专题06：第19章实数章节复习（5大知识点+8大题型+真题检验） 2025-2026学年 沪教版（五四制）八年级数学上册暑假班预修提升课程

2025年新八年级（沪教版2024）暑假班预修提升课程 专题06 第19章实数章节复习 知识点一、算术平方根 1.算术平方根的定义：如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根。 2.算术平方根的表示方法：a的算术平方根记为，2是根指数，通常将这个“2”省略不写， 记为，读作“根号a”，a叫做被开方数. 当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0；可简记为算术平方根的“双重非负性”。 3.性质：正数有一个正的算术平方根；0的算术平方根为0；负数没有算术平方根. 【补充】算术平方根等于它本身的数只有0和1. 4.算术平方根小数点移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动两位，它的算术平方根的小数点相应地向右或者向左移动一位. 知识点二、平方根 1.平方根的定义：如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x就叫做a的平方根或二次方根..a 叫作被开方数. 2.平方根的表示方法：非负数a的平方根记作±，读作“正、负根号a”，其中a叫做被开方数. 开平方：求一个数a 的平方根的运算叫作开平方.开平方与平方互为逆运算. 3.性质：正数有两个平方根，且它们互为相反数；0的平方根为0；负数没有平方根. 【补充】平方根等于本身的数只有0. 知识点三、立方根 1.立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根. 如果，则x叫做a的立方根. 开立方：求一个数a的立方根的运算叫作开立方.开立方和立方互为逆运算. 2.立方根的表示方法：一个数a的立方根，用符号“”表示，读作“三次根号a”.其中a叫被开方数，3是根指数，注意中的根指数3不能省略. 3.立方根的性质：正数只有一个正的立方根；0的立方根是0；负数只有一个负的立方根 4.立方根小数点移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动三位，它的立方根的小数点相应地向右或者向左移动一位. 【补充】1）正数，负数，0都有立方根，所以中a的取值范围是任意数； 2）任意数都只有一个立方根，且与这个数的符号相同(0的立方根是0). 3）互为相反数的两数，它们的立方根也互为相反数.即=-. 4）立方根等于本身的有0和±1. 知识点四、有理数的小数形式 无理数 1.有理数必为有限小数或无限循环小数；反过来，有限小数或无限循环小数必为有理数. 2.无限循环小数化成分数 3.无理数 无限不循环小数又叫作无理数. 常见的无理数：开方开不尽的数、含圆周率π有关的数、看似有规律循环实际上是无限不循环的小数、某些三角函数，如sin60°、cos20°. 知识点五、实数的分类及性质 1.实数的定义：有理数和无理数统称为实数. 2.实数的分类： 3.实数的性质 1）相反数：数a的相反数是-a，这里a表示任意一个实数. 2）绝对值：正实数的绝对值是它本身；0绝对值是0；负实数的绝对值是它的相反数，即a表示一个实数，则. 3）倒数：实数a（a≠0）的倒数是. 知识点六、实数的运算 实数的运算：当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，又增加了非负数的开平方运算，任意实数可以进行开立方运算.进行实数运算时，有理数的运算法则及性质等同样适用. 1. 实数的加法法则：1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 2)异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 2. 实数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数. 3. 实数的乘方法则：1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 2）任何数同0相乘，都得0. 4. 实数的除法法则：1）除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数； 2）0除以任何不为0的数，都得0. 运算顺序：先进行乘方和开方运算，再算乘除，最后算加减，如果遇到括号，则先进行括号里的运算. 【注意】 1. 有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律 、加法交换律、乘法交换律 、乘法结合律、乘法分配律． 2. 在实数混合运算中不注意运算顺序导致结果错误，所以要牢记运算顺序避免出错： ①先算乘方，再算乘除，最后算加减； ②有括号先算括号里面的，再算括号外面的；先算小括号，再算中括号，最后算大括号． 知识点七、科学计数法的表示 把一个数表示成a×10n(1≤ |a|<10,a是整数或小数，n是整数)的形式，这种记数方法叫作科学记数法. 当a=1 或 a=-时，“1”常省略不写，如0.000000001=10-9,-1000000=-106 . 题型01：算术平方根、平方根、立方根概念辨析 1．（2023-2024七年级下黄浦区期末）下列说法：①是4的平方根；②16的平方根是4；③的平方根是；④0.25的算术平方根是0.5；⑤的立方根是；⑥的算术平方根是9．其中正确的说法有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】此题考查了平方根、算术平方根、立方根，根据平方根、算术平方根、立方根的意义分别进行判断即可． 【详解】解：①是4的平方根，故原说法正确； ②16的平方根是，故原说法错误； ③没有平方根，故原说法错误； ④0.25的算术平方根是0.5，故原说法正确； ⑤的立方根是，故原说法错误； ⑥的算术平方根是，故原说法错误． 综上可知，正确的说法是①④，共2个， 故选：B 2．（2023-2024七年级下闵行区期末）下列说法正确的是（    ） A．2的平方根是 B．没有平方根 C．的算术平方根是5 D．1的平方根和算术平方根都是1 【答案】B 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根 【分析】本题考查平方根和算术平方根的概念，需逐一分析各选项的正确性． 【详解】解：A、2的平方根是，而选项仅给出正的平方根，遗漏负根，故错误，不符合题意； B、负数在实数范围内无平方根，是负数，因此没有平方根，说法正确，符合题意； C、，5的算术平方根是，而非5，故错误，不符合题意； D、1的平方根为，算术平方根为1，选项将平方根错误描述为1，故错误，不符合题意； 故选：B． 3．（2023-2024七年级下松江区期末）下列说法错误的是（　　） A．的平方根是和 B．是的平方根 C．的立方根是 D．是的平方根 【答案】D 【知识点】求一个数的平方根、求一个数的立方根 【分析】本题主要考查了立方根，平方根，熟知二者的定义是解题的关键．根据平方根，立方根的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、的平方根是和，故原说法正确，不符合题意； B、是的一个平方根，故原说法正确，不符合题意； C、的立方根是，故原说法正确，不符合题意； D、，的平方根是，故原说法错误，符合题意； 故选：D． 4．（2024徐汇中学七年级下期中）有下列说法：①的平方根是4； ②表示6的算术平方根的相反数； ③的立方根是；④是的平方根. 其中，正确的说法有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】平方根概念理解、立方根概念理解 【分析】本题考查了平方根、立方根的相关概念，掌握相关结论即可． 【详解】解：①，的平方根是，故①错误； ②表示6的算术平方根的相反数，故②正确； ③的立方根是，故③正确； ④，是的平方根，故④正确； 故选：C 5．（2023-2024七年级下普陀区期末）下列等式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一个数的立方根 【分析】本题考查立方根的概念及运算，根据立方根的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】选项A：，故，则左边为，等于右边，等式成立． 选项B：，故，则左边为，与右边不等，等式不成立． 选项C：，故，等式不成立． 选项D：，故，则左边为，与右边不等，等式不成立． 综上，正确答案为A． 故选：A． 6．（2024上海课时作业）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查算术平方根的计算，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键，需注意平方根与算术平方根的区别．根据算术平方根的定义化简即可得出答案． 【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项正确，符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意； 故选：D 7．（2024上宝中学七年级下期中）下列关于判断正确的是（    ） A．表示5的平方根 B．不可以用数轴上的点来表示 C．是一个比大的数 D．是一个无理数 【答案】D 【知识点】实数与数轴、实数的大小比较、求一个数的算术平方根、无理数 【分析】本题考查算术平方根、无理数的定义及实数与数轴的关系．根据实数、无理数的定义和算术平方根的定义进行判断即可． 【详解】解：A：表示5的算术平方根，而非所有平方根．5的平方根为，故A错误． B：实数与数轴上的点一一对应，是实数，可用数轴上的点表示，故B错误． C：，而，则，故C错误． D：无法表示为两个整数之比，且是无限不循环小数，属于无理数，故D正确． 故选：D． 题型02：算术平方根、平方根、立方根计算 8. （2024上海课时作业）2的算术平方根是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，对于两个实数a、b，若满足，且a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴2的算术平方根是， 故选：C． 9．（2024上海课时作业）的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的概念，根据平方根的定义解答即可． 【详解】解：∵， ∴的平方根是． 故答案为：． 10．（2024延安中学七年级下期中）的算术平方根是 ，的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根与立方根．根据算术平方根、立方根的意义，即可解答． 【详解】解：解：∵，3的算术平方根是； ∴的算术平方根是； ∴的立方根是． 故答案为：，． 11．（24-25七年级下·天津和平·阶段练习）64的立方根是 ；的算术平方根是 ；的平方根是 ． 【答案】 4 4 【分析】本题考查了平方根和立方根的概念及其运用．注意题中给出的数需要计算后再求其平方根或立方根． 分别根据平方根、算术平方根和立方根的概念直接计算即可求解． 【详解】解：64的立方根是4；的算术平方根是4；的平方根是， 故答案为：4；4；． 12. （2024上海课时作业）已知的立方根是2，的算术平方根是4，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根、平方根和算术平方根，先根据题意得出，，求出a、b的值，再计算的值，最后求其平方根即可． 【详解】∵的立方根是2，的算术平方根是4， ∴，， 解得， ∴， ∴的平方根是， 故答案为：． 13. （2024文来中学七年级下期中）已知的立方根是，的算术平方根是3． (1)求、的值； (2)直接写出的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了立方根、算术平方根、平方根、一元一次方程，熟练掌握立方根、算术平方根、平方根的定义是解题的关键． （1）根据立方根和算术平方根的定义即可求解； （2）根据平方根的定义即可求解． 【详解】（1）解：的立方根是，的算术平方根是3， ，， 解得：，． （2）解：， ， 的平方根是． 14．（22-23七年级下·四川南充·阶段练习）求下列式子中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了立方根与平方根的定义解方程，熟练掌握立方根与平方根的定义是解题的关键； （1）先把方程变形为，然后根据平方根的定义解方程； （2）先利用立方根的定义得到，然后解一元一次方程即可． 【详解】（1）解：， ∴， 解得：或； （2）解：， ∴， 解得：． 15.（2024上海课时作业）求下列式中的值： (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【知识点】利用平方根解方程、求一个数的立方根 【分析】本题考查了平方根与立方根的定义，根据平方根与立方根的定义，解方程，即可求解． （1）先将的系数化为，再用平方根的定义解方程即可； （2）先移项，然后根据立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解： ∴ ∴ ∴或； （2）解： ∴ ∴ 解得：． 题型03：算术平方根、平方根、立方根的性质 16.（2024上海课时作业）若一个数和它的算术平方根相等，则这个数是 ． 【答案】0或1 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】根据算术平方根的概念解答． 【详解】解：∵一个数和它的算术平方根相等， ∴这个数为0或1， 故答案为：0或1． 【点睛】此题主要考查了算术平方根的概念，比较简单． 17.（2024上海课时作业）若，其中均为整数，则 ． 【分析】本题考查算术平方根的双重非负性，先推导与都是非负整数，继而分①当时，②当时，③当时，分钟情况讨论即可得解． 【详解】解：因为，其中均为整数，． 所以与都是非负整数， ①当时， ， 所以； ②当时， 或， 所以或； ③当时， 或， 所以或． 综上所述，的值为0或2或4． 18．（24-25七年级下·吉林·期中）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了非负数的性质，直接利用非负数的性质得出，，的值，进而得出答案，掌握非负数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，，， ∴， 故选：． 19.（2024建平中学七年级下期中）已知一个正数的平方根为和． (1)求n的值； (2)若，则的立方根是多少？ 