精品解析：江苏省扬州市江都区2024-2025学年八年级下学期第二次月考数学调研试题

八年级数学教学专项调研 2025.05 （满分：150分 时间：120分钟） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 在实数，，，中，有理数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据有理数的定义进行求解即可． 【详解】解：在实数，，，中，有理数为，其他都是无理数， 故选C． 【点睛】本题主要考查了实数的分类，熟知有理数和无理数的定义是解题的关键． 2. 已知反比例函数的图象在第二、四象限，则的值可能是（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象分布，对于反比例函数，当时，图象经过一、三象限；当时，图象经过二、四象限；据此即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴ 故选：A 3. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. （a为常数） B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用一元二次方程的定义逐项判断即可得出答案． 【详解】解：只有当时才是一元二次方程，故A选项不合题意； 是一元二次方程，故B选项符合题意； 化简后为，不是一元二次方程，故C选项不合题意； 不是整式方程，因此不是一元二次方程，故D选项不合题意； 故选B． 【点睛】本题考查一元二次方程的识别，解题的关键是掌握一元二次方程的定义：通过化简后，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程． 4. 下列各式计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用二次根式的性质分别化简判断即可． 【详解】解：A、，故此选项不合题意； B、，故此选项不合题意； C、，故此选项符合题意； D、，二次根式的被开方数是负数无意义，故此选项不合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简．正确掌握二次根式的性质是解题的关键． 5. 若是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根及m的值分别是（ ） A. 0， B. 0，0 C. ， D. ，0 【答案】B 【解析】 【分析】直接把代入方程，可求出m的值，再解方程，即可求出另一个根． 【详解】解：根据题意， ∵是一元二次方程的一个根， 把代入，则 ， 解得：； ∴， ∴， ∴，， ∴方程的另一个根是； 故选：B 【点睛】本题考查了解一元二次方程，方程的解，解题的关键是掌握解一元二次方程的步骤进行计算． 6. 下列一元二次方程没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式与方程根的情况的关系成为解题的关键． 然后根据根的判别式与方程根的情况的关系逐项判断即可． 【详解】解：A、，方程有两个相等实数根，故此项不符合题意； B、，方程没有实数根，故此项符合题意； C、，方程有两个不等的实数根，故此项不符合题意； D、，方程有两个不等的实数根，故此项不符合题意． 故选：B． 7. 下列图形中，阴影部分面积与另外三个不同的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，得，，根据直角坐标系的性质，对各个选项中阴影部分面积分别计算，即可得到答案． 【详解】根据题意，得：， 选项A中，阴影部分面积 选项B中，阴影部分面积 选项C中，阴影部分面积 选项D中，阴影部分面积 故选：C． 【点睛】本题考查了直角坐标系的知识；解题的关键是熟练掌握坐标的性质，从而完成求解． 8. 欧几里得的原本记载，形如的方程的图解法是：画，使，，，再在斜边上截取，则该方程的一个正根是（ ） A. 的长 B. 的长 C. 的长 D. 的长 【答案】D 【解析】 【分析】在直角中，利用勾股定理列出关系式，把各自的长度代入，化简后与已知方程比较，即可确定出所求． 【详解】解：在中， 根据勾股定理得：， ，， ， 整理得：， 比较方程，可得是方程的一个正根． 故选：D． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，弄清题意是解本题的关键． 二、填空题（每小题3分，共30分） 9. 比大小：__________． 【答案】> 【解析】 【分析】本题考查二次根式的大小比较，两个正数比较大小，可通过比较平方的大小判断，平方更大的原数更大． 【详解】解：分别对两个二次根式平方得： ， ， 因为，且，， 所以． 10. 若函数是反比例函数，则________． 【答案】-3 【解析】 【分析】根据反比例函数的定义可求出m的值． 【详解】解：∵函数是反比例函数 ∴ 解得，． 故答案为：-3． 【点睛】本题考查的知识点是反比例函数的定义，比较基础，易于掌握． 11. 若x，y满足，则＝________． 【答案】-6 【解析】 【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x，y的值进而得出答案． 