精品解析：2025年安徽省黄山市中考数学模拟试卷

2025年安徽省黄山市中考数学模拟试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列关系正确的是( ) A. B. C. D. 2. 根据国际能源署年全球可再生能源展望报告，预计年全球太阳能发电总装机容量将达到千瓦下列用科学记数法表示该数据正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中，卯的俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，数轴上公共部分表示的是某个关于的一元一次不等式组的解集，那么这个不等式组可以是（ ） A. B. C. D. 6. 在同一平面直角坐标系中，一次函数（a，b为常数，且）的图象与二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在边长为的正方形中，点是边上的中点，连接，在对角线上任取点，连接、，当时，则的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 全家观影已成为过年新民俗．据悉2025年春节档共有四部重磅影片上映，分别是《射雕英雄传：侠之大者》《封神第二部：战火西岐》《哪吒之魔童闹海》《熊出没：重启未来》．若小明从这四部影片中随机选择两部影片观看，则这两部影片中有《哪吒之魔童闹海》的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 关于的一元二次方程的新定义：若关于的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”如与就是“同族二次方程”现有关于的一元二次方程：与是“同族二次方程”那么代数式能取的最小值是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，化妆镜由镜面和镜柱组成，其中镜面是以为直径的，镜柱为，高约的橡皮与镜子在同一水平上竖立，旋转镜面至，若A，B，C三点共线，，此时测得，此时A点到桌面的距离为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 计算： ______． 12. 如图，小明同学把一块等腰直角三角板的顶点放在半径为的圆形铁丝上，三角板的斜边及一条直角边分别与圆交于点、点，则图中的长为______． 13. 如图，在同一平面直角坐标系中，函数，和的图象相交于点，，，，其中点，则点的坐标是______． 14. 如图，中，，点在外，且，垂直平分交线段、于、，连接，若，则的度数为______． 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 先化简，再求值：，其中从，2，0，1中任意选取一个数． 16. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为， （1）画出关于轴对称的，写出的坐标； （2）求四边形的面积． 17. 【阅读材料】 对于任意实数x，都有． 当x分别取值1，2，3，4，…，n时，得到下列有一定规律的等式： 第1个等式 ； 第2个等式 ； 第3个等式 ； 第4个等式 ； …… 第n个等式 ； 把以上n个等式相加，并整理、化简， 得， 进一步化简，得． 【初步理解】 有一列数满足以下等式： ，…… （1）根据阅读材料、以上等式所包含的规律，解决问题： ①______； ②______；_____．（用含n的代数式表示） 【深化应用】 （2）结合阅读材料、等式，求的值． 18. 测量计算是日常生活中常见的问题，在现实生活中，往往当物体的高度不方便测量，此时我们可以借助所学的知识，利用直角三角形边角关系得到我们需要的数据．如图，建筑物的屋顶有一根旗杆，小雅站在距离楼底端C点26米处的D点，测得此时旗杆顶点A的仰角为，观测旗杆底部B点的仰角为．（点A、B、C在同一直线上，且点A、B、 C、D处于同一平面内）（参考数据：，） （1）求楼高； （2）求旗杆的高度．（结果精确到1米） 19. 学科实践 “科学减重，健康生活”，携手共建健康中国．国家卫生健康委员会提出“体重管理年”3年行动的号召、合理膳食、加强运动已成为人们对健康生活的共识．跳绳是常见的有氧减肥的方法．“博约”学习小组对跳绳运动的心率与时间关系展开了研究．（图1数据来自初三某班级男生平均值） 【初步思考】 通过运动心率与时间散点图，研究小组准备建立某种函数模型（函数拟合）加以研究： 甲：心率不会随时间的增加而不断增加，也不会明显下降，一次函数不太合理； 乙：运动一段时间后，心率应该趋于相对稳定； 丙：所以二次函数也不能很好地预测长时间运动后的心率情况； 丁：我们可以建立将反比例函数图像经过适当平移后的函数模型． 