精品解析：浙江省宁波市鄞州区艺术实验学校（第十九中学）2024-2025学年上学期八年级期中数学试卷

艺术实验 2024 学年第一学期初二数学期中题卷 一． 选择题 (共 10 小题， 每题 3 分， 共 30 分) 1. 下列四个图形中，是轴对称图形的是（　　） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，对选项进行分析即可． 【详解】解：A，B，C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，故不符合题意； D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，故符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，解本题的关键在寻找图形的对称轴，看图形两部分折叠后是否能够互相重合． 2. 以下列数值为长度的各组线段中，能组成三角形的是（　　） A. 2，4，7 B. 3，3，6 C. 5，8，2 D. 4，5，6 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析． 【详解】A、4+2=6＜7，不能组成三角形； B、3+3=6，不能组成三角形； C、5+2=7＜8，不能组成三角形； D、4+5=9＞6，能组成三角形． 故选D． 【点睛】此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数． 3. 对于命题“若a2＞b2，则a＞b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（　　） A. a=3，b=2 B. a=－3，b=2 C. a=3，b=－1 D. a=－1，b=3 【答案】B 【解析】 【详解】试题解析：在A中，a2=9，b2=4，且3＞2，满足“若a2＞b2，则a＞b”，故A选项中a、b的值不能说明命题为假命题； 在B中，a2=9，b2=4，且－3＜2，此时虽然满足a2＞b2，但a＞b不成立，故B选项中a、b的值可以说明命题为假命题； 在C中，a2=9，b2=1，且3＞－1，满足“若a2＞b2，则a＞b”，故C选项中a、b的值不能说明命题为假命题； 在D中，a2=1，b2=9，且－1＜3，此时满足a2＜b2，得出a＜b，即意味着命题“若a2＞b2，则a＞b”成立，故D选项中a、b的值不能说明命题为假命题； 故选B． 考点：命题与定理． 4. 如图为一张锐角三角形纸片，小明想要通过折纸的方式折出如下线段：①边上的中线；②的平分线；③边上的高．根据所学知识与相关活动经验可知：上述三条线中，能够通过折纸折出的有（ ） A. ①②③ B. ①② C. ①③ D. ②③ 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的中线，角平分线以及高的定义作答． 【详解】解：①边上的中线：如图1，使点、重合，中点为点，连接，此时即为边上的中线； ②的平分线：如图2，沿直线折叠，使与重叠，此时即为边上的角平分线； ③边上的高：如图3，沿直线折叠，使与重合，此时即为边上的高． 综上所述，所有能够通过折纸折出有①②③． 故选：A． 【点睛】本题考查的是轴对称的性质，涉及到图形的翻折变换，三角形的角平分线、中线以及高线，掌握三角形的角平分线、中线以及高线的几何意义是解题的关键． 5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键． 先解出不等式组的解集，将解集表示到数轴上，做出选择即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为：， ∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示： 故选：B． 6. 若点关于原点对称的点在第二象限，则m的取值范围为（　　） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出对应点，进而利用第二象限点的坐标特点得出答案． 【详解】解：点关于原点的对称点为， ∵在第二象限， ∴， 解得， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标以及解一元一次不等式组，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反． 7. 水果店进了某种水果1吨，进价7元/千克，出售价为11元/千克，卖掉一半后准备打折出售，如果要使总利润不低于3450元，应至少（　　）折出售． A. 7折 B. 8折 C. 8.5折 D. 9折 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了不等式的应用，设余下水果可按原定价打折出售，分别表示出打折前后的利润，进而得出不等式求出即可． 【详解】解：设余下水果可按原定价打折出售，根据题意可得： ， 解得：， 即应至少九折出售余下水果． 故选：D． 8. 如图，中，，，点B的坐标为，将绕点A逆时针旋转得到，当点O对应点C在上时，点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，过点D作轴于点E，证明是等边三角形，即得出，，从而可求出，再结合含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】如图，过点D作轴于点E， ∵， ∴． 由旋转的性质可知，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故选A． 【点睛】本题主要考查旋转变换，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，坐标与图形等知识，解题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形． 9. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，在《周髀算经》中记载了勾股定理的公式与证明，相传是由商高发现，故又称之为“商高定理”．下列四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据基础图形的面积公式表示出各个选项的面积，同时根据割补的思想可以写出另外一种面积表示方法，即可得出一个等式，进而可判断能否证明勾股定理． 【详解】解：A、梯形的面积为：， 也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：， ∴， ∴，故A选项能证明勾股定理； B、大正方形的面积为：， 也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：， ∴，故B选项能证明勾股定理； C、大正方形的面积为：； 也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：， ∴， ∴C选项不能证明勾股定理； D、大正方形的面积为：； 也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：， ∴， ∴，故D选项能证明勾股定理； 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理的证明方法，熟练掌握内弦图、外弦图是解题关键． 10. 如图，在中，，平分交于点，平分交于点，、交于点．①；②若，则 ；③；④ ⑤．则上列说法一定正确的是（ ） A. ①②④ B. ①②④⑤ C. ①②③④ D. ①②③④⑤ 【答案】B 【解析】 【分析】设，，由角平分线的定义结合三角形内角和定理可得，再由三角形内角和定理计算即可判断①；证明，得出即可判断②；由平分，但与不一定相等即可判断③；在边上截取，连接，证明，，即可判断④；作于，于，由④可得，，推出，证明，得出，再由三角形面积公式即可判断⑤，从而得出答案． 【详解】解：①设，， ∵在中，，平分交于点，平分交于点， ∴，，， ∴， ∴，故①正确； ②∵，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ③∵平分，但与不一定相等， ∴与不一定相等，故③错误； ④如图，在边上截取，连接， ， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确； ⑤如图，作于，于， ， 由④可得，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，故⑤正确； 综上所述，正确的有①②④⑤． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形外角的定义及性质、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 二． 填空题 (共 6 小题， 每题 3 分， 共 18 分) 11. 如图，天平左盘放3个乒乓球，右盘放砝码，天平倾斜，设每个乒乓球的质量为x（g），请写出x与5之间的关系：__________．（试用含x的不等式表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列不等式，根据图示，乒乓球的总质量大于砝码的质量，列出不等式即可． 【详解】解：由题意，得：； 故答案为：． 12. 若等腰三角形的两边长分别为2和5，则这个等腰三角形的周长为__________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，正确记忆三角形的三边关系分情况讨论是解题关键．分5是腰长和底边两种情况，利用三角形的三边关系判断，然后根据三角形的周长的定义列式计算即可得解． 【详解】解：①5是腰长时，三角形的三边分别为5、5，2， 能组成三角形， 周长， ②5是底边时，三角形的三边分别为2、2、5，因为， 所以不能组成三角形， 故答案为：12 13. 如图，在直角中，，按以下步骤作图： ①以点为圆心，长为半径作弧，交于点； ②分别以点为圆心，大于的一半为半径作弧，两弧交于点； ③连接交与点； 则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据基本作图，得，根据勾股定理得，利用三角形面积的不变性计算即可． 本题考查了垂线的基本作图，勾股定理的应用，熟练掌握作图和定理是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点、可在槽中滑动．若，则的度数是__________． 【答案】##80度 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的内角和和三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 利用三角形的外角及等腰三角形的性质表示出，求得的度数，进而利用三角形的内角和定理即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， 由三角形的外角定理得，， ， 即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，这是李强同学设计的一个计算机程序，规定从“输入一个x值“到判断“结果是否≥15为一次运行过程，如果程序运行两次就停止，那么x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意和题目中的运算程序可以得到，然后求解即可． 本题考查一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式组． 【详解】解：由题意可得， ， 解得， 故答案为：． 16. 如图 ，在中，，点E为的中点，点分别为上的点，连结，若，则的长度为________________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，作于点H，构造，根据对应边成比例即可求解． 【详解】解：如图，作于点H， 设， ，，， ， ， ． ，， ，， ， 又， ， ，即， 解得（负值舍去）， ， ， 故答案为：． 三． 解答题 (共 8 小题， 分，共 52 分) 17. （1）解方程组： （2）解不等式组： ． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查解二元一次方程组（加减消元法）与一元一次不等式组，熟练掌握解方程组的消元思想和解不等式组时求公共解集的方法是解题的关键． （1）对于方程组，可利用加减消元法，将两个方程中的系数化为互为相反数，相加消去求解； （2）对于不等式组，分别求解每个不等式，再取它们的解集的公共部分 ． 【详解】解：（1） ①②得： 把代入①得： ∴方程组的解为 （2） 解不等式： 解不等式： ∴ 不等式组的解集为 18. 已知 ，求证： ． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，先根据，求出，再根据证明，即可得出． 【详解】证明： ， ，即 ， 在 和 ， ， ， ． 19. 如图，在正方形网格中，点，，，，都在格点上． （1）作关于直线对称的图形； （2）若网格中最小正方形的边长为，求的面积； （3）在直线上找一点，则的最小值为______． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了作图−轴对称变换，轴对称−最短路径问题，三角形的面积，勾股定理等知识点，解决本题的关键是掌握轴对称的性质准确作出点P． （1）根据轴对称的性质即可作出； （2）根据网格即可求的面积； （3）连接交直线于点P，此时的值最小． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 【小问2详解】 解：的面积为． 【小问3详解】 解：连接，交直线于点，连接， 此时，为最小值． 由勾股定理得，， 的最小值为． 故答案为：． 20. 已知，，，四个点． （1）在图中描出四个点，顺次连接； （2）直接写出线段之间的关系； （3）在y轴上是否存在点，使若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）， （3）存在，， 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形、三角形面积，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）根据题意画出图象即可； （2）结合图象即可得出答案； （3）先计算出．设在轴上存在点，使，列方程计算即可得出答案． 【小问1详解】 解：画出图象如图所示： 【小问2详解】 解：由图象可得：，； 【小问3详解】 解：∵． 设在轴上存在点，使 ∴，即 解得： ∴在y轴上存在，使． 21. 如图，E在上，，，，F是的中点． （1）求证：； （2），，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2）40° 【解析】 【分析】（1）由、，，根据全等三角形的判定定理“”证明，得，即可根据等腰三角形的“三线合一”证明； （2）由，，得，则，，根据“等边对等角”及三角形的内角和定理得． 【小问1详解】 证明：在和中， ， ∴， ∴， ∵F是的中点， ∴． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的度数是． 【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理及其推论等知识，证明是解题的关键． 22. 刺绣是我国民间传统手工艺．湘绣作为中国四大刺绣之一，闻名中外，在巴黎奥运会倒计时50天之际，某国际旅游公司计划购买A、B两种奥运主题的湘绣作品作为纪念品．已知购买1件A种湘绣作品与2件B种湘绣作品共需要700元，购买2件A种湘绣作品与3件B种湘绣作品共需要1200元． （1）求A种湘绣作品和B种湘绣作品的单价分别为多少元？ （2）该国际旅游公司计划购买A种湘绣作品和B种湘绣作品共200件，总费用不超过50000元，那么最多能购买A种湘绣作品多少件？ 【答案】（1）A种湘绣作品的单价为300元，B种湘绣作品的单价为200元 （2）最多能购买100件A种湘绣作品 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用． （1）设A种湘绣作品的单价为x元，B种湘绣作品的单价为y元，根据“购买1件A种湘绣作品与2件B种湘绣作品共需要700元，购买2件A种湘绣作品与3件B种湘绣作品共需要1200元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可解题； （2）设购买A种湘绣作品a件，则购买B种湘绣作品件，总费用单价数量，结合总费用不超过50000元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的值，再取其中的最大整数值即可得出该校最大可以购买湘绣的数量． 【小问1详解】 设A种湘绣作品的单价为x元，B种湘绣作品的单价为y元． 根据题意，得 ， 解得 答：A种湘绣作品的单价为300元，B种湘绣作品的单价为200元． 【小问2详解】 设购买A种湘绣作品a件，则购买B种湘绣作品件． 根据题意，得， 解得． 答：最多能购买100件A种湘绣作品． 23. 对m、n定义一种新运算“”，规定：（其中a、b均为非零常数），等式右边的运算是通常的四则运算，例如：． （1）已知，． ①求a、b的值． ②若关于x的不等式组有且只有两个整数解，求字母t的取值范围． （2）若运算“”满足加法交换律，即对于我们所学过的任意数m、n，结论“”都成立，试探究a、b应满足的关系． 【答案】（1）①，② （2） 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组、解一元一次不等式组，理解题意，正确得出方程组和不等式组是解此题的关键． （1）①根据已知新运算得出方程组，解方程组即可得出答案；②根据新运算得出不等式组，求出每个不等式的解集，再根据已知得出关于的不等式组，求解即可； （2）根据新运算得出等式，整理即可得出答案． 【小问1详解】 解：①由题意得， 解得； ②由题意得， 化简得 则整数解为1，2，故， 解得； 【小问2详解】 解：由得， 化简得， ∵m、n为任意数， ∴不一定等于， ∴， 故a、b应满足的关系为． 24. 已知在 中， ，点 是边 上一点， ． （1）如图 1，试说明 的理由； （2）如图 2，过点 作 ，垂足为点 ， 与 相交于点 ．如果 是等腰三角形， 求 的度数． （3）如图 3，把 以 为对称轴翻折至 ，若此时 ，求 的面积． 【答案】（1）理由见解析； （2）或； （3） 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形性质（得 ），结合三角形外角性质和已知，推导，进而证明． （2）设，根据等腰三角形性质、三角形内角和及外角性质，用表示各角，分三种情况（、、 ）讨论，结合角度关系列方程求解． （3）连接交于，在上取使，利用翻折性质、等腰三角形和直角三角形性质，推导角度关系，证为等腰直角三角形，求出相关线段长度，进而计算面积 ． 【小问1详解】 解：∵ ∴ ∵ ， ∴ ∴ ∴ ； 【小问2详解】 解：设，则 ∵ ， ∴ ， ∵， ∴， 分三种情况： ① 当时， ∵, ∴, 解得； ② 当时， ∵, ∴, 解得； ③ 当时， ∴, 解得，不符合题意； 综上， 的度数为或； 【小问3详解】 解：连接交于点，在上取一点，连接DN，使得 ． ∵ 以为对称轴翻折至（已知翻折操作 ） ∴ ∴ ，，， ∵ ∴ 设，则， ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ （ ∴ 又, ∴ ∴ 是等腰直角三角形 ∵ 是等腰直角三角形， ∴ ， 又 ∴ ∵ ，是等腰直角三角形 ∴ ∴ 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质（等边对等角、等角对等边 ）、三角形内角和与外角性质、翻折变换的性质，以及等腰直角三角形的判定与性质．熟练掌握这些性质，灵活运用分类讨论思想（针对等腰三角形不同边相等情况分析 ）和角度、边长转化计算，借助辅助线构造特殊三角形（如等腰直角三角形 ）是解题的关键． 附加题 (4+3+3 分， 共 10 分) 25. 若直角三角形三边长为正整数，且周长与面积数值相等， 则称此三角形为“完美直角三角形”， 求“完美直角三角形”的斜边长为_____ 【答案】10或13 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，设“完美直角三角形”的三边长为 ，其中是斜边，则可得方程组，进而可得，再由， 得到，即 为正整数)，据此讨论求解即可． 【详解】解：设“完美直角三角形”的三边长为 ，其中是斜边， 由题意得， 由②得③， 把③代入代入①得 ， ∴， ∴ ， ∵， ∴ ∴ 为正整数) ∴ ， 当时，， 当，则 当，则， 当，则； 综上所述，“完美直角三角形”的斜边长为10或13； 故答案为：10或13． 26. 已知，，则的值等于 ________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，利用完全平方公式求出，，，展开相加后即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴ ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 27. 求 的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了最短路线问题以及勾股定理应用，利用了数形结合的思想，通过构造直角三角形，利用勾股定理求解是解题关键． 本题作，过点作，过点作，使，，连接，，设，则，说明的长即为代数式的最小值，然后构造矩形，利用矩形和直角三角形的性质可求得的值即可． 【详解】解：作，过点作，过点作，使，，连接，，设，则，如图所示： ， 在和中，根据勾股定理可得： ，， ∴， ∴当最小时，最小， ∴当点，，三点共线时，最小，即的最小值为的长， ∴的最小值为的长， 过点作交的延长线于点， ∵，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形矩形， ∴，， ∴， ∴， 即的最小值为， 故答案为：； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 艺术实验 2024 学年第一学期初二数学期中题卷 一． 选择题 (共 10 小题， 每题 3 分， 共 30 分) 1. 下列四个图形中，是轴对称图形是（　　） A. B. C. D. 2. 以下列数值为长度的各组线段中，能组成三角形的是（　　） A. 2，4，7 B. 3，3，6 C. 5，8，2 D. 4，5，6 3. 对于命题“若a2＞b2，则a＞b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（　　） A. a=3，b=2 B. a=－3，b=2 C. a=3，b=－1 D. a=－1，b=3 4. 如图为一张锐角三角形纸片，小明想要通过折纸的方式折出如下线段：①边上的中线；②的平分线；③边上的高．根据所学知识与相关活动经验可知：上述三条线中，能够通过折纸折出的有（ ） A. ①②③ B. ①② C. ①③ D. ②③ 5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若点关于原点对称的点在第二象限，则m的取值范围为（　　） A. B. C. D. 或 7. 水果店进了某种水果1吨，进价7元/千克，出售价为11元/千克，卖掉一半后准备打折出售，如果要使总利润不低于3450元，应至少（　　）折出售． A. 7折 B. 8折 C. 8.5折 D. 9折 8. 如图，中，，，点B的坐标为，将绕点A逆时针旋转得到，当点O对应点C在上时，点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 我国是最早了解勾股定理国家之一，在《周髀算经》中记载了勾股定理的公式与证明，相传是由商高发现，故又称之为“商高定理”．下列四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，平分交于点，平分交于点，、交于点．①；②若，则 ；③；④ ⑤．则上列说法一定正确的是（ ） A. ①②④ B. ①②④⑤ C. ①②③④ D. ①②③④⑤ 二． 填空题 (共 6 小题， 每题 3 分， 共 18 分) 11. 如图，天平左盘放3个乒乓球，右盘放砝码，天平倾斜，设每个乒乓球的质量为x（g），请写出x与5之间的关系：__________．（试用含x的不等式表示） 12. 若等腰三角形的两边长分别为2和5，则这个等腰三角形的周长为__________． 13. 如图，在直角中，，按以下步骤作图： ①以点为圆心，长为半径作弧，交于点； ②分别以点为圆心，大于一半为半径作弧，两弧交于点； ③连接交与点； 则______． 14. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点、可在槽中滑动．若，则的度数是__________． 15. 如图，这是李强同学设计的一个计算机程序，规定从“输入一个x值“到判断“结果是否≥15为一次运行过程，如果程序运行两次就停止，那么x的取值范围是_______． 16. 如图 ，在中，，点E为的中点，点分别为上的点，连结，若，则的长度为________________ 三． 解答题 (共 8 小题， 分，共 52 分) 17. （1）解方程组： （2）解不等式组： ． 18. 已知 ，求证： ． 19. 如图，在正方形网格中，点，，，，都在格点上． （1）作关于直线对称的图形； （2）若网格中最小正方形的边长为，求的面积； （3）在直线上找一点，则的最小值为______． 20. 已知，，，四个点． （1）在图中描出四个点，顺次连接； （2）直接写出线段之间的关系； （3）在y轴上是否存在点，使若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． 21. 如图，E在上，，，，F是的中点． （1）求证：； （2），，求的度数． 22. 刺绣是我国民间传统手工艺．湘绣作为中国四大刺绣之一，闻名中外，在巴黎奥运会倒计时50天之际，某国际旅游公司计划购买A、B两种奥运主题的湘绣作品作为纪念品．已知购买1件A种湘绣作品与2件B种湘绣作品共需要700元，购买2件A种湘绣作品与3件B种湘绣作品共需要1200元． （1）求A种湘绣作品和B种湘绣作品的单价分别为多少元？ （2）该国际旅游公司计划购买A种湘绣作品和B种湘绣作品共200件，总费用不超过50000元，那么最多能购买A种湘绣作品多少件？ 23. 对m、n定义一种新运算“”，规定：（其中a、b均为非零常数），等式右边的运算是通常的四则运算，例如：． （1）已知，． ①求a、b的值． ②若关于x的不等式组有且只有两个整数解，求字母t的取值范围． （2）若运算“”满足加法交换律，即对于我们所学过任意数m、n，结论“”都成立，试探究a、b应满足的关系． 24. 已知在 中， ，点 是边 上一点， ． （1）如图 1，试说明 理由； （2）如图 2，过点 作 ，垂足为点 ， 与 相交于点 ．如果 是等腰三角形， 求 的度数． （3）如图 3，把 以 为对称轴翻折至 ，若此时 ，求 的面积． 附加题 (4+3+3 分， 共 10 分) 25. 若直角三角形三边长为正整数，且周长与面积数值相等， 则称此三角形为“完美直角三角形”， 求“完美直角三角形”的斜边长为_____ 26. 已知，，则的值等于 ________． 27. 求 的最小值为_____． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $