综合与实践 最短路径问题 导与练 2025-2026学年 人教版八年级数学上册

综合与实践 最短路径问题 导与练 知识要点： 1． 两点之间的所有连线中， 最短. 2．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， 最短. 易错点睛： 如图，A，B在直线l异侧，在直线l上取一点P，使PA＋PB最小. 【点睛】易模仿课本上的解法而出错. 典例讲解： 题型一、线段和的最小值问题 例1、如图，在等边三角形ABC中，E是边AC的中点，AD是边BC上的中线，P是AD上的动点．若AD＝5，则EP＋CP的最小值为（ ) A.2 B.4 C.5 D.7 解题策略：等边三角形、等腰三角形以及正方形是轴对称图形，某些顶点的对称点与该图形上的点是重合的，利用这个性质可以解决线段和的最小值问题. 变式练习： 1、 如图，在ΔABC中，AB＝AC，AD，CE是ΔABC的两条中线，P是AD上一动点，则下列线段的长度等于PB＋PE的最小值的是( ) A. BC B.CE C.AD D.AC 2、如图，在RtΔABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝16，D为AB的中点，P为BC上一个动点，连接AP，DP，则AP＋DP的最小值是 ______ 题型二、周长最小值问题 例2、如图，∠AOB＝30°，点P为∠AOB内一点，OP＝10，点M，N分别在OA，OB上，求ΔPMN周长的最小值. 变式练习： 3、如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝121°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找到点M，N，使ΔAMN的周长最小，则此时∠AMN＋∠ANM的度数为（ ） A.118° B.121° C.120° D.90° 4、如图，ΔABC是等边三角形，AD＝AB，E，F分别为边AC，BC上的动点，当ΔDEF的周长最小时，∠FDE的度数是 5、如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1,4）和（3,0），点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在一条直线上，当ΔABC的周长最小时，点C的坐标是 _________ 当堂练习 1． 如图，点P是直线a外一点，A，B，C，D都是直线a上的点，PBLa，下列线段中最短的是（ ) A.PA B.PB C.PC D.PD 2．如图，∠BAC＝30°，AB＝2，点P是射线AC上一动点，则线段BP的最小值为 1 3.如图，在ΔABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，AB＝10．点E是AB上一动点，则CE的最小值为 ______ 4．如图，直线m表示一条河，M，N表示两个村庄，欲在m上的某处修建一个供水站，向两个村庄供水，现有如图所示的四种铺设管道的方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的方案是（ ） 5．如图，在ΔABC中，ABLAC，AB＝3，BC＝5，AC＝4，EF为BC的垂直平分线，点P为直线EF上的任意一点，则ΔABP周长的最小值是（ ） A.12 B.6 C.7 D.8 6． 如图，在平面直角坐标系中，点A（-2,4），B（4,2），在x轴上取一点P，使点P到点A和点B的距离之和最小，则点P的坐标是（ ） A.(-2,0) C.(2,0) B.(4,0) D.(0,0) 7． 如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题（用直尺画图）． （1）画出格点ΔABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的ΔA1B1C1； （2）在DE上画出点P，使PB1＋PC最小； （3）在DE上画出点Q，使QA＋QC最小． 8． 如图，要在一条河上架一座桥MN（河的两岸互相平行，桥与河岸垂直），在如下四种方案中，使得E，F两地的路程最短的是（ ) 9．如图，点A，B在直线l的同侧，在直线l上求作一点P，使｜PB-PA｜的值最大． 10．如图，点A，B在直线l的两侧，在直线l上求一点作P，使｜PA-PB｜的值最大． 解：作点A关于直线l的对称点A＇，连接A＇B并延长交直线l于点P. 11． 如图，在RtΔABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝90°，AC＝3，E为AB的中点，在线段AC上找一点H，使得BH＋EH的值最小，并求出该最小值. 答案： 知识要点： 1.两点之间的所有连线中， 线段 最短. 2．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段 最短. 易错点睛： 如图，A，B在直线l异侧，在直线l上取一点P，使PA＋PB最小. 【点睛】易模仿课本上的解法而出错. 【解】 连接AB交直线l于P.运用垂线段最短求最值 典例讲解： 题型一、线段和的最小值问题 例1、如图，在等边三角形ABC中，E是边AC的中点，AD是边BC上的中线，P是AD上的动点．若AD＝5，则EP＋CP的最小值为（ ) A.2 B.4 C.5 D.7 解析：如图，连接BE，BP.∵ΔABC是等边三角形，D是BC的中点，∴AD⊥BC，PC＝PB． ∴EP＋CP＝PB＋PE≥BE，即BE就是EP＋CP的最小值. ∵ΔABC是等边三角形，E是边AC的中点，AD＝5，∴BE＝AD＝5．∴EP＋CP的最小值是5．答案：C 解题策略：等边三角形、等腰三角形以及正方形是轴对称图形，某些顶点的对称点与该图形上的点是重合的，利用这个性质可以解决线段和的最小值问题. 变式练习： 1、如图，在ΔABC中，AB＝AC，AD，CE是ΔABC的两条中线，P是AD上一动点，则下列线段的长度等于PB＋PE的最小值的是( B ) B. BC B.CE C.AD D.AC 2、如图，在RtΔABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝16，D为AB的中点，P为BC上一个动点，连接AP，DP，则AP＋DP的最小值是 16 题型二、周长最小值问题 例2、如图，∠AOB＝30°，点P为∠AOB内一点，OP＝10，点M，N分别在OA，OB上，求ΔPMN周长的最小值. 解：分别作点P关于OA，OB的对称点P1，P2，连接P1P2，交OA于点M，交OB于点N，连接PM，PN，此时，ΔPMN的周长最小，ΔPMN的周长＝P1P2，P1P2＝OP1＝OP2＝OP＝10． 解题策略：求三角形周长的最小值，一般是利用轴对称将三边转化到一条直线上解决. 变式练习： 3、如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝121°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找到点M，N，使ΔAMN的周长最小，则此时∠AMN＋∠ANM的度数为（ A ） A.118° B.121° C.120° D.90° 4、如图，ΔABC是等边三角形，AD＝AB，E，F分别为边AC，BC上的动点，当ΔDEF的周长最小时，∠FDE的度数是 60° 5、如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1,4）和（3,0），点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在一条直线上，当ΔABC的周长最小时，点C的坐标是 (0,3) 当堂练习 1.如图，点P是直线a外一点，A，B，C，D都是直线a上的点，PBLa，下列线段中最短的是（ B ) A.PA B.PB C.PC D.PD 2．如图，∠BAC＝30°，AB＝2，点P是射线AC上一动点，则线段BP的最小值为 1 3.如图，在ΔABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，AB＝10．点E是AB上一动点，则CE的最小值为 4.8 解：作CF⊥AB于点F，当E与F重合时，CE最小，面积法可求CF＝4.8． 运用两点之间线段最短求最值 4．如图，直线m表示一条河，M，N表示两个村庄，欲在m上的某处修建一个供水站，向两个村庄供水，现有如图所示的四种铺设管道的方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的方案是（ D ） 5．如图，在ΔABC中，ABLAC，AB＝3，BC＝5，AC＝4，EF为BC的垂直平分线，点P为直线EF上的任意一点，则ΔABP周长的最小值是（ C ） A.12 B.6 C.7 D.8 6.如图，在平面直角坐标系中，点A（-2,4），B（4,2），在x轴上取一点P，使点P到点A和点B的距离之和最小，则点P的坐标是（ C ） A.(-2,0) C.(2,0) B.(4,0) D.(0,0) 7.如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题（用直尺画图）． （1）画出格点ΔABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的ΔA1B1C1； （2）在DE上画出点P，使PB1＋PC最小； （3）在DE上画出点Q，使QA＋QC最小． 解：略. 8.如图，要在一条河上架一座桥MN（河的两岸互相平行，桥与河岸垂直），在如下四种方案中，使得E，F两地的路程最短的是（ B ) 9．如图，点A，B在直线l的同侧，在直线l上求作一点P，使｜PB-PA｜的值最大． 解：连接BA并延长交直线l于点P. 10．如图，点A，B在直线l的两侧，在直线l上求一点作P，使｜PA-PB｜的值最大． 解：作点A关于直线l的对称点A＇，连接A＇B并延长交直线l于点P. 11.如图，在RtΔABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝90°，AC＝3，E为AB的中点，在线段AC上找一点H，使得BH＋EH的值最小，并求出该最小值. B 解：作点E关于AC的对称点F，连接BF，交AC于点H，此时BH＋EH最小，最小值为线段BF的长．易证ΔABF≌ΔBAC，∴BF＝AC＝3，故BH＋EH的最小值为3． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$