设拟合函数为： 【问题解决】 （1）如图，若选取，，进行拟合，经计算，请求出拟合函数表达式． （2）从健康角度考虑，中学生运动中的心率不宜超过200次/分钟，在（1）的条件下，请问：跳绳运动几分钟后就应该休息一下？ （3）①根据图像变换，（1）中图像可由的图像向左平移___________个单位，再向上平移___________个单位得到； ②点在（1）中图像上运动，且位于直线左侧，当点到直线距离最大时，达到最佳运动心率，请直接写出达到最佳运动心率的时间． 20. 如图，过外一点作的切线，切点为点，为的直径，点为上一点，且，连接，，线段交直径于点，交于点，连接． （1）求证：； （2）若，，求半径的长． 21. “华罗庚数学奖”是中国三大顶尖数学奖项之一，是为激励中国数学家在发展中国数学事业中做出突出贡献而设立的．小华对截止到第十六届“华罗庚数学奖”得主获奖时的年龄（单位：岁）数据进行了收集、整理和分析．下面是部分信息． a．“华罗庚数学奖”得主获奖时的年龄统计图（数据分成5组：）： b．“华罗庚数学奖”得主获奖时的年龄在这一组的是： c．“华罗庚数学奖”得主获奖时的年龄数据的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 71.2 m 根据以上信息，回答下列问题： （1）截止到第十六届共有_______人获得“华罗庚数学奖”； （2）补全“华罗庚数学奖”得主获奖年龄频数分布直方图； （3）第十六届“华罗庚数学奖”得主徐宗本院士获奖时的年龄为68岁，他的获奖年龄比一半以上“华罗庚数学奖”得主获奖年龄_______（填“小”或“大”），理由是_____________． 22. 如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，其中． （1）求该二次函数的顶点坐标； （2）若是二次函数图象上的一点，且点在第一象限，的面积是面积的一半，求点的坐标． 23. 友好图形的定义如下：两个完全重合放置的图形，固定一个顶点，将其中一个图形绕这个顶点旋转，这样的图形称为友好图形，下面我们来探究友好图形旋转的性质． 已知矩形，将矩形绕点C旋转到矩形，，． 【尝试发现】 （1）如图1，连接，在旋转过程中，探究______ 【类比探究】 （2）如图2，在矩形绕点C旋转的过程中，使落在矩形对角线上，矩形对角线与相交于点，交于K，延长交于点H，求的长． 【联系拓广】 （3）将友好矩形中的绕点C旋转到的过程中，当构成直角三角形时，求出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年安徽省黄山市中考数学模拟试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列关系正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，实数的运算，绝对值的几何意义，利用数轴上数的位置判断大小，然后分别进行判断即可． 观察数轴可知：，，，然后根据有理数的加法法则、乘法法则和乘方的意义判断各个选项的正确即可． 【详解】解：观察数轴可知：，，， ，，， 故A，B，D选项不符合题意，C选项符合题意， 故选：C． 2. 根据国际能源署年全球可再生能源展望报告，预计年全球太阳能发电总装机容量将达到千瓦下列用科学记数法表示该数据正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的形式为，其中，为整数，需将原数转换为符合此形式的表达式． 【详解】解：从左起第一个非零数字“3”开始，保留三位有效数字（3、8、5），得到，满足； 将原数的小数点从末尾向左移动9位至3.85的位置，故； ， 故选：D． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，积的乘方，负整数指数幂，同底数幂的除法，根据完全平方公式，积的乘方，负整数指数幂，同底数幂的除法运算法则分别计算判断即可． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，正确，故此选项符合题意； 故选：D． 4. 在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中，卯的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据俯视图的定义（从上面观察物体所得到的视图是俯视图）即可得． 【详解】解：卯的俯视图是 ， 故选：C． 【点睛】本题考查了俯视图，熟记俯视图的概念是解题关键． 5. 如图，数轴上公共部分表示的是某个关于的一元一次不等式组的解集，那么这个不等式组可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了在数轴上表示不等式组的解集，根据数轴表示的不等式解集求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由数轴知，这个不等式组可以为， 故选：． 6. 在同一平面直角坐标系中，一次函数（a，b为常数，且）的图象与二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象等知识点，灵活运用利用一次函数的性质和二次函数的性质是解题的关键． 根据各个选项中的图象，可以判断出一次函数中a、b的正负情况与二次函数中a、b的正负情况，然后逐项判断即可解答． 【详解】解：A、由二次函数图象可知：，由一次函数图象可知：，故选项A错误，不符合题意； B、由二次函数图象可知：，由一次函数图象可知：，故选项B正确，符合题意； C、由二次函数图象可知：，由一次函数图象可知：，故选项C错误，不符合题意； D、由二次函数图象可知：，由一次函数图象可知：，故选项D错误，不符合题意． 故选：B． 7. 如图，在边长为的正方形中，点是边上的中点，连接，在对角线上任取点，连接、，当时，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形．作，延长交于点，易得四边形为矩形，为等腰直角三角形，推出，证明，推出为等腰直角三角形，勾股定理求出的长，进而求出的长，设，在中，勾股定理求出的值，再利用三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：作，延长交于点， ∵正方形的边长为4， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴，即：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， 在中，， ∴， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：，即：， 解得：或（不合题意，舍去）， ∴， ∴的面积为； 故选C． 8. 全家观影已成为过年新民俗．据悉2025年春节档共有四部重磅影片上映，分别是《射雕英雄传：侠之大者》《封神第二部：战火西岐》《哪吒之魔童闹海》《熊出没：重启未来》．若小明从这四部影片中随机选择两部影片观看，则这两部影片中有《哪吒之魔童闹海》的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率，解答本题的关键是熟练掌握概率的求法． 根据题意列出所有情况，然后用符合题意的情况数除以所有等可能发生的情况数即可． 【详解】解：一共有6种情况发生： 1、《射雕英雄传：侠之大者》《封神第二部：战火西岐》 2、《射雕英雄传：侠之大者》《哪吒之魔童闹海》 3、《射雕英雄传：侠之大者》《熊出没：重启未来》 4、《封神第二部：战火西岐》《哪吒之魔童闹海》 5、《封神第二部：战火西岐》《熊出没：重启未来》 6、《哪吒之魔童闹海》《熊出没：重启未来》 期中有共有《哪吒之魔童闹海》的情况有3种，所以两部影片中有《哪吒之魔童闹海》的概率是． 故选：D． 9. 关于的一元二次方程的新定义：若关于的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”如与就是“同族二次方程”现有关于的一元二次方程：与是“同族二次方程”那么代数式能取的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法的应用以及一元二次方程的定义，利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可． 【详解】解：与是“同族二次方程”， ， ，解得：， ， 代数式取的最大值是， 故选：A． 10. 如图，化妆镜由镜面和镜柱组成，其中镜面是以为直径的，镜柱为，高约的橡皮与镜子在同一水平上竖立，旋转镜面至，若A，B，C三点共线，，此时测得，此时A点到桌面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，过作于，过作于，结合题意可得：四边形为矩形，，，求解，，，而，可得，从而可得答案． 【详解】解：如图，过作于，过作于， 结合题意可得：四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， 而， ∴， ∴， 故选：B 【点睛】本题考查的是圆的基本性质，勾股定理的应用，矩形的判定与性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 计算： ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方． 先计算零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方，再计算加减即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 如图，小明同学把一块等腰直角三角板的顶点放在半径为的圆形铁丝上，三角板的斜边及一条直角边分别与圆交于点、点，则图中的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，弧长公式，连接，根据圆周角定理得出，再利用弧长公式即可求解，掌握相关知识的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∴， ∴的长为， 故答案为：． 13. 如图，在同一平面直角坐标系中，函数，和的图象相交于点，，，，其中点，则点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，根据函数对称性即可得解． 【详解】解：如图， 函数，和组成的图象关于直线对称， 则点A和点B关于直线对称，再由点B和点D关于原点中心对称， 可得点D坐标为． 故答案为：． 14. 如图，中，，点在外，且，垂直平分交线段、于、，连接，若，则的度数为______． 【答案】##76度 【解析】 【分析】连接，根据含角的直角三角形的性质得出，根据线段垂直平分线的性质得出，，，根据等边对等角得出，根据证明，得出，进而求出，然后根据等边对等角和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解∶连接， ∵，， ∴，， ∵垂直平分， ∴，，， ∴， ∵，，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了含角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，正确添加辅助线是解题的关键． 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 先化简，再求值：，其中从，2，0，1中任意选取一个数． 【答案】，当时，原式= 【解析】 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， ∵不能取，2，0， ∴， ∴当时，原式． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则． 16. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为， （1）画出关于轴对称的，写出的坐标； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） 如图所示，即为所求， （2）8 【解析】 【分析】本题主要考查作图一轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点． （1）分别作出三个顶点关于x轴的对称点，再首尾顺次连接即可得出答案； （2）用长方形的面积减去2个三角形的面积计算即可． 【小问1详解】 解：，关于轴对称的点分别为，描出这三个点，再顺次连接，如图所示，即为所求， 【小问2详解】 解：如下图所示， ． 17. 【阅读材料】 对于任意实数x，都有． 当x分别取值1，2，3，4，…，n时，得到下列有一定规律的等式： 第1个等式 ； 第2个等式 ； 第3个等式 ； 第4个等式 ； …… 第n个等式 ； 把以上n个等式相加，并整理、化简， 得， 进一步化简，得． 【初步理解】 有一列数满足以下等式： ，…… （1）根据阅读材料、以上等式所包含的规律，解决问题： ①______； ②______；_____．（用含n的代数式表示） 【深化应用】 （2）结合阅读材料、等式，求的值． 【答案】（1）①（或16）；②，；（2） 【解析】 【分析】本题考查的是有理数的运算规律的探究，整式的乘法运算的规律探究； （1）①根据满足的表达式的规律表示，再列式计算即可；②把满足的表达式相加，再整理即可； （2）由可得，再整理即可得到答案． 【详解】解：（1）①有一列数满足以下等式： ， ∴， ②由①归纳可得：； ∵， ， 把所有的等式相加可得： ； （2）∵， ∴， ， ， ， ∴， 整理得：， ∴， ∴． 18. 测量计算是日常生活中常见的问题，在现实生活中，往往当物体的高度不方便测量，此时我们可以借助所学的知识，利用直角三角形边角关系得到我们需要的数据．如图，建筑物的屋顶有一根旗杆，小雅站在距离楼底端C点26米处的D点，测得此时旗杆顶点A的仰角为，观测旗杆底部B点的仰角为．（点A、B、C在同一直线上，且点A、B、 C、D处于同一平面内）（参考数据：，） （1）求楼高； （2）求旗杆的高度．（结果精确到1米） 【答案】（1）建筑物的高度为 26米 （2）旗杆的高度为5米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是设出未知数，根据的正切值列出方程求解． （1）在中，根据，即可求解． （2）在中，根据，即可求解． 【小问1详解】 解：依题意， 在中，， 答：建筑物的高度为 26米． 【小问2详解】 解：在中，， ， ， 米， 答：旗杆的高度为5米． 19. 学科实践 “科学减重，健康生活”，携手共建健康中国．国家卫生健康委员会提出“体重管理年”3年行动的号召、合理膳食、加强运动已成为人们对健康生活的共识．跳绳是常见的有氧减肥的方法．“博约”学习小组对跳绳运动的心率与时间关系展开了研究．（图1数据来自初三某班级男生平均值） 【初步思考】 通过运动心率与时间散点图，研究小组准备建立某种函数模型（函数拟合）加以研究： 甲：心率不会随时间的增加而不断增加，也不会明显下降，一次函数不太合理； 乙：运动一段时间后，心率应该趋于相对稳定； 丙：所以二次函数也不能很好地预测长时间运动后的心率情况； 丁：我们可以建立将反比例函数图像经过适当平移后的函数模型． 设拟合函数为： 【问题解决】 （1）如图，若选取，，进行拟合，经计算，请求出拟合函数表达式． （2）从健康角度考虑，中学生运动中的心率不宜超过200次/分钟，在（1）的条件下，请问：跳绳运动几分钟后就应该休息一下？ （3）①根据图像变换，（1）中图像可由的图像向左平移___________个单位，再向上平移___________个单位得到； ②点在（1）中图像上运动，且位于直线左侧，当点到直线距离最大时，达到最佳运动心率，请直接写出达到最佳运动心率的时间． 【答案】（1）； （2）分钟； （3）①75，230；②秒． 【解析】 【分析】（1）把值和其中两个点代入函数，得到关于、的方程组，解方程组即可得到、的值，进而确定函数表达式． （2）令函数值，代入拟合函数表达式，求解关于的方程，得到的值就是跳绳后应该休息的时间（单位：秒），再将其转化为分钟． （3）①根据函数图象平移“左加右减，上加下减”的原则，对比两个函数的形式，确定和方向上的平移量． ②当与直线平行的直线与曲线相切时，切点到直线的距离最大．因为平行直线间距离处处相等，而在曲线与平行于的直线的位置关系中，相切时的切点是距离最远的点（在曲线一侧）．进而列方程求解即可． 【小问1详解】 解：将，，代入，得到 ． 用第二个方程减去第一个方程消去： 解得或（舍去，因为 ）． 把代入，可得，， 解得． ∴拟合函数表达式为． 【小问2详解】 解：令，可得． 解得秒， 分钟． ∴跳绳运动分钟后就应该休息一下 【小问3详解】 解：①函数到，根据“左加右减，上加下减”原则，变为，图象向左平移了个单位；整体加，图象向上平移了个单位． 故答案为：75，230； ②设与直线平行的直线方程为． ∵该直线与曲线相切时，该切点到的距离最大， ∴联立方程， 得到． ∴． ， ． ∵直线与曲线相切， ∴联立后的一元二次方程的判别式． ∴． ∴． ∴的解为， ∴（舍去）或， ∴最佳运动心率的时间为秒． 【点睛】本题综合考查函数相关知识，关键在于：熟练掌握用待定系数法求函数表达式，通过代入已知点坐标构建方程组求解未知参数．理解函数图象平移规律“左加右减，上加下减”，准确分析函数形式变化确定平移量．利用根的判别式解决最值问题． 20. 如图，过外一点作的切线，切点为点，为的直径，点为上一点，且，连接，，线段交直径于点，交于点，连接． （1）求证：； （2）若，，求半径的长． 【答案】（1） 证明：为的切线， ． ． 为的直径， ． ． ， ． ． 又， ． ． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的定义，直径所对的圆周角等于，同弧所对的圆周角相等，解直角三角形的相关计算，等角对等边等知识，掌握这些性质是解题的关键． （1）由切线的定义可得出，由直径所对的圆周角等于得出，由等边对等角得出，等量代换得出，由对顶角相等得出， 进而可得出 ，由等角对等边得出． （2）连接，先证明，设，则，解直角三角形得出，再证明，得出，进一步得出，即，解出x即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接． 为的切线， ． ，． ， ． ． ． 设，则． 在中， ，， ． 为直径， ． ，， ． ． 在中， ， ． ， ． 解得． ． 半径的长为． 21. “华罗庚数学奖”是中国三大顶尖数学奖项之一，是为激励中国数学家在发展中国数学事业中做出突出贡献而设立的．小华对截止到第十六届“华罗庚数学奖”得主获奖时的年龄（单位：岁）数据进行了收集、整理和分析．下面是部分信息． a．“华罗庚数学奖”得主获奖时的年龄统计图（数据分成5组：）： b．“华罗庚数学奖”得主获奖时的年龄在这一组的是： c．“华罗庚数学奖”得主获奖时的年龄数据的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 71.2 m 根据以上信息，回答下列问题： （1）截止到第十六届共有_______人获得“华罗庚数学奖”； （2）补全“华罗庚数学奖”得主获奖年龄频数分布直方图； （3）第十六届“华罗庚数学奖”得主徐宗本院士获奖时的年龄为68岁，他的获奖年龄比一半以上“华罗庚数学奖”得主获奖年龄_______（填“小”或“大”），理由是_____________． 【答案】（1）30 （2） 补全频数分布直方图如下： （3）小，徐宗本院士获奖时的年龄小于“华罗庚数学奖”得主获奖年龄的中位数． 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图、频数分布直方图，中位数的意义，掌握相关知识点是解题关键． （1）用年龄段的得主获奖人数除以所占百分比求解即可； （2）先求出年龄段的得主获奖人数，再补全频数分布直方图即可； （3）先求出“华罗庚数学奖”得主获奖年龄的中位数，再根据中位数的意义求解即可． 【小问1详解】 解：人， 即截止到第十六届共有30人获得“华罗庚数学奖”， 故答案为：30； 【小问2详解】 解：年龄段的得主获奖人数为：人； 【小问3详解】 解：由“华罗庚数学奖”得主获奖人数为30人可知，获奖年龄的中位数为第和16名年龄的平均数， 年龄段有3人，年龄段有人， 第和16名年龄在年龄段，分别为69岁和69岁， “华罗庚数学奖”得主获奖年龄的中位数岁， 徐宗本院士获奖时的年龄为68岁， 他的获奖年龄比一半以上“华罗庚数学奖”得主获奖年龄小，理由是徐宗本院士获奖时的年龄小于“华罗庚数学奖”得主获奖年龄的中位数． 22. 如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，其中． （1）求该二次函数的顶点坐标； （2）若是二次函数图象上的一点，且点在第一象限，的面积是面积的一半，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程综合. （1）将代入求出解析式，化为顶点式即可； （2）先求出，进而求出，，设直线的解析式为，求得直线的解析式为，设，得到，根据列方程计算即可. 【小问1详解】 将代入得 解得 ∴ ∴该二次函数的顶点坐标为 【小问2详解】 当时，， 解得， ∴ ∴， ∵的面积是面积的一半， ∴ 设直线的解析式为， 将代入得 解得 ∴直线的解析式为， 作轴交于D， 设， 则 ∴ ∵ ∴ 整理得 解得，， 当时， 当时，. 23. 友好图形的定义如下：两个完全重合放置的图形，固定一个顶点，将其中一个图形绕这个顶点旋转，这样的图形称为友好图形，下面我们来探究友好图形旋转的性质． 已知矩形，将矩形绕点C旋转到矩形，，． 【尝试发现】 （1）如图1，连接，在旋转过程中，探究______ 【类比探究】 （2）如图2，在矩形绕点C旋转的过程中，使落在矩形对角线上，矩形对角线与相交于点，交于K，延长交于点H，求的长． 【联系拓广】 （3）将友好矩形中的绕点C旋转到的过程中，当构成直角三角形时，求出的长． 【答案】（1）；（2）；（3）或或或 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线，熟练利用分类讨论的思想是解题的关键． （1）证明即可解答； （2）连接，证明求得，再证明，求得，即可解答； （3）分类讨论，分别为直角时，画出图形，逐一解答即可． 【详解】（1）解：将矩形绕点C旋转到矩形， ,， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）如图，连接， ， 根据旋转可得，， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，即， 解得，经检验是原方程的解， ； （3）①如图，点在上时，， . ，， ， ； ②如图，点在延长线上时，， ， 此时， ； ③如图，当时，过点作于点， ， ， 四边形为矩形， ， 根据勾股定理可得， ； ④如图，当时，过点作交于点， ， ， ， ，， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，的长为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $