精品解析：河北省石家庄市2024-2025学年高一下学期期末教学质量检测数学试题

石家庄市2024-2025学年度第二学期期末教学质量检测 高一数学 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数，其中为虚数单位，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法运算法则求出复数，进而根据虚部的含义求出虚部即可． 【详解】由， 所以复数的虚部为． 故选：C． 2. 在正方形中，为的中点，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图形结合向量的线性运算求解. 【详解】因为为的中点，为的中点， 所以. 故选：C. 3. 已知m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，则下列结论正确的是（　　） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】AB可举出反例，C选项，由线面垂直的定义得到结论；D选项，先得到线面垂直，结合面面垂直判定定理得到D错误. 【详解】若，不妨设m在内的投影为，则， 对于选项A：若，，则，结合线面垂直判定定理可知，n不一定垂直， n可能与平行，也可能斜交，故A错误； 对于选项B：若，，此时m与可能相交、平行或m在上，故B错误； 对于选项C：因为，，则， 又，从而，故C正确； 对于选项D：因为，，则， 又，结合面面垂直判定定理可知，，故D错误． 故选：C. 4. 已知向量，满足，，且，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据模长公式以及向量垂直的关系，即可联合求解. 【详解】解：由已知，即， 又， 解得，故， 故选：D 5. 已知梯形按斜二测画法得到的直观图为如图所示的梯形，且，，，现将梯形绕㯀转一周得到一个几何体，则该几何体的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将梯形复原为原图即直角梯形，确定相关的边长，结合题意以及圆台的侧面积公式，即可求得答案. 【详解】由题意将梯形复原为原图，即直角梯形， 其中，则， 故将梯形绕㯀转一周得到一个几何体为圆台， 圆台上底面半径为1，下底面半径为4，高为4，母线长为5， 故该几何体的侧面积为， 故选：C 6. 为了解甲、乙两个班级学生的物理学习情况，从两个班学生的物理成绩（均为整数）中各随机抽查20个，得到如图所示的数据图（用频率分布直方图估计总体平均数时，每个区间的值均取该区间的中点值），关于甲、乙两个班级的物理成绩，下列结论正确的是（ ） A. 甲班众数小于乙班众数 B. 乙班成绩的75百分位数为79 C. 甲班的中位数为74 D. 甲班平均数大于乙班平均数估计值 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知数据图，判断A；根据频率分布直方图计算乙班成绩的75百分位数，判断B；求出甲班的中位数，判断C；求出两个班级的平均分，即可判断D. 【详解】由甲、乙两个班级学生的物理成绩的数据图可知甲班众数为79， 由频率分布直方图无法准确得出乙班众数，A错误； 对于乙班物理成绩的频率分布直方图， 前三个矩形的面积之和为 ， 故乙班成绩的75百分位数为80，B错误； 由甲班物理成绩数据图可知，小于79分的数据有9个，79分的数据有6个， 故甲班的中位数为79，C错误； 甲班平均数为， 乙班平均数估计值为， 即甲班平均数大于乙班平均数估计值，D正确， 故选：D 7. 文峰塔建于清道光三十年（1850年），具有镇洪水和象征人文鼎盛的寓意，现为重庆市文物保护单位，并成为广益中学的标志性景观之，该塔为七级楼阁式砖石结构，底层以条石筑成，塔身呈六边形，逐层向上收窄，顶部为六角攒尖葫芦宝顶.其建筑特色和地理位置（南山之巅）使其成为俯瞰山城的重要观景点. 我校“文峰数智社”为了测量其高度，设文峰塔高为，在与点B同一水平面且共线的三点C，D，E处分别测得顶点A的仰角为，且，则文峰塔的高约为（    ） （参考数据：） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，求出，利用余弦定理在和中，表示出和，两者相等即可解出答案. 【详解】由题知，设， 则， 又， 所以在中，，① 在中，，② 联立①②，解得 故选：B. 8. 在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据余弦定理和面积公式得到，结合同角的三角函数基本关系时可得，故可求的取值范围，结合对勾函数的单调性可求的取值范围. 【详解】在中，由余弦定理得，且的面积， 由，得，化简得， 又，，联立得， 解得或（舍去）， 所以， 因为为锐角三角形，所以，，所以， 所以，所以，所以， 设，其中，所以， 由对勾函数单调性知在上单调递减，在上单调递增， 当时，；当时，；当时，； 所以，即的取值范围是． 故选：C. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知为虚数单位，则下列命题正确的是（ ） A. 若复数，则 B. 若，则或 C. 若复数是纯虚数，则实数或－4 D. 在复平面内，，所对应的向量分别为，，其中为坐标原点，若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据复数的模长公式求解，进而即可判断选项A；由复数模长的几何意义即可判断选项B；根据纯虚数的意义求解，进而即可判断选项C；根据矩形的性质及向量加法和减法的几何意义即可判断D． 【详解】对于选项A，若，则，故选项A正确； 对于选项B，若，则在复平面内对应的点的集合是以原点为圆心，1为半径的圆， 即有无数个点与复数对应，故选项B错误； 对于选项C，若是纯虚数， 则，解得，故选项C错误； 对于选项D，若，则复平面内以，为邻边的平行四边形是矩形， 由矩形的对角线相等，则，即，故选项D正确． 故选：AD． 10. 设是两个随机事件，且，则下列结论正确的是（ ） A. 若是互斥事件，则 B. 若则 C. 若是相互独立事件，则 D. 若，则是相互独立事件 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据互斥事件的加法公式，事件的运算，独立事件的乘法公式逐一分析每个选项. 【详解】A选项，根据互斥事件的加法公式，，A选项正确； B选项，时，，B选项错误； C选项，若是相互独立事件，则，则，C选项正确； D选项，由题知，，则是相互独立事件，D选项正确. 故选：ACD 11. 已知正方体 的棱长为是正方形 的中心， 是棱 (包含顶点) 上的动点， 则以下结论正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 不存在点，使与 所成角等于 C. 二面角正切值的取值范围为 D. 当为中点时，三棱锥的外接球表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，直接找出最近距离为为中点，计算即可；对于B，找出最大，最小的临界状态值即可解决；对于C，找出二面角的平面角，再用锐角三角函数即可；对于D，设出球心和半径，结合图形，构造方程，求出半径即可． 【详解】对于A， 最小值时，为中点.作个草图，取中点，连接． 此时，故A正确． 设与所成的角为θ，当与重合时，， 当在中点时，．则存在点 ，使. 即存在点，使与 所成角等于 .故B错误． 如图，过中点作于，则为二面角的平面角， 因此，故C正确． 设三棱锥的外接球的球心为，显然平面，为等腰直角三角形，外心为M， 则O可以由M沿着方向移动即可,O一定在上． 为中点时，半径，于是． 在中有，解得， 于是球表面积为.故D正确． 故选：ACD. 【点睛】知识点点睛：本题考查了正方体性质，点线面的位置关系辨别，空间两点间的距离最值，异面直线夹角，二面角的问题，三棱锥的外接球问题．同时考查空间想象、逻辑推理、数形结合、转化计算能力.综合性较强，属于难题. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在中，，则中最大角的余弦值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】由正弦定理，可得原式等价于，设，，，解方程可分别求得三边，再根据三角形边角关系，可得角为最大角，再结合余弦定理即可求解. 【详解】由正弦定理，得，所以，，， 代入，化简得， 设，，，三式相加得，即， 所以， ， ， 所以， 根据三角形的边角关系，可知角为最大角， 根据余弦定理，可得. 故答案为：. 13. 甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，每射击一次，命中目标得2分，未命中目标得0分．若甲、乙两人射击的命中率分别为和，且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为．假设甲、乙两人射击互不影响，则两人各射击一次得分之和不少于2的概率为________． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据已知条件求乙的命中率，再通过求出得分之和不少于2的对立事件的概率，进而得到得分之和不少于2的概率. 【详解】设“甲射击一次，命中目标”为事件，“乙射击一次，命中目标”为事件, 则“甲射击一次，未命中目标”为事件，“乙射击一次，未命中目标”为事件, 那么由已知条件可知，，，， 甲、乙两人各射击一次得分之和为2有两种情形：甲命中，乙未命中；乙命中，甲未命中， 即得分之和为2的概率为， 依题意，得，解得， 由两人各射击一次得分之和不少于2的对立事件是两人各射击一次得分之和为， 两人各射击一次得分之和为的概率为， 故两人各射击一次得分之和不少于2的概率为， 故答案为：. 14. 已知正方体中，点E，F，G分别为棱，，的中点，给出下列四个结论： ①直线与平面相交； ②直线平面； ③若，则点D到平面的距离为； ④该正方体的棱所在直线与平面所成的角都相等. 其中所有正确结论的序号是____________． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】①先证，，可得平面平面，从而知平面；②利用三垂线定理可得，，再由线面垂直的判定定理知平面，并结合平面平面，即可作出判断；③易知是边长为的等边三角形，再利用等体积法求解即可；④结合四面体是正三棱锥，且正方体的棱构成三组平行线，即可判断． 【详解】解：①因为点，分别为棱，的中点， 所以，，即四边形是平行四边形， 所以， 因为点，分别为棱，的中点，所以， 又，，、平面，、平面， 所以平面平面， 因为平面，所以直线平面，即①错误； ②由三垂线定理知，，， 因为，所以平面， 由①知平面平面， 所以平面，即②正确； ③若，则是边长为的等边三角形， 所以， 设点到平面的距离为， 因为， 所以， 所以， 所以点到平面的距离为，即③正确； ④由题意知，四面体的底面是等边，且， 即四面体是正三棱锥， 所以三条侧棱，，与底面所成角均相等， 而，，， 所以该正方体的棱所在直线与平面所成的角都相等， 由①知平面平面， 所以该正方体的棱所在直线与平面所成的角都相等，即④正确． 故答案为：②③④． 四、解答题（本大题共5道小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知向量． （1）求； （2）设向量的夹角为，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由求出，从而可求出的坐标，进而可求出模； （2）直接利用向量的夹角公式求解即可. 【小问1详解】 由可得，， 即， 所以， 所以； 【小问2详解】 因为， 所以． 16. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，为棱的中点，，，直线与所成的角的大小为． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积； （3）求二面角的正切值． 【答案】（1）证明见解析 （2）1 （3）2 【解析】 【分析】（1）设与相交于点，连接，证明，利用线面平行的判定即可证明； （2）利用正弦定理得，再证明，最后利用线面垂直的判定定理即可证明； （3）过作，垂足为，连接，找到二面角即为，最后根正切定义即可得到答案. 【小问1详解】 连接，设与相交于点，连接． 四边形是菱形，为的中点． 是棱的中点，． 又平面，平面， 平面． 【小问2详解】 直线与所成的角为，且， 就是直线与所成的角或其补角． ，，，， 在中，由正弦定理得，， 即，解得． ，即，从而． 四边形是菱形，且， ， 是等边三角形，从而． 又，， ． ，从而． 又，平面，平面， 平面． 取的中点为，连接 点为中点， 平面． 又且 求三棱锥的体积为． 【小问3详解】 过作，垂足为，连接． 由（2）知平面， 平面，平面， ，． ，，平面，平面， 平面． 平面， ， 为二面角的平面角， 在Rt中，，． ， 二面角的正切值是2． 17. 某保险公司决定每月给推销员确定个具体的销售目标，对推销员实行目标管理.销售目标确定的适当与否，直接影响公司的经济效益和推销员的工作积极性，为此，该公司当月随机抽取了50位推销员上个月的月销售额（单位：万元），绘制成如图所示的频率分布直方图. 求： （1）根据图中数据，求出月销售额在小组内的频率，并根据直方图估计，月销售目标定为多少万元时，能够使的推销员完成任务. （2）该公司决定从月销售额为和的两个小组中，选取2位推销员介绍销售经验，求选出的推销员来自不同小组的概率. （3）第一组中推销员的销售金额的平均数为13，方差1.96，第七组中推销员的销售金额的平均数为25，方差3.16，求这两组中所有推销员的销售金额的平均数，方差. 【答案】（1）0.12，17万元 （2） （3）平均数，方差 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为1求得所求区间的频率，由题意求得的推销员不能完成月销售额目标得销售额即可求解； （2）利用举所有的基本事件和所求事件包含的基本事件，利用古典概型概率公式求解； （3）将数据代入平均数公式和总体方差公式求解即可. 【小问1详解】 月销售额在小组内的频率为， 若要使的推销员完成月销售额目标，则意味着的推销员不能完成月销售额目标， 根据题图所示的频率分布直方图知，和两组的频率之和为， 和及三组的频率之和为， 故估计月销售目标应定为万元； 【小问2详解】 第一组3人记为，第七组2人， 则选取2位推销员有 共10种情形， “选取2位推销员介绍销售经验，求选出的推销员来自不同小组”记为事件M， 则事件M包含有共6种情形， 所以； 【小问3详解】 第一组3人，第七组2人， 则这两组中所有推销员的销售金额的平均数为， 方差. 18. 在中，，，分别是角，，的对边，已知，点是的中点，点在线段上，且，线段与线段交于点． （1）求角的大小； （2）若，求的值； （3）若的面积，点是的重心，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）应用正弦定理及余弦定理计算求解； （2）应用向量的线性关系结合三点共线计算求参； （3）应用面积公式结合向量的数量积运算化简，再运用基本不等式计算求最小值. 【小问1详解】 因为， 所以由正弦定理可得，整理得， 故， 因为，所以． 【小问2详解】 如图， 由题意可得，， 因为，，三点共线， 故可设，， 又因，，三点共线，故， 所以，故． 【小问3详解】 连接， 因为，所以， 因为， 所以， 于是，两边平方化简得： ，当且仅当时取等号， 所以，即． 所以的最小值为． 19. 如图，若内一点P满足，则称P为的布罗卡尔点．若设，则称为布罗卡尔角． （1）若是边长为2的等边三角形，其布罗卡尔点是的内心（内心是三角形三个内角角平分线的交点），求的外接圆的半径； （2）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，记的面积为S，的布罗卡尔角为，且．证明：； （3）在中，记的布罗卡尔角为，若，求证：． 【答案】（1） （2）证明：若， 则 , 所以， 在中， 分别由余弦定理得：， ，， 三式相加整理得， 因为，所以. （3）证明：由（2）得， 所以, 由， 所以， 又由余弦定理可得， 所以， 所以，所以， 由正弦定理可得. 【解析】 【分析】（1）根据题意可知：，利用正弦定理求外接圆半径； （2）先根据表示出三角形得面积，再在中，由余弦定理相加，再化简整理，即可得证； （3）根据（2）得出与的等量关系，再利用余弦定理和三角形的面积公式，化简整理即可得证. 【小问1详解】 由题意可知：， 所以的外接圆的半径. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：根据表示出三角形的面积，在中，由余弦定理相加，得出与的等量关系，是解决本题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石家庄市2024-2025学年度第二学期期末教学质量检测 高一数学 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数，其中为虚数单位，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 在正方形中，为的中点，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，则下列结论正确的是（　　） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 4. 已知向量，满足，，且，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 5. 已知梯形按斜二测画法得到的直观图为如图所示的梯形，且，，，现将梯形绕㯀转一周得到一个几何体，则该几何体的侧面积为（ ） A. B. C. D. 6. 为了解甲、乙两个班级学生的物理学习情况，从两个班学生的物理成绩（均为整数）中各随机抽查20个，得到如图所示的数据图（用频率分布直方图估计总体平均数时，每个区间的值均取该区间的中点值），关于甲、乙两个班级的物理成绩，下列结论正确的是（ ） A. 甲班众数小于乙班众数 B. 乙班成绩的75百分位数为79 C. 甲班的中位数为74 D. 甲班平均数大于乙班平均数估计值 7. 文峰塔建于清道光三十年（1850年），具有镇洪水和象征人文鼎盛的寓意，现为重庆市文物保护单位，并成为广益中学的标志性景观之，该塔为七级楼阁式砖石结构，底层以条石筑成，塔身呈六边形，逐层向上收窄，顶部为六角攒尖葫芦宝顶.其建筑特色和地理位置（南山之巅）使其成为俯瞰山城的重要观景点. 我校“文峰数智社”为了测量其高度，设文峰塔高为，在与点B同一水平面且共线的三点C，D，E处分别测得顶点A的仰角为，且，则文峰塔的高约为（    ） （参考数据：） A. B. C. D. 8. 在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知为虚数单位，则下列命题正确的是（ ） A. 若复数，则 B. 若，则或 C. 若复数是纯虚数，则实数或－4 D. 在复平面内，，所对应的向量分别为，，其中为坐标原点，若，则 10. 设是两个随机事件，且，则下列结论正确的是（ ） A. 若是互斥事件，则 B. 若则 C. 若是相互独立事件，则 D. 若，则是相互独立事件 11. 已知正方体 的棱长为是正方形 的中心， 是棱 (包含顶点) 上的动点， 则以下结论正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 不存在点，使与 所成角等于 C. 二面角正切值的取值范围为 D. 当为中点时，三棱锥的外接球表面积为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在中，，则中最大角的余弦值为________． 13. 甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，每射击一次，命中目标得2分，未命中目标得0分．若甲、乙两人射击的命中率分别为和，且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为．假设甲、乙两人射击互不影响，则两人各射击一次得分之和不少于2的概率为________． 14. 已知正方体中，点E，F，G分别为棱，，的中点，给出下列四个结论： ①直线与平面相交； ②直线平面； ③若，则点D到平面的距离为； ④该正方体的棱所在直线与平面所成的角都相等. 其中所有正确结论的序号是____________． 四、解答题（本大题共5道小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知向量． （1）求； （2）设向量的夹角为，求的值． 16. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，为棱的中点，，，直线与所成的角的大小为． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积； （3）求二面角的正切值． 17. 某保险公司决定每月给推销员确定个具体的销售目标，对推销员实行目标管理.销售目标确定的适当与否，直接影响公司的经济效益和推销员的工作积极性，为此，该公司当月随机抽取了50位推销员上个月的月销售额（单位：万元），绘制成如图所示的频率分布直方图. 求： （1）根据图中数据，求出月销售额在小组内的频率，并根据直方图估计，月销售目标定为多少万元时，能够使的推销员完成任务. （2）该公司决定从月销售额为和的两个小组中，选取2位推销员介绍销售经验，求选出的推销员来自不同小组的概率. （3）第一组中推销员的销售金额的平均数为13，方差1.96，第七组中推销员的销售金额的平均数为25，方差3.16，求这两组中所有推销员的销售金额的平均数，方差. 18. 在中，，，分别是角，，的对边，已知，点是的中点，点在线段上，且，线段与线段交于点． （1）求角的大小； （2）若，求的值； （3）若的面积，点是的重心，求的最小值． 19. 如图，若内一点P满足，则称P为的布罗卡尔点．若设，则称为布罗卡尔角． （1）若是边长为2的等边三角形，其布罗卡尔点是的内心（内心是三角形三个内角角平分线的交点），求的外接圆的半径； （2）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，记的面积为S，的布罗卡尔角为，且．证明：； （3）在中，记的布罗卡尔角为，若，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $