专题13：特殊的一元二次方程的解法（2大知识点+8大题型+真题检验） 2025-2026学年 沪教版（五四制）八年级数学上册暑假班预修提升课程

2025年新八年级（沪教版2024）暑假班预修提升课程 专题13 特殊的一元二次方程的解法 知识点一、因式分解法解一元二次方程 1.因式分解法 通过因式分解把一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 2.用因式分解法解一元二次方程的理论依据 如果两个因式的积为0,那么这两个因式中至少有一个等于0,即若ab=0,则a=0或b=0. 解方程的应用：方程的两根是反过来，如果一元二次方程的两根是那么可得方程. 因此，若方程的两根是，则方程为. 3.用因式分解法解一元二次方程的一般步骤 (1)移项、合并同类项：将方程的右边化为0; (2)因式分解：将方程的左边化为两个一次式的乘积； (3)降次转化：令每个一次式分别为0,得到两个一元一次方程； (4)一一求解：分别解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解. 4.几种常见的用因式分解法求解的方程 （1）形如x²+bx=0的一元二次方程， 将左边运用提公因式法因式分解为x(x+b)=0,则x=0或 x+b=0,即=0,=-b. （2）形如x²-a²=0的一元二次方程， 将左边用平方差公式因式分解为(x+a)(x-a)=0,则x+a=0或x-a=0,即=-a,=a. （3）形如x²±2ax+a²=0的一元二次方程， 将左边用完全平方公式因式分解为(x±a)²=0, 则①x+a=0,即==-a;②x-a=0,即==a. （4）形如x²+(a+b)x+ab=0的一元二次方程， 将左边因式分解，则方程化为(x+a)(x+b)=0,所以x+a=0或x+b=0,即=-a,=-b. 知识点二、直接开平方法解一元二次方程 1.直接开平方法 利用平方根的意义直接开平方来求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法. 2.求方程x²=p的根的条件 一般的，对于可化为x2 = p(I) 的方程， (1)当p>0 时，根据平方根的意义，方程(I)有两个不相等的实数根，； (2)当p=0 时，方程(I)有两个相等的实数根； (3)当p<0 时，因为任何实数x，都有x2≥0 ，所以方程(I)无实数根. 归纳：利用平方根的意义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法 高分技巧：用直接开平方法解方程时，要先将方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是常数的形式 题型01：因式分解的依据 【例1】直接写出下列方程的根： （1） （2） （3）（4） 【跟踪训练】 1.直接写出下列方程的根： （1） （2）（3） 题型02：应用提取公因式法解一元二次方程 【例2】解下列方程：[来源:学科网Z （1） （2） （3） （4） 【跟踪训练】 1.解下列方程：[来源:学科网ZXXK] （1） （2） （3） 2.解下列方程：[来 （1） （2） （3）； （4）； 3.因式分解法解方程： （1）；（2） 题型03：应用十字相乘法解一元二次方程 【例3】用因式分解法解下列方程： （1） （2） （3）[来源:学科网ZXXK] （4） （5） （6） 【跟踪训练】 1.用十字相乘法解下列方程． （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10）． 2.用十字相乘法解下列方程． （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）． (8)． 3.用十字相乘法解方程：（1）． （2）． （3）． （4）． 题型04：应用平方差公式或完全平方公式解一元二次方程 【例4】解下列方程：(1)；(2)． 【跟踪训练】 1解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 题型05：方程转化后应用因式分解法 【例5】用因式分解法解下列方程： (1) ； (2) ； 【例6】解下列方程： 【跟踪训练】 1.方程的解是（　　） A． B． C． D． 2.解下列方程： (1) (2)． 题型06：直接开平方法 【例7】直接开平方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）． 【例8】解方程： （1） （2） 【跟踪训练】 1.解方程： (1) (2) (3) (4) 2.用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 题型07：直接开平方法解一元二次方程的条件 【例9】有关方程的解说法正确的是（    ） A．有两不等实数根3和 B．有两个相等的实数根3 C．有两个相等的实数根 D．无实数根 【例10】形如的方程，下列说法错误的是（    ） A．时，原方程有两个不相等的实数根 B．时，原方程有两个相等的实数根 C．时，原方程无实数根 D．原方程的根为 【例11】解方程： 【跟踪训练】 1.下列方程能用直接开平方法求解的是(      ) A． B． C． D． 2.．方程y2＝-a有实数根的条件是（    ） A．a≤0 B．a≥0 C．a>0 D．a为任何实数 3．有下列方程：①x2-2x=0；②9x2-25=0；③(2x-1)2=1；④．其中能用直接开平方法做的是(   ) A． B． C． D． 4.．已知方程有实数根，则与的关系是（    ）. A． B．或、异号 C．或、同号 D．是的整数倍 题型07：综合提升 【例12】已知三角形其中两边之和为10，第三边长是是方程的一个根，则该三角形的周长为（    ） A．11 B．21 C．11或21 D．11或1 【例13】已知，则的值是（    ） A．3或 B．或2 C．3 D． 【例14】对于实数m，n，定义一种新运算“※”如下： （1）若，，则 ； （2）若，则实数x的值为 ． 【跟踪训练】 1．三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（    ） A．15 B．13 C．11或8 D．11和13 2．已知三角形两边长分别为7和4，第三边是方程的一个根，则这个三角形的周长是 ． 一、选择题 1．（2024-2025八年级上普陀区期中）一元二次方程的根是（ ） A．2 B．0或4 C．4或 D．2或 2．（2024-2025八年级上闵行区期中）一元二次方程的解为（    ） A． B． C．， D．， 3．（2024建平中学期中）方程的解为（　　） A．， B．， C．， D．， 4．（2024上海实验西校期中）如果关于x的方程可以用直接开平方法求解，那么a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2024-2025八年级上松江区期中）若则等于（　　） A． B．或 C． D．以上都不对 6．（2024文来中学期中）三角形的两边长分别为4和5，第三边的长是方程的根，则三角形的周长是（    ） A．19 B．11或19 C．13 D．11 二、填空题 7．（2024-2025八年级上浦东新区期中）如果一元二次方程的两根分别是，，且，那么的值是__________． 8. （2024建平中学期中）方程的根为______． 9. （2024西南位育中学期中）方程的解是_______________． 10．（2024-2025八年级上徐汇区期中）方程x2- =0的根为 ． 11．（2024兰生学校期中）关于的方程的解是____． 12.（2024延安中学期中）若关于的一元二次方程有实根，则值可以为______．（写出一个即可） 13. （2024-2025八年级上奉贤区期中）如果关于x的方程（x﹣2）2＝m﹣1没有实数根，那么m的取值范围是____． 14．（2024建平中学期中）若，则________． 15.（2024上宝中学期中）关于的方程有实数根，则的取值范围为_______________________． 16．（2024-2025八年级上普陀区期中）一元二次方程的根是 ． 3、 解答题 17. （2024上海课时作业）因式分解求解 （1）； （2）； （3）； （4）． 18.（2024上海课时作业）因式分解求解 （1）； （2）； （3）； （4） ． 19．（2024上海课时作业）用因式分解法解下列方程： (1)； (2) ； (3)； (4). 20.（2024上海课时作业）开平方法求解 （1）； （2）． 21．（2024上海课时作业）用直接开平方法求下列各方程的根： （1）； （2）； （3）； （4）． 22．（2024上海课时作业）已知，求的值． 23．（2024建平中学期中）阅读下面的例题． 解方程： ． 解：（1）当 时，原方程化为 ，解得 ， （不合题意，舍去）． （2）当 时，原方程化为 ，解得 ， （不合题意，舍去）． ∴原方程的解是 ， ． 请参照上述方法解方程 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年新八年级（沪教版2024）暑假班预修提升课程 专题13 特殊的一元二次方程的解法 知识点一、因式分解法解一元二次方程 1.因式分解法 通过因式分解把一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 2.用因式分解法解一元二次方程的理论依据 如果两个因式的积为0,那么这两个因式中至少有一个等于0,即若ab=0,则a=0或b=0. 解方程的应用：方程的两根是反过来，如果一元二次方程的两根是那么可得方程. 因此，若方程的两根是，则方程为. 3.用因式分解法解一元二次方程的一般步骤 (1)移项、合并同类项：将方程的右边化为0; (2)因式分解：将方程的左边化为两个一次式的乘积； (3)降次转化：令每个一次式分别为0,得到两个一元一次方程； (4)一一求解：分别解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解. 4.几种常见的用因式分解法求解的方程 （1）形如x²+bx=0的一元二次方程， 将左边运用提公因式法因式分解为x(x+b)=0,则x=0或 x+b=0,即=0,=-b. （2）形如x²-a²=0的一元二次方程， 将左边用平方差公式因式分解为(x+a)(x-a)=0,则x+a=0或x-a=0,即=-a,=a. （3）形如x²±2ax+a²=0的一元二次方程， 将左边用完全平方公式因式分解为(x±a)²=0, 则①x+a=0,即==-a;②x-a=0,即==a. （4）形如x²+(a+b)x+ab=0的一元二次方程， 将左边因式分解，则方程化为(x+a)(x+b)=0,所以x+a=0或x+b=0,即=-a,=-b. 知识点二、直接开平方法解一元二次方程 1.直接开平方法 利用平方根的意义直接开平方来求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法. 2.求方程x²=p的根的条件 一般的，对于可化为x2 = p(I) 的方程， (1)当p>0 时，根据平方根的意义，方程(I)有两个不相等的实数根，； (2)当p=0 时，方程(I)有两个相等的实数根； (3)当p<0 时，因为任何实数x，都有x2≥0 ，所以方程(I)无实数根. 归纳：利用平方根的意义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法 高分技巧：用直接开平方法解方程时，要先将方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是常数的形式 题型01：因式分解的依据 【例1】直接写出下列方程的根： （1） （2） （3）（4） 答案：；；；； 【跟踪训练】 1.直接写出下列方程的根： （1） （2）（3） 答案：；； 题型02：应用提取公因式法解一元二次方程 【例2】解下列方程：[来源:学科网Z （1） （2） （3） （4） 答案：；； ；. 【跟踪训练】 1.解下列方程：[来源:学科网ZXXK] （1） （2） （3） 答案： 2.解下列方程：[来 （1） （2） （3）； （4）； 答案：；； （2） 3.因式分解法解方程： （1）；（2） 【答案】（1），；（2）， 【解析】（1）因式分解，得：， 得：或， ，． （2）化为一般式为：， 因式分解，得： 得：或， ，． 题型03：应用十字相乘法解一元二次方程 【例3】用因式分解法解下列方程： （1） （2） （3）[来源:学科网ZXXK] （4） （5） （6） 答案：；；； ；；； 【跟踪训练】 1.用十字相乘法解下列方程． （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10）． 【答案：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）】 2.用十字相乘法解下列方程． （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）． (8)． 【答案：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）】 （8） 原方程可化为， 或， ，． 3.用十字相乘法解方程：（1）． （2）． （3）． （4）． 题型04：应用平方差公式或完全平方公式解一元二次方程 【例4】解下列方程：(1)；(2)． 解：（1）原方程可化为， ， 或， ； （2）， 即． 于是得或， ∴， 【跟踪训练】 1解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 题型05：方程转化后应用因式分解法 【例5】用因式分解法解下列方程： (1) ； (2) ； 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查用因式分解法求解一元二次方程，熟练掌握用因式分解法求解一元二次方程是银题的关键． （1）先将方程化简，再用因式分解法求解即可； （2）先将方程变形为，再用因式分解法求解； （3）用平方差公式分解，即可求解； 【解析】（1）解：原方程可化为． 移项，得． 因式分解，得． 于是得或， ∴，． （2）解：原方程可化为． 因式分解，得， 即． 于是得或， ∴ ． 【例6】解下列方程： 答案：； 【跟踪训练】 1.方程的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先把一元二次方程展开合并，再根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴． 故选B． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，掌握十字相乘因式分解，是解题的关键． 2.解下列方程： (1) (2)． 解：（1） ， 则， 或， 解得，． 所以，原方程的解为，． （2）， 整理得：， ∴， 解得： 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握和运用一元二次方程的解法是解决本题的关键． 题型06：直接开平方法 【例7】直接开平方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）． 【答案：（1），∴． （2），∴． （3），∴，解得或． （4），∴，解得或 （5）， （6） （7）， （8）或4 （9），． 【例8】解方程： （1） （2） 【答案】（1），；（2），． 【解析】 （1）解：， ∴， ∴， ∴， 解得：，； （2）解：∵， ∴或， 或， 解得：，． 【跟踪训练】 1.解方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了利用直接开方法解一元二次方程． （1）先移项，再两边同除以3，然后利用直接开方法解方程即可得； （2）先移项，再利用直接开方法解方程即可得； （3）先两边同乘以2，再利用直接开方法解方程即可得； （4）先利用平方差公式去括号，再移项合并同类项，然后利用直接开方法解方程即可得． 【解析】（1）解：， ， ， ∴； （2）， ， 或， ∴； （3）， ， 或， 或， 即：； （4）， ， ， ， 即． 2.用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握一元二次方程的求解方法是解题关键． （1）利用直接开方的方法进行求解即可； （2）利用直接开方的方法进行求解即可． 【解析】（1）解：， ， ， ，； （2）， ， 两边直接开平方，得， 解得，． 题型07：直接开平方法解一元二次方程的条件 【例9】有关方程的解说法正确的是（    ） A．有两不等实数根3和 B．有两个相等的实数根3 C．有两个相等的实数根 D．无实数根 【答案】D 【分析】利用直接开平方法求解即可． 【解析】∵， ∴， ∴该方程无实数解． 故选：D 【点睛】考查了直接开平方法解一元二次方程．解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解． 【例10】形如的方程，下列说法错误的是（    ） A．时，原方程有两个不相等的实数根 B．时，原方程有两个相等的实数根 C．时，原方程无实数根 D．原方程的根为 【答案】D 【分析】根据应用直接开平方法求解的条件逐项判断即得答案． 【解析】解：A、当时，原方程有两个不相等的实数根，故本选项说法正确，不符合题意； B、当时，原方程有两个相等的实数根，故本选项说法正确，不符合题意； C、当时，原方程无实数根，故本选项说法正确，不符合题意； D、当时，原方程的根为，故本选项说法错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基本题目，熟练掌握应用直接开平方法求解的条件是关键． 【例11】解方程： 【答案】当时，原方程的解是，当时，原方程无实数解 【解析】 解：移项得：， 化简得：， ， ， 当时，， 原方程无实数解， 当时，， ， 当时，原方程的解是 当时，原方程无实数解． 【跟踪训练】 1.下列方程能用直接开平方法求解的是(      ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解法﹣直接开方法，解题的关键是掌握直接开方法．形如的方程均可采用直接开方法进行解答，据此判断即可． 【解析】解：选项A，B，C方程左边均不能化为完全平方式，故选项A，B，C不能用直接开平方法求解； 由得，故选项D能用直接开平方法求解． 故选：D． 2.．方程y2＝-a有实数根的条件是（    ） A．a≤0 B．a≥0 C．a>0 D．a为任何实数 【答案】A 【分析】根据平方的非负性可以得出﹣a≥0，再进行整理即可． 【解析】解：∵方程y2＝﹣a有实数根， ∴﹣a≥0（平方具有非负性）， ∴a≤0； 故选：A． 【点睛】此题考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是根据已知条件得出﹣a≥0． 3．有下列方程：①x2-2x=0；②9x2-25=0；③(2x-1)2=1；④．其中能用直接开平方法做的是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用因式分解法与直接开平方法判断即可得到结果． 【解析】①x2-2x=0，因式分解法； ②9x2-25=0，直接开平方法； ③(2x-1)2=1，直接开平方法； ④，直接开平方法， 则能用直接开平方法做的是②③④. 故选:C. 【点睛】考查直接开方法解一元二次方程，掌握一元二次方程的几种解法是解题的关键. 4.．已知方程有实数根，则与的关系是（    ）. A． B．或、异号 C．或、同号 D．是的整数倍 【答案】B 【分析】将原方程化为的形式，根据可判断出正确答案． 【解析】原方程可化为，∵，∴时方程才有实数解．当c=0时，有实数根；当a、c异号时， ，方程有实数解．故选B． 【点睛】形如的一元二次方程当a≥0时方程有实数解． 题型07：综合提升 【例12】已知三角形其中两边之和为10，第三边长是是方程的一个根，则该三角形的周长为（    ） A．11 B．21 C．11或21 D．11或1 【答案】A 【分析】先求出方程的根，然后分x＝1和x＝11两种情况，利用三角形三边关系进行判断即可． 【解析】解：由可得， ∴或， 解得x＝1或x＝11， 当x＝1时，因为10＞1，所以能组成三角形，此时该三角形的周长为11； 当x＝11时，因为10＜11，所以不能组成三角形， 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，三角形三边关系的应用，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【例13】已知，则的值是（    ） A．3或 B．或2 C．3 D． 【答案】C 【分析】设，则原方程变为解出关于a的方程，取非负值值即为的值． 【解析】解：设， ∵， ∴，即， ∴， 解得或（舍去）， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查解一元二次方程，掌握换元思想可以使做题简单，但需注意． 【例14】对于实数m，n，定义一种新运算“※”如下： （1）若，，则 ； （2）若，则实数x的值为 ． 【答案】 3 2 【分析】本题考查的是新定义运算，一元二次方程的解法，理解新定义的含义是解本题的关键； （1）由，再利用新定义的运算法则列式计算即可； （2）分两种情况：当时，当时，再列方程求解即可． 【解析】解：（1）当，，可知， ∴． （2）当时，， 即． 解得．（舍去）； 当时，， 解得（舍去）， ∴x的值为2． 【跟踪训练】 1．三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（    ） A．15 B．13 C．11或8 D．11和13 【答案】B 【分析】本题考查解一元二次方程，三角形三边关系．根据题意解出方程，继而利用三边关系判断能否组成三角形，即可得出答案． 【解析】解：∵， ∴，解得：， ∵三角形两边长分别为3和6， ∴当第三边长为时，不符合构成三角形三边关系，故此种情况舍去， 当第三边长为时，符合构成三角形三边关系，则周长为：， 故选：B． 2．已知三角形两边长分别为7和4，第三边是方程的一个根，则这个三角形的周长是 ． 【答案】20 【分析】本题考查解一元二次方程及三角形的三边关系，利用因式分解法解一元二次方程，再利用三角形的三边关系确定符合题意的x的值，然后计算其周长即可． 【解析】 因式分解得： 解得： ∵ ∴舍去 ∴这个三角形的周长是 故答案为：20 ． 一、选择题 1．（2024-2025八年级上普陀区期中）一元二次方程的根是（ ） A．2 B．0或4 C．4或 D．2或 【答案】D 【解析】 解：原方程化为：， 系数化为1，得：， 直接开平方，得： ， ． 故选：D． 2．（2024-2025八年级上闵行区期中）一元二次方程的解为（    ） A． B． C．， D．， 【答案】D 【分析】把方程整理成，然后因式分解求解即可. 【解析】解：把方程整理成即 ∴或 解得：， 故选D. 【点睛】此题考查了一元二次方程的解法，一元二次方程的解法有：直接开平方法；分解因式法；公式法；配方法，本题涉及的解法有分解因式法，此方法的步骤为：把方程右边通过移项化为0，方程左边利用提公因式法，式子相乘法，公式法以及分组分解法分解因式，然后根据两数积为0，两数中至少有一个为0，转化为两个一元一次方程，进而得到原方程的解． 3．（2024建平中学期中）方程的解为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查解一元二次方程，根据直接开平方法可得，再求解即可．解题的关键是掌握形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成的形式，那么可得． 【解析】解：∵， ∴， 即或， ∴，． 故选：A． 4．（2024上海实验西校期中）如果关于x的方程可以用直接开平方法求解，那么a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用解一元二次方程－直接开平方法，进行计算即可解答． 【解析】解：∵关于x的方程可以用直接开平方法求解， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程－直接开平方法，熟练掌握解一元二次方程－直接开平方法是解题的关键． 5．（2024-2025八年级上松江区期中）若则等于（　　） A． B．或 C． D．以上都不对 【答案】A 【分析】采用换元法另，然后根据直接开平方法求解即可，注意非负数的性质舍去不合题意的答案． 【解析】解：另，则， ， 或， 解得：或， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，非负数的性质．难度适中，注意利用非负数的性质舍去不合题意的答案． 6．（2024文来中学期中）三角形的两边长分别为4和5，第三边的长是方程的根，则三角形的周长是（    ） A．19 B．11或19 C．13 D．11 【答案】D 【分析】根据三角形的三边关系以及一元二次方程的解法即可求出答案． 【解析】解：∵x2-12x+20=0， ∴x=2或x=10， 当x=2时， ∵2+4＞5， ∴能组成三角形， ∴三角形的周长为2+4+5=11， 当x=10时， ∵4+5＜10， ∴不能组成三角形， 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型． 二、填空题 7．（2024-2025八年级上浦东新区期中）如果一元二次方程的两根分别是，，且，那么的值是__________． 【答案】3 【解析】 解：解方程x2-9=0， 移项得，x2=9， 解得，x1=3，x2=-3， 因为a＞b， 所以a=3， 故答案为：3． 8. （2024建平中学期中）方程的根为______． 【答案】 【解析】 解：∵， ∴x=±32， ∴方程的根为±32． 故填±32． 9. （2024西南位育中学期中）方程的解是_______________． 