精品解析：山东省菏泽市定陶区2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试题

七年级数学期末样题 注意事项：本试卷满分120分．考试时间120分钟．请将答案填写在答题卡相应位置． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 某种计算机完成一次基本运算的时间约为1纳秒，已知1纳秒=0.000000001秒，该计算机完成15次基本运算，所用时间用科学记数法表示为（ ） A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒 【答案】C 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】所用时间=15×0.000000001=1.5×10-8（秒）． 故选：C． 【点睛】此题考查科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 2. 将周长为的三角形的三条边依次放在一条直线上，其中所标数据正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，熟知三角形的较短两边之和大于第三边是解题的关键．由三角形的较短两边之和大于第三边可得答案． 【详解】解：A、由，此选项不符合题意； B、由，此选项不符合题意； C、由，此选项不符合题意； D、由，此选项符合题意； 故选：D． 3. 下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可． 【详解】解：A、是单项式，不符合题意因式分解的定义，不是因式分解，不符合题意； B、是因式分解，符合题意； C、等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意； D、等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意． 故选：B． 4. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：求100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设大马有x匹，小马有y匹，根据题意可得等量关系：①大马数+小马数=100；②大马拉瓦数+小马拉瓦数=100，根据等量关系列出方程组即可． 【详解】解：由设有x匹大马，y匹小马， 由共有100匹马，可得 共有100片瓦，则， 所以可得得二元一次方程组． 故答案为C． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，审清题意、设出未知数并表示相关量、根据等量关系列方程成为解答本题的关键． 5. 设，，则M与N的关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式、整式的加减．注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项，掌握多项式乘以多项式的法则是解题的关键．由于，，可以通过比较M与N的差得出结果． 【详解】解：∵，， ， ∴． 故选：A． 6. 小刚是一位密码翻译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：东、爱、我、山、丽、美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ） A. 我爱美丽 B. 山东美丽 C. 我爱山东 D. 美我山东 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用． 将原式提取公因式后，利用平方差公式进一步分解，结合各因式对应的字即可得出结果． 【详解】解： ， 对应“爱”，对应“我”，对应“东”，对应“山”． 四个因式组合为“爱、我、东、山”， 只有C“我爱山东”符合， 故选：C． 7. 如图，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且的面积等于，则阴影部分图形面积等于（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查利用中线的性质求三角形的面积，解题的关键是掌握“三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形”． 根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答． 【详解】解：点F是的中点， ， 中边上的高与中边上的高相等， ， 同理，E是的中点， ，， ， ， 的面积等于， 即阴影部分图形的面积为． 故选：C 8. 等腰三角形的两条边分别为3和7，则这个三角形的周长是（ ） A. 13 B. 17 C. 20 D. 13或17 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，分两种情况讨论：当3是腰时或当7是腰时．根据三角形的三边关系，知3，3，7不能组成三角形，应舍去． 【详解】解：当3是腰时，则，不能组成三角形，应舍去； 当7是腰时，则三角形的周长是． 故选：B． 9. 如图，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形．根据图形能验证的等式为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用几何方法验证平方差公式，解决问题的关键是根据拼接前后不同的几何图形的面积不变得到等量关系．边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后的面积为，新的图形面积等于，由于两图中阴影部分面积相等，即可得到结论． 【详解】解∶左边阴影部分的面积为，右边阴影部分的面积为， ∵前后两个图形中阴影部分的面积相等， ∴验证的等式为， 故选∶B． 10. 我国南宋时期杰出的数学家杨辉（钱塘（今杭州）人），下面的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”．此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题：假如今天是星期三，再过7天还是星期三，那么再过天是（ ） A. 星期三 B. 星期四 C. 星期二 D. 星期五 【答案】B 【解析】 【分析】本题规律探索问题，把 转化为 ，再根据题中规律展开，即可求解． 【详解】解： ， 其中、、、为常数， 除以的余数为， 今天星期三，再过天还是星期三， 再过天是星期四， 故选：B． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 如果是一个完全平方式，则__________． 【答案】-1或3 【解析】 【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值． 【详解】解：∵=， ∴2(m-1)x=±2×x×2， 解得m=-1或m=3． 故答案为-1或3 【点睛】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要． 12. 若多项式含有因式，则的值是________． 【答案】2 【解析】 【分析】设另一个因式是，根据已知得出，再进行化简，即可求出、值． 【详解】解：∵多项式含有因式， ∴设另一个因式是， 则， ∵ ， ∴，， 解得：，， 故答案为：2． 【点睛】本题考查因式分解的意义，掌握因式分解的意义，利用待定系数法确定利用一个因式是解题关键． 13. 如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G=__________ 【答案】540°. 【解析】 【分析】根据四边形的内角和是360°，可求∠C+∠B+∠D+∠2=360°，∠1+∠3+∠E+∠F=360°．又由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠1=∠A+∠G，而∠2+∠3=180°，从而求出所求的角的和． 【详解】解：在四边形BCDM中， ∠C+∠B+∠D+∠2=360°， 在四边形MEFN中：∠1+∠3+∠E+∠F=360°． ∵∠1=∠A+∠G，∠2+∠3=180°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=360°+360°-180°=540°． 故答案为540°. 【点睛】本题考查三角形外角的性质及四边形的内角和定理，解答的关键是利用外角和内角的关系． 14. 若关于x、y的方程组和的解相同，则的值为______． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解答此题的关键是根据两方程组有相同的解得到关于x、y的方程组，求出x、y的值，再将x、y的值代入含a、b的方程组即可求出a、b的值，即可求出代数式的值． 因为两个方程组有相同的解，故只要将两个方程组中不含有a，b的两个方程联立，组成新的方程组，求出x和y的值，再代入含有a，b的两个方程中，解关于a，b的方程组即可得出a，b的值，代入计算即可． 【详解】解：联立， 解得， 将代入， 得， 解得， ∴． 故答案：0． 15. 如图，在中，，和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；…和的平分线交于点，则____________________°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质与规律的综合，三角形外角性质根据角平分线的性质可得，，再根据外角的性质可得，找出规律即可求出． 【详解】解：平分，平分， ，， ， 同理可得， …… ， ， ， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （1）计算： ①； ②． （2）因式分解： ①； ②． 【答案】（1）①；②；（2）①；② 【解析】 【分析】（1）①先根据乘方、零指数幂和负整数指数幂的意义化简，再算乘法，后算加减； ②先算积的乘方，再算乘法，后算除法即可； （2）①用完全平方公式分解即可； ②先提取公因式，再用平方差公式分解． 【详解】解：（1）① ； ② ． （2）①解：； ②原式 ． 【点睛】本题考查了零指数幂和负整数指数幂的意义，单项式的乘法与除法，因式分解等知识，难度一般，属基础题． 17. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了整式的混合运算和化简求值．先利用整式的运算法则计算得到化简结果，再把字母的值代入计算即可． 【详解】解： 当，时， 原式 18. 如图，在中，边上的中线把的周长分成60和40两部分，求和的长． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了中线的定义，中线是三角形中从某边的中点连向对角的顶点的线段． 由题意可得，，由中线的性质得，故可求得，进而即可求解． 【详解】解：由题意知，， ，为中点， ， ， 即， 则，， 则． 19. 2025年2月17日，民营企业座谈会在北京召开，习总书记亲自出席并发表重要讲话．众多（人工智能）行业的企业家出席了此次座谈会，标志着我国事业得到了迅猛发展．为了解软件的使用情况，某中学数学活动小组随机抽取了部分师生进行调查，并根据调查结果绘制了以下尚不完整的统计图．为了方便统计，把经常使用“deepseek”的用户记为类，经常使用“豆包”的用户记为类，经常使用“kimi”的用户记为类，经常使用“腾讯元宝”的用户记为类，经常使用其他软件的用户记为类． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次被抽取的师生人数为________人； （2）补全条形统计图： （3）在扇形统计图中，“”部分所对应扇形的圆心角度数是________； （4）某校全年级师生共2000人，其中经常使用“deepseek”有多少人？ 【答案】（1） （2）补全条形统计图见解析 （3） （4） 【解析】 【分析】（1）由条形统计图与扇形统计图数据关联求解即可得到答案； （2）由（1）中求出的被抽取的师生人数为400人，结合条形统计图中前4类抽取人数即可得到类人数，从而即可补全条形统计图； （3）由扇形统计图得到类人数占比，由即可得到答案； （4）由（2）中计算的类人数占比，根据样本情况估计总体即可得到答案． 【小问1详解】 解：由条形统计图可知类人数为80；由扇形统计图可知类人数占比是， 本次被抽取的师生人数为人， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由（1）知被抽取的师生人数为400人， 其中类有100人、类有80人、类有40人、类有60人， 类有人， 补全条形统计图如下： 【小问3详解】 解：由扇形统计图可知类人数占比为， 在扇形统计图中，“”部分所对应扇形的圆心角度数是， 故答案为：； 【小问4详解】 解：由（3）可知，经常使用“deepseek”人数占比为， 某校全年级师生共2000人，其中经常使用“deepseek”的人数为人． 【点睛】本题考查统计综合，涉及条形统计图与扇形统计图数据关联、求样本容量、补全条形统计图、求扇形统计图某项圆心角、由样本估计总体等知识．熟练掌握条形统计图与扇形统计图相关知识是解决问题的关键． 20. 一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共元，若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做天可以完成，需付费用元，问： （1）甲、乙两组工作一天，商店各应付多少钱？ （2）已知甲组单独完成需天，乙组单独完成需天，单独请哪个组，商店所需费用最少？ （3）若装修完后，商店每天可赢利元，你认为如何安排施工更有利于商店？请你帮助商店决策．（可用（1）（2）问的条件及结论） 【答案】（1）甲、乙两组工作一天，商店各应付元和元 （2）单独请乙组需要的费用少 （3）甲、乙两组合作同时施工8天损失费用最少 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，有理数加法、乘法的实际应用．熟练掌握二元一次方程组的应用，有理数加法、乘法的实际应用是解题的关键． （1）设甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店应付y元．依题意得， ，计算求解，然后作答即可； （2）由题意知，单独请甲组需要的费用：（元），单独请乙组需要的费用：（元），由，判断作答即可； （3）分别计算甲、乙单独完成时的损失，然后计算甲乙合作完成时的损失，最后比较大小并作答即可． 【小问1详解】 解：设甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店应付y元． 依题意得， ， 解得 ， 答：甲、乙两组工作一天，商店各应付元和元； 【小问2详解】 解：由题意知，单独请甲组需要的费用：（元）， 单独请乙组需要的费用：（元）， ∵， ∴单独请乙组需要的费用少； 【小问3详解】 解：由题意知，甲组单独做天，需费用元，少赢利（元），相当于损失（元）； 乙组单独做天，需费用元，少赢利（元），相当于损失（元）； 甲乙两组合作同时施工8天，需费用元，少赢利（元），相当于损失（元）； ∵， ∴甲、乙两组合作同时施工8天损失费用最少． 21. 在计算时，甲错把看成了，得到的结果是，乙错把看成了，得到的结果是． （1）求、的值； （2）求的正确结果． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了整式的乘法运算，正确的计算是解题的关键． （1）根据条件求出代数式的值，对比结果，分别求出的值； （2）将（1）的的值代入代数式求解即可． 【小问1详解】 解：甲错把看成了， ， 又， ， ． 乙错把看成了， ， 又， ， ， ． 故，． 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴ 22. 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“完美数”．例如：，，；则12、20、28这三个数都是完美数． （1）按照上述规律，将完美数2028表示成两个连续偶数的平方差形式（直接写出）； （2）证明：任意一个完美数都能够被4整除； （3）如图所示，拼叠的正方形边长是从2开始的连续偶数．．．．．．，按此规律拼叠到正方形，其边长为28，求阴影部分的总面积． 【答案】（1） （2）见解析 （3）420 【解析】 【分析】本题考查了新定义，因式分解应用等知识，解题的关键是： （1）把写成和的平方差即可； （2）设两个连续的偶数为、，n为正整数，根据完美数写出该数，然后根据平方差计算计算得出，最后根据整除的定义即可得证； （3）结合图形可得出阴影部分的面积为，然后根据平方差公式求解即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 证明：设两个连续的偶数为、，n为正整数，则完美数为， ∴ ， ∵n为正整数， ∴为奇数， ∴能被4整除， 即任意一个完美数都能够被4整除； 小问3详解】 解：根据题意，得 ． 23. 阅读下列材料：某校“数学社团”活动中，数学研究小组发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解．对于形如 的二次三项式，可以直接用完全平方公式把它分解成的形式．但对于二次三项式就不能直接用完全平方公式分解了，对此，我们可以添上一项4，使它与 构成一个完全平方式，然后再减去4，这样整个多项式的值不变，即 ．像这样把一个二次三项式变成含有完全平方式的方法，叫做配方法． 同样地，把一个多项式局部分解因式可以解决代数式值的最小(或最大)问题． 例如： ．则这个代数式．的最小值是2，这时相应的x的值是． 请用配方法解答下列问题： （1）用配方法分解因式：； （2）已知，求的值． （3）当x取何值时，有最小值？最小值是多少？ 【答案】（1） （2）4 （3）时，有最小值，最小值是 【解析】 【分析】此题考查了完全平方公式的运用，平方差公式因式分解，解题的关键是读懂题意并根据题目要求做题． （1）按照题目中配方法进行因式分解即可； （2）按照题目配方法进行因式分解，求出的值，即可求解； （3）按照题目中配方法进行因式分解并取最小值即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， ， ， ； 【小问3详解】 解： ， ， 时，有最小值，最小值是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 七年级数学期末样题 注意事项：本试卷满分120分．考试时间120分钟．请将答案填写在答题卡相应位置． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 某种计算机完成一次基本运算的时间约为1纳秒，已知1纳秒=0.000000001秒，该计算机完成15次基本运算，所用时间用科学记数法表示为（ ） A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒 2. 将周长为的三角形的三条边依次放在一条直线上，其中所标数据正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C D. 4. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：求100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为（ ） A. B. C. D. 5. 设，，则M与N的关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 6. 小刚是一位密码翻译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：东、爱、我、山、丽、美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ） A. 我爱美丽 B. 山东美丽 C. 我爱山东 D. 美我山东 7. 如图，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且的面积等于，则阴影部分图形面积等于（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 8. 等腰三角形的两条边分别为3和7，则这个三角形的周长是（ ） A. 13 B. 17 C. 20 D. 13或17 9. 如图，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形．根据图形能验证的等式为（ ） A. B. C. D. 10. 我国南宋时期杰出的数学家杨辉（钱塘（今杭州）人），下面的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”．此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题：假如今天是星期三，再过7天还是星期三，那么再过天是（ ） A. 星期三 B. 星期四 C. 星期二 D. 星期五 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 如果是一个完全平方式，则__________． 12. 若多项式含有因式，则的值是________． 13. 如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G=__________ 14. 若关于x、y的方程组和的解相同，则的值为______． 15. 如图，在中，，和平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；…和的平分线交于点，则____________________°． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （1）计算： ①； ②． （2）因式分解： ①； ②． 17. 先化简，再求值：，其中，． 18. 如图，在中，边上的中线把的周长分成60和40两部分，求和的长． 19. 2025年2月17日，民营企业座谈会在北京召开，习总书记亲自出席并发表重要讲话．众多（人工智能）行业的企业家出席了此次座谈会，标志着我国事业得到了迅猛发展．为了解软件的使用情况，某中学数学活动小组随机抽取了部分师生进行调查，并根据调查结果绘制了以下尚不完整的统计图．为了方便统计，把经常使用“deepseek”的用户记为类，经常使用“豆包”的用户记为类，经常使用“kimi”的用户记为类，经常使用“腾讯元宝”的用户记为类，经常使用其他软件的用户记为类． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次被抽取的师生人数为________人； （2）补全条形统计图： （3）在扇形统计图中，“”部分所对应扇形的圆心角度数是________； （4）某校全年级师生共2000人，其中经常使用“deepseek”有多少人？ 20. 一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共元，若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做天可以完成，需付费用元，问： （1）甲、乙两组工作一天，商店各应付多少钱？ （2）已知甲组单独完成需天，乙组单独完成需天，单独请哪个组，商店所需费用最少？ （3）若装修完后，商店每天可赢利元，你认为如何安排施工更有利于商店？请你帮助商店决策．（可用（1）（2）问的条件及结论） 21. 在计算时，甲错把看成了，得到的结果是，乙错把看成了，得到的结果是． （1）求、值； （2）求正确结果． 22. 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“完美数”．例如：，，；则12、20、28这三个数都是完美数． （1）按照上述规律，将完美数2028表示成两个连续偶数的平方差形式（直接写出）； （2）证明：任意一个完美数都能够被4整除； （3）如图所示，拼叠的正方形边长是从2开始的连续偶数．．．．．．，按此规律拼叠到正方形，其边长为28，求阴影部分的总面积． 23. 阅读下列材料：某校“数学社团”活动中，数学研究小组发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解．对于形如 的二次三项式，可以直接用完全平方公式把它分解成的形式．但对于二次三项式就不能直接用完全平方公式分解了，对此，我们可以添上一项4，使它与 构成一个完全平方式，然后再减去4，这样整个多项式的值不变，即 ．像这样把一个二次三项式变成含有完全平方式的方法，叫做配方法． 同样地，把一个多项式局部分解因式可以解决代数式值的最小(或最大)问题． 例如： ．则这个代数式．的最小值是2，这时相应的x的值是． 请用配方法解答下列问题： （1）用配方法分解因式：； （2）已知，求的值． （3）当x取何值时，有最小值？最小值多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$