【答案】(1) (2)2 【分析】本题主要考查平方根、算术平方根的非负性及立方根，熟练掌握平方根、算术平方根的非负性及立方根是解题的关键． （1）根据平方根的意义可直接列方程求解； （2）由绝对值、算术平方根、偶次幂的非负性可求出的值，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：∵正数m的平方根互为相反数， ∴， 解得：； （2）解：由（1）得：， ∵， ∴，， ， ∴，，， ∴，8的立方根为2 ∴的立方根是2． 20．（24-25七年级下·湖北黄石·期中）已知一个正数的平方根分别是与，则这个数为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了正数的平方根，且正数的平方根是互为相反数，熟练掌握这些知识是解题的关键． 根据一个正数的平方根有两个，且互为相反数，可得出a的值，继而得出这个数． 【详解】解：∵一个正数的平方根分别是与， ∴， 解得：， 则， ∴， 则这个数为9． 故答案为：9． 21.（2024上海课时作业）已知为实数，且，则的算术平方根为（　　） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根和立方根，根据结合已知条件可得，则，解方程求出x的值，再根据算术平方根的定义可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴的算术平方根为2， 故选：C． 题型04：小数点移动问题 22．（24-25七年级下·山西大同·期中）求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数不能直接求得，如，但可以利用计算器求得，还可以通过一组数的内在联系，运用规律求得．请同学们观察下表： 0.04 4 400 40000 … 0.2 2 20 200 … 已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要数的开方和数字的变化规律，由表格数据得出规律：被开方数每扩大为原来的100倍，其算术平方根相应的扩大为原来的10倍，据此依据求解可得．解题的关键是得出被开方数每扩大为原来的100倍，其算术平方根相应的扩大为原来的10倍的规律． 【详解】解：由表格数据可知，被开方数每扩大为原来的100倍，其算术平方根相应的扩大为原来的10倍， ， ， 故答案为：． 23．（22-23七年级下·四川南充·阶段练习）若，，，则= ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键．依据被开方数小数向左或向右移动3位时，则对应的立方根的小数点向左或向右移动1位求解即可． 【详解】解：∵ ∴ 故答案为：． 题型05：有理数的小数形式 24. 我们知道分数写为小数的形式即，反过来，无限循环小数写为分数形式即，事实上，任何一个无限循环小数都可以写为分数形式，例如将无限循环小数化成分数时，可设，由可知，，所以，解得，即，仿此方法，将化成分数是 ．（写成最简分数） 【答案】 【分析】本题主要考查的是一元一次方程的运用，即通过方程形式，把无限循环小数化成分数形式．设，根据题中方法把y化为分数即可． 【详解】解：设这个分数是， 则 ， 则， 则， 解得：， 故答案为：． 25. 将下列无循环小数化为分数． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)(2)(3)(4) 【分析】本题主要考查了小数化分数，熟知小数化分数的方法是解题的关键． （1）设，则，可得，解方程即可得到答案； （2）设，则，可得，解方程即可得到答案； （3）设，则，，可得，解方程即可得到答案； （4）设设，则，，可得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：设，则， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：设，则， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）解：设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型06：无理数判断 26．（2024上海实验西校七年级下期中）下列命题：①无理数都是实数；②实数都是无理数；③无限小数都是无理数：④带根号的数都是无理数；⑤不带根号的数都是有理数，其中错误的命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据无理数的定义，即无理数是无限不循环小数，结合各选项说法进行判断即可． 【详解】解：①无理数都是实数，正确；②错误，实数包括无理数和有理数；③错误，无限循环小数是有理数；④错误，带根号的数不一定是无理数，如；⑤错误，不带根号的数不一定是有理数，如π等无限不循环小数，错误； 故选：D． 【点睛】本题主要考查实数，熟练掌握无理数的定义是解题的关键． 27．（23-24七年级下·湖北黄石·期中）在中，无理数的个数有（   　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了无理数，无限不循环小数叫做无理数． 根据无理数的定义即可得到答案． 【详解】解：在中是无理数的是，共个， 故选：B． 28．（22-23七年级下·四川南充·阶段练习）在，0，，，，0.2020020002…（每两个2之间依次多一个0），中，无理数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】此题主要考查了无理数的定义．求一个数的立方根，由于无理数就是无限不循环小数，由此即可判定选择项． 【详解】 解：在，0，，，，0.2020020002…（每两个2之间依次多一个0），中， 无理数有，，0.2020020002…（每两个2之间依次多一个0），共3个． 故选：B． 29．（2024徐汇中学七年级下期中）下列各数：3.14，，，，，中，无理数的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】此题主要考查了无理数的定义，立方根和算术平方根，其中初中范围内学习的无理数有：π，等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…0.1010010001…，等有这样规律的数． 无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．据此解答即可． 【详解】解：3.14，， ，是有理数，，是无理数， 故选 A 30．（2024上海课时作业）下列数中：，，，，，，，所有无理数的和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数，实数的加法运算，先化简各数，再根据无理数的定义找出所有的无理数，最后相加即可求解，掌握无理数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴无理数有，， ∴所有无理数的和为， 故答案为：． 题型07：实数的概念与分类 31．（2024奉贤中学七年级下期中）有下列说法，其中正确的是（    ） A．无限小数都是无理数 B．数轴上的点和有理数一一对应 C．无理数都是无限小数 D．两个无理数的和还是无理数 【答案】C 【知识点】无理数、实数与数轴 【分析】根据相关知识加以判断即可． 【详解】无限不循环小数是无理数， 故A错误，不符合题意； 数轴上的点和实数一一对应， 故B错误，不符合题意； 无理数都是无限小数， 故C正确，符合题意； 两个无理数的和可以是有理数， 故D错误，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了无理数即无限不循环小数及其性质，数轴与实数的关系，熟练掌握无理数的定义和性质，数轴与实数的关系是解题的关键． 