3.2 函数的基本性质：单调性、最值、奇偶性、周期性、对称性讲义-2026届高三数学一轮复习

§3.2 函数的基本性质：单调性、最值、奇偶性、周期性、对称性 目录 知识点一：函数的单调性与最值 2 考点1：函数函数的单调性的判断与应用 2  解函数不等式 3  利用单调性求参数 4  比较函数值的大小 5  利用单调性求解最值（值域） 6 知识点二：函数的奇偶性与周期性 7 考点2： 函数奇偶性的判断与应用 9 考点3：奇偶性与单调性综合 11 考点4：函数的周期性、对称性及应用 12 考点5：抽象函数的性质 15 【强化训练】 18 知识点一：函数的单调性与最值 1. 单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量 当时，都有，那么就称函数在区间上单调递增 当时，都有，那么就称函数在区间上单调递减 图象描述 自左向右看图象呈上升趋势 自左向右看图象呈下降趋势 · 如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫做的单调区间． 2. 函数的最值 前提 设函数 的定义域为，如果存在实数满足 条件 (1)，都有 ； (2)，使得. (1)，都有； (2)，使得. 结论 为最大值 为最小值 考点1：函数函数的单调性的判断与应用 方法提炼 确定函数单调性的四种方法： (1) 定义法 (2) 图象法 如果是以图象形式给出的，或者的图象易作出，则可由图象的上升或下䧏确定单调性，由图像确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图像不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”，不能用. (3) 性质法 1　 在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数，增函数-减函数=增函数，减函数-增函数=减函数. 2　 函数在公共定义域内与的单调性相反． 3　 复合函数的单调性：函数在函数的定义域上，如果与的单调性相同，那么单调递增；如果与的单调性相反，那么单调递减．（简记：“同增异减”） (4) 导数法:先求导，利用导数取值的正、负确定函数的单调区间. · 解函数不等式 方法提炼 运用函数单调性定义解不等式问题，解题步骤为： (1) 根据已知不等式构造的不等关系式； (2) 结合函数单调性的定义，将符号脱掉，转化为自变量间的大小关系； (3) 运算求解，应注意函数的定义域. 【例1.1.】 已知函数若对于任意，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例1.2.】 已知函数，若，则实数t的取值范围是 ． 【例1.3.】 函数，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例1.4.】 设函数为与中较大的数，若存在使得成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． · 利用单调性求参数 方法提炼 利用单调性求参数的取值(范围)，根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值. 【例1.5.】 若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【例1.6.】 已知函数在上单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例1.7.】 已知函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例1.8.】 已知函数在上单调递增，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． · 比较函数值的大小 方法提炼 (1) 若题目条件中有具体的函数，则先判断已知函数的单调性，利用其单调性比较大小. (2) 若题目条件中无具体函数，则需根据数值的结构特征构造函数，再利用其单调性比较大小. 【例1.9.】 中国茶文化博大精深，茶水的口感与水的温度有关.一杯的热红茶置于的房间里，茶水的温度（单位：）与时间（单位：）的函数的图象如图所示.下列说法正确的是（    ）      A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【例1.10.】 已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 【例1.11.】 已知函数，若，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【例1.12.】 已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． · 利用单调性求解最值（值域） 【例1.13.】 已知函数，则在上的最大值为（    ） A． B． C．0 D．1 【例1.14.】 已知函数，则的最小值是 . 【例1.15.】 已知定义在上的函数满足：，且，都有恒成立，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【例1.16.】 定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称函数是上的有界函数，其中称为函数在的上界． (1)判断函数在其定义域内是否属于有界函数； (2)若函数，且，则函数在区间上是否存在上界，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由； (3)若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数的取值范围． 知识点二：函数的奇偶性与周期性 1. 函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫作偶函数 关于轴对称 奇函数 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫作奇函数 关于原点对称 （1） 函数具有奇偶性的一个必不可少的条件是定义域关于原点对称； （2） 若奇函数在处有定义，则必有； （3） 偶函数必满足； （4） 既是奇函数又是偶函数，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集； （5） 若函数的定义域关于原点对称，则为偶函数，为奇函数，且. （6） 常见的奇函数与偶函数 1　 为偶函数； 2　 为奇函数； 2. 周期性 (1) 周期函数：如果函数是周期函数，那么能找到一个非零常数，使得对定义域内的任意值都成立，称为这个函数的周期． (2) 最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期．（若不特别说明，一般都是最小正周期） (3) 重要结论 对定义域内任一自变量的值： 1　 若，则. 2　 若，则. 3　 若，则. 4　 若，则. 5　 若，则. (4) 有时可由两个函数型不等式联立推出周期．如：由 得，∴ (5) 如果函数的周期为，则函数的周期为； (6) 若为周期函数，则复合函数也是周期函数； 3. 类周期函数 (1) 若为非零常数), 则． (2) 若为非零常数), 则． (3) 若为非零常数)， 则 (4) 若 则 或 (5) 类周期函数图像作法 我们往往知道其在（或）上的解析式，先作出函数在上的图像，并将此图像通过伸缩/平移变换得到，各个区间上的图像. 例： 考点2： 函数奇偶性的判断与应用 方法提炼 1. 判断函数奇偶性的三种方法 函数具有奇偶性的前提条件为定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数． （1）定义法 （2）图像法 （3）性质法 在的公共定义域内，有下列结论： 都为奇函数 为奇函数，为偶函数 为偶函数，为奇函数 都为偶函数 奇函数 _____ _____ 偶函数 奇函数 _____ _____ 偶函数 偶函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 偶函数 偶函数 复合函数的奇偶性原则：“内偶则偶，两奇为奇”. 2. 有关函数奇偶性的应用的求解 (1) 利用函数的奇偶性可求函数值或参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值. (2) 若定值，则，其中为奇函数，为常数. 【例2.1.】 若是奇函数，则 ， ． 【例2.2.】 若为偶函数，则（    ）． A． B．0 C． D．1 【例2.3.】 已知函数为定义在R上的奇函数，且当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【例2.4.】 已知函数，，则 ． 【例2.5.】 设是定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 考点3：奇偶性与单调性综合 方法提炼 (1) 奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．（简记：“奇同偶异”）. (2) 比较大小，利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，进而利用其单调性比较大小. (3) 解抽象函数不等式，先将不等式转化为或的形式，利用单调性把不等式的函数符号脱掉，得到具体的不等式(组). 【例3.1.】 已知函数，且满足，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例3.2.】 已知函数，则关于的不等式解集为（    ） A． B． C． D． 【例3.3.】 已知是上的奇函数，当时，，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例3.4.】 已知函数是定义在上的奇函数，且对任意的，都有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【例3.5.】 已知函数是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且.若对任意，都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例3.6.】 已知是定义在R上的奇函数，且，若对任意的，，均有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【例3.7.】 已知函数，则不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 【例3.8.】 已知函数，若对任意的，满足，则恒有（    ） A． B． C． D． 考点4：函数的周期性、对称性及应用 方法提炼 1. 定义法判断函数的周期 对于函数，如果能够找到一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就是函数的周期. 2. 有关函数对称性的结论 （1） 对于函数，若其图像关于直线对称(时，为偶函数)，则 1　 . 2　 . 3　 . （2） 对于函数，若其图像关于点中心对称，则 1　 . 2　 . 3　 . 3. 奇偶性、对称性、周期性之间的关系 (1) 对于定义在上的函数： 1　 若有两条对称轴，则是周期函数且是它的一个周期. 2　 若有两个对称中心，则是周期函数且是它的一个周期. 3　 若有一个对称中心和一条对称轴，则是周期函数且是它的一个周期. (2) 奇偶性与对称性的关系 1　 若为偶函数，即，则的对称轴为 . 2　 已知为奇函数，即，则的对称中心为 . (3) 奇偶性、对称性与周期的关系 1　 若函数是偶函数，且其图象关于直线对称，则的周期为. 2　 若函数是奇函数 ，且其图象关于直线对称， 则的周期为． 【例4.1.】 函数满足：，若，，则（    ） A．1 B． C．5 D． 【例4.2.】 