精品解析：四川省宜宾市2024-2025学年八年级下学期义务教育质量监测数学试卷

2024-2025学年下期学校义务教育质量监测 八年级数学 （考试时间：120分钟，满分150分） 注意事项： 1．答题前，考生在答题卷上务必将自己的学校、姓名、考号填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的考号、姓名和科目． 2．解答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．解答填空题、解答题时，请在答题卷上各题的答题区域内作答． 一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．（注意：在试题卷上作答无效） 1. 已知空气的单位体积质量是，把0.001239这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中，是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 3. 为了解美食节同学们最喜欢的菜肴，最应该关注的统计量是（ ） A. 众数 B. 中位数 C. 平均数 D. 方差 4. 某一次函数的图像与x轴交于负半轴，则这个函数表达式可能是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在正方形的外侧，作等边三角形，连接，则的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法错误的是（ ） A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直的平行四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的矩形是正方形 D. 三个角是直角的四边形是矩形 7. 已知点，，均在反比例函数的图像上，则，，从小到大的顺序为（ ） A. B. C. D. 8. 如果将分式中的x，y均扩大2倍，那么分式的值会（ ） A 扩大2倍 B. 不变 C. 缩小2倍 D. 缩小4倍 9. 如图，一次函数（a，b为常数，且）和（c，d为常数，且）的图象如图所示，则关于x，y的二元一次方程组的解为（ ） A. B. C. D. 10. 小李和小陆从A地出发，骑自行车沿同一条路行驶到B地，他们离出发地的距离S（单位：）和行驶时间t（单位：）之间的函数关系的图象如图所示，根据图中的信息，有下列说法错误的是（ ） A. 他们都行驶了 B. 小李和小陆相遇后，小李的速度为 C. 小陆全程共用了 D. 小陆速度为 11. 如图，四边形是正方形，点在边上，且，作分别交，于点，；，分别是，的中点，则的值为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在直角坐标系中，正方形的顶点O与原点重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，反比例函数的图象与正方形的两边分别交于点E，F，轴，垂足为D，连接与相交于点G．下列结论：①；②四边形与面积相等；③若，；④若，，则直线的函数解析式为．其中正确的个数为（ ） A 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请把答案直接填在答题卡对应题目中的横线上．（注意：在试题卷上作答无效） 13. 若在实数范围内有意义，则实数取值范围是_____． 14. 小张面试时的基本知识、表达能力、工作态度的得分分别是，，，若依次按，，的比例确定成绩，则小张的平均成绩为______． 15. 直线与轴交于点，则点的坐标为_______． 16. 关于的分式方程有整数解，且关于的一次函数的图象不经过第三象限，则满足条件的整数的和为_____． 17. 如图，在平面直角坐标系中，C是反比例函数图象上一点，B是轴正半轴上一点，以为邻边作平行四边形，若点A及的中点E都在反比例函数图象上，则k的值为________． 18. 如图，在平行四边形中，，，点E是射线上一点，连接，以为腰作等腰直角三角形，，连接，则的最小值是________． 三、解答题：本大题共7个小题，共78分．解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤．（注意：在试题卷上作答无效） 19. 计算： （1） （2） 20. 先化简，再求值：，其中，． 21. 如图，在中，是它的一条对角线，，，连接，． （1）求证：； （2）若，，，求的面积． 22. 2025年初，一款名为的软件爆火，出现了很多“王炸组合”，如：一键生成；+豆包一键生成文案等，为人们提供了很多便利，让工作和生活都变得更加轻松．某班同学调查了所在学校的学生对甲，乙两款软件的使用满意度，并分别随机抽取份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级：不满意A：；良好B：；满意C：；非常满意D：），下面给出了部分信息． 甲款评分数据中C组包含的所有数据为：； 乙款评分数据中C组包含的所有数据为：． 