【详解】解：∵，都有意义， ∴， 解得：， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件和代数式求值，正确得出x的值是解题关键． 12. 点、、都在反比例函数图象上，则、、大小关系______（用“”号连接）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键；由题意易得反比例函数在每个象限内，y随x的增大而减小，进而问题可求解． 【详解】解：由反比例函数可知：图象在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小， ∵点、、都在反比例函数图象上， ∴； 故答案为． 13. 若，则代数式的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练运用完全平方公式，先将原式进行因式分解，然后将代入即可求出答案， 【详解】解：∵， ∴ ∴ 故答案为：． 14. 在平面直角坐标系中，反比例函数与正比例函数的图象交于两点，当时，的取值范围是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题．根据一次函数的值小于反比例函数的值时，一次函数图象在反比例函数图象的上方，可得自变量x的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数与正比例函数的图象交于两点， ，正比例函数经过一，三象限，则反比例函数也经过一，三象限 ∴，即 ∵正比例函数与反比例函数都关于原点对称， ∴ 如图所示， ∴当时，的取值范围是或 故答案为：或． 15. 若函数与的图像的交点坐标为, 则的值是______. 【答案】-2 【解析】 【分析】求出两函数组成的方程组的解，即可得出a、b的值，再分别代入求出即可. 【详解】解：由题意得： 把①代入②得: ， 整理得: x2+ 2x+1=0， 解得: ∴交点坐标是(-1,-2)， ∴ a= -1，b= -2， ∴= -1 +（-1）= -2. 故答案为：- 2. 【点睛】本题主要考查函数交点坐标求法与运用；求出两函数组成的方程组的解，即为交点坐标是本题的解题关键. 16. 如图，在边长为1的正方形网格上建立直角坐标系，x轴，y轴都在格线上，其中反比例函数的图象被撕掉了一部分，已知点M，N在格点上，则_________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，根据直角坐标系设点，则点，将两点代入反比例函数，可得出，进而求出，则可得出k的值． 【详解】解：设点，则点 将点，点代入反比例函数中， 得， 解得． 点， ． 故答案为：4 17. 如图，的顶点在轴上，横坐标相等的顶点、分别在与的图像上，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，反比例函数系数的几何意义，掌握平行四边形的性质、反比例函数系数是解题的关键．作轴于，轴于，连接，根据题意得出轴，可知，即可得出，根据反比例函数系数的几何意义即可得出的面积为． 【详解】解：作轴于，轴于，连接， 则四边形是矩形， ∵的顶点在轴上，横坐标相等的顶点、分别在与图象上， ∴轴， ∴， ∴， 由反比例函数系数的几何意义可知，矩形的面积为， ∵，， ∴的面积为， 故答案为：． 18. 如图，点是反比例函数图像上的一动点，连接并延长交图像的另一支于点．在点的运动过程中，若存在点，使得，则满足______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点作轴于点，过点作轴于点，根据等腰直角三角形的性质得出，通过角的计算找出，结合，可得出，根据全等三角形的性质，可得出，进而得到，进一步得到． 【详解】】解：如图，连接，过点作轴于点，过点作轴于点， 由直线与反比例函数的对称性可知、点关于点对称， ． 又，， ，， ，， ， 又，， ， ，， 点， ，， ，， ， 点是反比例函数图象上， ，即， 故答案为：． 三、解答题（本大题共93分） 19. 计算或化简： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，零指数幂运算法则，在运算过程中注意运算顺序和简便运算方法的运用，结果化为最简形式．掌握相应的公式，性质，运算法则是解题的关键． （1）利用二次根式的性质，零指数幂将原式化简，再进行加减运算即可； （2）根据二次根式的乘除法进行计算即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 20. 解方程： （1）（用配方法） （2）（用配方法） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知配方法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用配方法解方程即可； （2）先化系数为，再根据配方法解方程即可． 【小问1详解】 解：∵ ∴， ∴， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴ ∴， ∴， 解得． 21. （1）如果的整数部分为，小数部分为，求的值． （2）已知3既是的算术平方根，又是的立方根，求的平方根． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，无理数的估算，平方根，立方根的定义； （1）根据估算，求出、的值，再代入求解； （2）根据平方根与立方根的定义求得的值，再代入代数式求解． 【详解】解：（1）∵ ∴，则 ∵的整数部分为，小数部分为， ∴， ∴ （2）∵3既是的算术平方根，又是的立方根， ∴， 解得：， ∴ 的平方根是 ∴的平方根是． 22. 是二次根式的一条重要性质，请利用该性质解答下列问题． （1）化简：__________，__________． （2）已知实数a，b在数轴上的对应点如图所示． 化简． 【答案】（1）4； （2） 【解析】 【分析】（1）根据，，再去掉绝对值即可； （2）先根据数轴的位置判断，则，，再根据二次根式的性质化简，并去掉绝对值即可． 【小问1详解】 根据题意可知；. 故答案为：4；． 【小问2详解】 由数轴可知，则，， ∴，，． 原式 ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，理解二次根式与绝对值的关系是解题的关键． 23. 阅读理解：求代数式的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下“配方法”： 因为， 所以．所以当时，的值最小，最小值是1． 所以的最小值是1． 依据上述方法，解决下列问题 （1）当______时，有最小值是______． （2）多项式有最______(填“大”或“小”)值，该值为______． （3）已知，求的最值． 【答案】（1）； （2）大； （3） 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键； （1）化成完全平方公式和的形式计算即可； （2）化成完全平方公式和的形式计算即可； （3）把原式化成再利用完全平方公式计算即可． 【小问1详解】 解：， ， 当时，的值最小，最小值是， ， 当时，的值最小，最小值是， 的最小值是； 故答案为：，； 【小问2详解】 ， ， 当时，的值最大，最大值是， ， 当时，的值最大，最大值是； 故答案为：大，； 【小问3详解】 ， ， ， ， 当时，的值最小，最小值是， ， 当时，的值最小，最小值是； 的最小值是； 24. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点． （1）求反比例函数的解析式； （2）结合图象请直接写出不等式的解集； （3）若点在轴上，且的面积为12，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2）或； （3）或 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数综合，涉及函数解析式求解、不等式解集及三角形面积相关坐标求解，关键是熟练运用函数性质和相关公式； （1）待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）根据函数图象及函数图象的交点坐标直接写出不等式解集即可； （3）设，先求出直线与轴交点C的坐标，再根据三角形面积公式底高，以为底，A、B横坐标差的绝对值为高来计算的面积，进而求出的值． 【小问1详解】 解：将代入 ， 得， ∴， 把代入得 ， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 如图所示，一次函数的图象与反比例函数y的图象交于点、，A点为， 把B点代入反比例函数，即， ∴B点坐标为， ∴根据函数图象及函数图象的交点坐标可知，不等式解集为：或； 【小问3详解】 设直线与轴交点为， 令，则， 解得，所以 的面积， 设，则， 即， ， 或， 解得或， ∴点P的坐标为或． 25. 【阅读材料】先来看一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如：等． 【猜想】（1） ； 【推理证明】（2）请你用一个正整数n（n为“穿墙”数，）表示含有上述规律的等式，并给出证明． 【创新应用】（3）按此规律，若（a，b为正整数），求的值． 【答案】（1） （2），证明如下： ； （3）71 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简与求值，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键， （1）根据题中“穿墙”的定义，写出符合定义的数即可； （2）根据“穿墙”的定义，用表示即可； （3）根据“穿墙”的定义，分别求出，的值即可得到答案． 【详解】解：（1），证明如下， ， 故答案为：； （2）略 （3）∵ ∴根据（2）规律可得：， 解得：， ∴． 故答案为：． 26. 某种商品上市之初采用了大量的广告宣传，其销售量与上市的天数之间成正比，当广告停止后，销售量与上市的天数之间成反比（如图），现已知上市30天时，当日销售量为120万件． （1）写出该商品上市以后销售量y（万件）与时间x（天数）之间的表达式； （2）求上市至第100天（含第100天），日销售量在36万件以下（不含36万件）的天数； （3）广告合同约定，当销售量不低于100万件，并且持续天数不少于12天时，广告设计师就可以拿到“特殊贡献奖”，那么本次广告策划，设计师能否拿到“特殊贡献奖”？ 