精品解析：山东省烟台市2024—2025学年下学期七年级数学期末试卷（五四学制）

初二数学 阶段检测练习题 一、选择题（每题3分，满分36分） 1. 下列成语描述的事件中，属于随机事件的是（ ） A. 百步穿杨 B. 旭日东升 C. 瓜熟蒂落 D. 水中捞月 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了随机事件“在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件”、必然事件“必然事件发生的可能性为1”、不可能事件“不可能事件的发生的可能性为0”，熟练掌握各定义是解题关键．根据随机事件、必然事件和不可能事件的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、百步穿杨，形容射箭技术高超，能在百步外射中杨柳叶．虽然技术高超，但每次射箭的结果仍存在不确定性（可能射中或未射中），属于随机事件，则此项符合题意； B、旭日东升，太阳每日从东方升起是必然发生的自然现象，属于必然事件，则此项不符合题意； C、瓜熟蒂落，形容瓜成熟后，瓜蒂自然脱落是必然的生物学过程，属于必然事件，则此项不符合题意； D、水中捞月，水中捞月是尝试捞取月亮的倒影，显然无法实现，属于不可能事件，则此项不符合题意； 故选：A． 2. 下列方程组中，以为解的二元一次方程组是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将解代入方程组的方程，判断是否使方程成立． 【详解】解：∵x=1，y=−1， ∴x＋y＝1＋（−1）＝0，x−y＝1−（−1）＝2，x−2y＝1−2×（−1）＝3，故选项D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了方程组的解“二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解”． 3. 下列命题是假命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 同位角相等 C. 如果，那么 D. 钝角三角形中有两个锐角 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了真假命题，对顶角的性质，平行线的性质，三角形的分类等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． 根据对顶角的性质，平行线的性质，三角形的分类这些知识点逐一分析各选项是否为真命题，找出假命题即可． 【详解】解：A、对顶角相等：根据几何基本性质，对顶角一定相等，是真命题，不符合题意； B、同位角相等：同位角相等的前提是两直线平行，未说明此条件时命题不成立，是假命题，符合题意； C、若，则：等式两边平方必然相等，是真命题，符合题意 D、钝角三角形中有两个锐角：钝角三角形的一个角大于，另两个角之和小于，必为锐角，是真命题，不符合题意； 故选：B． 4. 如图，在与中，若，，下列条件不能使这两个三角形全等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有等等．根据全等三角形的判定方法逐一分析判断即可. 【详解】解：A、添加条件，结合条件，，可以利用证明这两个三角形全等，不符合题意； B、添加条件，结合条件，，可以利用证明这两个三角形全等，不符合题意； C、添加条件，结合条件，，不可以利用证明这两个三角形全等，符合题意； D、添加条件，可得：，结合条件，，可以利用证明这两个三角形全等，不符合题意； 故选：C． 5. 若，则下列不等式成立的是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】本题考查不等式的基本性质，需根据不等式两边加减、乘除正负数时的变化规律逐一判断各选项． 【分析】解∶A．由，两边同除以正数2，不等号方向不变，故，成立． B．由，两边减3，不等号方向不变，应为，而选项B为，不成立． C．由，若两边乘正数3得，但与的大小需进一步分析．例如，当，时，，，此时，故选项C不一定成立． D．由，两边乘得，再加2得，而选项D为，方向错误，不成立． 综上，只有选项A成立． 故选∶A． 6. 如图，在的正方形网格中，线段的端点在格点上．在其它格点中任选一点，使是等腰三角形的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定，勾股定理的应用，求解随机事件的概率，如图，取格点，可得，，再进一步求解即可. 【详解】解：如图，取格点， ∴，， ∴，为等腰三角形； ∴在其它格点中任选一点，使是等腰三角形的概率为； 故选：B. 7. 如图，直线，以直线上的点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点B，C，D，连结，，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及平行线的性质．由平行线的性质可得：，，由作图可得，再根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， 由作图可得：， ∴，，， ∴． 故选：C． 8. 如图，为了鼓励消费，某商场设置一个可以自由转动的转盘．规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针指向哪个区域顾客就获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 150 200 360 500 800 1000 落在“饮料”区域次数m 32 39 64 102 155 243 299 则转盘中“饮料”区域的圆心角的度数近似是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由频率估计概率以及求扇形统计图的圆心角，先由表格数据得到，再根据圆周角为，列式计算，即可作答． 【详解】解：∵先由表格数据得到， ∴， 故选：B． 9. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知3匹小马能拉1片瓦，1匹大马能拉3片瓦，求小马，大马各有多少匹，若设小马有x匹，大马有y匹，则下列方程组中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设小马有x匹，大马有y匹，根据题意可得等量关系：①大马数+小马数=100；②大马拉瓦数+小马拉瓦数=100，根据等量关系列出方程组即可． 【详解】解：设小马有x匹，大马有y匹，由题意可得： ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组． 10. 若关于的不等式组恰有两个整数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的整数解个数得到关于m的不等式组，即可得出答案． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， ∵不等式组只有2个整数解，即2，3， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式，并根据不等式组整数解的个数得出关于的不等式组． 11. 如图，中，，D，E分别是和中点，分别过点D，E作和的垂线交于F，G，若，，则的长度是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，如图，连接，，求解，证明，，，再利用勾股定理求解即可. 【详解】解：如图，连接，， ∵， ∴， ∵点D，E作和的垂线交于F，G，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D 12. 一次函数与的图象位置如图，下列结论： ①随x的增大而减小； ②当时，； ③； ④当是以为底边的等腰三角形时，． 其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程、一次函数与一元一次不等式、一次函数图象与系数的关系，等腰三角形的性质．根据一次函数的性质对①②进行判断；利用一次函数与一元一次方程的关系对③进行判断；如图，过作于，证明，求解，，结合当时，，再进一步求解即可． 【详解】解：∵一次函数经过第一、二、四象限， ∴， ∴随x的增大而减小；所以①正确； ∵一次函数与的图象的交点的横坐标为3， 结合图象可得：当时，，故②错误； ∴时，， 整理得，所以③正确； 如图，过作于， ∵， ∴， 当时，，， ∴，， ∵当时， ∴ ∴即．故④正确； 故选：D． 二、填空题（每题3分，满分24分） 13. 若是关于x，y的二元一次方程的解，则a的值为________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，熟知二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键． 直接把代入到方程中求出a的值即可． 【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程的解， ∴， 解得， 故答案为：7． 14. 现有5张卡片，分别写有数字，，1，3，4，它们除数字外其他均相同，将它们背面朝上，从中任抽一张，抽到写有负数卡片的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查概率，解题的关键是熟练掌握概率公式． 用概率公式计算即可． 【详解】解：根据题意可知，张卡片中，写有负数的卡片共有张， ∴， 故答案为：． 15. 已知关于x，y的二元一次方程组满足，则a的取值范围是____． 【答案】． 【解析】 【分析】根据题目中方程组的特点，将两个方程作差，即可用含a的代数式表示出，再根据，即可求得的取值范围，本题得以解决． 【详解】解： ①-②，得 ∵ ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查解一元一次不等式，二元一次方程组的解，熟悉相关性质是解答本题的关键． 16. 如图，把一张长方形纸片沿折叠，点D，C的对应点分别为，，若比的度数小，则的度数为________． 【答案】##54度 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，先根据纸片是长方形，得，故，再结合比的度数小，求出，结合折叠性质得，即可作答． 【详解】解：∵纸片是长方形， ∴， ∴， ∵比的度数小， ∴， 解得， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， 即， 故答案为：． 17. 某商场打折销售一款风扇，若每台风扇按标价的六折出售将亏损10元，而按标价的九折出售将盈利95元，则每台风扇的成本价为________． 【答案】元 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，解题的关键是根据题意找出等量关系． 设每台风扇的标价为元，根据题意找出等量关系，列方程求解，代入标价与成本的关系式，计算即可． 【详解】解：设每台风扇的标价为元， 根据题意可得，， 解得， ∴， ∴每台风扇的成本价为元， 故答案为：元． 18. 如图，，点C在OA上，且，P和Q分别是OB和OA上的动点，则长度的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理．过点C作点C关于射线的对称点D，连接交射线于点E，点D作于点Q，交射线于点P，连接，根据轴对称的性质可得，，从而得到为等边三角形，当点D、P、Q三点共线时，取最小值，当时，取最小值，最小值为的长，再结合勾股定理解答即可． 【详解】解：如图所示，过点C作点C关于射线的对称点D，连接交射线于点E，点D作于点Q，交射线于点P，连接， ∴，， ∴， ∴为等边三角形，， ∴当点D、P、Q三点共线时，取最小值，又点P，Q均为动点，∴当时，取最小值，最小值为的长，∵为等边三角形， ∴， ∴， 即的最小值为． 故答案为： 19. 如图，在中，，是角平分线，，交于点E，若，，则的长度为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线性质定理，勾股定理，等腰三角形的判定． 结合平行线的性质以及角平分线的定义可得，从而得到，再由勾股定理可得，过点D作于点F，根据角平分线性质定理可得，然后根据，可得，从而得到，再利用勾股定理解答即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，过点D作于点F， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 20. 定义一种运算“”：，如，．按照这种运算规则，若，则x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组．根据新定义，分两种情况，列出不等式组，即可求解． 【详解】解：当时，， ∵， ∴， 此时无解； 当时，， ∵， ∴， 解得：； 综上所述，x取值范围是． 故答案为：． 三、解答题（共7题，满分60分） 21. 解方程（或不等式）组： （1）； （2），并将解集在数轴上表示出来． 【答案】（1） （2），数轴见解析 【解析】 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，求不等式组的解集并将解集表示在数轴上，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）根据加减消元法解二元一次方程组，即可求解； （2）先分别解不等式①②，再求得不等式组的解集，将不等式的解集表示在数轴上． 【小问1详解】 解：， 得，，即， 解得：， 将代入①得，， 解得：， ∴方程组的解为：； 【小问2详解】 解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集是：， 在数轴上表示如下： 22. 如图，已知，请按下列要求解答问题： （1）用尺规作线段的垂直平分线，垂足是，交于点，连接（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若的周长是，的周长是，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）的长为． 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的画法，线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的画法和性质． （1）分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于两点，过两个交点作直线即可； （2）由线段垂直平分线的性质，可得，等量代换，两个三角形的周长作差，即可得的长． 【小问1详解】 解：分别以点和点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点和点，过点和点作直线，直线即为线段的垂直平分线，垂足是，交于点，连接，如下图： 【小问2详解】 解：∵的周长是， ∴， ∵点在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴， ∵的周长是， ∴， ∴， 答：的长为． 23. 一个不透明的袋中装有5个黄球，13个黑球和22个红球，它们除颜色外都相同． （1）小明和小红玩摸球游戏，规定每人摸球后再将摸到的球放回去为一次游戏．若摸到黑球小明获胜，摸到黄球小红获胜，这个游戏对双方公平吗？请说明你的理由； （2）现在裁判想从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，使得这个游戏对双方公平，问取出了多少黑球？ 【答案】（1）不公平．小明获胜的概率为，小红获胜的概率为（2）4． 【解析】 【分析】（1）利用概率公式分别求出小明和小红获胜的概率，进而得出答案； （2）直接利用当黑球与黄球个数相等时，游戏公平，求出答案． 【详解】解：(1)不公平． ∵不透明的袋中装有5个黄球，13个黑球和22个红球，摸到黑球小明获胜，摸到黄球小红获胜， ∴小明获胜的概率为：，小红获胜的概率为：=； (2)由题意可得：设取出了x个黑球，则 13−x=5+x， 解得：x=4. 答：取出4个黑球． 24. 如图，是角平分线，过点C作的平行线，交的延长线于点E，D在的延长线上，连接，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，三角形的内角和等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）利用角平分线的定义和平行的性质，得出相等的角，利用等量代换得出，即可得出平行线； （2）利用平行的性质得到，然后根据等量代换得出，最后利用三角形的内角和定理即可求解． 【小问1详解】 证明：∵是的角平分线， ∴, ∵， ， ， ∵， ， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得， 又， ∴， ， ∵， ， ∵， ， ， ∴， ∴． 25. 2025年6月5日是第54个“世界环境日”，为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，对现有照明系统升级改造．已知购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元． （1）求甲、乙两种路灯的单价； （2）该社区计划购买甲、乙两种路灯共30盏，且甲种路灯的数量多于乙种路灯数量的，但不超过乙种路灯数量的，若购买总费用为w元，请通过计算说明一共有几种购买方案，并求出所需费用最少是多少． 【答案】（1）甲种路灯的单价为60元，乙种路灯的单价为80元 （2）一共有3种购买方案，所需费用最少2200元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组以及一元一次不等式组，根据题意列出方程组，不等式组是解题的关键； （1）设甲种路灯的单价为a元，乙种路灯的单价为b元，根据题意列出方程组，即可求解； （2）设购买甲种路灯x盏，则购买乙种路灯盏，列出不等式组，求得，再由“甲种路灯的数量多于乙种路灯数量的，但不超过乙种路灯数量的，”列出不等式组，可求出x的取值范围，即可求解． 【小问1详解】 解：设甲种路灯的单价为a元，乙种路灯的单价为b元， 根据题意得：， 解得：， 答：甲种路灯的单价为60元，乙种路灯的单价为80元； 【小问2详解】 解：设购买甲种路灯x盏，则购买乙种路灯盏， 根据题意得：， ∵甲种路灯的数量多于乙种路灯数量的，但不超过乙种路灯数量的， ∴， 解得：， ∵x为整数， ∴x取8，9，10， 当时，， 当时，， 当时，， ∵， ∴一共有3种购买方案，所需费用最少是2200元． 26. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴相交于点，与直线交于点，点的横坐标为． （1）求直线的函数关系式； （2）求的面积； （3）设点是第一象限直线上的一动点，连接，当是以为底角的等腰三角形时，求点的坐标． 【答案】（1）直线的函数关系式为； （2）的面积为； （3）点的坐标为或． 【解析】 【分析】本题考查一次函数，等腰三角形，勾股定理，解题的关键是灵活应用待定系数法，会根据题意进行分类讨论． （1）由点在直线上，可得点的坐标，代入，可得，从而可得直线的函数关系式； （2）在中，令，可得点的横坐标，从而可知，代入三角形的面积公式计算即可； （3）根据题意进行分类讨论，当时，点的横坐标为中点的横坐标，代入可得纵坐标，即可得点的坐标，当时，设点，，用勾股定理计算即可得，即可得到点的坐标． 【小问1详解】 解：∵点在直线上，且点的横坐标为， ∴点的纵坐标为， ∴， ∵点在直线上， ∴， ∴， ∴， 答：直线函数关系式为． 【小问2详解】 解：在中， 当时，由得， ∴， ∴， ∴， 答：的面积为． 【小问3详解】 解：根据题意，分以下两种情况： 当时，如图， 作，则点为的中点 ∴， ∴点的横坐标为， 在中， 当时，， ∴， 当时，如图， ∵点是第一象限直线上的一动点， 设点，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 答：点的坐标为或． 27. 阅读理解：如图1，四边形中，若，，则平分． 小颖通过思考，形成如下思路： 作于点E，于点F，通过证明得，进而证明该命题． （1）请根据小颖的思路，完成该命题的证明；（你也可以选用其它思路进行证明） （2）上题中，若，求证：； （3）填空：如图2，四边形中，，．若，，则的长度为________． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）根据小颖的思路，先得出，结合，，得，因为，证明，即可得，或者运用角平分线的性质得出，即可作答． （2）先得出，，再证明，则，运用角平分线的定义以及30度角所对的直角边是斜边的一半，得，即可作答． （3）过点作，过点作的延长线，先证明，再根据一组邻边相等的矩形是正方形得四边形是正方形，则，即，把数值代入，解得，运用勾股定理得，即可作答． 【小问1详解】 解：作于点E，于点F，如图所示： 依题意，小颖的思路： ∵， ∴ ∵，， ∴ ∵ ∴ ∴； 或者∵平分，，， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴， 则， 由（1）得，， ∵平分． ∴， ∴， ∴ 则， ∵ ∴ 则 ∴ 即． 【小问3详解】 解：过点作，过点作的延长线，如图所示： ∵四边形中，， ∴ ∵ ∴ ∵过点作，过点作的延长线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 解得， 则， ∴， 则的长度为． 【点睛】本题考查了度角的直角三角形，正方形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 初二数学 阶段检测练习题 一、选择题（每题3分，满分36分） 1. 下列成语描述的事件中，属于随机事件的是（ ） A. 百步穿杨 B. 旭日东升 C. 瓜熟蒂落 D. 水中捞月 2. 下列方程组中，以为解的二元一次方程组是（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题是假命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 同位角相等 C 如果，那么 D. 钝角三角形中有两个锐角 4. 如图，在与中，若，，下列条件不能使这两个三角形全等的是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则下列不等式成立的是（） A. B. C. D. 6. 如图，在的正方形网格中，线段的端点在格点上．在其它格点中任选一点，使是等腰三角形的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，直线，以直线上的点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点B，C，D，连结，，．若，则的度数为（ ） A B. C. D. 8. 如图，为了鼓励消费，某商场设置一个可以自由转动的转盘．规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针指向哪个区域顾客就获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 150 200 360 500 800 1000 落在“饮料”区域次数m 32 39 64 102 155 243 299 则转盘中“饮料”区域圆心角的度数近似是（ ） A. B. C. D. 9. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知3匹小马能拉1片瓦，1匹大马能拉3片瓦，求小马，大马各有多少匹，若设小马有x匹，大马有y匹，则下列方程组中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 若关于的不等式组恰有两个整数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，中，，D，E分别是和中点，分别过点D，E作和的垂线交于F，G，若，，则的长度是（ ） A 1 B. C. D. 12. 一次函数与的图象位置如图，下列结论： ①随x的增大而减小； ②当时，； ③； ④当是以为底边的等腰三角形时，． 其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ①③④ 二、填空题（每题3分，满分24分） 13. 若是关于x，y的二元一次方程的解，则a的值为________． 14. 现有5张卡片，分别写有数字，，1，3，4，它们除数字外其他均相同，将它们背面朝上，从中任抽一张，抽到写有负数卡片的概率为________． 15. 已知关于x，y的二元一次方程组满足，则a的取值范围是____． 16. 如图，把一张长方形纸片沿折叠，点D，C的对应点分别为，，若比的度数小，则的度数为________． 17. 某商场打折销售一款风扇，若每台风扇按标价的六折出售将亏损10元，而按标价的九折出售将盈利95元，则每台风扇的成本价为________． 18. 如图，，点C在OA上，且，P和Q分别是OB和OA上的动点，则长度的最小值是________． 19. 如图，在中，，是角平分线，，交于点E，若，，则长度为________． 20. 定义一种运算“”：，如，．按照这种运算规则，若，则x的取值范围是________． 三、解答题（共7题，满分60分） 21. 解方程（或不等式）组： （1）； （2），并将解集在数轴上表示出来． 22. 如图，已知，请按下列要求解答问题： （1）用尺规作线段的垂直平分线，垂足是，交于点，连接（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若的周长是，的周长是，求的长． 23. 一个不透明的袋中装有5个黄球，13个黑球和22个红球，它们除颜色外都相同． （1）小明和小红玩摸球游戏，规定每人摸球后再将摸到的球放回去为一次游戏．若摸到黑球小明获胜，摸到黄球小红获胜，这个游戏对双方公平吗？请说明你的理由； （2）现在裁判想从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，使得这个游戏对双方公平，问取出了多少黑球？ 24. 如图，是的角平分线，过点C作的平行线，交的延长线于点E，D在的延长线上，连接，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 25. 2025年6月5日是第54个“世界环境日”，为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，对现有照明系统升级改造．已知购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元． （1）求甲、乙两种路灯的单价； （2）该社区计划购买甲、乙两种路灯共30盏，且甲种路灯的数量多于乙种路灯数量的，但不超过乙种路灯数量的，若购买总费用为w元，请通过计算说明一共有几种购买方案，并求出所需费用最少是多少． 26. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴相交于点，与直线交于点，点的横坐标为． （1）求直线的函数关系式； （2）求的面积； （3）设点是第一象限直线上的一动点，连接，当是以为底角的等腰三角形时，求点的坐标． 27. 阅读理解：如图1，四边形中，若，，则平分． 小颖通过思考，形成如下思路： 作于点E，于点F，通过证明得，进而证明该命题． （1）请根据小颖的思路，完成该命题的证明；（你也可以选用其它思路进行证明） （2）上题中，若，求证：； （3）填空：如图2，四边形中，，．若，，则的长度为________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$