精品解析：河南省驻马店市新蔡县新蔡县第一高级中学2024-2025学年高一下学期7月期末模拟数学试题

新蔡县第一高级中学2024-2025学年高一下学期7月份末模拟考试数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知，复数在复平面内对应的点位于第二象限，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算法则，结合第二象限内点的坐标特征进行求解即可. 【详解】， 因为z在复平面内对应的点位于第二象限， 所以，解得. 故选：A 2. 已知向量满足，则的最小值为（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量模长的平方等于向量自身的数量积，来推导的最小值. 【详解】因为，所以， 因为，则 代入，得： 因为所以 则，则. 故选：C. 3. 已知角终边上一点为，则角的正切值为（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据任意角三角函数的定义来求解角的正切值. 【详解】已知角终边上一点为，即，. 根据正切值的定义，将，代入可得： ， 角的正切值为. 故选： C. 4. 在中，，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知及平方关系可得，再由三角形面积公式求的面积. 【详解】由三角形内角的范围及，可得， 所以. 故选：A 5. 在某中学2025年“创意之光”文创设计大赛中，一名学生设计了一把“紫堡文创”扇子．其扇面可以近似的理解为扇形截去同心扇形所得图形，已知，，，则该扇面的近似面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式进行求解即可. 【详解】因为，，， 所以扇面的近似面积为， 故选：C 6. 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】对于ABD，由答案不完备即可判断错误；对于C，由线面平行的性质、面面垂直的判定定理即可判断. 【详解】对于A，若，则或异面，故A错误； 对于B，若，则或，故B错误； 对于C，若，则存在，且，因为，所以，而，从而，故C正确； 对于D，若，则或，故D错误. 故选：C. 7. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】B 【解析】 分析】由诱导公式，三角函数图象平移变换可得答案. 详解】，又， 则将函数的图象向左平移个单位长度即可. 故选：B 8. 中，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角公式化解得，根据内角范围可确定，由此可得范围，由正弦定理，根据和差及二倍角公式化解，根据单调性确定范围即可. 【详解】， ，或， 又，，即不成立， 则，又，所以， 由正弦定理得 ， 又，所以， 即的取值范围是. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 在中，内角，，的对边分别为，，，且，，，则的可能取值为（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由余弦定理，代入求解方程即可. 【详解】在中，由余弦定理得， 即， 解得或． 故选：BC． 10. 如图，在正四棱锥中，分别是的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 设平面，则 B. 三棱锥与正四棱锥体积之比为 C. 若，则正四棱锥内切球与外接球的半径之比为 D. 正四棱锥被平面分成的上、下两部分的体积之比为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用空间向量四点共面的结论判断A的真假；利用棱锥的体积公式判断B的真假；分别求内切球和外接球半径，判断C的真假；利用B选项的结论，可以判断D的真假. 【详解】对A：取为空间向量的基底. 则. 设. 因为四点共面，所以. 所以，即，故A正确； 对B：如图： 连接，交于，连接. 因为四棱锥为正三棱锥，所以平面平面，平面. 又分别为中点，为中点，所以， 所以，同理， 所以，即，故B正确； 对C：若，不妨设，,则，. 所以. 又， 设内切球的半径为，则， 即. 设外接球球心为，则在上，设外接球半径为， 则. 所以.故C错误； 对D：由B选项可知：， 且,所以， 又，所以， 所以. 所以正四棱锥被平面分成的上、下两部分的体积之比为，故D正确. 故选：ABD 11. 已知函数的部分图象如图所示，其中，，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 时，的最大值是 C. 的图象向右平移个单位后为奇函数 D. 与有相同的零点 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定的函数图象，结合“五点法”作图求出的解析式，求出周期判断A，结合正弦函数性质利用整体法求值域判断B，先求出平移后的解析式，再根据正弦函数性质判断C，分别求出函数与的零点即可判断D. 【详解】观察图象得，，得，而，所以， 因为，所以，又，所以， 所以，故A正确； 对于B，当时，，所以， 所以，即的最大值是，故B错误； 对于C，的图象向右平移个单位后为， 则，故为奇函数，C正确； 对于D，令得， 即函数零点为，令得， 即函数的零点为， 显然与无交集， 故与没有相同的零点，D错误. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量对应的复数为，复数可以将向量按逆时针方向旋转_____得到（填最小正角）． 【答案】##90° 【解析】 【分析】利用复数的三角形式的几何意义，设旋转角为，根据复数相等列出方程，求解即得. 【详解】因，则， 设将向量按逆时针方向旋转角，可得到复数对应的向量， 则由，化简得：， 故有，解得，故得， 依题意求最小正角，则. 故答案为：. 13. 已知中，，将顶点绕棱AB旋转到，当时，三棱锥的体积为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】由旋转的性质确定三棱锥的特征，求出其高即可求得体积. 【详解】在三棱锥中，， 由，得，则， 取中点，连接，则， 显然，则，又，平面， 因此平面，三棱锥的体积. 故答案为： 14. 如图，已知直线，直线垂直于和，垂足分别为，.若点是线段上的定点，，两点分别是直线，上的动点，且，，，则面积的最小值是_____. 【答案】. 【解析】 【分析】设，将分别用的三角函数式表示，求出的面积表达式，根据三角恒等变换将其化成正弦型函数，利用正弦函数的值域即可求得面积最小值. 【详解】设，则 ，， 在中，，在中，， 故的面积为 . 因，则，则当，即时，取得最大值1， 此时的面积取得最小值. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量，满足． （1）求角A的大小； （2）若，求的周长的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用共线向量的坐标性质化简得，再结合角A的范围即可求得结果； （2）利用余弦定理建立关系，再利用基本不等式求出最大值. 【小问1详解】 ，，． ， ， ， 【小问2详解】 由（1）得， 由余弦定理得， 所以， 当且仅当时取等号，解得， 所以 所以的周长的最大值为. 16. 在锐角中，角A，B，C所对应边分别为a，b，c，. （1）求A； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】利用正弦定理将边转化为角可得，然后计算即可； 利用余弦定理可得，然后将边转化为角可得，然后确定角度范围，使用正弦函数的性质求解. 【小问1详解】 依题意，由正弦定理 得 即 又在锐角中，有，所以， 所以，所以； 【小问2详解】 结合（1）可得， 由，则根据正弦定理有， 得， 根据余弦定理有，得， 又为锐角三角形，则有，得， ，. 故 17. 已知直线和是图象的两条相邻的对称轴 （1）求的解析式； （2）将图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍，得到函数的图象.若在区间上恰有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数最小正周期，进而求出，代入，结合得到，得到函数解析式； （2）求出，求出，根据零点个数，得到不等式，求出的取值范围. 【小问1详解】 由已知得函数的最小正周期，所以， 又因为， 所以，，即，， 因为，所以， 所以. 【小问2详解】 将图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍， 得到函数的图象，所以， 因为，所以， 因为在区间上恰有两个零点， 所以，解得， 所以的取值范围为. 18. 如图，四面体ABCD中，，，，，E为AC的中点，点F在BD上． （1）证明：； （2）求直线BD与平面ACD所成角的正弦值； （3）当的面积最小时，求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过证明、，证得平面BED，进而证得. （2）作出直线BD与平面ACD所成角，解三角形求得所成角的正弦值. （3）先判断出EF最短时，的面积最小，然后根据锥体体积公式求得三棱锥的体积． 【小问1详解】 因为，E是AC的中点，所以． 因为，所以， 所以，所以， 因为，DE，平面BED， 所以平面BED， 因为平面BED，所以． 【小问2详解】 因为，， 所以是等腰直角三角形，所以，． 依题意，所以， 则，所以， 又因为，，AC，平面ACD，所以平面ACD． 所以即为直线BD与平面ACD所成的角． 在中，， 所以直线BD与平面ACD所成角的正弦值为． 【小问3详解】 因为，，且，AC，平面ABC， 所以平面ABC． 由（1）已证，所以， 因为所以， 所以，E是AC的中点，所以， 因为，所以当EF最短时，的面积最小． 当时，EF最短，过E作，垂足为F， 在中，，解得， 所以，，所以． 过F作，垂足为H，则， 所以平面ABC，且，所以， 所以． 19. 已知： ①任何一个复数都可以表示成的形式．其中是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式． ②被称为欧拉公式，是复数的指数形式． ③方程（为正整数）有个不同的复数根． （1）设，求； （2）试求出所有满足方程的复数的值所组成的集合； （3）复数，求． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定的定义，转化为复数的三角形式求解即得. （2）设，利用指数运算，结合定义求得，进而求出得解. （3）利用给定的定义求出方程根的形式，再借助方程根的意义列出等式，赋值计算即得. 【小问1详解】 依题意，， 所以. 【小问2详解】 设，则， 因此，，解得， 由终边相同的角的意义，取，则对应的依次为， 因此对应的依次为， 所以所求的集合是. 【小问3详解】 当时，，， 则，， 因此关于的方程的根为， 则， 又， 由此可得， 则， 令，得，而为奇数， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新蔡县第一高级中学2024-2025学年高一下学期7月份末模拟考试数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知，复数在复平面内对应的点位于第二象限，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量满足，则的最小值为（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 3. 已知角终边上一点为，则角的正切值为（ ）. A B. C. D. 4. 在中，，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 在某中学2025年“创意之光”文创设计大赛中，一名学生设计了一把“紫堡文创”扇子．其扇面可以近似的理解为扇形截去同心扇形所得图形，已知，，，则该扇面的近似面积为（ ） A. B. C. D. 6. 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 8. 中，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 在中，内角，，的对边分别为，，，且，，，则的可能取值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正四棱锥中，分别是的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 设平面，则 B. 三棱锥与正四棱锥的体积之比为 C. 若，则正四棱锥内切球与外接球的半径之比为 D. 正四棱锥被平面分成的上、下两部分的体积之比为 11. 已知函数的部分图象如图所示，其中，，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 时，最大值是 C. 图象向右平移个单位后为奇函数 D. 与有相同零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量对应的复数为，复数可以将向量按逆时针方向旋转_____得到（填最小正角）． 13. 已知中，，将顶点绕棱AB旋转到，当时，三棱锥的体积为___________. 14. 如图，已知直线，直线垂直于和，垂足分别为，.若点是线段上定点，，两点分别是直线，上的动点，且，，，则面积的最小值是_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量，满足． （1）求角A的大小； （2）若，求的周长的最大值． 16. 在锐角中，角A，B，C所对应边分别为a，b，c，. （1）求A； （2）若，求的取值范围. 17. 已知直线和是图象的两条相邻的对称轴 （1）求的解析式； （2）将图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍，得到函数的图象.若在区间上恰有两个零点，求实数的取值范围. 18. 如图，四面体ABCD中，，，，，E为AC的中点，点F在BD上． （1）证明：； （2）求直线BD与平面ACD所成角的正弦值； （3）当的面积最小时，求三棱锥的体积． 19. 已知： ①任何一个复数都可以表示成的形式．其中是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式． ②被称为欧拉公式，是复数的指数形式． ③方程（为正整数）有个不同的复数根． （1）设，求； （2）试求出所有满足方程的复数的值所组成的集合； （3）复数，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $