，则“”是“”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．若函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 考点三 含正弦函数的值域 【例3】1．函数的值域是（ ） A． B． C． D． 2．函数的最大值是（ ） A．2 B． C． D．5 【训练3】1．函数的最小值为（ ） A．2 B．－1 C．－2 D．5 2．当x∈时，函数y＝3－sin x－2cos2x的最小值是________，最大值是________． 3．已知，求函数的最小值________． 4．已知函数f(x)＝sin，若关于x的方程f(x)＝k在区间上有且只有一个实数解，则实数k的取值范围为________________________；若有两个实数解，则实数k的取值范围为________． 考点四 含正弦函数的单调性与奇偶性 【例4】1．已知函数，下列结论错误的是（ ） A．函数的最小正周期是 B．函数在区间上是减函数 C．函数的图像关于直线对称 D．函数为偶函数 【训练4】1．函数 的一个单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 2．函数y=sin2x的图象可能是( ) 3．函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 正弦型函数的性质与图象 一．正弦型函数的定义 一般地，形如的函数，称为正弦型函数，其中都是常数，且. |A|叫做振幅，T＝叫做周期，f＝叫做频率，叫做相位，叫做初相，叫做角频率． 二．正弦型函数（）的性质 定义域 对称中心 值域 对称轴 周期性 单调性 例：求函数f(x)＝3sin的定义域，值域，最小正周期，对称轴，对称中心，单调性． 三．函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径 例：说明y＝2sin的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到． 1．对正弦型函数的判断 (1)将y＝sin 2x的图象向右平移个单位，得到y＝sin的图象．( ) (2)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A．( ) (3)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象的两个相邻对称轴间的距离为一个周期．( ) (4)函数f(x)＝sin(－2x)与f(x)＝sin 2x的单调增区间都是(k∈Z)．( ) (5)函数f(x)＝sin在区间上的最小值为－．( ) 考点一 周期性 【例1】1．函数的最小正周期为（ ） A． B． C． D． 【训练1】1．已知函数的最小正周期为，则实数的值为（ ） A．3 B． C． D． 考点二 对称轴与对称中心 【例2】1．函数图象的对称轴方程为（ ） A． B． C． D． 2．函数的一个对称中心的坐标是（ ） A． B． C． D． 【训练2】1．函数图象的一条对称轴是（ ） A． B． C． D． 2．函数的图像（ ） A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 3．已知函数f(x)＝sin－1(ω＞0)的最小正周期为，则f(x)的图象的一条对称轴方程是(　　) A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝ 4．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)对任意x都有f＝f，则f等于(　　) A．2或0 B．－2或2 C．0 D．－2或0 5．（24新高考二）（多选）对于函数和，下列正确的有（ ） A．与有相同零点 B．与有相同最大值 C．与有相同的最小正周期 D．与的图像有相同的对称轴 考点三 增减区间 【例3】1．函数的单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 2．函数的单调减区间为（ ） A． B． C． D． 【训练3】1．函数的单调减区间为（ ） A． B． C． D． 2．下列区间中，函数单调递增的区间是（ ） A． B． C． D． 考点四 图像平移 【例4】1．要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 2．将函数y=的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是_________． 【训练4】1．（22浙江） 为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 2．把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把所得曲线向右平移个单位长度，最后所得曲线的一条对称轴是（ ） A． B． C． D． 3．把函数y＝sin图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为(　　) A．x＝－ B．x＝－ C．x＝ D．x＝ 4．已知函数y＝g(x)的图象由f(x)＝sin 2x的图象向右平移φ(0＜φ＜π)个单位得到，这两个函数的部分图象如图所示，则φ＝________． 5．已知函数是奇函数，将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为.若的最小正周期为，且，则（ ） A． B． C． D． 6．把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ） A． B． C． D． 7．（多选）为了得到函数的图像，只需把函数图像上所有点（ ） A．向左平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 B．向左平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍 C．所得各点的横坐标缩短到原来的，向左平行移动个单位长度 D．所得各点的横坐标缩短到原来的，向右平行移动个单位长度 考点五 由图像求解析式 【例5】1．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为 ． 【训练5】1．下列函数中，图象的一部分如图所示的是（ ） A． B． C． D． 2．下图是函数的图象，那么（ ） A． B． C． D． 3．如图是函数的部分图象，则（ ） A． B． C． D． 4．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线x＝是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为(　　) A． B． C． D． 5．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为2，且过点，则函数解析式f(x)＝________． 6．如图是函数y＝sin(ωx＋φ)在区间上的图象，将该图象向右平移m(m＞0)个单位后，所得图象关于直线x＝对称，则m的最小值为(　　)． A． B． C． D． 7．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．不等式的解集为 D．将的图象向右平移个单位长度后所得函数的图象在上单调递增 8．（23新高考二.16）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则______． 规律方法：振幅；周期；特殊点． 考点六 由正弦函数性质求参数 【例6】1．函数y＝2sin(3x＋φ)的一条对称轴为x＝，则φ＝________. 2．（24北京）已知，，，，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24天津）已知函数的最小正周期为．则函数在的最小值是（ ） A． B． C．0 D． 【训练6】1．（22新高考Ⅱ）函数的图象以中心对称，则（ ） A．在单调递减 B．在有2个极值点 C．直线是一条对称轴 2．设函数f(x)＝sin(－2x＋φ)(0＜φ＜π)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝． (1) 求φ； (2)求函数y＝f(x)的单调区间． 3．（22新高考Ⅰ） 记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（ ） A．1 B． C． D．3 4．（22全国甲理）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．（23全国乙文理）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（ ） A． B． C． D． 6．（25天津），在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为（ ） A． B． C．1 D．0 考点七 五点作图法 【例7】1．(1)利用“五点法”画出函数在长度为一个周期的闭区间的简图． 列表： x y 作图： (2)并说明该函数图象可由的图象经过怎么变换得到的． (3)求函数图象的对称轴方程． 2．（24新高考一）当时，曲线与的交点个数为（ ） A．3 B．4 C．6 D．8 【训练7】1．已知函数． （1）求它的振幅、周期、初相； （2）用“五点法”作出它在一个周期内的图象． 2．已知函数. （1）请用“五点法”画出函数在一个周期上的图象（先在所给的表格中填上所需的数字，再画图）； 0 （2）求的单调递增区间； （3）求在区间上的最大值和最小值及相应的值 考点八 正弦型函数综合应用 【例8】1．设函数f(x)＝sin，则下列命题： ①f(x)的图象关于直线x＝对称； ②f(x)的图象关于点对称； ③f(x)的最小正周期为π，且在上为增函数； ④把f(x)的图象向右平移个单位，得到一个奇函数的图象． 其中正确的命题为________(把所有正确命题的序号都填上)． 2．关于函数f（x）=有如下四个命题： ①f（x）的图像关于y轴对称． ②f（x）的图像关于原点对称． ③f（x）的图像关于直线x=对称． ④f（x）的最小值为2． 其中所有真命题的序号是__________． 【训练8】1．已知函数．给出下列结论： ①的最小正周期为； ②是的最大值； ③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象． 其中所有正确结论的序号是（ ） A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 2．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，下列结论： ①最小正周期为π； ②将f(x)的图象向左平移个单位，所得到的函数是偶函数； ③f(0)＝1；④f＜f；⑤f(x)＝－f． 其中正确的是(　　)． A． ①②③ B．②③④ C．①④⑤ D．②③⑤ 3．将函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象向左平移个单位，所得函数的图象与函数y＝f(x)的图象关于x轴对称，则ω的值不可能是(　　) A．2 B．4 C．6 D．10 4．关于函数有下述四个结论： ①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间（,）单调递增 ③f(x)在有4个零点 ④f(x)的最大值为2 其中所有正确结论的编号是( ) A. ①②④ B. ②④ C. ①④ D. ①③ 5．（多选）已知函数，则下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．将的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称 C．函数的最小正周期为 D．若在上有且仅有3个零点，则的取值范围为 6．已知函数f(x)＝2sin，将函数y＝f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的，再把所得到的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，求函数y＝g(x)在区间上的值域． 7．已知函数f(x)＝sin，将函数f(x)的图象向右平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象，若关于x的方程g(x)＋k＝0在区间上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围． 8．已知函数的图象在y轴上的截距图像与y轴交点的纵坐标为1，在相邻两个最值点和上，函数分别取最大值和最小值． （1）求函数的解析式； （2）若在区间内有两个不同的零点，求k的取值范围； （3）求函数的单调区间，最值及取得最值时x的取值集合，并求函数在区间上的对称轴方程． 考点九 正弦型函数模型 【例9】1．如图，摩天轮的半径为m，其中心点距离地面的高度为m，摩天轮按逆时针方向匀速转动，且转一圈，若摩天轮上点P的起始位置在最高点处，则摩天轮转动过程中下列说法正确的是（   ） A．转动后点P距离地面 B．若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的 C．第和第点P距离地面的高度相同 D．摩天轮转动一圈，点P距离地面的高度不低于m的时间长为 【训练9】1．水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时8秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，则的表达式为（    ） A． B． C． D． 2．某摩天轮的半径约为40m，圆心O距地面的高度约为60m，摩天轮逆时针匀速转动，每15min转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在最低点处，已知在时刻t（min）时P距离地面的高度，当距离地面的高度在以上时可以看到长春的全貌，则在转一圈的过程中可以看到整个城市全貌的时间约为（    ） A．2.0min B．2.5min C．2.8min D．3.0min 1 学科网（北京）股份有限公司 $$