设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【例4.3.】 已知曲线关于点中心对称，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【例4.4.】 若函数关于直线对称，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【例4.5.】 已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（    ） A． B． C． D． 【例4.6.】 已知函数，则 ． 【例4.7.】 （多选）已知函数的定义域为，且，曲线的图象关于直线对称．若时，，则（ ） A． B． C． D． 【例4.8.】 若定义在上的增函数满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【例4.9.】 已知函数，则不等式的解集为（    ）． A． B． C． D． 【例4.10.】 若函数的图象关于点对称，且，则（    ） A． B． C． D． 【例4.11.】 （多选）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【例4.12.】 已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，，则=（    ） A．4036 B．4040 C．4044 D．4048 考点5：抽象函数的性质 方法提炼 1. 给出抽象函数的运算性质，常从奇偶性（赋值法）、单调性（定义法）、或数值转化成函数值等方面入手研究。 2. 用定义法判断抽象函数的单调性，需注意： 1　 若给出的是“和型”抽象函数 ，判断符号时要变形为： 或. 2　 若给出的是“积型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或. 3. 常见的抽象函数模型： 1　 一次函数模型： 或. 2　 指数函数模型： 或. 3　 对数函数模型： 或. 4　 幂函数模型： 或. 5　 正切函数模型： 或. 6　 函数模型： . 【例5.1.】 已知函数的定义域为R，且，则（    ） A． B． C．0 D．1 【例5.2.】 （多选）已知函数的定义域为，且，若，则（    ） A． B． C．函数是偶函数 D．函数是减函数 【例5.3.】 （多选）已知函数对任意的都有，，且当时，，则下列结论正确的是（   ） A． B．在上单调递减 C．关于x的不等式的解集是 D． 【例5.4.】 函数的定义域为，对于，，，且当时，． (1)证明：为减函数； (2)若，求不等式的解集． 【例5.5.】 已知定义在的函数满足：①对，，；②当时，；③. (1)求，判断并证明的单调性； (2)若，使得，对成立，求实数的取值范围； (3)解关于的不等式. 【强化训练】 1. 已知函数在区间单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2. 已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 3. 函数在上单调递减，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4. 设是定义域为R的奇函数，且.若，则（    ） A． B． C． D． 5. 设是定义域为R的偶函数，且在上单调递增，若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6. 已知函数，其中是自然对数的底数.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7. 已知函数的定义域为，且，，，则（    ） A． B． C．0 D．1 8. 若函数的图象关于直线对称，则的值域为（   ） A． B． C． D． 9. 设函数，则使得成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10. 已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 11. （多选）设函数，则（    ） A．函数为奇函数 B． C．函数的值域为 D．函数在其定义域上为增函数 12. （多选）定义在的函数满足，且当时，，则（    ） A．是奇函数 B．在上单调递增 C． D． 13. 已知函数，若，则实数的取值范围为 ． 14. 已知函数，则不等式的解集为 ． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ §3.2 函数的基本性质：单调性、最值、奇偶性、周期性、对称性 目录 知识点一：函数的单调性与最值 2 考点1：函数函数的单调性的判断与应用 2  解函数不等式 3  利用单调性求参数 6  比较函数值的大小 9  利用单调性求解最值（值域） 12 知识点二：函数的奇偶性与周期性 15 考点2： 函数奇偶性的判断与应用 17 考点3：奇偶性与单调性综合 21 考点4：函数的周期性、对称性及应用 27 考点5：抽象函数的性质 36 【强化训练】 43 知识点一：函数的单调性与最值 1. 单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量 当时，都有，那么就称函数在区间上单调递增 当时，都有，那么就称函数在区间上单调递减 图象描述 自左向右看图象呈上升趋势 自左向右看图象呈下降趋势 · 如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫做的单调区间． 2. 函数的最值 前提 设函数 的定义域为，如果存在实数满足 条件 (1)，都有 ； (2)，使得. (1)，都有； (2)，使得. 结论 为最大值 为最小值 考点1：函数函数的单调性的判断与应用 方法提炼 确定函数单调性的四种方法： (1) 定义法 (2) 图象法 如果是以图象形式给出的，或者的图象易作出，则可由图象的上升或下䧏确定单调性，由图像确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图像不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”，不能用. (3) 性质法 1　 在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数，增函数-减函数=增函数，减函数-增函数=减函数. 2　 函数在公共定义域内与的单调性相反． 3　 复合函数的单调性：函数在函数的定义域上，如果与的单调性相同，那么单调递增；如果与的单调性相反，那么单调递减．（简记：“同增异减”） (4) 导数法:先求导，利用导数取值的正、负确定函数的单调区间. · 解函数不等式 方法提炼 运用函数单调性定义解不等式问题，解题步骤为： (1) 根据已知不等式构造的不等关系式； (2) 结合函数单调性的定义，将符号脱掉，转化为自变量间的大小关系； (3) 运算求解，应注意函数的定义域. 【例1.1.】 已知函数若对于任意，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于，函数在上为常数1， 在处连续，且在上为增函数， 因此等价于，对任意恒成立， 由①可知，，结合②可得， 而， 当时，即时，等号成立， 结合，可知在,上为增函数，可得， 所以，即实数的取值范围是． 故选：C． 【例1.2.】 已知函数，若，则实数t的取值范围是 ． 【答案】 【详解】已知，其中和均为单调递增函数，且定义域为， 所以在上单调递增，且， 可得，可得，解得， 故答案为：. 【例1.3.】 函数，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，，因为在上单调递增，此时单调递增， 当时，易知单调递增，且当时，， 则在上单调递增， 因为，则， 所以由得， 所以，解得. 故选：A. 【例1.4.】 设函数为与中较大的数，若存在使得成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以代表与两个函数中的较大者， 不妨假设 的函数图像如下图所示： 是二次函数，开口向上，对称轴为直线， ①当时， 在上是增函数， 需要即， 则存在使得成立， 故； ②当时， 在上是先减后增函数， 需要， 即， 解得或， 又， 故时无解； ③当时， 在上是减函数， 需要即， 则存在使得成立， 故. 综上所述，的取值范围为. 故选：B. · 利用单调性求参数 方法提炼 利用单调性求参数的取值(范围)，根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值. 【例1.5.】 若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】是由与复合而成， 在中，，，所以在上单调递减. 因为在上单调递减，且外层函数在上单调递减， 根据复合函数“同增异减”的原则，可知内层函数在上单调递增. 对于二次函数，其图象开口向上，对称轴为. 二次函数在对称轴右侧单调递增，要使在上单调递增， 则对称轴需满足，解得. 故选：A. 【例1.6.】 已知函数在上单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知，在上恒成立， 所以在上恒成立， 即在上恒成立. 又由基本不等式可得，当且仅当时，取得等号， 所以. 因为函数在上单调， 所以在上单调， 由复合函数单调性可知在上单调， 所以结合二次函数的性质可得：或，解得或. 综上所述，实数的取值范围为. 故选：A. 【例1.7.】 已知函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意有：当时，，所以， 所以，当时，，所以，所以， 又在上单调递减，所以，解得，所以， 故选：C. 【例1.8.】 已知函数在上单调递增，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，根据对数函数的性质可知：函数在上单调递增，符合题意； 当时，由换底公式可得， 因为函数在上单调递增，且函数在上单调递增，所以. 又，所以，，所以，所以，即，解得. 综上，a的取值范围为. 故选：A. · 比较函数值的大小 方法提炼 (1) 若题目条件中有具体的函数，则先判断已知函数的单调性，利用其单调性比较大小. (2) 若题目条件中无具体函数，则需根据数值的结构特征构造函数，再利用其单调性比较大小. 【例1.9.】 中国茶文化博大精深，茶水的口感与水的温度有关.一杯的热红茶置于的房间里，茶水的温度（单位：）与时间（单位：）的函数的图象如图所示.下列说法正确的是（    ）      A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【详解】因为，所以，    因为图象是上凹函数，所以，即故A正确； 由A知，使，则，即， 由，则，，故无法判断，的大小关系，故B错误； 由A知，使，可得，结合，可得， 由的单调递减可得，故，故C错误； 由A知，存在，使，可得， 故存在，使， 由函数的单调性可知时，， 当时，， 当时，， 当时，，故D错误. 故选：A. 【例1.10.】 已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，则开口向下，对称轴为， 因为，而， 所以，即 由二次函数性质知， 因为，而， 即，所以， 综上，， 又为增函数，故，即. 故选：A. 【例1.11.】 已知函数，若，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，， 所以， 当时，， 因为，所以在上单调递增， 所以， 故选：C. 【例1.12.】 已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令函数，求导得， 因此函数在上单调递增，则，， 所以. 故选：C · 利用单调性求解最值（值域） 【例1.13.】 