甲、乙两款AI软件满意度评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 甲款 85 88 乙款 85 86 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中_____，_____，_____，并将条形统计图补充完整； （2）根据以上数据分析，你认为哪款AI软件更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）： （3）在此次调查中，该学校有800人对甲款软件进行评分、1200人对乙款软件进行评分．请通过计算，估计其中对所调查的软件“非常满意”的用户人数共有多少？ 23. 如图，在矩形中，，，点E为线段的中点，动点P以每秒1个单位长度的速度从点C出发，沿着运动，连接、，设点P的运动时间为x，的面积为． （1）请直接写出关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质； （3）已知与有且只有1个交点，请结合函数图象，直接写出b的取值范围． 24. 如图，在矩形中，点E为直线上一动点，连接，作等腰直角三角形AEF，使，，连接． （1）如图1，连接．若，，，求面积； （2）如图2，若点E为线段的中点，试探究线段之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，若，．请思考是否存在最小值，若存在，请直接写出的最小值，若不存在，请说明理由． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于点A和点B，点A的坐标为，点B的横坐标为5，一次函数与x轴交于点C． （1）求a，b，k的值； （2）如图1，点D是第二象限内反比例函数上一动点，连接．当时，求点D的坐标； （3）如图2，在（2）问的条件下，点E，F均为x轴上的动点，且点E在点F的左侧，．求的最小值； （4）如图3，点G是x轴上一点，点H是平面内一点，在（2）问的条件下，是否存在以点G，C，D，H为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年下期学校义务教育质量监测 八年级数学 （考试时间：120分钟，满分150分） 注意事项： 1．答题前，考生在答题卷上务必将自己的学校、姓名、考号填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的考号、姓名和科目． 2．解答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．解答填空题、解答题时，请在答题卷上各题的答题区域内作答． 一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．（注意：在试题卷上作答无效） 1. 已知空气的单位体积质量是，把0.001239这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选：B． 2. 下列各式中，是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最简分式定义． 判断分式是否为最简分式，需检查分子与分母是否存在公因式，若无，则为最简分式，逐一判断即可． 【详解】解：A：分子为，无法因式分解，分母为，分子与分母无公因式，故为最简分式； B：分子为，分母为，分子与分母有公因式，可化简为，不是最简分式； C：分子为，分母为，系数12与15有公因数3，可化简为，不是最简分式； D：分子为，分母为，分子与分母有公因式，可化简为，不是最简分式； 故选：A． 3. 为了解美食节同学们最喜欢的菜肴，最应该关注的统计量是（ ） A. 众数 B. 中位数 C. 平均数 D. 方差 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中位数、众数以及平均数的意义分别根据平均数、中位数、众数、方差的意义判断即可． 【详解】解：要了解同学们最喜爱的菜肴， 就是了解哪个菜肴喜欢的人数最多，即为众数， 故选A． 4. 某一次函数的图像与x轴交于负半轴，则这个函数表达式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出每个函数与x轴的交点，即可得出结论． 【详解】解：A.与x轴的交点为（0，0），故本选项错误； B. y=x-1与x轴的交点为（1，0），故本选项错误； C.与x轴的交点为（1，0），故本选项错误； D. y=x+1与x轴的交点为（－1，0），故本选项正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题．掌握求一次函数与x轴的交点坐标的方法是解答本题的关键． 5. 如图，在正方形的外侧，作等边三角形，连接，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，由正方形性质得，，由是等边三角形性质得，，进而得，则，再根据三角形内角和定理求出，继而根据即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 6. 下列说法错误的是（ ） A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直的平行四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的矩形是正方形 D. 三个角是直角的四边形是矩形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法，由对角线互相平分的四边形是平行四边形，可判断A不符合题意；由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，但不一定是矩形，可判断B符合题意；由对角线互相垂直的矩形同时又是菱形，可知对角线互相垂直的矩形是正方形，可判断C不符合题意；由矩形的判定定理可知，有三个角是直角的四边形是矩形，可判断D不符合题意，于是得到问题的答案． 【详解】解：A．由平行四边形的判定定理可知，对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A不符合题意； B．由菱形的判定定理可知，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，但不一定是矩形，故B符合题意； C．∵对角线互相垂直的矩形同时又是菱形，∴对角线互相垂直的矩形是正方形，故C不符合题意； D．由矩形的判定定理可知，有三个角是直角的四边形是矩形，故D不符合题意， 故选：B． 7. 已知点，，均在反比例函数的图像上，则，，从小到大的顺序为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握反比例函数，当时，反比例函数图象位于第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小，当时，反比例函数图象位于第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．据此即可解答． 【详解】解：∵反比例函数，， ∴该反比例函数图象位于第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大， ∵在第二象限，在第四象限，且， ∴， 故选：D． 8. 如果将分式中的x，y均扩大2倍，那么分式的值会（ ） A. 扩大2倍 B. 不变 C. 缩小2倍 D. 缩小4倍 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质．熟知分式的基本性质是正确解答此题的关键. 将分式中的x，y均扩大2倍后，通过代入并化简，比较新分式与原分式的值的变化． 【详解】解：当和均扩大2倍时，代入和，得到新分式： 原分式可化简为： 新分式是原分式的，即分式的值缩小了2倍． 故选C． 9. 如图，一次函数（a，b为常数，且）和（c，d为常数，且）的图象如图所示，则关于x，y的二元一次方程组的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了两直线的交点与二元一次方程组的解的关系，熟练掌握两个一次函数的交点坐标即为两个函数所组方程组的解是解题的关键． 观察图象可得两直线交于点，即可求解． 【详解】解：观察图象得：两直线交于点， ∴关于x，y的二元一次方程组的解为． 故选：A 10. 小李和小陆从A地出发，骑自行车沿同一条路行驶到B地，他们离出发地的距离S（单位：）和行驶时间t（单位：）之间的函数关系的图象如图所示，根据图中的信息，有下列说法错误的是（ ） A. 他们都行驶了 B. 小李和小陆相遇后，小李的速度为 C. 小陆全程共用了 D. 小陆的速度为 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息．观察图象获取信息即可求解． 【详解】解：观察图象得：他们都行驶了，故A选项正确，不符合题意； 小陆全程共用了，故C选项正确，不符合题意； 小陆的速度为，故D选项错误，符合题意； 两人相遇时行驶的路程为， 所以小李和小陆相遇后，小李的速度为，故B选项正确，不符合题意； 故选：D． 11. 如图，四边形是正方形，点在边上，且，作分别交，于点，；，分别是，的中点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，则，，连接．证明，则是直角三角形，利用是斜边上的中线，可得，利用勾股定理求出的长即可得，再由勾股定理求出即可得出结论． 【详解】解：设，则，， 连接．如图所示， ∵四边形是边长为的正方形． ∴，且平分． ∴． ∵． ∴． ∴是等腰直角三角形． 四边形，是矩形， ∴，，， ∴， ∴； 在中， ∵P为中点． ∴． ∴是直角三角形． ∵点H为的中点， 四边形是矩形， ∴过点H．且点H为的中点． 在中，． ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，直角三角形的性质等，添加辅助线构造直角三角形，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质是解题的关键． 12. 如图，在直角坐标系中，正方形的顶点O与原点重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，反比例函数的图象与正方形的两边分别交于点E，F，轴，垂足为D，连接与相交于点G．下列结论：①；②四边形与面积相等；③若，；④若，，则直线的函数解析式为．其中正确的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与正方形的综合运用，解题的关键在于利用函数与正方形的相关知识逐一判断正误． ①通过证明全等判断，③根据全等三角形的性质及正方形得出，，确定，求出k值即可判断；②通过判断，④作于点M通过直角三角形求出E、F坐标从而求得直线解析式． 【详解】解：∵点E、F都在反比例函数的图像上， ∴，即 ， ∵四边形是正方形， ∴， ∴ ∴， ∴，①正确； ∵ ∴，， ∵正方形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象与正方形的两边分别交于点E，F， ∴，③错误； ∵， ∴ ， ∴，②正确； 作于点M，如图 ∵，， ∴为等边三角形，，， 在正方形中， ， ∴ ，即为等腰直角三角形， ∴， 设正方形的边长为，则， 在中， ， 即，解得 ∴ ， ∴ 设直线的解析式为，过点 则有 解得 故直线的解析式为；④正确； 故正确序号为①②④， 故选B． 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请把答案直接填在答题卡对应题目中的横线上．（注意：在试题卷上作答无效） 13. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式有意义的条件—被开方数大于等于零．根据二次根式有意义的条件—被开方数大于等于零，列出不等式即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 14. 小张面试时的基本知识、表达能力、工作态度的得分分别是，，，若依次按，，的比例确定成绩，则小张的平均成绩为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了加权平均数，根据加权平均数的定义列式计算即可，掌握加权平均数的定义是解题的关键． 【详解】解：小张的平均成绩为， 故答案为：． 15. 直线与轴交于点，则点的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求一次函数与坐标轴的交点坐标，解题关键是熟练掌握“轴上的点纵坐标为0，轴上的点横坐标为0”． 由与轴交于点，直接令即可求解． 【详解】解：∵直线与轴交于点， ∴令，得， 解得， ∴． 故答案为：． 16. 关于的分式方程有整数解，且关于的一次函数的图象不经过第三象限，则满足条件的整数的和为_____． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质、分式方程的解，解题的关键是求出的整数值．先解关于的分式方程求出a为偶数且，再根据关于的一次函数图象所经过的象限得到关于a的不等式组，求出解集，进而得出满足条件的整数的值，求和即可． 【详解】解：∵ ∴， 得， 关于的分式方程有整数解， a为偶数，且， a为偶数且， 关于的一次函数的图象不经过第三象限， ， 解得， 满足条件的整数的值为2或6或8， 满足条件的整数的和为， 故答案为：16． 17. 如图，在平面直角坐标系中，C是反比例函数图象上一点，B是轴正半轴上一点，以为邻边作平行四边形，若点A及的中点E都在反比例函数图象上，则k的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、反比例函数的性质、中点坐标公式等知识点，利用平行四边形的对角线互相平分求得A点的坐标是解题的关键． 设点C坐标为，点，根据中点坐标公式以及E点在反比例函数上，求得E的坐标，进而求得B的坐标，根据平行四边形的性质对角线互相平分以及中点坐标公式列出方程组求得k的值即可． 【详解】解：设点C坐标为，点，即， ∵点E是的中点， ∴点E的横坐标为， ∴点E坐标为， ∴点B的坐标为， ∵四边形是平行四边形， ∴与互相平分， ∴，解得：． 故答案为：． 18. 如图，在平行四边形中，，，点E是射线上一点，连接，以为腰作等腰直角三角形，，连接，则的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定及性质、全等三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 如图：过点B作，取，连接，易证可得，则当取最小值时，也取最小值；如图：过点G作交延长线于点M，过点C作于点H，即为的最小值．根据平行四边形的性质、含30度直角三角形的性质、勾股定理可得、、、，再证明四边形是矩形可得，最后根据线段的和差可得即可解答． 【详解】解：如图：过点B作，取，连接， ∵为等腰三角形，且， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴当取最小值时，也取最小值． ∵点E是射线上一点， ∴最小值为点G到射线距离， 如图：过点G作交延长线于点M，过点C作于点H，即为的最小值． ∵，四边形为平行四边形，， ∴，， ∴，， 又∵， ∴，， ∴，， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． ∴最小值为． 故答案为：． 三、解答题：本大题共7个小题，共78分．解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤．（注意：在试题卷上作答无效） 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1）3 （2）无解 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、零次幂、负整数次幂、解分式方程等知识点，灵活运用相关运算法则和运算方法成为解题的关键． （1）先根据有理数乘方、零次幂、负整数次幂、立方根化简，然后再计算即可； （2）先通过去分母将分式方程化成整式方程求解，然后再检验即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： 两边同时乘以得： ， ， ， ， 检验，当时，， ∴原分式方程无解． 20. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查分式化简，解题关键是熟练掌握乘法公式和几种因式分解法，含负号的多项式可以先添加括号再整体处理． 根据混合运算法则，括号中的式子“”需要先通分，后续再合并同类型及因式分解，最后约分化简即可． 【详解】解：原式 ， ∵，， ∴原式． 21. 如图，在中，是它的一条对角线，，，连接，． （1）求证：； （2）若，，，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质． （1）先证明四边形为平行四边形，进而证明，由，证明四边形是平行四边形，可证； （2）由勾股定理得：，根据等腰三角形的判定与性质得到，即可求出的面积． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴ ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴四边形是平行四边形． ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得， 又∵，， ∴在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∴． 22. 2025年初，一款名为的软件爆火，出现了很多“王炸组合”，如：一键生成；+豆包一键生成文案等，为人们提供了很多便利，让工作和生活都变得更加轻松．某班同学调查了所在学校的学生对甲，乙两款软件的使用满意度，并分别随机抽取份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级：不满意A：；良好B：；满意C：；非常满意D：），下面给出了部分信息． 甲款评分数据中C组包含的所有数据为：； 乙款评分数据中C组包含的所有数据为：． 甲、乙两款AI软件满意度评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 甲款 85 88 乙款 85 86 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中_____，_____，_____，并将条形统计图补充完整； （2）根据以上数据分析，你认为哪款AI软件更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）： （3）在此次调查中，该学校有800人对甲款软件进行评分、1200人对乙款软件进行评分．请通过计算，估计其中对所调查的软件“非常满意”的用户人数共有多少？ 【答案】（1），见解析 （2）见解析 （3）440 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图，中位数，众数，用样本估计总体，灵活掌握数据分析是关键． （1）根据中位数的定义可 求出a，根据众数的定义可求出b，用C组人数除以样本容量可求出m，求出D的人数补全条形统计图； （2）从中位数、众数任选一个特征量分析即可； （3）根据用样本估计总体的思想求解即可． 【小问1详解】 ∵甲款评分数据排在第10和第11位的数分别是87和88， ∴分． ∵乙款A和|D组人数均为：，C组人数为：10，B组人数为：， ∴乙款评分数据出现次数最多的是87，出现了6次， ∴． ∵， ∴． 甲款D组人数：， 如图， 故答案为：，87，10； 【小问2详解】 我认为甲款AI软件更受用户喜欢，因为甲款AI软件评分的众数88大于乙款，AI软件评分的众数87，所以甲款AI软件更受用户喜欢； 【小问3详解】 估计对所调查的软件非常满意的用户人数共有440． 23. 如图，在矩形中，，，点E为线段的中点，动点P以每秒1个单位长度的速度从点C出发，沿着运动，连接、，设点P的运动时间为x，的面积为． （1）请直接写出关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质； （3）已知与有且只有1个交点，请结合函数图象，直接写出b的取值范围． 【答案】（1） （2）图象见解析；当时，y随x增大而减小；当时，y随x增大而增大 （3） 【解析】 【分析】本题为一次函数综合题目，考查了矩形的性质，三角形的面积，一次函数的图象和性质，动点问题，解决本题的关键是掌握一次函数的性质． （1）分两种情况：当点P在边上运动时，当点P在边上运动时，分别表示的面积即可； （2）结合（1）画出函数的图象，进而写出该函数的性质即可； （3）分别联立，和，，求出交点坐标，结合（2）的函数图象，即可写出满足的x的取值范围． 【小问1详解】 解：在矩形中，，，点为线段的中点，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，  (秒)，． 时，点B和点P重合，不能构成三角形． ∴当点P在边上运动时，． ，． ∴的面积为； 当点P在边上运动时， (秒)， 点为线段的中点， ． 由题意可知， ∴的面积为； 综上所述，y关于x的函数表达式为 ． 【小问2详解】 解：画出函数的图象，如图 由图可知，性质：当时，随增大而减小；当时，随增大而增大； 【小问3详解】 解：将代入，得， 将代入，得， b的取值范围是． 24. 如图，在矩形中，点E为直线上一动点，连接，作等腰直角三角形AEF，使，，连接． （1）如图1，连接．若，，，求的面积； （2）如图2，若点E为线段的中点，试探究线段之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，若，．请思考是否存在最小值，若存在，请直接写出的最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2），见解析 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质，求出的长，进而求出的长，作，同理求出的长，线段的和差求出的长，再利用面积公式进行求解即可． （2）过点作于点，作于点，易证：，得，，再证明四边形是矩形，进而证明为等腰直角三角形，即可证得； （3）在的延长线上截取，连接，在上截取，连接，设，，，先证，得，得出点轨迹为过中点，与夹角为的直线上，作点关于的对称点，当取最小值时，，，三点共线，由勾股定理可得，最小值为． 【小问1详解】 解：∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 作，则：，， ∴， ∴； 【小问2详解】 ，理由如下： 如图所示，过点作于点，作于点． ，， ， ，， ，， ， ， ，． 点为线段的中点， ． ， 四边形是矩形， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ； 【小问3详解】 如图所示，在的延长线上截取，连接，在上截取，连接，设，，， ，，， ，，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 点轨迹为如图过中点，与夹角为的直线上， 如图所示，作点关于的对称点， ， 当取最小值时，，，三点共线，最小值为， 延长交直线于点，连接， ， ， ， ， ，， 由勾股定理可得，最小值． 【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角性质的性质，全等三角形的判定和性质，利用轴对称解决线段和最小问题，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，构造特殊图形和全等三角形，是解题的关键． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于点A和点B，点A的坐标为，点B的横坐标为5，一次函数与x轴交于点C． （1）求a，b，k的值； （2）如图1，点D是第二象限内反比例函数上一动点，连接．当时，求点D的坐标； （3）如图2，在（2）问的条件下，点E，F均为x轴上的动点，且点E在点F的左侧，．求的最小值； （4）如图3，点G是x轴上一点，点H是平面内一点，在（2）问的条件下，是否存在以点G，C，D，H为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），， （2） （3） （4）存在，或或或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出反比例函数解析式，以及一次函数解析式，即可得到a，b，k的值； （2）根据（1）中一次函数解析式求出点C的坐标，进而得到，再设点D的坐标为，根据建立等式求解，即可解题； （3）将点D向右平移一个单位，得到，连接，，证得四边形为平行四边形，，进而得到，根据为定长，要的值最小，即的值最小，又当三点共线时，的值最小，再结合勾股定理求解，即可解题； （4）根据以点G，C，D，H为顶点的四边形是菱形，分情况①当为边时；②当为边，为对角线时；连接交于点，③当为边，为对角线时；结合菱形的性质和判定，以及勾股定理进行求解，即可解题． 【小问1详解】 解：一次函数与反比例函数交于点A和点B，点A的坐标为， ，即， 点B的横坐标为5， ，即点B的坐标为， ， 解得， 综上，，，； 【小问2详解】 解：由（1）知，一次函数为， 当时，，解得， 点C坐标为，即， 点A的坐标为，点B的坐标为， ， 点D是第二象限内反比例函数上一动点， 设点D的坐标为， ， ， 解得， 点D的坐标为； 【小问3详解】 解：将点D向右平移一个单位，得到，连接，， ， ，且， 四边形为平行四边形， ， ， 为定长，要的值最小，即的值最小， 当三点共线时，的最小值为， 的最小值为； 【小问4详解】 解：存在以点G，C，D，H为顶点的四边形是菱形， 点D的坐标为，点C的坐标为， ， ①当为边时； 以点G，C，D，H为顶点的四边形是菱形， ，， 或， ②当为边，为对角线时；连接交于点， 以点G，C，D，H为顶点的四边形是菱形， ， ； ③当边，为对角线时； 以点G，C，D，H为顶点四边形是菱形， ， 设， ，， ，解得， ， ； 综上所述，或或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，以及一次函数解析式，一次函数与反比例函数几何综合，线段和最值，平行四边形性质和判定，菱形性质和判定，勾股定理，解题的关键在于利用分类讨论的思想方法解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$