32．（24-25七年级下·湖北黄石·期中）把下列各数填入相应的括号里． ，…． (1)正实数：{                          ，…}； (2)负实数：{                           ，…}； (3)有理数：{                          ，…}； (4)无理数：{                           ，…}． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解答本题的关键．实数分为有理数和无理数，有理数分为整数和分数，无理数分为正无理数和负无理数．实数还可以分为正实数、零和负实数，正实数分为正有理数和正无理数，负实数分为负有理数和负无理数． （1）根据正实数包括正无理数和正有理数解答即可； （2）根据负实数包括负无理数和负有理数解答即可； （3）根据有理数包括整数和分数解答即可； （4）根据无理数包括正无理数和负无理数解答即可． 【详解】（1）正实数：{，…}． 故答案为：； （2）负实数：{，…}， 故答案为：； （3）有理数：{，…} 故答案为：； （4）无理数：{，…}， 故答案为：． 题型08：实数与数轴 33．（2024上海课时作业）如图，在数轴上，点表示，点表示，则，之间表示整数的点共有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】D 【分析】本题考查了实数与数轴，算术平方根与立方根，无理数的估算，弄清数轴上的点表示的数是解本题的关键．根据A与B表示的数表示出范围，确定整数解个数即可． 【详解】解：，，即 ，之间表示整数的点有和两个， 故选：D． 34．（2024上海课时作业）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，则点表示的实数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查实数与数轴，实数的运算，根据题意，得到表示的数为2，进而得到，得到表示的数为，进而得到表示的数为，得到，进行求出表示的数即可． 【详解】解：由题意，得：， ∵， ∴表示的数为2， ∴， ∴表示的数为：， ∵， ∴表示的数为：， ∴， ∴表示的数为：； 故选：D． 35．数轴是一个非常重要的数学工具，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．如图，面积为5的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为1，若点在数轴上（点E在点A左侧），且，则点E表示的数为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数与数轴，理解数轴上表示的点的方法是解答本题的关键． 根据正方形的面积为5得到，再结合，点表示的数为1，点E在点A的左侧，然后确定点E表示的数即可． 【详解】解：∵正方形的面积为5， ∴， ∵， ∴， ∵点A表示的数为1，点在数轴上（点在点A左侧）， ∴点E所表示的数为：． 故答案为：． 题型09：实数的绝对值和大小比较 36．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期中）的相反数是 ，的绝对值等于 ，比较大小： ． 【答案】 / 【分析】本题主要考查相反数的定义、绝对值的性质以及实数的大小比较，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数；先判断的正负值，再根据“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是其相反数”即可求解；两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 【详解】①解：的相反数是； 故答案为； ② 的绝对值是， 故答案为； ③， 即 ． 故答案为：． 37．（24-25七年级下·北京·期中）下列说法正确的是（    ） A．绝对值是的数是5 B．的相反数是 C．的绝对值是 D．的相反数是 【答案】C 【分析】本题考查了实数的性质：实数的绝对值与相反数，与有理数的绝对值、相反数的意义相同；根据绝对值与相反数的意义逐项解答即可． 【详解】解：A、绝对值是的数是，故说法错误； B、的相反数是，故说法错误； C、的绝对值是，故说法正确； D、的相反数是，故说法错误； 故选：C． 38．（24-25七年级下·安徽黄山·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求实数的绝对值及实数的运算，熟知相关知识点是正确解答此题的关键． 先化简绝对值再算加减即可． 【详解】解：， 故答案为：． 39．（2025·山东临沂·二模）下列各数中，最小的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数大小的比较，掌握实数大小的比较法则是解题的关键． 先分别 求出各选项中数，再比较大小即可． 【详解】解：∵，，，， 又∵， ∴， ∴最小的数是． 故选：C． 题型10：实数的估算 40. （2024上海课时作业）若整数满足，则等于（   ） A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的取值范围，解题的关键是熟练掌握确定二次根式取值范围的方法． 分别判断出和的取值范围，然后确定的取值范围即可． 【详解】解：∵，即， ，即， ，即， ∴，即 ∴， 故选：B． 41. 若正整数a、b分别满足，则（   ） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】D 【分析】本题主要考查了无理数的估算、代数式求值、有理数乘方等知识点，掌握无理数的估算方法成为解题的关键． 先估算无理数可得，然后代入运用乘方运算即可． 【详解】解：∵正整数a、b分别满足，， ∴， ∴． 故选D． 42．（2024上海课时作业）整数a满足，则整数a的值为 ． 【答案】3 【知识点】求一个数的立方根、无理数的大小估算 【分析】本题考查了立方根，无理数的估算，先求出，结合，，则，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，a为整数， ∴， 故答案为：3． 43．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）如图，将实数表示在数轴上为（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题考查实数与数轴，先观察数轴，判断各点表示数的大小，然后再估算的大小，最后进行判断即可．解题关键是熟练掌握如何估算无理数的大小． 【详解】解：观察数轴可知：点表示的数大于且小于，点表示的数是大于且小于，点表示的数是大于且小于，点表示的数是大于且小于， ∵， ∴，即， ∴实数表示在数轴上，对应的点可能是点， ∴A，B，C选项不符合题意，D选项符合题意． 故选：D． 题型11：实数的混合运算 44．（24-25七年级下·四川南充·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)1 【分析】本题主要考查立方根、算术平方根及实数的运算，熟练掌握各个运算是解题的关键； （1）根据立方根、算术平方根及实数的运算可进行求解； （2）根据立方根、算术平方根可进行求解． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 45．（24-25七年级下·湖北黄石·期中）计算： (1)； (2) (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了实数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先求算术平方根、立方根、乘方，再计算加减即可； （2先求算术平方根、立方根，再计算加减即可； （3）先乘方、求算术平方根、化简绝对值，再计算加减即可； （4）先乘方、求立方根、化简绝对值，再计算加减即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 题型12：科学计数法 46. （2025·上海奉贤·二模）据网络平台数据统计，截止到2025年3月底，电影《哪吒之魔童闹海》总票房已突破亿元，位列全球影史票房榜第5名．其中亿元用科学记数法表示为 元． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查了用科学记数法表示大于10的数，解题关键是掌握科学记数法的表示方法，将大于10的数写成的形式，其中，n等于原数的整数位数减去1． 【详解】解：∵亿； 故答案为： ． 47. （2024上海课时作业）2023年1月，中国迎来奥密克戎变异毒株的首波感染高峰．已知该病毒的直径长120纳米，1纳米米，则这种冠状病毒的直径用科学记数法表示为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】绝对值小于的负数也可以用科学记数法表示，一般形式为，其中根据题意，该病毒的直径长120纳米，即可用科学记数法表示． 【详解】依题意得：米． 故选： 【点睛】本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中熟练掌握科学记数法是解此题的关键． 48.下列用科学记数法写出的数，原来分别是什么数？ 【答案】 【知识点】将用科学记数法表示的数变回原数、还原用科学记数法表示的小数 【分析】将一个表示成科学记数法的数还原即可. 【详解】解： 【点睛】本题考查科学记数法的还原，是基础考点，难度容易，掌握相关知识是解题关键. 题型13：实数的应用 49．（24-25七年级下·广西南宁·期中）在综合实践课上，某同学想把一个用铁丝围成的面积为的正方形区域修改为面积为的长方形区域，且长、宽之比为． (1)求原来正方形区域的边长； (2)求修改后长方形的周长； (3)铁丝够用吗？请通过计算说明你的判断． 【答案】(1) (2) (3)够用 【分析】本题考查算术平方根，利用开平方解方程，实数的估算，熟练根据题意列出等式并利用开平方求解长方形边长是解题的关键． （1）根据正方形的面积公式即可得出答案； （2）设长方形的长为，宽为，由其面积为，所以，利用开平方求解即可； （3）比较正方形的周长与长方形周长的大小关系即可． 【详解】（1）解：由题意得原来正方形区域的边长为， （2）解：由（1）得这根铁丝长为， 由修改后的长方形的长、宽之比为， 设长方形的长为，宽为， 由其面积为， 所以， 即， 解得（负值舍）， 长方形的周长为， （3）解：， ∴， ∴铁丝够用． 50．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中T表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m）．假如一台座钟的摆长为0.2m．（取3，） (1)求摆针摆动的周期． (2)如果座钟每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在6分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声？ 【答案】(1) (2)该座钟大约发出了420次滴答声 【分析】（1）将数据代入函数关系式，进行计算即可； （2）用总时间除以一个周期的时间进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，； （2）（次）． 答：该座钟大约发出了420次滴答声． 【点睛】本题考查求实数运算的实际应用．属于基础题型，正确的计算，是解题的关键． 51．（22-23七年级下·福建莆田·期中）虹胜广场要建一个占地面积4000平方米的花园，现有两种方案：一种是建正方形花园，一种是建圆形花园，如果你是设计者，你能估算出两种花园的围墙有多长吗（误差小于1米）？如果你是投资者，你会选择哪种方案，为什么？ 【答案】圆形广场围墙米，正方形广场围墙米，选择圆形广场的建设方案，理由见详解 【分析】分别计算出圆形花园和正方形花园所需围墙的长度，比较即可作答． 【详解】当为圆形时，设圆的半径为，则有：， 即：（负值舍去）， 则此时花园的围墙为：（米）； 当广场为正方形时，设正方形边长为，则有：， 即：（负值舍去）， 则此时花园的围墙为：（米）； ∵， ∴建造成圆形时，广场的围墙会更短， 则建造成本更低， ∴作为投资商，会选择建圆形花园． 【点睛】此题主要考查实数的大小的比较在实际生活中的应用，所以学生在学这一部分时一定要联系实际，不能死学． 题型14：实数的新定义运算 52．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）定义一种运算：对于任意实数，，都有，则的值是 ． 【答案】9 【分析】本题考查实数的运算，根据新定义列式计算即可． 【详解】解：∵对于任意实数，，都有， ∴ ， 故答案为：9． 53．（24-25七年级下·北京·期中）规定：用符号表示不超过的最大整数．例如：，．按此规定， (1)___，___，___； (2)___． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查新定义，算术平方根，立方根的计算，掌握其计算方法是关键． （1）根据题意得到符号表示不超过的最大整数，指的小于等于的最大整数，结合无理数的估算方法即可求解； （2）根据题意，将原式分为，，，结合新定义的计算即可求解． 【详解】（1）解：用符号表示不超过的最大整数，指的小于等于的最大整数，如图所示， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ， 故答案为：； （2）解：， ∴， ， ， ∴， 故答案为：． 题型15：与实数运算有关的规律题 54. 有这样一列数他们分别是，，，，，……，按照此规律，第11个数是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了数字变化规律，正确得出变化规律是解题的关键． 根据，，，，，，则第个数是，从而求解． 【详解】解：∵，，，，，， ∴第个数是， 故答案为：． 55. 【问题情景】 数学活动课上，陈老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： ；；；… 【实践探究】 (1)按照此规律，计算：_______． (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了与实数运算有关的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）根据题意可得规律，的正整数，据此求解即可； （2）根据（1）的规律求解即可． 【详解】（1）解：； ； ； …； ∴，的正整数， ∴． （2）解： ． 56．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）先计算下列各式：=_______，=_____________，=____________，=_____________，=_________________． (1)通过观察并归纳，请写出：_____________． (2)计算：． 【答案】1,2,3,4,5；（1）；（2） 【分析】（1）先计算出各二次根式的值，根据计算结果找出其中的规律，然后用含n的式子表示； （2），，，然后找出其中的规律进行计算即可． 【详解】（1）=1； ； ； … 观察上述算式可知：=n． （2）， ， ． 【点睛】本题主要考查的是探索数字的变化规律，找出其中蕴含的规律是解题的关键． 57.观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： 第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；…… 规律发现： (1)根据上述规律，直接写出下列算式的值： ①______； ②______． (2)用含（为正整数）的代数式表示出第个等式：______． (3)根据上述规律计算： 【答案】(1)①4；②100 (2) (3) 【分析】本题考查了算术平方根、数字类规律探索，正确得出规律是解此题的关键． （1）①根据已知算式得出规律，即可得出答案；②根据已知算式得出规律，即可得出答案； （2）根据已知算式得出规律，即可得出答案； （3）根据，计算即可得出答案． 【详解】（1）解：①由题意得：； ②； （2）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …… 第个等式：； （3）解： ． 题型16：阅读理解题 58. 【阅读理解】 信息：任何一个无理数，帮介于两个相邻的整数之间，如，是因为； 信息：因为介于和之间，所以的整数部分是，小数部分可以表示为． 【问题解决】 (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)判断介于哪两个相邻的整数之间； (3)若，其中是整数，且，则的相反数为______； (4)已知的小数部分是，的小数部分是，且，求的值． 【答案】(1)， (2)和 (3) (4)或 【分析】本题考查了无理数的整数部分，无理数的估算，实数的性质，利用平方根解方程． （1）利用，得，即可求解； （2）因为得，即可求解； （3）利用，得出，利用，其中是整数，且，得出，，即可求解； （4）先求出，得，，可得，同理得，代入计算即可 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是，小数部分是， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴， ∴，即， 即在和之间； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵，其中是整数，且， ∴，， ∴的相反数为， 故答案为：； （4）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∵的小数部分是，的小数部分是， ∴，， ∵， ∴ ∴或， 则或． 59 .阅读材料1． 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不能全部写出来，但由于，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，差就是小数部分，其小数部分为． （1）已知，其中x是整数，且，求的值； 阅读材料2． 小李同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为167的正方形的边长是且， ∴可设，其中，画出示意图，如图所示．根据示意图，可得图中正方形的面积；又∵，∴．由，可忽略，得，得到，即． （2）仿照材料2中的方法，探究解答的近似值．（要求：画出图形，标明数据，结果保留两位小数） 【答案】（1）；（2）画图见解析， 【分析】本题主要考查了无理数的估算，掌握无理数估算方法是解题的关键． （1）首先估算出，然后求出，，然后代入求解即可． （2）仿照题意画出示意图进行求解即可． 【详解】解：（1）∵ ∴ ∴ ∵，其中x是整数，且， ∴， ∴； （2）∵， ∴可设，其中，画出示意图，如图所示， 根据示意图，可得图中正方形的面积， 又∵， ∴， 由，可忽略， ∴，得到，即． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年新八年级（沪教版2024）暑假班预修提升课程 专题06 第19章实数章节复习 知识点一、算术平方根 1.算术平方根的定义：如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根。 2.算术平方根的表示方法：a的算术平方根记为，2是根指数，通常将这个“2”省略不写， 记为，读作“根号a”，a叫做被开方数. 当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0；可简记为算术平方根的“双重非负性”。 3.性质：正数有一个正的算术平方根；0的算术平方根为0；负数没有算术平方根. 【补充】算术平方根等于它本身的数只有0和1. 4.算术平方根小数点移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动两位，它的算术平方根的小数点相应地向右或者向左移动一位. 知识点二、平方根 1.平方根的定义：如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x就叫做a的平方根或二次方根..a 叫作被开方数. 2.平方根的表示方法：非负数a的平方根记作±，读作“正、负根号a”，其中a叫做被开方数. 开平方：求一个数a 的平方根的运算叫作开平方.开平方与平方互为逆运算. 3.性质：正数有两个平方根，且它们互为相反数；0的平方根为0；负数没有平方根. 【补充】平方根等于本身的数只有0. 知识点三、立方根 1.立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根. 如果，则x叫做a的立方根. 开立方：求一个数a的立方根的运算叫作开立方.开立方和立方互为逆运算. 2.立方根的表示方法：一个数a的立方根，用符号“”表示，读作“三次根号a”.其中a叫被开方数，3是根指数，注意中的根指数3不能省略. 3.立方根的性质：正数只有一个正的立方根；0的立方根是0；负数只有一个负的立方根 4.立方根小数点移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动三位，它的立方根的小数点相应地向右或者向左移动一位. 【补充】1）正数，负数，0都有立方根，所以中a的取值范围是任意数； 2）任意数都只有一个立方根，且与这个数的符号相同(0的立方根是0). 3）互为相反数的两数，它们的立方根也互为相反数.即=-. 4）立方根等于本身的有0和±1. 知识点四、有理数的小数形式 无理数 1.有理数必为有限小数或无限循环小数；反过来，有限小数或无限循环小数必为有理数. 2.无限循环小数化成分数 3.无理数 无限不循环小数又叫作无理数. 常见的无理数：开方开不尽的数、含圆周率π有关的数、看似有规律循环实际上是无限不循环的小数、某些三角函数，如sin60°、cos20°. 知识点五、实数的分类及性质 1.实数的定义：有理数和无理数统称为实数. 2.实数的分类： 3.实数的性质 1）相反数：数a的相反数是-a，这里a表示任意一个实数. 2）绝对值：正实数的绝对值是它本身；0绝对值是0；负实数的绝对值是它的相反数，即a表示一个实数，则. 3）倒数：实数a（a≠0）的倒数是. 知识点六、实数的运算 实数的运算：当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，又增加了非负数的开平方运算，任意实数可以进行开立方运算.进行实数运算时，有理数的运算法则及性质等同样适用. 1. 实数的加法法则：1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 2)异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 2. 实数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数. 3. 实数的乘方法则：1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 2）任何数同0相乘，都得0. 4. 实数的除法法则：1）除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数； 2）0除以任何不为0的数，都得0. 运算顺序：先进行乘方和开方运算，再算乘除，最后算加减，如果遇到括号，则先进行括号里的运算. 【注意】 1. 有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律 、加法交换律、乘法交换律 、乘法结合律、乘法分配律． 2. 在实数混合运算中不注意运算顺序导致结果错误，所以要牢记运算顺序避免出错： ①先算乘方，再算乘除，最后算加减； ②有括号先算括号里面的，再算括号外面的；先算小括号，再算中括号，最后算大括号． 知识点七、科学计数法的表示 把一个数表示成a×10n(1≤ |a|<10,a是整数或小数，n是整数)的形式，这种记数方法叫作科学记数法. 当a=1 或 a=-时，“1”常省略不写，如0.000000001=10-9,-1000000=-106 . 题型01：算术平方根、平方根、立方根概念辨析 1．（2023-2024七年级下黄浦区期末）下列说法：①是4的平方根；②16的平方根是4；③的平方根是；④0.25的算术平方根是0.5；⑤的立方根是；⑥的算术平方根是9．其中正确的说法有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2023-2024七年级下闵行区期末）下列说法正确的是（    ） A．2的平方根是 B．没有平方根 C．的算术平方根是5 D．1的平方根和算术平方根都是1 3．（2023-2024七年级下松江区期末）下列说法错误的是（　　） A．的平方根是和 B．是的平方根 C．的立方根是 D．是的平方根 4．（2024徐汇中学七年级下期中）有下列说法：①的平方根是4； ②表示6的算术平方根的相反数； ③的立方根是；④是的平方根. 其中，正确的说法有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2023-2024七年级下普陀区期末）下列等式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（2024上海课时作业）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 7．（2024上宝中学七年级下期中）下列关于判断正确的是（    ） A．表示5的平方根 B．不可以用数轴上的点来表示 C．是一个比大的数 D．是一个无理数 题型02：算术平方根、平方根、立方根计算 8. （2024上海课时作业）2的算术平方根是（   ） A．2 B． C． D． 9．（2024上海课时作业）的平方根是 ． 10．（2024延安中学七年级下期中）的算术平方根是 ，的立方根是 ． 11．（24-25七年级下·天津和平·阶段练习）64的立方根是 ；的算术平方根是 ；的平方根是 ． 12. 13. （2024上海课时作业）已知的立方根是2，的算术平方根是4，则的平方根是 ． 14. 15. （2024文来中学七年级下期中）已知的立方根是，的算术平方根是3． (1)求、的值； (2)直接写出的平方根． 14．（22-23七年级下·四川南充·阶段练习）求下列式子中x的值： (1)； (2)． 15.（2024上海课时作业）求下列式中的值： (1) (2) 题型03：算术平方根、平方根、立方根的性质 16.（2024上海课时作业）若一个数和它的算术平方根相等，则这个数是 ． 17.（2024上海课时作业）若，其中均为整数，则 ． 18．（24-25七年级下·吉林·期中）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 19.（2024建平中学七年级下期中）已知一个正数的平方根为和． (1)求n的值； (2)若，则的立方根是多少？ 20．（24-25七年级下·湖北黄石·期中）已知一个正数的平方根分别是与，则这个数为 ． 21.（2024上海课时作业）已知为实数，且，则的算术平方根为（　　） A． B． C．2 D．4 题型04：小数点移动问题 22．（24-25七年级下·山西大同·期中）求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数不能直接求得，如，但可以利用计算器求得，还可以通过一组数的内在联系，运用规律求得．请同学们观察下表： 0.04 4 400 40000 … 0.2 2 20 200 … 已知，，则 ． 23．（22-23七年级下·四川南充·阶段练习）若，，，则= ． 题型05：有理数的小数形式 24. 我们知道分数写为小数的形式即，反过来，无限循环小数写为分数形式即，事实上，任何一个无限循环小数都可以写为分数形式，例如将无限循环小数化成分数时，可设，由可知，，所以，解得，即，仿此方法，将化成分数是 ．（写成最简分数） 25. 将下列无循环小数化为分数． (1) (2) (3) (4) 题型06：无理数判断 26．（2024上海实验西校七年级下期中）下列命题：①无理数都是实数；②实数都是无理数；③无限小数都是无理数：④带根号的数都是无理数；⑤不带根号的数都是有理数，其中错误的命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 27．（23-24七年级下·湖北黄石·期中）在中，无理数的个数有（   　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 28．（22-23七年级下·四川南充·阶段练习）在，0，，，，0.2020020002…（每两个2之间依次多一个0），中，无理数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 29．（2024徐汇中学七年级下期中）下列各数：3.14，，，，，中，无理数的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 30．（2024上海课时作业）下列数中：，，，，，，，所有无理数的和是 ． 题型07：实数的概念与分类 31．（2024奉贤中学七年级下期中）有下列说法，其中正确的是（    ） A．无限小数都是无理数 B．数轴上的点和有理数一一对应 C．无理数都是无限小数 D．两个无理数的和还是无理数 32．（24-25七年级下·湖北黄石·期中）把下列各数填入相应的括号里． ，…． (1)正实数：{                          ，…}； (2)负实数：{                           ，…}； (3)有理数：{                          ，…}； (4)无理数：{                           ，…}． 题型08：实数与数轴 33．（2024上海课时作业）如图，在数轴上，点表示，点表示，则，之间表示整数的点共有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 34．（2024上海课时作业）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，则点表示的实数为（   ） A． B． C． D． 35．数轴是一个非常重要的数学工具，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．如图，面积为5的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为1，若点在数轴上（点E在点A左侧），且，则点E表示的数为 ． 题型09：实数的绝对值和大小比较 36．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期中）的相反数是 ，的绝对值等于 ，比较大小： ． 37．（24-25七年级下·北京·期中）下列说法正确的是（    ） A．绝对值是的数是5 B．的相反数是 C．的绝对值是 D．的相反数是 38．（24-25七年级下·安徽黄山·期中）计算： ． 39．（2025·山东临沂·二模）下列各数中，最小的数是（    ） A． B． C． D． 题型10：实数的估算 40. （2024上海课时作业）若整数满足，则等于（   ） A．12 B．11 C．10 D．9 41. 若正整数a、b分别满足，则（   ） A．1 B．3 C．6 D．9 42．（2024上海课时作业）整数a满足，则整数a的值为 ． 43．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）如图，将实数表示在数轴上为（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 题型11：实数的混合运算 44．（24-25七年级下·四川南充·期中）计算： (1) (2) 45．（24-25七年级下·湖北黄石·期中）计算： (1)； (2) (3)； (4)． 题型12：科学计数法 46. （2025·上海奉贤·二模）据网络平台数据统计，截止到2025年3月底，电影《哪吒之魔童闹海》总票房已突破亿元，位列全球影史票房榜第5名．其中亿元用科学记数法表示为 元． 47. （2024上海课时作业）2023年1月，中国迎来奥密克戎变异毒株的首波感染高峰．已知该病毒的直径长120纳米，1纳米米，则这种冠状病毒的直径用科学记数法表示为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 48.下列用科学记数法写出的数，原来分别是什么数？ 题型13：实数的应用 49．（24-25七年级下·广西南宁·期中）在综合实践课上，某同学想把一个用铁丝围成的面积为的正方形区域修改为面积为的长方形区域，且长、宽之比为． (1)求原来正方形区域的边长； (2)求修改后长方形的周长； (3)铁丝够用吗？请通过计算说明你的判断． 50．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中T表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m）．假如一台座钟的摆长为0.2m．（取3，） (1)求摆针摆动的周期． (2)如果座钟每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在6分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声？ 51．（22-23七年级下·福建莆田·期中）虹胜广场要建一个占地面积4000平方米的花园，现有两种方案：一种是建正方形花园，一种是建圆形花园，如果你是设计者，你能估算出两种花园的围墙有多长吗（误差小于1米）？如果你是投资者，你会选择哪种方案，为什么？ 题型14：实数的新定义运算 52．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）定义一种运算：对于任意实数，，都有，则的值是 ． 53．（24-25七年级下·北京·期中）规定：用符号表示不超过的最大整数．例如：，．按此规定， (1)___，___，___； (2)___． 题型15：与实数运算有关的规律题 54. 有这样一列数他们分别是，，，，，……，按照此规律，第11个数是 ． 55. 56. 【问题情景】 数学活动课上，陈老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： ；；；… 【实践探究】 (1)按照此规律，计算：_______． (2)计算：． 56．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）先计算下列各式：=_______，=_____________，=____________，=_____________，=_________________． (1)通过观察并归纳，请写出：_____________． (2)计算：． 57.观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： 第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；…… 规律发现： (1)根据上述规律，直接写出下列算式的值： ①______； ②______． (2)用含（为正整数）的代数式表示出第个等式：______． (3)根据上述规律计算： 题型16：阅读理解题 58. 【阅读理解】 信息：任何一个无理数，帮介于两个相邻的整数之间，如，是因为； 信息：因为介于和之间，所以的整数部分是，小数部分可以表示为． 【问题解决】 (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)判断介于哪两个相邻的整数之间； (3)若，其中是整数，且，则的相反数为______； (4)已知的小数部分是，的小数部分是，且，求的值． 59 .阅读材料1． 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不能全部写出来，但由于，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，差就是小数部分，其小数部分为． （1）已知，其中x是整数，且，求的值； 阅读材料2． 小李同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为167的正方形的边长是且， ∴可设，其中，画出示意图，如图所示．根据示意图，可得图中正方形的面积；又∵，∴．由，可忽略，得，得到，即． （2）仿照材料2中的方法，探究解答的近似值．（要求：画出图形，标明数据，结果保留两位小数） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$