已知函数，则在上的最大值为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【详解】，令，则， 则， 且，则 因，则，则， 又，则，即， 则在上单调递增， 则的最大值为. 故选：C 【例1.14.】 已知函数，则的最小值是 . 【答案】 【详解】当时，单调递减，所以. 当时，在区间上单调递减，在区间上单调增， 所以. 综上所述，的最小值是. 故答案为：. 【例1.15.】 已知定义在上的函数满足：，且，都有恒成立，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，原不等式可化为： ，代入， 化简可得：， 令，得到， 再令，可得：， 由对勾函数的单调性，可知在上单调递减， 所以当时，取得最小值， 所以的最大值为，也即的最大值为， 所以的最大值为， 故选：A 【例1.16.】 定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称函数是上的有界函数，其中称为函数在的上界． (1)判断函数在其定义域内是否属于有界函数； (2)若函数，且，则函数在区间上是否存在上界，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由； (3)若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数的取值范围． 【答案】(1)为有界函数 (2)存在， (3) 【详解】（1）令，则， 当时，函数的最大值为， 所以，即，所以为有界函数． （2）， ，在上递增， ，， ，所以， 存在上界的范围是． （3）由题意知，在上恒成立， ，， 因此在上恒成立， ， 设，由知， 设，则 ， 在上单调递减，在上单调递增， 在上的最大值为在上的最小值为， ．的取值范围． 知识点二：函数的奇偶性与周期性 1. 函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫作偶函数 关于轴对称 奇函数 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫作奇函数 关于原点对称 （1） 函数具有奇偶性的一个必不可少的条件是定义域关于原点对称； （2） 若奇函数在处有定义，则必有； （3） 偶函数必满足； （4） 既是奇函数又是偶函数，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集； （5） 若函数的定义域关于原点对称，则为偶函数，为奇函数，且. （6） 常见的奇函数与偶函数 1　 为偶函数； 2　 为奇函数； 2. 周期性 (1) 周期函数：如果函数是周期函数，那么能找到一个非零常数，使得对定义域内的任意值都成立，称为这个函数的周期． (2) 最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期．（若不特别说明，一般都是最小正周期） (3) 重要结论 对定义域内任一自变量的值： 1　 若，则. 2　 若，则. 3　 若，则. 4　 若，则. 5　 若，则. (4) 有时可由两个函数型不等式联立推出周期．如：由 得，∴ (5) 如果函数的周期为，则函数的周期为； (6) 若为周期函数，则复合函数也是周期函数； 3. 类周期函数 (1) 若为非零常数), 则． (2) 若为非零常数), 则． (3) 若为非零常数)， 则 (4) 若 则 或 (5) 类周期函数图像作法 我们往往知道其在（或）上的解析式，先作出函数在上的图像，并将此图像通过伸缩/平移变换得到，各个区间上的图像. 例： 考点2： 函数奇偶性的判断与应用 方法提炼 1. 判断函数奇偶性的三种方法 函数具有奇偶性的前提条件为定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数． （1）定义法 （2）图像法 （3）性质法 在的公共定义域内，有下列结论： 都为奇函数 为奇函数，为偶函数 为偶函数，为奇函数 都为偶函数 奇函数 _____ _____ 偶函数 奇函数 _____ _____ 偶函数 偶函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 偶函数 偶函数 复合函数的奇偶性原则：“内偶则偶，两奇为奇”. 2. 有关函数奇偶性的应用的求解 (1) 利用函数的奇偶性可求函数值或参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值. (2) 若定值，则，其中为奇函数，为常数. 【例2.1.】 若是奇函数，则 ， ． 【答案】 ； ． 【详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性 若，则的定义域为，不关于原点对称 若奇函数的有意义，则且 且， 函数为奇函数，定义域关于原点对称， ，解得， 由得，， ， 故答案为：；． [方法二]：函数的奇偶性求参 函数为奇函数 [方法三]： 因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称． 由可得，，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，．即，在定义域内满足，符合题意． 故答案为：；． 【例2.2.】 若为偶函数，则（    ）． A． B．0 C． D．1 【答案】B 【详解】因为 为偶函数，则 ，解得， 当时，，，解得或， 则其定义域为或，关于原点对称. ， 故此时为偶函数. 故选：B. 【例2.3.】 已知函数为定义在R上的奇函数，且当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，则，因为是奇函数， 所以. 故选：D 【例2.4.】 已知函数，，则 ． 【答案】 【详解】因为， ，且，则. 故答案为-2 【例2.5.】 设是定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得出，解出这个方程组可得出的值. 【详解】由于函数是奇函数，函数为偶函数， 所以，，即，化简得 ， 解得. 故选：A. 考点3：奇偶性与单调性综合 方法提炼 (1) 奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．（简记：“奇同偶异”）. (2) 比较大小，利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，进而利用其单调性比较大小. (3) 解抽象函数不等式，先将不等式转化为或的形式，利用单调性把不等式的函数符号脱掉，得到具体的不等式(组). 【例3.1.】 已知函数，且满足，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以为奇函数， 又因为， 所以为上的增函数. 因为，为奇函数， 所以， 又为上的增函数，所以， 即，解得或， 所以实数的取值范围为. 故选：C. 【例3.2.】 已知函数，则关于的不等式解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由函数知：，解得：或， 所以函数的定义域为：， 因为 ， 所以函数是偶函数， 因为当时， 令，则在上单调递增， 且在上单调递增， 所以在上单调递增， 因为在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以函数在上单调递减， 因为，所以，解得：或， 所以不等式解集为. 故选：C 【例3.3.】 已知是上的奇函数，当时，，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为是上的奇函数， 所以，解得． 易知当时， 因为在区间内单调递增，所以函数在区间内单调递减， 又为奇函数，所以在上单调递减．因为，， 所以不等式可化为，即， 则，又，所以，则， 由函数的单调性可知，解得或． 故选：A． 【例3.4.】 已知函数是定义在上的奇函数，且对任意的，都有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为对任意的，都有，此时，则， 所以在单调递减， 因为函数是定义在上的奇函数，所以在单调递减，， 所以当和时，；当和时，. 由，即， 所以或或或， 所以或或或无解， 所以原不等式解集为 故选：D 【例3.5.】 已知函数是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且.若对任意，都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，， 因为，所以，即有， 两式相加可得，. 因为，，所以， 设，所以在上单调递增， 所以或或，解得或或， 所以， 故选：C. 【例3.6.】 已知是定义在R上的奇函数，且，若对任意的，，均有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为对任意的，均有成立，不妨设， 则，所以， 令，则在上递增， 因为是定义在R上的奇函数，所以是定义在R上的奇函数， 所以在上递增， 不等式化为， 因为，所以，即，所以， 则，即：，所以， 或，即：，所以， 所以不等式的解集为， 故选：A． 【例3.7.】 已知函数，则不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】, 设，的定义域为R， ，所以为奇函数， 则， 又因为在R上均为减函数， 所以在R上为减函数， 由可得， 即，所以， 解得：或. 故选：D. 【例3.8.】 已知函数，若对任意的，满足，则恒有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，且的定义域为R，所以是偶函数， 当，令，则在上单调递增， 又在上单调递增，故在上单调递增， 由偶函数的对称性，在上单调递减， 当，由，则， 当，由，则， 当一正一负，不妨令，则， 显然与矛盾， 综上，. 故选：D 考点4：函数的周期性、对称性及应用 方法提炼 1. 定义法判断函数的周期 对于函数，如果能够找到一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就是函数的周期. 2. 有关函数对称性的结论 （1） 对于函数，若其图像关于直线对称(时，为偶函数)，则 1　 . 2　 . 3　 . （2） 对于函数，若其图像关于点中心对称，则 1　 . 2　 . 3　 . 3. 奇偶性、对称性、周期性之间的关系 (1) 对于定义在上的函数： 1　 若有两条对称轴，则是周期函数且是它的一个周期. 2　 若有两个对称中心，则是周期函数且是它的一个周期. 3　 若有一个对称中心和一条对称轴，则是周期函数且是它的一个周期. (2) 奇偶性与对称性的关系 1　 若为偶函数，即，则的对称轴为 . 2　 已知为奇函数，即，则的对称中心为 . (3) 奇偶性、对称性与周期的关系 1　 若函数是偶函数，且其图象关于直线对称，则的周期为. 2　 若函数是奇函数 ，且其图象关于直线对称， 则的周期为． 【例4.1.】 函数满足：，若，，则（    ） A．1 B． C．5 D． 【答案】D 【详解】由题意可得：， 用代替可得：， 两式相加得：. 所以，所以函数是以6为周期的周期函数. 所以. 又，所以. 所以. 所以. 故选：D 【例4.2.】 设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题知对一切成立， 于是. 故选：A 【例4.3.】 已知曲线关于点中心对称，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【详解】因为关于点中心对称， 所以， 所以，可得， 故选：C． 【例4.4.】 若函数关于直线对称，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【详解】由题意函数关于直线对称， 故，即， 即， 即, 故需满足且，即， 则， 故选：B 【例4.5.】 已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为的图像关于直线对称， 所以， 因为，所以，即， 因为，所以， 代入得，即， 所以， . 因为，所以，即，所以. 因为，所以，又因为， 联立得，， 所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R， 所以 因为，所以. 所以. 故选：D 【例4.6.】 已知函数，则 ． 【答案】2783 【详解】由知， 设，则， 对照系数，得，则，即， 则， 的图象关于点中心对称； 故． 即 ， 故答案为：2783 【例4.7.】 （多选）已知函数的定义域为，且，曲线的图象关于直线对称．若时，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】，即关于点对称，，又曲线的图象关于直线对称，所以也关于点对称，即结合可得，即，所以函数呈周期性变化， 又曲线的图象关于直线对称，时，，则时，，又， 时，则，， 又关于直线对称，时，， 根据题意可作出函数图像如下： 根据图像可知函数在两条斜率为1的直线之间，设下面一条直线方程为：与相切，，切点为， 此时切线方程为：，又因为，所以 ，故A正确； 通过对称可得，故B正确； 由，所以，故C错误； ，，故D正确； 故选：ABD. 【例4.8.】 若定义在上的增函数满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，即的图象关于点对称， 所以，而，即， 则，又在上为增函数， 故，即， ， 因在上单调递增，且， 由，可得， 即不等式的解集为. 故选：C. 【例4.9.】 已知函数，则不等式的解集为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由得函数的定义域为， 由于， 所以的图象关于直线对称， ， 当时，单调递增，所以， 又，所以，单调递增， 所以，解得. 故选：D． 【例4.10.】 若函数的图象关于点对称，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为的图象关于点对称， 所以函数为奇函数， 则，即，且为奇函数， 所以，得， 所以， 故选：A. 【例4.11.】 （多选）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究 对于，因为为偶函数，所以即①，所以，所以关于对称，则，故C正确； 对于，因为为偶函数，，，所以关于对称，由①求导，和，得，所以，所以关于对称，因为其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以，，故B正确，D错误； 若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误. 故选：BC. [方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法. 由方法一知周期为2，关于对称，故可设，则，显然A，D错误，选BC. 故选：BC. [方法三]： 因为，均为偶函数， 所以即，， 所以，，则，故C正确； 函数，的图象分别关于直线对称， 又，且函数可导， 所以， 所以，所以， 所以，，故B正确，D错误； 若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误. 故选：BC. 【例4.12.】 已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，，则=（    ） A．4036 B．4040 C．4044 D．4048 【答案】D 【详解】由题意得为奇函数，所以，即，所以函数关于点中心对称， 由为偶函数，所以可得为偶函数，则，所以函数关于直线对称， 所以，从而得，所以函数为周期为4的函数， 因为，所以，则， 因为关于直线对称，所以， 又因为关于点对称，所以， 又因为，又因为，所以， 所以，故D正确. 故选：D. 考点5：抽象函数的性质 方法提炼 1. 给出抽象函数的运算性质，常从奇偶性（赋值法）、单调性（定义法）、或数值转化成函数值等方面入手研究。 2. 用定义法判断抽象函数的单调性，需注意： 1　 若给出的是“和型”抽象函数 ，判断符号时要变形为： 或. 2　 若给出的是“积型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或. 3. 常见的抽象函数模型： 1　 一次函数模型： 或. 2　 指数函数模型： 或. 3　 对数函数模型： 或. 4　 幂函数模型： 或. 5　 正切函数模型： 或. 6　 函数模型： . 【例5.1.】 已知函数的定义域为R，且，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【详解】[方法一]：赋值加性质 因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以 一个周期内的．由于22除以6余4， 所以．故选：A． [方法二]：【最优解】构造特殊函数 由，联想到余弦函数和差化积公式 ，可设，则由方法一中知，解得，取， 所以，则 ，所以符合条件，因此的周期，，且，所以， 由于22除以6余4， 所以．故选：A． 【例5.2.】 （多选）已知函数的定义域为，且，若，则（    ） A． B． C．函数是偶函数 D．函数是减函数 【答案】ABD 【详解】令、，则有， 又，故，即， 令、，则有， 即，由，可得， 又，故，故A正确； 令，则有， 即，故函数是奇函数， 有，即， 即函数是减函数， 令，有， 故B正确、C错误、D正确. 故选：ABD. 【例5.3.】 （多选）已知函数对任意的都有，，且当时，，则下列结论正确的是（   ） A． B．在上单调递减 C．关于x的不等式的解集是 D． 【答案】ACD 【详解】对于A，在中，， 取，可得，解得， 再取，可得， 再取，可得，故A正确； 对于B，由A项可知，，故B错误； 对于C， 不妨设，则， 设，则，因当时，，则有， 由可得，即函数在上是增函数. 取易得，则， 故等价于，故得，解得或， 故不等式的解集是，故C正确； 对于D，将都取为，则得， 故，故D正确. 故选：ACD. 【例5.4.】 函数的定义域为，对于，，，且当时，． (1)证明：为减函数； (2)若，求不等式的解集． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）设，且， 则，， 因为， 所以， 即为减函数. （2）因为， 所以， 令，则，即， 所以， 又因为在上单调递减， 所以，解得， 所以不等式的解集为. 【例5.5.】 已知定义在的函数满足：①对，，；②当时，；③. (1)求，判断并证明的单调性； (2)若，使得，对成立，求实数的取值范围； (3)解关于的不等式. 【答案】(1)，单调递减区间为，无单调递增区间； (2)； (3)时，解集为；时，解集为；时，解集为；时，解集为. 【详解】（1）令，得，解得：； 令，即， 则， 因为时，，所以时，， 所以在上的单调递减； 故单调递减区间为，无单调递增区间. （2）由（1）知，时，单调递减， 又，则时，； 因为，使得，对成立， 所以，则， 即对，成立； 设（）， 则对，恒成立， 即解得：或； 故实数的取值范围为. （3）令，得， 又知，即，所以； 因为，所以，； 不等式等价于， 即； 又因为，所以， 故，则； 因为在上单调递减，所以， 即， ①时，，解得或； ②时，，解得或； ③时，解得； ④时，，解得； 综上所述： 不等式的解集为： 时，解集为； 时，解集为； 时，解集为； 时，解集为. 【强化训练】 1. 已知函数在区间单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，，其在上单调递增， 若在单调递增，，所以. 故选：D． 2. 已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【详解】因为为偶函数，则， 又因为不恒为0，可得，即， 则，即，解得. 故选：D. 3. 函数在上单调递减，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得及，解得， 所以，故在上单调递增， 所以，，综上可得， 故选：B. 4. 设是定义域为R的奇函数，且.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得：， 而， 故. 故选：C. 5. 设是定义域为R的偶函数，且在上单调递增，若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意是定义域为R的偶函数， ， ， ， ， ， ， ， 由于在上单调递增，所以. 故选：D 6. 已知函数，其中是自然对数的底数.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 在上单调递增. 令，在上单调递增， 因为，所以为奇函数， 则化为 所以，解得， . 故选：C 7. 已知函数的定义域为，且，，，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【详解】由题意知函数的定义域为，且，， 令，则，即，故为偶函数； 又，令，则， 又由，得， 即的图象关于点成中心对称，则； ，即，又结合为偶函数， 则，故，即4为的周期， 故， 故 ， 故选：C 8. 若函数的图象关于直线对称，则的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，，其图象关于直线对称， 则， 所以，所以，解得， 所以，此时，满足题意； 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以， 故选：B． 9. 设函数，则使得成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 即函数关于对称， 当时，单调递增， 所以函数在上单调递减，在单调递增， 因为，所以，解得， 即的取值范围是， 故选：B. 10. 已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】构造函数，其中，则， 故函数为偶函数， 当、且时，都有成立， 不妨设，则，即， 故函数在上为增函数，即该函数在上为减函数， 因为，则， 当时，由得，即，解得； 当时，由得，即，解得. 综上所述，不等式的解集为. 故选：B. 11. （多选）设函数，则（    ） A．函数为奇函数 B． C．函数的值域为 D．函数在其定义域上为增函数 【答案】ABC 【详解】， 令，此函数定义域为， ，故此函数为奇函数，A正确； ； ，B正确； ，令，则， 因为所以由二次函数性质可知，由反比例函数性质可知 所以，即， 所以函数的值域为，C正确； ，令， ， 由二次函数单调性可知：当时随的增大而增大，且 由反比例函数单调性可知： 随的增大而减小， 故当当时即时为减函数，故D错误. 故选：ABC 12. （多选）定义在的函数满足，且当时，，则（    ） A．是奇函数 B．在上单调递增 C． D． 【答案】ABC 【详解】对于A，令，可得，再令，可得，且函数定义域为，所以函数为奇函数，故A正确； 对B，令，则，，可得，所以， 由函数性质可得，即，所以在上单调递增，故B正确； 对于C，令，可得，所以，即，故C正确； 对D，因为函数为增函数，所以，由C可知，故D错误. 故选：ABC 13. 已知函数，若，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由题设，定义域为， ，即为偶函数， 在上，令，且， 则， 由，故，即函数在上递增， 而在定义域上递增，故在上递增， 所以，可得， 故，可得. 故答案为： 14. 已知函数，则不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】设函数，则，，， 所以， 化简得． 因为的定义域为，关于原点对称， 且， ， 所以为奇函数， 当时，函数单调递增，又函数在其定义域上单调递增，所以单调递增，又函数单调递增，故函数单调递增，又为奇函数， 所以在上单调递增， 故，得， 解得:，即原不等式的解集为． 故答案为：. 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