【答案】（1）； （2）8 （3）能 【解析】 【分析】（1）分类讨论当时或当时，分别设函数解析式，代入求值即可； （2）分类讨论当时或当时，分别不等式即可求解； （3）分类讨论当时或当时，分别不等式即可求解； 【小问1详解】 解：根据题意可知： 当时，设与的函数解析式为， ∴， 解得：， ∴； 当时，设与的函数解析式为， ∴， 解得： ∴ 综上所述，该商品上市以后销售量y（万件）与时间x（天数）之间的表达式为：；． 【小问2详解】 解：当时， 令， 解得：， ∴， ∴销量不到36万件的天数为8天； 当时， 令， 解得： （不符合题意）， ∴上市至第100天（含第100天），日销售量在36万件以下（不含36万件）的天数为8天； 【小问3详解】 解：当时， 令， 解得： ∴， ∴销量超过100万件的天数为6天， 当时， 令， 解得： ∴， 销量超过100万件的天数为6天， 综上所述，销售量不低于100万件，并且持续天数为12天，广告设计师可以拿到“特殊贡献奖”． 【点睛】本题考查了分段函数的实际运用，把握正比函数、反比例函数的图像及性质和运用分类讨论思想是解决本题的关键． 27. 如图，点A是反比例函数图象上的任意一点，过点A作 轴，交另一个比例函数的图象于点B． （1）若的面积等于3，则； （2）当时，若点A的横坐标是1，求的度数； （3）若不论点A在何处，反比例函数图象上总存在一点D，使得四边形为平行四边形，求k的值． 【答案】（1）；（2） 90° ；（3） 【解析】 【分析】（1）利用反比例函数k与面积的关系． （2）利用平行x轴求出B点坐标，求出三边，再求． （3）假设上有一点D，使四边形为平行四边形，过D作，过A作轴，证明，求出k值． 【详解】（1）如图1，设交y轴于点C， ∵点A是反比例函数图象上的任意一点，且轴， ∴轴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵点A的横坐标是1， ∴， ∴点， ∵轴， ∴点B的纵坐标为2， ∴， 解得：， ∴点， ∴， ∴， ∴； （3）解：假设上有一点D，使四边形为平行四边形， 过D作，过A作轴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， 设，即， ∴， ∴D纵坐标为，B纵坐标为， ∴D横坐标为，B横坐标为， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查的是反比例函数的几何应用，过反比例函数，图像上一点，作两坐标轴的垂线，两垂足、原点、P点组成一个矩形，矩形的面积．过反比例函数过一点，作垂线，三角形的面积为．所以，对双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为常数从而有k的绝对值．在解有关反比例函数的问题时，若能灵活运用反比例函数中k的几何意义，会给解题带来很多方便． 28. 通过学习，同学们发现在正方形网格中（设每个小正方形的边长都为1），构造某些图形可以发现和解决一些数学问题． 【阅读材料】 例如，比较与的大小． 解：在正方形网格中，如图1，构造（点都为小正方形的顶点）． （构造图形）， （三角形任意两边之和大于第三边）． ，，（勾股定理）， ． 【问题解决】 （1）在上面解决问题的过程中，体现了初中数学的一种重要的基本思想是______（填写正确选项的字母代号）； A．类比思想 B．整体思想 C．分类讨论思想 D．数形结合思想 （2）参考“例子”中的方法，在图2中，构造图形，比较与的大小，并说明理由； 【拓展探究】 （3）问题：的最小值为______． （要求：直接写出结果，并在图3中，画出所构造的图形） 【答案】（1）D； （2），理由： 由题意，在正方形网格中，如图1，构造线段． ∵两点之间，线段最短， ∴． ∵，， ，， ∴． ∴； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数大小比较、勾股定理，解题时要熟练掌握并能灵活运用数形结合是关键． （1）依据题意，上面解决问题的过程中，体现了初中数学的一种重要的基本思想是数形结合思想，故可得解； （2）依据题意，在正方形网格中，构造线段，再利用两点之间，线段最短，从而可以判断得解； （3）依据题意，构造，，，点P是上一点，是A关于的对称点，与交于点F，设，则，从而，，，又是A关于的对称点，故．再根据两点之间线段最短，，可得当P在F时，取最小值为． 【详解】解：（1）由题意，上面解决问题的过程中，体现了初中数学的一种重要的基本思想是数形结合思想． 故答案为：D； （2）略 （3）由题意，如图2，构造，，，点P是上一点，是A关于的对称点，与交于点F，设，则， ∴， ， ． 又∵是A关于的对称点， ∴． 又根据两点之间线段最短，， ∴． ∴当P在F时，取最小值为． 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学教学专项调研 2025.05 （满分：150分 时间：120分钟） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 在实数，，，中，有理数是（ ） A. B. C. D. 2. 已知反比例函数的图象在第二、四象限，则的值可能是（ ） A. B. C. 0 D. 1 3. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. （a为常数） B. C. D. 4. 下列各式计算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 若是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根及m的值分别是（ ） A. 0， B. 0，0 C. ， D. ，0 6. 下列一元二次方程没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列图形中，阴影部分面积与另外三个不同的是（　　） A. B. C. D. 8. 欧几里得的原本记载，形如的方程的图解法是：画，使，，，再在斜边上截取，则该方程的一个正根是（ ） A. 的长 B. 的长 C. 的长 D. 的长 二、填空题（每小题3分，共30分） 9. 比大小：__________． 10. 若函数是反比例函数，则________． 11. 若x，y满足，则＝________． 12. 点、、都在反比例函数图象上，则、、大小关系______（用“”号连接）． 13. 若，则代数式的值是______． 14. 在平面直角坐标系中，反比例函数与正比例函数的图象交于两点，当时，的取值范围是______． 15. 若函数与的图像的交点坐标为, 则的值是______. 16. 如图，在边长为1的正方形网格上建立直角坐标系，x轴，y轴都在格线上，其中反比例函数的图象被撕掉了一部分，已知点M，N在格点上，则_________． 17. 如图，的顶点在轴上，横坐标相等的顶点、分别在与的图像上，则的面积为______． 18. 如图，点是反比例函数图像上的一动点，连接并延长交图像的另一支于点．在点的运动过程中，若存在点，使得，则满足______． 三、解答题（本大题共93分） 19. 计算或化简： （1）； （2）． 20. 解方程： （1）（用配方法） （2）（用配方法） 21. （1）如果的整数部分为，小数部分为，求的值． （2）已知3既是的算术平方根，又是的立方根，求的平方根． 22. 是二次根式的一条重要性质，请利用该性质解答下列问题． （1）化简：__________，__________． （2）已知实数a，b在数轴上的对应点如图所示． 化简． 23. 阅读理解：求代数式的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下“配方法”： 因为， 所以．所以当时，的值最小，最小值是1． 所以的最小值是1． 依据上述方法，解决下列问题 （1）当______时，有最小值是______． （2）多项式有最______(填“大”或“小”)值，该值为______． （3）已知，求的最值． 24. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点． （1）求反比例函数的解析式； （2）结合图象请直接写出不等式的解集； （3）若点在轴上，且的面积为12，请直接写出点的坐标． 25. 【阅读材料】先来看一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如：等． 【猜想】（1） ； 【推理证明】（2）请你用一个正整数n（n为“穿墙”数，）表示含有上述规律的等式，并给出证明． 【创新应用】（3）按此规律，若（a，b为正整数），求的值． 26. 某种商品上市之初采用了大量的广告宣传，其销售量与上市的天数之间成正比，当广告停止后，销售量与上市的天数之间成反比（如图），现已知上市30天时，当日销售量为120万件． （1）写出该商品上市以后销售量y（万件）与时间x（天数）之间的表达式； （2）求上市至第100天（含第100天），日销售量在36万件以下（不含36万件）的天数； （3）广告合同约定，当销售量不低于100万件，并且持续天数不少于12天时，广告设计师就可以拿到“特殊贡献奖”，那么本次广告策划，设计师能否拿到“特殊贡献奖”？ 27. 如图，点A是反比例函数图象上的任意一点，过点A作 轴，交另一个比例函数的图象于点B． （1）若的面积等于3，则； （2）当时，若点A的横坐标是1，求的度数； （3）若不论点A在何处，反比例函数图象上总存在一点D，使得四边形为平行四边形，求k的值． 28. 通过学习，同学们发现在正方形网格中（设每个小正方形的边长都为1），构造某些图形可以发现和解决一些数学问题． 【阅读材料】 例如，比较与的大小． 解：在正方形网格中，如图1，构造（点都为小正方形的顶点）． （构造图形）， （三角形任意两边之和大于第三边）． ，，（勾股定理）， ． 【问题解决】 （1）在上面解决问题的过程中，体现了初中数学的一种重要的基本思想是______（填写正确选项的字母代号）； A．类比思想 B．整体思想 C．分类讨论思想 D．数形结合思想 （2）参考“例子”中的方法，在图2中，构造图形，比较与的大小，并说明理由； 【拓展探究】 （3）问题：的最小值为______． （要求：直接写出结果，并在图3中，画出所构造的图形） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $