专题12：一元二次方程的概念（3大知识点+7大题型+真题检验） 2025-2026学年 沪教版（五四制）八年级数学上册暑假班预修提升课程

2025年新八年级（沪教版2024）暑假班预修提升课程 专题12 一元二次方程的概念 知识点一、一元二次方程的概念 1.一元二次方程的概念 等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程。 2.一元二次方程必须同时满足的条件 (1)是整式方程；(2)只含有一个未知数；(3)未知数的最高次数是2 例如,都是一元二次方程，而xy-x²=0 (不满足“只含有一个未知数”),x³-4x=0 (不满足“未知数的最高次数是2”)都不是一元二次方程。 特别提醒 定义中“等号两边都是整式”是指原方程中等号两边都是整式，而不是“整理合并(整理合并是指去分母、去括号、移项和合 并同类项)”之后都是整式， (1) 定义中“只含有一个未知数(一元), 并且未知数的最高次数是2(二次)”这句话，是对将方程“整理合并”之后而言的， (2) 当方程中二次项系数含有字母时，若字母的取值范围不明确，则这个方程不一定是一元二次方程。 知识点二、一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式是ax²+bx+c=0(a≠0): 其中ax² 是二次项，a 是二次项系数；bx是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项 注意：（1）a≠0是一元二次方程的必要条件.（2）如果明确指出方程ax²+bx+c=0是关于x的一元二次方程，那么就隐含了a≠0这一重要条件。 特别提醒 (1)一元二次方程一般形式的特点为方程右边是0,方程左边是关 于x 的二次整式 (2)“a≠0”是一元二次方程一般形式的一个重要组成部分，也 是考查一元二次方程的定义的重点，但b,c可以为0. (3)要确定一元二次方程的二次项系数、一次项系数与常数项，必须先将一元二次方程化为一般形式，二次项系数、一次项系数与常数项都包括它们前面的符号.如4x²-3x-2=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为4,-3,-2. (4)通常情况下，方程整理为一般形式时，将二次项系数化为正数 知识点三、一元二次方程的解(根) 1.一元二次方程的解 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 2.判断一个数是不是一元二次方程的解的方法 将此数代入一元二次方程，若能使方程左右两边相等，则这个数是一元二次方程的解；反之，它不是一元二次方程的解。 题型01：一元二次方程辨析 【名师点拨】判断一元二次方程的方法 先看方程等号两边是不是整式，如果是整式，再移项、合并同类项，使方程等号右边为0,最后观察其是否还同时具备“只含有一个未知数”“未知数的最高次数是2”这两个条件，若同时具备了，则方程是一元二次方程，否则不是. 【例1】列关于x的方程：①；②；③；④；其中一元二次方程的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义求解即可． 【详解】解：①当时，不是关于的一元二次方程，不符合题意， ②是关于的一元二次方程，符合题意； ③是分式方程，不符合题意； ④， 是关于的一元二次方程，符合题意； 所以②④是关于的一元二次方程，共有2个， 故选：B． 【跟踪训练】 1.下列关于x的方程：①；②；③；④；⑤中，是一元二次方程的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题根据一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．据此逐项判定即可． 【详解】解： ，当，不是一元二次方程，故①不是一元二次方程； 满足一元二次方程的条件，故②是一元二次方程； 分母含有未知数是分式方程，故③不是一元二次方程； 未知数的最高次数是3，是一元三次方程，故④不是一元二次方程； 化简后为，是一元一次方程，故⑤不是一元二次方程； 所以正确的只有②共1个， 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程的定义， 2.下列方程中，关于的一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据一元二次方程的定义逐项分析判断即可求解．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 【解答】解：．方程是一元二次方程，故本选项符合题意； ．当时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； ．方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； ．方程，未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，故本选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 3.判断下列方程哪些是一元二次方程，如果是一元二次方程，化为一般式： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； 答案：（1）；（2）；（4）；（6）； 题型02：由一元二次方程的概念求参数的值或范围 【例2】若是关于x的一元二次方程，则__________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义进行求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，一般地，形如（a、b、c是常数，且）的方程叫做一元二次方程． 【例3】已知关于的方程． (1)当取何值时，此方程为一元一次方程并求出此方程的根． (2)当取何值时，此方程为一元二次方程并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项． 【答案】(1) (2)，二次项系数为，一次项系数为，常数项为 【难度】0.65 【思路点拨】本题考查了一元一次方程的定义、一元二次方程的相关概念；掌握一元二次方程中，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．是解决本题的关键． （1）根据一元一次方程的定义得出，即可求出k的值； （2）根据一元二次方程的定义得出，则，根据一元二次方程二次项系数，一次项系数，常数项的定义，即可解答． 【规范解答】（1）解：∵原方程为一元一次方程， ∴， 解得：． （2）解：∵原方程为一元二次方程， ∴， 解得：， 该方程的二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 【跟踪训练】 1.已知关于x的方程为一元二次方程，则a的取值范围是__________． 【答案】且． 【分析】直接利用一元二次方程的定义与二次根式有意义条件分析即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴a-3≠0，且a-1≥0， 解得： 且． 故答案为：且． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握一元二次方程的定义与二次根式有意义条件是解题关键． 2.若关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，得到，根据方程的定义，即可得到结果 【详解】∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， ∴， 解得：， 故选：B 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，熟练掌握方程的概念是解决问题的关键 3．若关于x的方程是一元二次方程，则a的值为__________． 【答案】6 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程，根据定义解答即可． 【详解】解：∵是一元二次方程， ， 解得， 故答案为：6． 【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，熟记定义是解题的关键． 4.已知关于的方程． (1)当为何值时，该方程是一元二次方程？ (2)当为何值时，该方程是一元一次方程？ 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据一元二次方程的概念进行求解即可； （）根据一元一次方程的概念进行求解即可； 本题考查了一元二次方程和一元一次方程的概念，正确理解概念是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，， 解得：， 故当时，该方程是一元二次方程； （2）解根据题意，且， 解得：， 故当时，该方程是一元一次方程． 题型03：一元二次方程的一般形式 【名师点拨】(1)确定一元二次方程二次项系数、一次项系数及常数项时，首先要将方程化为一般形式. (2)指出一元二次方程的各项或各项系数时，要带上前面的符号，尤其是当系数是负数时，一定不能漏掉“-”! (3)若方程中没有一次项或常数项,则一次项系数或常数项为0. 【例4】将下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把每个选项的方程化为一元二次方程的一般式即可得到答案． 【详解】解：A、化为一般式为，二次项系数是4，一次项系数是-7，常数项是2，符合题意； B、化为一般式为，二次项系数是4，一次项系数是-7，常数项是-2，不符合题意； C、化为一般式为，二次项系数是4，一次项系数是7，常数项是-2，不符合题意； D、化为一般式为，二次项系数是4，一次项系数是7，常数项是2，不符合题意； 故选A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常项数，正确把一元二次方程化为一般形式是解题的关键：一元二次方程中，a叫做二次项系数，b叫做一次项系数，c叫做常数项． 【例5】写出一个关于的二次方程，这个方程可以是 . 【答案】 (答案不唯一) 【分析】本题考查了方程的次数的定义，掌握定义是关键．根据一元二次方程定义写出即可．只含有未知数的一项和非零的常数项的一元方程，一般形式是（a、b 是不为0的常数）． 【详解】解：二次方程可以是 (答案不唯一)． 故答案为： (答案不唯一)． 【例6】若关于的一元二次方程的常数项为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的有关概念，一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且）特别要注意的条件，其中叫二次项，叫一次项，是常数项，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】由得， ∵常数项为， ∴且， 解得：， 故答案为：． 【跟踪训练】 1.若关于一元二次方程不含一次项，则______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的一次项系数为0和二次项系数不为0，列出方程和不等式求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和有关概念，准确理解题意是解题关键． 2.若一元二次方程的各项系数的和为，则　　． 【分析】根据移项，可得一般形式，根据各项系数的和，可得关于的方程，根据解方程，可得答案． 【解答】解：移项，得． 由各项系数的和为，得 ． 解得． 故答案为：． 【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，利用各项系数的和得出关于的方程是解题关键． 3.已知关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为　　 A．3 B．0 C． D． 【分析】方程整理为一般形式，根据常数项为0确定出的值即可． 【解答】解：方程整理得：， 由常数项为0，得到， 解得：（舍去）或， 则， 故选：． 【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，以及一元二次方程的定义，其一般形式为． 4.将方程化为一般式为 　　，它的二次项是 　　，一次项系数是 　　． 【分析】先移项，再得出答案即可． 【解答】解：， 移项，得， 所以方程化为一般式为，它的二次项是，一次项系数是， 故答案为：，，． 【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式及有关概念，能熟记一元二次方程的一般形式的特点是解此题的关键． 题型04：判断一个数是不是一元二次方程的解 【名师点拨】使一元二次方程左右两边相等得未知数得值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解得定义就是解方程过程中验根得依据。 【例7】判断、、是不是一元二次方程的根. 答案：2，是 【跟踪训练】 1.下面哪些数是方程的根？ -4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．[来源:Zxxk.Com] 2.在下列方程中，哪些方程有一个根为0？哪些方程有一个根为1？哪些方程有一个根为？ （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； 想一想： 如果一元二次方程有一个根为0，那么方程的项的系数或常数项有什么特征？有一个根为1呢？有一个根为呢？ 题型05：由一元二次方程的解求参数的值 【例8】若关于的一元二次方程的一个根为2，则的值为__________． 【答案】 【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；即用这个数代替未知数所得式子仍然成立． 【详解】解：把代入方程， 得， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． 【例9】若，则关于的一元二次方程有一根是（    ） A．1 B． C．0 D．无法判断 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据，若，可判断当时满足条件，于是判断出方程的根．解题的关键是掌握一元二次方程的解的概念． 【详解】解：∵，若， ∴当时，， ∴此方程必有一个根为． 故选：B． 【例10】已知关于x的方程有一个根是，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了方程的解的定义，掌握定义“一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值”是解题的关键． 【详解】把 代入方程得：， 故答案为：． 【例11】已知一元二次方程有一个根是3，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根，解题的关键是把代入原方程，求出的值． 【详解】解：∵一元二次方程有一个根是3， ∴，解得， 故答案为：． 【跟踪训练】 1.关于x的一元二次方程的一个根是1，则k的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．无法确定 【答案】A 【分析】把代入方程可得到关于k的方程，然后求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根为1， ∴，解得：． 故选A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，正确理解一元二次方程的解是使得一元二次方程左右两边成立的未知数的值是解题的关键． 2.若关于x的一元二次方程有一根为，则关于y的一元二次方程必有一根为（    ） A．2025 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的解，代入一元二次方程，得，两边同时除以可确定所求方程的一个根． 【详解】解：把代入一元二次方程，得， 两边除以，得， ∴， ∴是一元二次方程的一根． 故选：C． 3.已知下面三个关于的一元二次方程，，恰好有一个相同的实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把代入，，，然后三个等式相加可得，然后进行确定，从而求解，解题的关键是正确理解使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解． 【详解】解：把代入，，得： ，，， 得：， ∴， ∵， ∴， 故答案是：． 题型06：由一元二次方程的解求代数式的值 【例12】若关于x的一元二次方程的一个根是，则的值是(      ) A．2018 B．2020 C．2022 D．2024 【答案】C 【分析】直接把代入方程中得到，再把整体代入所求式子中进行求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是， ∴， ∴，即， ∴， 故选C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，代数式求值，熟知一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键． 【例13】已知t为一元二次方程的一个解，则值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程解的定义可得，求出，进而可得答案． 【详解】解：∵t为一元二次方程的一个解， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，熟知方程的解即为能使方程两边相等的未知数的值是解题的关键． 【跟踪训练】 1.设，是方程的两个根，则__________． 【答案】4 【分析】首先根据题意得到，，然后代入求解即可． 【详解】∵，是方程的两个根， ∴， ∴，， ∴ 故答案为：4． 【点睛】此题考查了一元二次方程解的意义，解题的关键是掌握一元二次方程解的意义． 2.已知为方程的根，那么的值为_________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的解的定义得到，然后对原式进行化简，再将整体代入即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ， 将代入，则 原式 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，也考查了代数式的变形，利用整体代入法的思想是解答本题的关键． 3.已知a是关于x的一元二次方程的一个根，则的值等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值得到，进而得到，再把所求式子转化为，据此整体代入求解即可． 【详解】解：∵a是关于x的一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 题型07：一元二次方程新定义问题 【例14】若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，称此方程为“天宫”方程．若方程a2x2﹣2021ax+1＝0（a≠0）是“天宫”方程，求a2+2022a+﹣的值是 ___． 【答案】 【分析】利用新定义得到“天宫”方程的一个解为，则，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0， ∴“天宫”方程的一个解为， 方程是“天宫”方程， ， ，，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用整体代入的方法计算是解决本题的关键． 【跟踪训练】 1.如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． (1)判断一元二次方程是否为凤凰方程，说明理由． (2)已知是关于x的凤凰方程，求m的值． 【答案】(1)一元二次方程是凤凰方程，理由见解析 (2) 【难度】0.65 【思路点拨】本题主要考查一元二次方程的解，准确理解“凤凰方程”的定义是解题的关键． （1）根据凤凰方程的意义进行计算即可； （2）根据凤凰方程的意义得到关于的方程计算即可． 【规范解答】（1）解：由题意得：， ， 故一元二次方程是凤凰方程； （2）解：由题意得：， 是关于x的凤凰方程， ， 即， 解得：． 2.新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是 ． 【答案】 【难度】0.65 【思路点拨】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于与的方程组，求出方程组的解得到与的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可． 【规范解答】解：， 与是“同族二次方程”， ∴，， ∴， 由①得，， 代入②得， 解得：， ∴， ， 则代数式的最小值是． 故答案为：． 3.阅读：对于所有的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，对于两根x1，x2，存在如下关系：x1+x2＝，x1x2＝．试着利用这个关系解决问题．设方程2x2﹣5x﹣3＝0的两根为x1，x2，不解方程，求下列式子的值：2x12+4x22+5x1． 【答案】34 【分析】根据一元二次方程的解的定义可得关于x1与x2的等式，然后代入所求式子降次化简后可得关于x1+x2的式子，由阅读材料可得x1+x2的值，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵方程2x2﹣5x﹣3＝0的两个根为x1，x2， ∴2x12﹣5x1﹣3＝0，2x22﹣5x2﹣3＝0，即2x12＝5x1+3，2x22＝5x2+3， ∴原式＝5x1+3+2（5x2+3）+5x1＝10（x1+x2）+9， ∵x1+x2＝，∴原式＝10×+9＝34． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义和整体的数学思想，读懂题意、灵活应用一元二次方程的解的定义是解答的关键． 一、选择题 1．（23-24八年级上·上海青浦·期中）下列方程一定是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义逐项判断即可． 【详解】因为是二元方程，所以A不符合题意； 因为是一元二次方程，所以B符合题意； 因为当时不是一元二次方程，所以C不符合题意； 因为整理得，即，所以D不符合题意． 故选：B． 2．（23-24八年级上·上海长宁·期末）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A．中含有分式，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B．，不是整式方程，故本选项不符合题意； C．当时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D．是一元二次方程，故本选项符合题意． 故选：D． 3．（2021秋·上海·八年级期中）关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（    ） A．1 B．1或 C． D．0.5 【答案】C 【分析】根据方程是一元二次方程，可得，将代入方程，求出a的值即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是0， ∴，， ∴； 故选：C． 【点睛】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解．熟练掌握一元二次方程二次项系数不为0，使等式成立的未知数的值是方程的解，是解题的关键． 4．（22-23八年级上·上海·期中）若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】根据一元二次方程的定义，二次根式的性质，解一元一次不等式求解集，即可求解． 【详解】解：根据题意得，，且， ∴且， ∴且， 故答案为：且． 【点睛】本题主要考查根据一元二次方程的定义，二次根式的性质求参数，掌握一元二次方程的定义，二次根式的性质，解一元一次不等式是解题的关键． 5．（23-24八年级上·上海青浦·期中）若，则关于的一元二次方程有一根是（    ） A．1 B． C．0 D．无法判断 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据，若，可判断当时满足条件，于是判断出方程的根．解题的关键是掌握一元二次方程的解的概念． 【详解】解：∵，若， ∴当时，， ∴此方程必有一个根为． 故选：B． 二、填空题 6．（23-24八年级上·上海青浦·期中）方程化成一般式是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，即（a，b，c是常数且）．将方程左边展开，通过移项、合并同类项化为（a，b，c是常数且）的形式即可．解题的关键是掌握一元二次方程的一般形式． 【详解】 ． 故答案为：． 7．（23-24八年级上·上海青浦·期中）方程的二次项系数是 ；一次项是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的相关定义，根据“一元二次方程中，a是二次项系数，是一次项系数，c是常数项”即可解答． 【详解】解：整理为：， ∴二次项系数为，一次项为， 故答案为：，． 8．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）一元二次方程的一次项系数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一次项系数．熟练掌握一元二次方程，其中为二次项系数，为一次项系数，为常数项是解题的关键． 【详解】解：由题意知，一次项系数是， 故答案为：． 9.（24-25八年级上·上海长宁·期末）若关于的方程是一元二次方程，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据定义可知且，从而解得答案． 【详解】解：是一元二次方程 且 故答案为： 10. （24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）若关于的一元二次方程的一个根为0，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解，一元二次方程的定义.把代入方程，结合一元二次方程的二次项系数不为0，进行求解即可. 【详解】解：把代入方程，得：， 解得：， ∵， ∴； 故答案为：. 11. （24-25八年级上·上海松江·阶段练习）把一元二次方程化为一般形式，并指出它的二次项系数，一次项系数和常数项． 【答案】二次项系数是，一次项系数是，常数项是． 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，首先把方程化成一般形式即可求解，解题的关键是理解一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且）特别要注意的条件，其中叫二次项，叫一次项，是常数项，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：， ， ∴该方程的二次项系数是，一次项系数是，常数项是． 12. （2021秋·上海宝山·八年级上海市泗塘中学校考阶段练习）若m2x3﹣（2x+1）2+（n﹣3）x+5＝0是关于x的一元二次方程，且不含x的一次项，则m＝___，n＝___． 【答案】 0 7 【分析】首先把方程变为一元二次方程的一般形式，再根据题意可得，进而可得答案． 【详解】解：m2x3﹣（2x+1）2+（n﹣3）x+5＝0， 整理得，， ∵为一元二次方程且不含x的一次项， ∴， 解得， 故答案为：0，7． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）． 13. （22-23八年级上·上海奉贤·期中）当m 时，方程是一元二次方程． 【答案】 【分析】先将方程整理为一元二次方程的一般式，再使二次项系数不为0即可求解． 【详解】解：将方程化为， ∵方程是一元二次方程， ∴，则， 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程的定义，熟知一元二次方程的一般式中是解答的关键． 14．（22-23八年级上·上海·阶段练习）一元二次方程的一次项系数为 ． 【答案】 【分析】去括号、移项变形为一元二次方程的一般形式，从而得到一次项系数． 【详解】解：， 去括号得，， 移项得，， 所以一般形式为；一次项系数为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：，，，为常数），叫二次项系数，叫一次项系数，叫常数项． 15．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）关于x的一元二次方程有一个根为0，则m的值是（   ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程的定义以及方程解的定义，一元二次方程的二次项系数不为0． 根据一元二次方程有一个根为0， 得到且，即可解得答案． 【详解】解：根据题意得：且， 解得． 故选：C． 16．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）已知为方程的一个根，则代数式 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，代数式求值，解题的关键是根据方程的根可得，整体代入即可解题． 【详解】解：∵为方程的一个根， ∴， ∴， 故答案为：． 17．（2021秋·上海普陀·八年级校考阶段练习）关于x的方程是一元二次方程，则a＝____． 【答案】1 【分析】根据一元二次方程的定义，令二次项次数为2，二次项系数不等于0，解答即可． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴a²+1＝2且a+1≠0， ∴a＝±1且a≠﹣1， ∴a＝1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 18．（22-23八年级上·上海·期中）已知、是方程的两根，，则 ． 【答案】 【分析】根据是一元二次方程的两个数根，可得，，则有，，然后代入求解即可． 【详解】解：∵、是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴，， ∴，， ∵ ∴ 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，掌握一元二次方程的解是解题的关键． 3、 解答题 19．检验： （1），是否为方程的解． （2）是否为方程和方程的解． 【答案】（1）不是方程的解，是方程的解；（2）是的解，不是方程的解． 【分析】（1）将，分别代入方程进行检验即可得； （2）将分别代入两个方程进行检验即可得． 【解析】（1）将代入方程的左边得：， 将代入方程的左边得：， 则不是方程的解，是方程的解； （2）将代入方程的左边得：，代入右边得：，即左边等于右边， 则是方程的解； 将代入方程的左边得：，代入右边得：，即左边不等于右边， 则不是方程的解． 【点睛】本题考查了方程的解，掌握理解方程的解定义是解题关键． 20．把关于x的方程+3x＝（x+1）化为一元二次方程的一般式，并指出二次项，一次项的系数和常数项． 【答案】二次项为x2，一次项系数为﹣1，常数项为﹣4． 【分析】解法一：先把分母去掉，即方程两边都乘2，再合并得方程的一般式，再根据一元二次方程的定义指出． 解法二：可以直接去括号，化成一般式．（一般一元二次方程都要化成整数系数，可以降低计算量）． 【解析】解：解法一：整理得，x2﹣2x+1+6x＝5x+5， 所以x2﹣x﹣4＝0． 二次项为x2，一次项系数为﹣1，常数项为﹣4． 解法二：整理得：+3x＝+， ﹣﹣2＝0， 二次项，一次项系数为﹣，常数项为﹣2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，解答时要先观察方程特点，进行整理合并． 21．（2022秋·八年级单元测试）把下列方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数以及常数项． (1)（2x﹣1）（3x＋2）＝x2＋2； (2)． 【答案】(1)5x2+x﹣4＝0，二次项系数为5；一次项系数为1；常数项为﹣4 (2)2x2+6x+1＝0，二次项系数为2；一次项系数为6；常数项为1 【分析】根据多项式的乘法化简，再化为一元二次方程的一般形式，进而求得二次项系数、一次项系数以及常数项． 【详解】（1）化简后为5x2+x﹣4＝0，因此二次项系数为5；一次项系数为1；常数项为﹣4； （2）化简后为2x2+6x+1＝0，二次项系数为2；一次项系数为6；常数项为1． 【点睛】本题考查了多项式的乘法，一元二次方程的一般形式，理解一元二次方程的一般形式是解题的关键．一元二次方程的一般形式是：（是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 22．（2019秋·八年级课时练习）方程． （1）m取何值时，方程是一元二次方程，并求此方程的解； （2）m取何值时，方程是一元一次方程． 【答案】（1）m=－4，x=±1；（2）m=2或m=1或m=－3 【分析】（1）根据一元二次方程的定义得到：m﹣2≠0且，解答即可； （2）根据一元一次方程的定义得到：m－2=0或且2m+2≠0． 【详解】（1）依题意得：m﹣2≠0且，解得：m=－4，此时方程为：，解得：x=±1．即当m=－4时，它是一元二次方程，方程的解为x=±1． （2）依题意得：m－2=0，或且2m+2≠0，解得：m=2或m=1或m=－3． 即当m=2或m=1或m=－3时，它是一元一次方程． 【点睛】本题考查了一元一次方程和一元二次方程的定义，属于基础题，掌握定义即可正确解答该题． 23．（2021秋·上海宝山·八年级校考阶段练习）阅读理解：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程的两个根分别是和，那么，． 例如：方程的两根分别是和，则，． 请同学们阅读后利用上述结论完成下列问题： (1)已知方程的两根分别是和，则______，______． (2)已知方程的两根分别是和，求的值． (3)已知和是方程的两根，请构造一个一元二次方程，使它的两根分别是和． 【答案】(1)， (2)31 (3) 【分析】（1）根据题中所给条件，直接求和的值即可. （2）根据题中所给条件，先求和的值，再通过公式转化，求的值. （3）根据题意，可先得到，，进而得到，，即可得到结果 （1） （1）方程的两根分别是， 方程的两根分别是， ，， 故答案为：，； （2） （2）方程的两根分别是， ，， ， ， ； （3） （3）和是方程的两根， ，， ，， 构造一元二次方程，它的两根分别是和． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程的解，根的判别式等知识，熟练掌握相关知识点是解题关键 24．（24-25八年级上·上海松江·期中）定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“有爱方程”． (1)判断一元二次方程是否为“有爱方程”，并说明理由； (2)若关于的一元二次方程为“有爱方程”，证明：为“有爱方程”的根； (3)已知是关于的“有爱方程”，若是该“有爱方程”的一个根，求的值． 【答案】(1)一元二次方程是“有爱方程”，见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的一般形式、用十字相乘分解因式法解一元二次方程是解题的关键． （1）将一元二次方程化为一元二次方程的一般形式，再根据“有爱方程”的定义判断即可； （2）根据“有爱方程”的定义得到、、的数量关系，将用含和的代数式表示出来并代入方程，再利用十字相乘法分解因式证明即可； （3）根据“有爱方程”的定义得到各系数之间的数量关系，将常数项用含的代数式表示出来并代入原方程，并把代入，得到关于的一元二次方程，再利用十字相乘分解因式法求解即可． 【详解】（1）解：一元二次方程是“有爱方程”．理由如下： ， ， ， ，，， ， 一元二次方程是“有爱方程”． （2）证明：关于的一元二次方程为“有爱方程”， ， ， ， 为“有爱方程”的根． （3）是关于的“有爱方程”， ， ， 是该“有爱方程”的一个根， ， ， 或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年新八年级（沪教版2024）暑假班预修提升课程 专题12 一元二次方程的概念 知识点一、一元二次方程的概念 1.一元二次方程的概念 等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程。 2.一元二次方程必须同时满足的条件 (1)是整式方程；(2)只含有一个未知数；(3)未知数的最高次数是2 例如,都是一元二次方程，而xy-x²=0 (不满足“只含有一个未知数”),x³-4x=0 (不满足“未知数的最高次数是2”)都不是一元二次方程。 特别提醒 定义中“等号两边都是整式”是指原方程中等号两边都是整式，而不是“整理合并(整理合并是指去分母、去括号、移项和合 并同类项)”之后都是整式， (1) 定义中“只含有一个未知数(一元), 并且未知数的最高次数是2(二次)”这句话，是对将方程“整理合并”之后而言的， (2) 当方程中二次项系数含有字母时，若字母的取值范围不明确，则这个方程不一定是一元二次方程。 知识点二、一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式是ax²+bx+c=0(a≠0): 其中ax² 是二次项，a 是二次项系数；bx是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项 注意：（1）a≠0是一元二次方程的必要条件.（2）如果明确指出方程ax²+bx+c=0是关于x的一元二次方程，那么就隐含了a≠0这一重要条件。 特别提醒 (1)一元二次方程一般形式的特点为方程右边是0,方程左边是关 于x 的二次整式 (2)“a≠0”是一元二次方程一般形式的一个重要组成部分，也 是考查一元二次方程的定义的重点，但b,c可以为0. (3)要确定一元二次方程的二次项系数、一次项系数与常数项，必须先将一元二次方程化为一般形式，二次项系数、一次项系数与常数项都包括它们前面的符号.如4x²-3x-2=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为4,-3,-2. (4)通常情况下，方程整理为一般形式时，将二次项系数化为正数 知识点三、一元二次方程的解(根) 1.一元二次方程的解 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 2.判断一个数是不是一元二次方程的解的方法 将此数代入一元二次方程，若能使方程左右两边相等，则这个数是一元二次方程的解；反之，它不是一元二次方程的解。 题型01：一元二次方程辨析 【名师点拨】判断一元二次方程的方法 先看方程等号两边是不是整式，如果是整式，再移项、合并同类项，使方程等号右边为0,最后观察其是否还同时具备“只含有一个未知数”“未知数的最高次数是2”这两个条件，若同时具备了，则方程是一元二次方程，否则不是. 【例1】列关于x的方程：①；②；③；④；其中一元二次方程的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪训练】 1.下列关于x的方程：①；②；③；④；⑤中，是一元二次方程的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2.下列方程中，关于的一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 3.判断下列方程哪些是一元二次方程，如果是一元二次方程，化为一般式： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； 答案：（1）；（2）；（4）；（6）； 题型02：由一元二次方程的概念求参数的值或范围 【例2】若是关于x的一元二次方程，则__________． 【例3】已知关于的方程． (1)当取何值时，此方程为一元一次方程并求出此方程的根． (2)当取何值时，此方程为一元二次方程并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项． 【跟踪训练】 1.已知关于x的方程为一元二次方程，则a的取值范围是__________． 2.若关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．若关于x的方程是一元二次方程，则a的值为__________． (1)当为何值时，该方程是一元二次方程？ (2)当为何值时，该方程是一元一次方程？ 题型03：一元二次方程的一般形式 【名师点拨】(1)确定一元二次方程二次项系数、一次项系数及常数项时，首先要将方程化为一般形式. (2)指出一元二次方程的各项或各项系数时，要带上前面的符号，尤其是当系数是负数时，一定不能漏掉“-”! (3)若方程中没有一次项或常数项,则一次项系数或常数项为0. 【例4】将下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是的方程是（    ） A． B． C． D． 【例5】写出一个关于的二次方程，这个方程可以是 . 【例6】若关于的一元二次方程的常数项为，则 ． 【跟踪训练】 1.若关于一元二次方程不含一次项，则______． 2.若一元二次方程的各项系数的和为，则　　． 3.已知关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为　　 A．3 B．0 C． D． 4.将方程化为一般式为 　　，它的二次项是 　　，一次项系数是 　　． 题型04：判断一个数是不是一元二次方程的解 【名师点拨】使一元二次方程左右两边相等得未知数得值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解得定义就是解方程过程中验根得依据。 【例7】判断、、是不是一元二次方程的根. 【跟踪训练】 1.下面哪些数是方程的根？ -4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．[来源:Zxxk.Com] 2.在下列方程中，哪些方程有一个根为0？哪些方程有一个根为1？哪些方程有一个根为？ （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； 想一想： 如果一元二次方程有一个根为0，那么方程的项的系数或常数项有什么特征？有一个根为1呢？有一个根为呢？ 题型05：由一元二次方程的解求参数的值 【例8】若关于的一元二次方程的一个根为2，则的值为__________． 【例9】若，则关于的一元二次方程有一根是（    ） A．1 B． C．0 D．无法判断 【例10】已知关于x的方程有一个根是，那么 ． 【例11】已知一元二次方程有一个根是3，那么 ． 【跟踪训练】 1.关于x的一元二次方程的一个根是1，则k的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．无法确定 2.若关于x的一元二次方程有一根为，则关于y的一元二次方程必有一根为（    ） A．2025 B．-2025 C． D． 3.已知下面三个关于的一元二次方程，，恰好有一个相同的实数根，则的值为 ． 题型06：由一元二次方程的解求代数式的值 【例12】若关于x的一元二次方程的一个根是，则的值是(      ) A．2018 B．2020 C．2022 D．2024 【例13】已知t为一元二次方程的一个解，则值为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.设，是方程的两个根，则__________． 2.已知为方程的根，那么的值为_________． 3.已知a是关于x的一元二次方程的一个根，则的值等于 ． 题型07：一元二次方程新定义问题 【例14】若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，称此方程为“天宫”方程．若方程a2x2﹣2021ax+1＝0（a≠0）是“天宫”方程，求a2+2022a+﹣的值是 ___． 【跟踪训练】 1.如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． (1)判断一元二次方程是否为凤凰方程，说明理由． (2)已知是关于x的凤凰方程，求m的值． 2.新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是 ． 3.阅读：对于所有的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，对于两根x1，x2，存在如下关系：x1+x2＝，x1x2＝．试着利用这个关系解决问题．设方程2x2﹣5x﹣3＝0的两根为x1，x2，不解方程，求下列式子的值：2x12+4x22+5x1． 一、选择题 1．（23-24八年级上·上海青浦·期中）下列方程一定是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·上海长宁·期末）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 3．（2021秋·上海·八年级期中）关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（    ） A．1 B．1或 C． D．0.5 4．（22-23八年级上·上海·期中）若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是 ． 5．（23-24八年级上·上海青浦·期中）若，则关于的一元二次方程有一根是（    ） A．1 B． C．0 D．无法判断 二、填空题 6．（23-24八年级上·上海青浦·期中）方程化成一般式是 ． 7．（23-24八年级上·上海青浦·期中）方程的二次项系数是 ；一次项是 ． 8．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）一元二次方程的一次项系数是 ． 9.（24-25八年级上·上海长宁·期末）若关于的方程是一元二次方程，则的值是 ． 10. （24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）若关于的一元二次方程的一个根为0，则的值是 ． 11. （24-25八年级上·上海松江·阶段练习）把一元二次方程化为一般形式，并指出它的二次项系数，一次项系数和常数项． 12. （2021秋·上海宝山·八年级上海市泗塘中学校考阶段练习）若m2x3﹣（2x+1）2+（n﹣3）x+5＝0是关于x的一元二次方程，且不含x的一次项，则m＝___，n＝___． 13. （22-23八年级上·上海奉贤·期中）当m 时，方程是一元二次方程． 14．（22-23八年级上·上海·阶段练习）一元二次方程的一次项系数为 ． 15．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）关于x的一元二次方程有一个根为0，则m的值是（   ） A． B． C． D．0 16．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）已知为方程的一个根，则代数式 ． 17．（2021秋·上海普陀·八年级校考阶段练习）关于x的方程是一元二次方程，则a＝____． 18．（22-23八年级上·上海·期中）已知、是方程的两根，，则 ． 3、 4、 解答题 19．检验： （1），是否为方程的解． （2）是否为方程和方程的解． 20．把关于x的方程+3x＝（x+1）化为一元二次方程的一般式，并指出二次项，一次项的系数和常数项． 21．（2022秋·八年级单元测试）把下列方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数以及常数项． (1)（2x﹣1）（3x＋2）＝x2＋2； (2)． 22．（2019秋·八年级课时练习）方程． （1）m取何值时，方程是一元二次方程，并求此方程的解； （2）m取何值时，方程是一元一次方程． 23．（2021秋·上海宝山·八年级校考阶段练习）阅读理解：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程的两个根分别是和，那么，． 例如：方程的两根分别是和，则，． 请同学们阅读后利用上述结论完成下列问题： (1)已知方程的两根分别是和，则______，______． (2)已知方程的两根分别是和，求的值． (3)已知和是方程的两根，请构造一个一元二次方程，使它的两根分别是和． 24．（24-25八年级上·上海松江·期中）定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“有爱方程”． (1)判断一元二次方程是否为“有爱方程”，并说明理由； (2)若关于的一元二次方程为“有爱方程”，证明：为“有爱方程”的根； (3)已知是关于的“有爱方程”，若是该“有爱方程”的一个根，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$