【答案】 【解析】 解： 开方得：， 10．（2024-2025八年级上徐汇区期中）方程x2- =0的根为 ． 【答案】x=± 【分析】根据算术平方根的定义得出=8，得出x2=8，利用直接开平方法即可求解． 【解析】解： x2- =0， ∴x2=8， ∴x=． 故答案为：x=． 【点睛】本题考查直接开平方法解一元二次方程及算术平方根，解题关键是熟练掌握直接开平方法的解题步骤． 11．（2024兰生学校期中）关于的方程的解是____． 【答案】或 【解析】 解： ， ， ； 故答案为或． 12.（2024延安中学期中）若关于的一元二次方程有实根，则值可以为______．（写出一个即可） 【答案】1（答案不唯一，）． 【解析】 解：若关于的一元二次方程有实根， 则， 所以的值可以是1（答案不唯一）． 故答案为：1（答案不唯一，）． 13. （2024-2025八年级上奉贤区期中）如果关于x的方程（x﹣2）2＝m﹣1没有实数根，那么m的取值范围是____． 【答案】m＜1 【解析】 解：∵关于x的方程（x﹣2）2＝m﹣1没有实数根， ∴m﹣1＜0， 解得m＜1， 所以m的取值范围是m＜1． 故答案为：m＜1． 14．（2024建平中学期中）若，则________． 【答案】3 【解析】 解：两边开方得， 或， ， ． 故答案为：3． 15.（2024上宝中学期中）关于的方程有实数根，则的取值范围为_______________________． 【答案】 【解析】 解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴a-1≥0， 解得a≥1， 故答案为a≥1． 16．（2024-2025八年级上普陀区期中）一元二次方程的根是 ． 【答案】， 【分析】方程变形为x（2x﹣5）﹣2（2x﹣5）＝0，然后利用因式分解法解方程． 【解析】解：x（2x﹣5）＝4x﹣10， x（2x﹣5）﹣2（2x﹣5）＝0， （x﹣2）（2x﹣5）＝0， x﹣2＝0或2x﹣5＝0， 所以，． 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想），掌握因式分解解方程的方法是解题的关键． 3、 解答题 17. （2024上海课时作业）因式分解求解 （1）； （2）； （3）； （4）． 【解答：（1）；（2）；（3）；（4）．】 18.（2024上海课时作业）因式分解求解 （1）； （2）； （3）； （4） ． 【解答：（1）；（2）；（3）；（4）．】 19．（2024上海课时作业）用因式分解法解下列方程： (1)； (2) ； (3)； (4). 【答案】(1);(2);(3);(4). 【分析】(1)原式用提取公因式进行因式分解可化简为，求解后即可解答； (2)原式用平方差公式进行因式分解可化简为，求解后即可解答； (3)原式用完全平方公式进行因式分解可化简为，求解后即可解答； (4) 原式用平方差公式进行因式分解可化简为，求解后即可解答    . 【解析】解：(1)原方程可化为 ∴， ∴或， ∴. (2)原方程可化为， ∴， ∴， ∴或，∴. (3)原方程可化为，∴，∴. (4)原方程可变形为，∴， ∴， 即， ∴或， ∴. 【点睛】本题考查了用提取公因式、平方差公式、完全平方公式进行因式分解，熟练掌握是解题的关键, 20.（2024上海课时作业）开平方法求解 （1）； （2）． 【解答：（1）；（2）．】 21．（2024上海课时作业）用直接开平方法求下列各方程的根： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）或；（2）或；（3）或；（4）或 【解析】 （1）∵ x2=361， ∴x =19或x =-19． （2）∵2y2-72=0， 2 y 2=72， y 2=36， ∴y =6或y =-6． （3）∵5a2-1=0， 5 a 2=1， a 2=， ∴a =或a =-． （4）∵-8m2+36=0， -8 m 2=-36， m 2=， ∴m =或m =-． 22．（2024上海课时作业）已知，求的值． 【答案】3 【分析】先用换元法令，再解关于的一元二次方程即可． 【解析】解：令，则原等式可化为： ， 解得：， ， ，即． 的值为3． 【点睛】本题考查了换元法、一元二次方程的解法，注意为非负数是本题的关键． 23．（2024建平中学期中）阅读下面的例题． 解方程： ． 解：（1）当 时，原方程化为 ，解得 ， （不合题意，舍去）． （2）当 时，原方程化为 ，解得 ， （不合题意，舍去）． ∴原方程的解是 ， ． 请参照上述方法解方程 ． 【答案】原方程的解是 ， 【分析】当x≥1时，原方程化为x2-x=0，利用因式分解法可得x的值；当x<1时，原方程化为 x2+x-2=0，同理可得x的值，进而可得原方程的解． 【解析】解： ． （1）当 时，原方程化为 ， 解得 ， （不合题意，舍去）． （2）当 时，原方程化为 ， 解得 ， （不合题意，舍去）． 故原方程的解是 ， ． 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程以及绝对值的性质，分类讨论思想是本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$