精品解析：河南省驻马店市新蔡县新蔡县第一高级中学2024-2025学年高一下学期7月期末模拟数学试题

新蔡县第一高级中学2024-2025学年高一下学期7月份末模拟考试数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知，复数在复平面内对应的点位于第二象限，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算法则，结合第二象限内点的坐标特征进行求解即可. 【详解】， 因为z在复平面内对应的点位于第二象限， 所以，解得. 故选：A 2. 已知向量满足，则的最小值为（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量模长的平方等于向量自身的数量积，来推导的最小值. 【详解】因为，所以， 因为，则 代入，得： 因为所以 则，则. 故选：C. 3. 已知角终边上一点为，则角的正切值为（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据任意角三角函数的定义来求解角的正切值. 【详解】已知角终边上一点为，即，. 根据正切值的定义，将，代入可得： ， 角的正切值为. 故选： C. 4. 在中，，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知及平方关系可得，再由三角形面积公式求的面积. 【详解】由三角形内角的范围及，可得， 所以. 故选：A 5. 在某中学2025年“创意之光”文创设计大赛中，一名学生设计了一把“紫堡文创”扇子．其扇面可以近似的理解为扇形截去同心扇形所得图形，已知，，，则该扇面的近似面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式进行求解即可. 【详解】因为，，， 所以扇面的近似面积为， 故选：C 6. 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】对于ABD，由答案不完备即可判断错误；对于C，由线面平行的性质、面面垂直的判定定理即可判断. 【详解】对于A，若，则或异面，故A错误； 对于B，若，则或，故B错误； 对于C，若，则存在，且，因为，所以，而，从而，故C正确； 对于D，若，则或，故D错误. 故选：C. 7. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】B 【解析】 【分析】由诱导公式，三角函数图象平移变换可得答案. 【详解】，又， 则将函数的图象向左平移个单位长度即可. 故选：B 8. 中，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角公式化解得，根据内角范围可确定，由此可得的范围，由正弦定理，根据和差及二倍角公式化解，根据单调性确定范围即可. 【详解】， ，或， 又，，即不成立， 则，又，所以， 由正弦定理得 ， 又，所以， 即的取值范围是. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 在中，内角，，的对边分别为，，，且，，，则的可能取值为（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由余弦定理，代入求解方程即可. 【详解】在中，由余弦定理得， 即， 解得或． 故选：BC． 10. 如图，在正四棱锥中，分别是的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 设平面，则 B. 三棱锥与正四棱锥的体积之比为 C. 若，则正四棱锥内切球与外接球的半径之比为 D. 正四棱锥被平面分成的上、下两部分的体积之比为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用空间向量四点共面的结论判断A的真假；利用棱锥的体积公式判断B的真假；分别求内切球和外接球半径，判断C的真假；利用B选项的结论，可以判断D的真假. 【详解】对A：取为空间向量的基底. 则. 设. 因为四点共面，所以. 所以，即，故A正确； 对B：如图： 连接，交于，连接. 因为四棱锥为正三棱锥，所以平面平面，平面. 又分别为中点，为中点，所以， 所以，同理， 所以，即，故B正确； 对C：若，不妨设，,则，. 所以. 又， 设内切球的半径为，则， 即. 设外接球球心为，则在上，设外接球半径为， 则. 所以.故C错误； 对D：由B选项可知：， 且,所以， 又，所以， 所以. 所以正四棱锥被平面分成的上、下两部分的体积之比为，故D正确. 故选：ABD 11. 已知函数的部分图象如图所示，其中，，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 时，的最大值是 C. 的图象向右平移个单位后为奇函数 D. 与有相同的零点 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定的函数图象，结合“五点法”作图求出的解析式，求出周期判断A，结合正弦函数性质利用整体法求值域判断B，先求出平移后的解析式，再根据正弦函数性质判断C，分别求出函数与的零点即可判断D. 【详解】观察图象得，，得，而，所以， 因为，所以，又，所以， 所以，故A正确； 对于B，当时，，所以， 所以，即的最大值是，故B错误； 对于C，的图象向右平移个单位后为， 则，故为奇函数，C正确； 对于D，令得， 即函数的零点为，令得， 即函数的零点为， 显然与无交集， 故与没有相同的零点，D错误. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量对应的复数为，复数可以将向量按逆时针方向旋转_____得到（填最小正角）． 【答案】##90° 【解析】 【分析】利用复数的三角形式的几何意义，设旋转角为，根据复数相等列出方程，求解即得. 【详解】因，则， 设将向量按逆时针方向旋转角，可得到复数对应的向量， 则由，化简得：， 故有，解得，故得， 依题意求最小正角，则. 故答案为：. 13. 已知中，，将顶点绕棱AB旋转到，当时，三棱锥的体积为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】由旋转的性质确定三棱锥的特征，求出其高即可求得体积. 【详解】在三棱锥中，， 由，得，则， 取中点，连接，则， 显然，则，又，平面， 因此平面，三棱锥的体积. 故答案为： 14. 如图，已知直线，直线垂直于和，垂足分别为，.若点是线段上的定点，，两点分别是直线，上的动点，且，，，则面积的最小值是_____. 【答案】. 【解析】 【分析】设，将分别用的三角函数式表示，求出的面积表达式，根据三角恒等变换将其化成正弦型函数，利用正弦函数的值域即可求得面积最小值. 【详解】设，则 ，， 在中，，在中，， 故的面积为 . 因，则，则当，即时，取得最大值1， 此时的面积取得最小值. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量，满足． （1）求角A的大小； （2）若，求的周长的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用共线向量的坐标性质化简得，再结合角A的范围即可求得结果； （2）利用余弦定理建立关系，再利用基本不等式求出最大值. 【小问1详解】 ，，． ， ， ， 【小问2详解】 由（1）得， 由余弦定理得， 所以， 当且仅当时取等号，解得， 所以 所以的周长的最大值为. 16. 在锐角中，角A，B，C所对应边分别为a，b，c，. （1）求A； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】利用正弦定理将边转化为角可得，然后计算即可； 利用余弦定理可得，然后将边转化为角可得，然后确定角度范围，使用正弦函数的性质求解. 【小问1详解】 依题意，由正弦定理 得 即 又在锐角中，有，所以， 所以，所以； 【小问2详解】 结合（1）可得， 由，则根据正弦定理有， 得， 根据余弦定理有，得， 又为锐角三角形，则有，得， ，. 故 17. 已知直线和是图象的两条相邻的对称轴 （1）求的解析式； （2）将图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍，得到函数的图象.若在区间上恰有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数最小正周期，进而求出，代入，结合得到，得到函数解析式； （2）求出，求出，根据零点个数，得到不等式，求出的取值范围. 【小问1详解】 由已知得函数的最小正周期，所以， 又因为， 所以，，即，， 因为，所以， 所以. 【小问2详解】 将图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍， 得到函数的图象，所以， 因为，所以， 因为在区间上恰有两个零点， 所以，解得， 所以的取值范围为. 18. 如图，四面体ABCD中，，，，，E为AC的中点，点F在BD上． （1）证明：； （2）求直线BD与平面ACD所成角的正弦值； （3）当的面积最小时，求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明：因为，E是AC的中点，所以． 因为，所以， 所以，所以， 因为，DE，平面BED， 所以平面BED， 因为平面BED，所以． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过证明、，证得平面BED，进而证得. （2）作出直线BD与平面ACD所成角，解三角形求得所成角的正弦值. （3）先判断出EF最短时，的面积最小，然后根据锥体体积公式求得三棱锥的体积． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 因为，， 所以是等腰直角三角形，所以，． 依题意，所以， 则，所以， 又因为，，AC，平面ACD，所以平面ACD． 所以即为直线BD与平面ACD所成的角． 在中，， 所以直线BD与平面ACD所成角的正弦值为． 【小问3详解】 因为，，且，AC，平面ABC， 所以平面ABC． 由（1）已证，所以， 因为所以， 所以，E是AC的中点，所以， 因为，所以当EF最短时，的面积最小． 当时，EF最短，过E作，垂足为F， 在中，，解得， 所以，，所以． 过F作，垂足为H，则， 所以平面ABC，且，所以， 所以． 19. 已知： ①任何一个复数都可以表示成的形式．其中是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式． ②被称为欧拉公式，是复数的指数形式． ③方程（为正整数）有个不同的复数根． （1）设，求； （2）试求出所有满足方程的复数的值所组成的集合； （3）复数，求． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定的定义，转化为复数的三角形式求解即得. （2）设，利用指数运算，结合定义求得，进而求出得解. （3）利用给定的定义求出方程根的形式，再借助方程根的意义列出等式，赋值计算即得. 【小问1详解】 依题意，， 所以. 【小问2详解】 设，则， 因此，，解得， 由终边相同的角的意义，取，则对应的依次为， 因此对应的依次为， 所以所求的集合是. 【小问3详解】 当时，，， 则，， 因此关于的方程的根为， 则， 又， 由此可得， 则， 令，得，而为奇数， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新蔡县第一高级中学2024-2025学年高一下学期7月份末模拟考试数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知，复数在复平面内对应的点位于第二象限，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量满足，则的最小值为（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 3. 已知角终边上一点为，则角的正切值为（ ）. A. B. C. D. 4. 在中，，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 在某中学2025年“创意之光”文创设计大赛中，一名学生设计了一把“紫堡文创”扇子．其扇面可以近似的理解为扇形截去同心扇形所得图形，已知，，，则该扇面的近似面积为（ ） A. B. C. D. 6. 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 8. 中，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 在中，内角，，的对边分别为，，，且，，，则的可能取值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正四棱锥中，分别是的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 设平面，则 B. 三棱锥与正四棱锥的体积之比为 C. 若，则正四棱锥内切球与外接球的半径之比为 D. 正四棱锥被平面分成的上、下两部分的体积之比为 11. 已知函数的部分图象如图所示，其中，，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 时，的最大值是 C. 的图象向右平移个单位后为奇函数 D. 与有相同的零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量对应的复数为，复数可以将向量按逆时针方向旋转_____得到（填最小正角）． 13. 已知中，，将顶点绕棱AB旋转到，当时，三棱锥的体积为___________. 14. 如图，已知直线，直线垂直于和，垂足分别为，.若点是线段上的定点，，两点分别是直线，上的动点，且，，，则面积的最小值是_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量，满足． （1）求角A的大小； （2）若，求的周长的最大值． 16. 在锐角中，角A，B，C所对应边分别为a，b，c，. （1）求A； （2）若，求的取值范围. 17. 已知直线和是图象的两条相邻的对称轴 （1）求的解析式； （2）将图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍，得到函数的图象.若在区间上恰有两个零点，求实数的取值范围. 18. 如图，四面体ABCD中，，，，，E为AC的中点，点F在BD上． （1）证明：； （2）求直线BD与平面ACD所成角的正弦值； （3）当的面积最小时，求三棱锥的体积． 19. 已知： ①任何一个复数都可以表示成的形式．其中是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式． ②被称为欧拉公式，是复数的指数形式． ③方程（为正整数）有个不同的复数根． （1）设，求； （2）试求出所有满足方程的复数的值所组成的集合； （3）复数，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $