专题3.1 不等式的性质（高效培优讲义）数学北师大版2019必修第一册

专题3.1 不等式的性质 教学目标 (1)通过具体情况，感受在现实世界和日常生活中存在着的大量的不等关系; (2)了解不等式（组）的实际背景； (3)理解不等式的性质. (4)会利用数轴求无限集的交集、并集的运算，体会数形结合在解决问题中的作用． 教学重难点 1.重点 (1)比较两个数的大小； (2)不等式的性质及应用． 2.难点 (1)对不等式的性质的理解； (2)证明不等式． 知识点01 不等式的概念 在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些 的式子，叫做不等式. 自然语言 大于 小于 大于或等于 小于或等于 至多 至少 不少于 不多于 符号语言 【即学即练】 1.用不等式表示下列不等关系： （1）某段高速公路规定机动车限速80km/h至120km/h. （2）x的5倍与7的差大于3. （3）糖水中有糖，若再添上糖，则糖水变甜了. 知识点02 比较大小 1.作差法比较两实数大小 依据 如果 ，那么a＞b. 如果 ，那么a＜b. 如果 ，那么a＝b. 结论 确定任意两个实数a，b的大小关系，只需确定它们的差 与 _____的大小关系. 2.作商法比较两实数大小 依据 设 如果____，那么a＞b. 如果____，那么a＜b. 如果 ，那么a＝b. 结论 确定任意两个正实数a，b的大小关系，只需确定它们的商 与____的大小关系. 【即学即练】 1．（24-25高一上·河南信阳·阶段练习）试比较与的大小 2．（23-24高一上·云南玉溪·期中）（1）比较与的大小． （2）已知，，比较与的大小． 知识点03 不等式的性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 （等价于） 传递性 （推出） 可加性 （等价于 可乘性 注意的符号（涉及分类讨论的思想） 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 ，同为正数 可开方性 【即学即练】 1．如果a＜0，b＞0，那么，下列不等式中正确的是(　　) A．＜　　　 B．＜ C．a2＜b2 D．|a|＞|b| 2.(多选)（23-24高一上·贵州黔南·期末）设，则下列选项中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 知识点04 不等式的拓展性质（拓展） 1.取倒数性质 倒数法则：若. （巧记：同号两数，大数的倒数反而小） 2.有关分数的性质 若，则： (1)真分数的性质（俗称糖水不等式）：，； (2)假分数的性质： , 【即学即练】 1．（24-25高一下·浙江·期中）设，若，则下列不等式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 题型01 用不等式（组）表示不等关系 【典例1】某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5 辆，B型汽车至少买6 辆，设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆，y辆，写出满足上述所有不等关系的不等式组 . 用不等式（组）表示不等关系时，要注意提取题中所有不等关系的信息，再将它们“翻译”成数学语言，即得不等式（组）. 【变式】咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料用奶粉、咖啡、糖分别为9g，4g，3g，乙种饮料用奶粉、咖啡、糖分别为4g，5g，5g．已知每天使用原料分别为奶粉3600g、咖啡2000g、糖3000g，设每天配制甲种饮料x杯，乙种饮料y杯，则满足上述所有不等关系的不等式组为 ． 题型02 由己知条件判断所给不等式是否正确 【典例1】（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高一上·湖南益阳·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 对于这类题型，一般有以下两种方法： (1)直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可． (2)特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性． 【变式1】（23-24高一上·北京·期中）若a，b是任意实数，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025春•大名县校级期末）如果a，b，c，d∈R，则正确的是（　　） A．若a＞b，则 B．若a＞b，则ac2＞bc2 C．若a＞b，c＞d，则a+c＞b+d D．若a＞b，c＞d，则ac＞bd 【变式3】（2022•孝义市开学）已知，则下列结论正确的是（　　） A．a＜b B．a+b＜ab C．|a|＞|b| D．ab＞b2 【变式4】（2025春•包头期末）a，b∈R，下列命题正确的是（　　） A．若a＞b，则a2＞b2 B．c∈R，若a＞b，则ac2＞bc2 C．若﹣3a＞﹣3b，则a＜b D．a≠0，b≠0，若a＞b，则 题型03由不等式的性质比较数(式)大小 【典例】（24-25高一下·重庆·期中）若，，，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 利用不等式的性质比较两式的大小时，往往利用不等式的基本性质进行多次变形，从而得到所比较的两个式子的大小. 【变式1】（2025•孝义市开学）已知，则下列结论正确的是（　　） A．a＜b B．a+b＜ab C．|a|＞|b| D．ab＞b2 【变式2】已知，，试比较与的大小. 题型04 作差法比较大小 【典例】（23-24高一上·贵州六盘水·期中）比较大小： （1）设，比较的大小； （2）设，比较的大小； (1)作差法比较的步骤：作差―→变形―→定号―→结论． (2)变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④分母或分子有理化；⑤分类讨论． 【变式1】如果，比较与的大小并证明． 题型05作商法比较大小 【典例】（24-25高一下·黑龙江鹤岗·期末）设，比较与的大小 当所比较的两个数或代数式含有幂、指数式或分式时，常考虑作商法. 【变式1】比较与的大小； 【变式2】（23-24高一·江苏·假期作业）已知，试比较和的大小. 题型06利用不等式性质求值或取值范围 【典例1】（2025湖北武汉高一上联考）已知，，求，及的取值范围． 【典例2】已知，，求的取值范围. 利用性质求范围问题的基本要求 (1)利用不等式性质时，要特别注意性质成立的条件，如同向不等式相加，不等号方向不变，两边都是正数的同向不等式才能相乘等. (2)要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性. 【变式1】（24-25高一上·四川德阳·阶段练习）若，则的范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025高二下·湖南株洲·学业考试）若实数x，y满足，，则的取值范围是 . 【变式3】（24-25高一上·四川眉山·期末）已知，，，则的取值范围是 . 题型07 证明不等式 【典例】（1）已知，，，求证：； （2）证明：． (1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用． (2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则． 【变式1】求证：． 【变式2】（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）（1）已知，，，求证：． （2）已知，，，，求证：． 题型08 等式性质与不等式性质的综合运用 【典例】（24-25高三下·浙江·阶段练习）已知，，为正整数，，则方程的解得个数为（    ） A．8 B．10 C．11 D．12 不等式的性质常与方程综合，判断方程根的个数的问题，在解题的过程中，注意结合不等式的性质，求得某个变量的取值，分类讨论求得结果. 【变式1】（24-25高一下·四川成都·期中）实数，，满足且，则下列关系成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2023高一·上海·专题练习）给定无理数．若正整数满足． (1)试比较三数，，的大小； (2)若，证明下面三个不等式中至少有一个不成立 ①；②；③． 题型09 不等式性质与充分必要性的综合 【典例】（24-25高三下·江西赣州·阶段练习）已知实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 对于不等式与充分性、必要性综合的问题，一般利用不等式的性质推证充分性或必要性是否成立，即不等式的性质在解题中取到解题工具的作用. 【变式1】（2025·山东泰安·模拟预测）已知，，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必聚条件 【变式2】（24-25高一下·广东湛江·期中）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型10 不等式性质的实际应用 【典例】（2025春•芜湖期末）甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则（　　） A．甲先到教室 B．乙先到教室 C．两人同时到教室 D．谁先到教室不确定 实际问题中的比较两个量的大小问题，往往能转化为不等式中的比较两个数（或式）的大小问题，再作差或作商得到结果. 【变式1】某次全程马拉松比赛中，选手甲前半程以速度a匀速跑，后半程以速度b速跑；选手乙前一半时间以速度a匀速跑，后半时间以速度b匀速跑（注：速度单位m/s），若a≠b，则（　　） A．甲先到达终点 B．乙先到达终点 C．甲乙同时到达终点 D．无法确定谁先到达终点 【变式2】（2021秋•杨浦区校级期中）现有A，B，C，D四个长方体容器，A，B的底面积均为x2，高分别为x，y；C，D的底面积均为y2，高分别为x，y（其中x≠y）．现规定一种两人的游戏规则：每人从四种容器中取两个盛水，盛水多者为胜．问先取者在未能确定x与y大小的情况下有没有必胜的方案？若有的话，有几种？ 【变式3】（24-25•怀仁市校级月考）某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠”．乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠”．这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠． 题型11 与不等式有关的新定义题 【典例】（2024·河北邯郸·三模）记表示x，y，z中最小的数．设，，则的最大值为 ． 与不等式有关的新定义题求解的关键是：通过读题、审题，充分挖掘问题中所隐含的信息，弄懂新定义的含义，再借助新定义及不等式的性质去解决问题． 【变式】（2025届北京五十五中高一上期中）定义为，，中的最大值，设，则y的最小值为 ． 题型12 与不等式有关的开放探究题 【题型】（24-25高三上·北京通州·期末）已知均为大于0的实数,给出下列五个论断:①,②,③,④,⑤.以其中的两个论断为条件,余下的论断中选择一个为结论,请你写出一个正确的命题 . 此题考查根据不等式的性质比较大小，在已知条件中选择两个条件推出第三个条件，属于开放性试题，写出一个符合要求的答案即可. 【变式】（23-24高一上·北京西城·期中）已知a，b，c为实数，能说明“若，则”为假命题的一组a，b，c的值是 . 一、单选题 1.为安全燃放某种烟花，现收集到以下信息： ①此烟花导火索燃烧的速度是每秒0.6厘米； ②人跑开的速度为每秒4米； ③距离此烟花燃放点50米以外（含50米）为安全区． 为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x（厘米）应满足的不等式为（　　） A． B． C． D． 2.设，，则（    ） A． B． C． D．不确定 3.（2025·山西临汾·二模）若，则的范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·北京·期中）若，，为非零实数，且，，则（    ） A． B． C． D． 5．若，，则（   ） A． B． C． D． 6．已知，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（21-22高一上·辽宁大连·期中）近来猪肉价格起伏较大，假设第一周､第二周的猪肉价格分别为a元/斤､b元/斤，甲和乙购买猪肉的方式不同，甲每周购买20元钱的猪肉，乙每周购买6斤猪肉，甲､乙两次平均单价为分别记为，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的大小无法确定 8．（2025·广西南宁·模拟预测）由杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司推出，该公司是一家专注于人工智能（）的中国初创公司．其模型于2024年年底发布，此模型足以媲美，一经推出便成为全球热门话题．利用进行学习已经成为一种学生自主学习的全新方式，但是目前市场各种模型运算参差不齐．技术人员对n个模型进行测试，测试由m道题组成，每个模型都对这道题逐一进行求解．若一道题至少有个模型未解对，则称此题为难题；若一个模型至少解出了道题，则该模型测试成绩合格．如果测试至少有个模型成绩合格，且测试中至少有道题为难题，那么的最小值为（   ） A．6 B．9 C．18 D．27 二、多选题 9．（25-26高一上·全国·课后作业）设，则P，Q，R的大小关系是（   ） A． B． C． D． 10.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则下列命题正确的是（    ） A．若且，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 11．（24-25高一下·广西柳州·开学考试）在下列四个命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．已知，，则 D．已知，若，，则 三、填空题 12．已知经过计算和验证有下列正确的不等式：,,, ,,根据以上不等式的规律,写出一个一般性的不等式 . 13.若实数x，y满足，则的取值范围是 ；若实数x，y满足，则的取值范围是 ． 14．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知实数满足，则的取值范围为 四、解答题 15．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）（1）已知，比较与的大小． （2）比较与的大小． 16.已知，且． (1)求证：； (2)求证：． 17.（24-25高一上·北京西城·期末）已知实数，满足，． (1)求和的取值范围； (2)证明：． 18.（24-25高一上·上海·期中）现要在阁楼屋顶（可视作如图所示的锐角三角形）上开一内接矩形窗户（阴影部分），设其一边长（单位：）为.一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于，而且这个比值越大，采光效果越好 (1)若阁楼的窗户面积与地板面积的总和为16.5平方米，则当边长为多少米时窗户面积最小？最小值是多少平方米？ (2)若同时增加相同的窗户面积和地板面积，采光效果是变好了还是变坏了？试说明理由. 19．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）对在平面直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“下位点”. (1)点是点的“下位点”吗?请简单说明理由; (2)若点是点的“下位点”，试判断之间的大小关系； (3)设正整数满足条件:对集合内的每个，总存在正整数，使得是的“下位点”，且是的“下位点”，求正整数的最小值. 27 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.1 不等式的性质 教学目标 (1)通过具体情况，感受在现实世界和日常生活中存在着的大量的不等关系; (2)了解不等式（组）的实际背景； (3)理解不等式的性质. (4)会利用数轴求无限集的交集、并集的运算，体会数形结合在解决问题中的作用． 教学重难点 1.重点 (1)比较两个数的大小； (2)不等式的性质及应用． 2.难点 (1)对不等式的性质的理解； (2)证明不等式． 知识点01 不等式的概念 在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子，叫做不等式. 自然语言 大于 小于 大于或等于 小于或等于 至多 至少 不少于 不多于 符号语言 【即学即练】 1.用不等式表示下列不等关系： （1）某段高速公路规定机动车限速80km/h至120km/h. （2）x的5倍与7的差大于3. （3）糖水中有糖，若再添上糖，则糖水变甜了. 【答案】（1）（2）（3） 【分析】根据题意结合实际情况列出关系式即可 【解析】（1）根据限速80km/h至120km/h，可得 （2） （3）涉及糖水浓度，糖做分子，糖水做分母，列出不等关系有 【点睛】实际问题列不等式最容易忽略每一个参数的限定条件，列式时要尤为注意 知识点02 比较大小 1.作差法比较两实数大小 依据 如果a－b＞0，那么a＞b. 如果a－b＜0，那么a＜b. 如果a－b＝0，那么a＝b. 结论 确定任意两个实数a，b的大小关系，只需确定它们的差a－b与0的大小关系. 2.作商法比较两实数大小 依据 设 如果，那么a＞b. 如果，那么a＜b. 如果，那么a＝b. 结论 确定任意两个正实数a，b的大小关系，只需确定它们的商a－与1的大小关系. 【即学即练】 1．（24-25高一上·河南信阳·阶段练习）试比较与的大小 【答案】 【解析】（1）因为 所以. 2．（23-24高一上·云南玉溪·期中）（1）比较与的大小． （2）已知，，比较与的大小． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）作差法得出差值为负； （2）作差并因式分解得出即可判断正负. 【解析】（1）因为 ， 所以； （2）因为， 又，，则，， 所以，得到. 知识点03 不等式的性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 （等价于） 传递性 （推出） 可加性 （等价于 可乘性 注意的符号（涉及分类讨论的思想） 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 ，同为正数 可开方性 【即学即练】 1．如果a＜0，b＞0，那么，下列不等式中正确的是(　　) A．＜　　　 B．＜ C．a2＜b2 D．|a|＞|b| 【答案】A 【解析】A正确，B、C、D可举反例排除，如对B、C，设a＝－9，b＝1，对D，设a＝－1，b＝2即可． 2.(多选)（23-24高一上·贵州黔南·期末）设，则下列选项中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】利用不等式的性质推理判断AC；举例说明判断B，作差判断D. 【解析】对于A，由，得，A正确； 对于B，取满足，而不成立，B错误； 对于C，由，得，则，C正确； 对于D，由，得，则，D正确. 故选：ACD 知识点04 不等式的拓展性质（拓展） 1.取倒数性质 倒数法则：若. （巧记：同号两数，大数的倒数反而小） 2.有关分数的性质 若，则： (1)真分数的性质（俗称糖水不等式）：，； (2)假分数的性质： > , < 【即学即练】 1．（24-25高一下·浙江·期中）设，若，则下列不等式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用不等式的性质及作差法判断A，B，C，再应用特殊值法判断D. 【解析】因为，则，则，A选项正确； 因为，由倒数法则得，B选项正确； 因为，则，则，C选项正确； 取，所以，D选项错误； 故选：D. 题型01 用不等式（组）表示不等关系 【典例1】某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5 辆，B型汽车至少买6 辆，设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆，y辆，写出满足上述所有不等关系的不等式组 . 【答案】 【分析】根据题意列式即可. 【解析】由题意得，即. 用不等式（组）表示不等关系时，要注意提取题中所有不等关系的信息，再将它们“翻译”成数学语言，即得不等式（组）. 【变式】咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料用奶粉、咖啡、糖分别为9g，4g，3g，乙种饮料用奶粉、咖啡、糖分别为4g，5g，5g．已知每天使用原料分别为奶粉3600g、咖啡2000g、糖3000g，设每天配制甲种饮料x杯，乙种饮料y杯，则满足上述所有不等关系的不等式组为 ． 【答案】 【分析】根据题意，列出一元一次不等式组，即可得到答案. 【解析】设每天配制甲种饮料x杯，乙种饮料y杯，其中每天使用原料分别为奶粉3600g、咖啡2000g、糖3000g，可得所有不等关系的不等式组为. 故答案为：. 题型02 由己知条件判断所给不等式是否正确 【典例1】（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式的性质或反例可得选项. 【解析】因为，所以，D正确； 当时，满足，但是，A,C不正确； 当时，满足，但是，B不正确； 故选：D 【典例2】（24-25高一上·湖南益阳·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质判断AC，举例说明判断BD. 【解析】A：若，则，故A错误； B：举例，不成立，故B错误； C：由题意知，则，故C正确； D：举例，不成立，故D错误. 故选：C 对于这类题型，一般有以下两种方法： (1)直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可． (2)特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性． 【变式1】（23-24高一上·北京·期中）若a，b是任意实数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式性质一一判定选项即可. 【解析】若，故A错误； 若，故B错误； 若，故C错误； 显然，故D正确. 故选：D 【变式2】（2025春•大名县校级期末）如果a，b，c，d∈R，则正确的是（　　） A．若a＞b，则 B．若a＞b，则ac2＞bc2 C．若a＞b，c＞d，则a+c＞b+d D．若a＞b，c＞d，则ac＞bd 【答案】C 【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解． 【解析】对于A，令a＝1，b＝﹣1，满足a＞b，但，故A错误， 对于B，当c＝0时，ac2＝bc2，故B错误， 对于C，a＞b，c＞d， 由不等式的可加性可得，a+c＞b+d，故C正确， 对于D，令a＝1，b＝﹣1，c＝1，d＝﹣1，满足a＞b，c＞d，但ac＝bd，故D错误． 故选：C． 【变式3】（2022•孝义市开学）已知，则下列结论正确的是（　　） A．a＜b B．a+b＜ab C．|a|＞|b| D．ab＞b2 【解题思路】由得b＜a＜0，从而对四个选项依次判断即可． 【解答过程】解：∵， ∴b＜a＜0， ∴b＜a，a+b＜ab，|a|＜|b|，ab＜b2， 故选项B正确， 故选：B． 【变式4】（2025春•包头期末）a，b∈R，下列命题正确的是（　　） A．若a＞b，则a2＞b2 B．c∈R，若a＞b，则ac2＞bc2 C．若﹣3a＞﹣3b，则a＜b D．a≠0，b≠0，若a＞b，则 【答案】C 【分析】根据不等式的性质直接判断． 【解析】选项A，如a＝0，b＝﹣1，不等式不成立，选项A错误， 选项B，如c＝0，不等式不成立，选项B错误， 选项C，根据不等式两边同除以﹣3，不等号改变，∴选项C正确， 选项D，如a＝1，b＝﹣1，不等式不成立，选项D错误， 故选：C． 题型03由不等式的性质比较数(式)大小 【典例】（24-25高一下·重庆·期中）若，，，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】举反例排除ABD，利用不等式的性质判断C即可得解. 【解析】对于A，取，满足，但，故A错误； 对于B，取，满足，但，故B错误； 对于D，取，则，故D错误； 对于C，因为，则， 又，所以，故C正确. 故选：C. 利用不等式的性质比较两式的大小时，往往利用不等式的基本性质进行多次变形，从而得到所比较的两个式子的大小. 【变式1】（2025•孝义市开学）已知，则下列结论正确的是（　　） A．a＜b B．a+b＜ab C．|a|＞|b| D．ab＞b2 【答案】B 【分析】由得b＜a＜0，从而对四个选项依次判断即可． 【解析】∵， ∴b＜a＜0， ∴b＜a，a+b＜ab，|a|＜|b|，ab＜b2， 故选项B正确， 故选：B． 【变式2】已知，，试比较与的大小. 【答案】答案见解析. 【分析】讨论的符号，根据不等式的性质即可证明. 【解析】由，， 当时，则， 当时，则， 当时，则. 题型04 作差法比较大小 【典例】（23-24高一上·贵州六盘水·期中）比较大小： （1）设，比较的大小； （2）设，比较的大小； 【答案】（1）；（2）；③； 【分析】（1）利用有理根式可得，再由即可得的大小关系；（2）用作差法比较即可； 【解析】（1） ， 因为， 所以， 即； . (2) ， . (1)作差法比较的步骤：作差―→变形―→定号―→结论． (2)变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④分母或分子有理化；⑤分类讨论． 【变式1】如果，比较与的大小并证明． 【答案】，证明见解析 【分析】利用作差法比较大小即可. 【解析】，理由如下： ， 当时等号成立，所以. 【变式2】若，试比较与的大小． 【答案】 【分析】分组因式分解，得到，结合条件即得. 【解析】 ， 因为，所以， 故. 【变式3】（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）设、均为正实数，试比较和的大小． 【答案】当时，；当时，；当时，． 【解析】． 因为，均为正实数，所以． 当，即时，，此时； 当，即时，，此时； 当，即时，，此时．     综上可得：当时，； 当时，； 当时，． 题型05作商法比较大小 【典例】（24-25高一下·黑龙江鹤岗·期末）设，比较与的大小 【答案】 【分析】先判断两个式子的符号，然后利用作商法与1进行比较即可. 【证明】， ， ， . 当所比较的两个数或代数式含有幂、指数式或分式时，常考虑作商法. 【变式1】比较与的大小； 【答案】 【分析】利用作商法，分类讨论即可； 【解析】因为， 所以， 所以①当时，， 所以， ②当时，， 即， 所以， ③当时，， 即， 所以， 综上所述：当，. 【变式2】（23-24高一·江苏·假期作业）已知，试比较和的大小. 【答案】 【分析】方法1：采用作商比较法，结合分母有理化即可求解；方法2：先计算，从而可得，进而可求解. 【解析】（方法1）因为，所以. 所以. 因为，所以，即； （方法2）所以， 又， 所以 , 所以. 题型06利用不等式性质求值或取值范围 【典例1】（2025湖北武汉高一上联考）已知，，求，及的取值范围． 【答案】的取值范围为；的取值范围为；的取值范围为. 【分析】结合不等式的基本性质即可求解. 【解析】（1）因为， 所以， 又，两个不等式相加可得，即． 因为，所以， 又，两个不等式相加可得，即． 因为，所以， 当时，两个不等式相加乘可得：，即； 当时，两个不等式相加乘可得：，即， 所以． 的取值范围为；的取值范围为；的取值范围为. 【典例2】已知，，求的取值范围. 【答案】 【分析】计算出，从而得到，得到答案. 【解析】设， ∴， ∴，解得， 故， ∵，， ∴，， ∴， 即， 故的取值范围为. 【易错警示】本例中如果由，得到x,y的取值范围，再求x-2y的取值范围，那么得到的结果不是正确答案.这是因为求得的x,y的取值范围与已知条件不是等价关系. 利用性质求范围问题的基本要求 (1)利用不等式性质时，要特别注意性质成立的条件，如同向不等式相加，不等号方向不变，两边都是正数的同向不等式才能相乘等. (2)要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性. 【变式1】（24-25高一上·四川德阳·阶段练习）若，则的范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的性质计算可得. 【解析】因为，所以，所以， 即的范围为. 【变式2】（2025高二下·湖南株洲·学业考试）若实数x，y满足，，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据不等式的性质计算即可求解. 【解析】由，得， 又，所以. 即的取值范围为. 【变式3】（24-25高一上·四川眉山·期末）已知，，，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用换元法，结合不等式性质，可得答案. 【解析】令，则，即， 由，即，可得，则. 题型07 证明不等式 【典例】（1）已知，，，求证：； （2）证明：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【证明】（1）因为，所以．又，所以，则，所以，即．又，所以． （2）要证，只需证，即证，即证，即证，即证，显然成立，所以． (1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用． (2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则． 【变式1】求证：． 【答案】证明见解析 【分析】利用浓度不等式进行放缩，即可证明. 【解析】‌由浓度不等式，可得， 则有， 于是， ， 因此． 证明浓度不等式：，其中， 证明：， 所以. 【变式2】（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）（1）已知，，，求证：． （2）已知，，，，求证：． 【答案】证明见解析；证明见解析 【分析】（1）利用不等式的性质证明； （2）利用基本不等式“1”的妙用证明不等式. 【解析】（1）证明：∵，∴， 又∵，∴，∴， 又∵，∴； （2）证明：∵，，，且， ∴ ，当且仅当时取等号． . 题型08 等式性质与不等式性质的综合运用 【典例】（24-25高三下·浙江·阶段练习）已知，，为正整数，，则方程的解得个数为（    ） A．8 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】首先根据题中所给的条件，可以断定，之后对分别求解，得到结果. 【解析】因为，所以， 当时，则，即， 可得可取； 当时，则， 可得可取； 当时，则，解得，或， 进而解得为； 当时，则，可得为； 所以方程的解的个数为， 故选：B. 不等式的性质常与方程综合，判断方程根的个数的问题，在解题的过程中，注意结合不等式的性质，求得某个变量的取值，分类讨论求得结果. 【变式1】（24-25高一下·四川成都·期中）实数，，满足且，则下列关系成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等式可变形为，利用完全平方可得大小，由得，做差，配方法比较大小. 【解析】由可得，则， 由可得，利用完全平方可得 所以， ， ，综上， 故选：D 【变式2】（2023高一·上海·专题练习）给定无理数．若正整数满足． (1)试比较三数，，的大小； (2)若，证明下面三个不等式中至少有一个不成立 ①；②；③． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【分析】（1）作差法比较大小； （2）利用反证法，因，又，故可分，与证明. 【解析】（1）由题意可知，，所以bc＞ad， 所以，所以， ，所以， 所以； （2）证明：由（1） ，又 若 假设①；②；③都成立， ①③之和可得：④， ②③之和可得：⑤， ④化简得，⑤化简得， 由④⑤之和可得：， 即，则， 又为正整数，所以是有理数，故矛盾；假设不成立 若且，同理可证下列三个不等式中至少有一个不成立； ①；②；③ 所以三个不等式中至少有一个不成立. 题型09 不等式性质与充分必要性的综合 【典例】（24-25高三下·江西赣州·阶段练习）已知实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】化简，对照条件的定义可得答案. 【解析】不等式，等价于， 因为，所以，显然，不一定得出； 也不一定得出. 故选：D 对于不等式与充分性、必要性综合的问题，一般利用不等式的性质推证充分性或必要性是否成立，即不等式的性质在解题中取到解题工具的作用. 【变式1】（2025·山东泰安·模拟预测）已知，，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必聚条件 【答案】A 【分析】令可判断必要性，设取绝对值可判断充分性. 【解析】当时，成立，但不成立， 所以是不必要条件； 若，则，所以是充分条件. 综上，是的充分不必要条件. 故选：A 【变式2】（24-25高一下·广东湛江·期中）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据充分必要条件的定义结合举反例说明. 【解析】当，，时，满足，此时，即不能推出； 当，，时，满足，此时，即不能推出. 故“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 题型10 不等式性质的实际应用 【典例】（2025春•芜湖期末）甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则（　　） A．甲先到教室 B．乙先到教室 C．两人同时到教室 D．谁先到教室不确定 【答案】B 【分析】比较走完路程所用时间大小来确定谁先到教室，故应把两人到教室的时间用所给的量表示出来，作差比较 【解析】设步行速度与跑步速度分别为v1，v2， 显然v1＜v2，总路程为2s， 则甲用时间为，乙用时间为， 而 0， 故，故乙先到教室， 故选：B． 实际问题中的比较两个量的大小问题，往往能转化为不等式中的比较两个数（或式）的大小问题，再作差或作商得到结果. 【变式1】某次全程马拉松比赛中，选手甲前半程以速度a匀速跑，后半程以速度b速跑；选手乙前一半时间以速度a匀速跑，后半时间以速度b匀速跑（注：速度单位m/s），若a≠b，则（　　） A．甲先到达终点 B．乙先到达终点 C．甲乙同时到达终点 D．无法确定谁先到达终点 【答案】B 【分析】根据题意，设全程的距离为2s，用s、a、b表示甲、乙的时间，用作差法分析可得答案． 【解析】根据题意，设全程的距离为2s， 对于甲，前半程s的时间为，后半程的时间为，则甲的时间t1， 对于乙，前一半时间以速度a匀速跑，后半时间以速度b匀速跑，则有ab2s， 变形可得t2， 则有t1﹣t2[（a+b）2﹣4ab]（a﹣b）2， 又由a≠b，则t1﹣t2＞0， 故乙先到达终点， 故选：B． 【变式2】（2021秋•杨浦区校级期中）现有A，B，C，D四个长方体容器，A，B的底面积均为x2，高分别为x，y；C，D的底面积均为y2，高分别为x，y（其中x≠y）．现规定一种两人的游戏规则：每人从四种容器中取两个盛水，盛水多者为胜．问先取者在未能确定x与y大小的情况下有没有必胜的方案？若有的话，有几种？ 【答案】见解析 【分析】当x＞y时，利用不等式的性质可得：x3＞x2y＞xy2＞y3，即A＞B＞C＞D；当x＜y时，同理可得：y3＞y2x＞yx2＞x3，即D＞C＞B＞A；又x3+y3﹣（xy2+x2y）＞0．即可得出． 【解析】①当x＞y时，则x3＞x2y＞xy2＞y3，即A＞B＞C＞D；在此种条件下取A，B能够稳操胜券． ②当x＜y时，则y3＞y2x＞yx2＞x3，即D＞C＞B＞A；在此种条件下取D，C能够稳操胜券． ③又x3+y3﹣（xy2+x2y）＝（x3﹣x2y）+（y3﹣xy2）＝（x﹣y）2（x+y）＞0． ∴在不知道x，y的大小的情况下，取A，D能够稳操胜券，其他的都没有必胜的把握． 故可能有1种，就是取A，D． 【变式3】（24-25•怀仁市校级月考）某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠”．乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠”．这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠． 【答案】当单位去的人数为5时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠． 【分析】根据两家的政策，求出坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元，作差，即可得出结论． 【解析】设该单位有职工n人（n∈N*），全票价为x元，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元， 则y1＝xx（n﹣1）xxn，y2nx． 所以y1﹣y2 xxnnx xnx x（1）． 当n＝5时，y1＝y2； 当n＞5时，y1＜y2； 当0＜n＜5时，y1＞y2． 因此当单位去的人数为5时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠． 题型11 与不等式有关的新定义题 【典例】（2024·河北邯郸·三模）记表示x，y，z中最小的数．设，，则的最大值为 ． 【答案】2 【分析】分是否大于进行讨论，由此即可简化表达式，若，则可以得到，并且存在，，使得，，同理时，我们可以证明，由此即可得解. 【解析】若，则，此时， 因为，所以和中至少有一个小于等于2， 所以，又当，时，， 所以的最大值为2． 若，则，此时， 因为，所以和中至少有一个小于2， 所以． 综上，的最大值为2． 故答案为：2. 与不等式有关的新定义题求解的关键是：通过读题、审题，充分挖掘问题中所隐含的信息，弄懂新定义的含义，再借助新定义及不等式的性质去解决问题． 【变式】（2025届北京五十五中高一上期中）定义为，，中的最大值，设，则y的最小值为 ． 【答案】4 【分析】根据题意画出函数的图象，再根据图象即可得到函数的最小值. 【解析】分别画出的图象，则函数y的图象为图中实线部分， 如图，函数y的最低点为， 由，解得或，即， 所以y的最小值为4. 题型12 与不等式有关的开放探究题 【题型】（24-25高三上·北京通州·期末）已知均为大于0的实数,给出下列五个论断:①,②,③,④,⑤.以其中的两个论断为条件,余下的论断中选择一个为结论,请你写出一个正确的命题 . 【答案】①③推出⑤(答案不唯一还可以①⑤推出③等) 【分析】选择两个条件根据不等式性质推出第三个条件即可，答案不唯一. 【解析】已知均为大于0的实数,选择①③推出⑤. ①，③， 则， 所以. 故答案为：①③推出⑤ 此题考查根据不等式的性质比较大小，在已知条件中选择两个条件推出第三个条件，属于开放性试题，写出一个符合要求的答案即可. 【变式】（23-24高一上·北京西城·期中）已知a，b，c为实数，能说明“若，则”为假命题的一组a，b，c的值是 . 【答案】，，(答案不唯一) 【分析】可以直接选一组特殊值，只要能满足，但是即可. 【解析】当时，，， 此时满足，但是. 故答案为：(答案不唯一). 一、单选题 1.为安全燃放某种烟花，现收集到以下信息： ①此烟花导火索燃烧的速度是每秒0.6厘米； ②人跑开的速度为每秒4米； ③距离此烟花燃放点50米以外（含50米）为安全区． 为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x（厘米）应满足的不等式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直接由题意可列出不等关系式即可．由题意可得450． 故选：B． 2.设，，则（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】运用作差法比较大小即可. 【解析】因为，所以.故选：A. 3.（2025·山西临汾·二模）若，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质即可求解. 【解析】由可得， 故， 故选：D 4．（24-25高一上·北京·期中）若，，为非零实数，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】举反例说明ABD是错误的，根据不等式的性质判断C的真假. 【解析】令，，则，， 因为此时，故A不成立； ，故B不成立； ，故D不成立； 根据不等式的基本性质：，，故C成立. 故选：C 5．若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，所以，，所以，，故A正确，B错误；当时，，，故C错误，D错误． 6．已知，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】．当时，结合，可得．反之，如，亦成立，却推不出．故“”是“”的充分不必要条件． 7．（21-22高一上·辽宁大连·期中）近来猪肉价格起伏较大，假设第一周､第二周的猪肉价格分别为a元/斤､b元/斤，甲和乙购买猪肉的方式不同，甲每周购买20元钱的猪肉，乙每周购买6斤猪肉，甲､乙两次平均单价为分别记为，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的大小无法确定 【答案】C 【分析】分别计算甲､乙购买猪肉的平均单价，作商法，结合基本不等式比较它们的大小. 【解析】甲购买猪肉的平均单价为：， 乙购买猪肉的平均单价为：， 显然， 且， 当且仅当时取“=”，因为两次购买的单价不同，即，所以， 即乙的购买方式平均单价较大.故选：C. 8．（2025·广西南宁·模拟预测）由杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司推出，该公司是一家专注于人工智能（）的中国初创公司．其模型于2024年年底发布，此模型足以媲美，一经推出便成为全球热门话题．利用进行学习已经成为一种学生自主学习的全新方式，但是目前市场各种模型运算参差不齐．技术人员对n个模型进行测试，测试由m道题组成，每个模型都对这道题逐一进行求解．若一道题至少有个模型未解对，则称此题为难题；若一个模型至少解出了道题，则该模型测试成绩合格．如果测试至少有个模型成绩合格，且测试中至少有道题为难题，那么的最小值为（   ） A．6 B．9 C．18 D．27 【答案】B 【分析】设有个模型合格，道题为难题，得到，再结合，求得范围即可求解. 【解析】设有个模型合格，道题为难题，则， 依题意有， 所以 所以， 同理 ， 要使两式有整数解，则，所以． 当时，若3个模型生答题情况如下表： 题目1 题目2 题目3 1 √ √ × 2 √ × √ 3 √ × × 则有2个模型合格，2个难题，符合题意，所以的最小值为9． 故选：B 二、多选题 9．（25-26高一上·全国·课后作业）设，则P，Q，R的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】因为，所以． 因为， 又，所以，所以． 10.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则下列命题正确的是（    ） A．若且，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 【答案】BC 【解析】对于A，取，则不成立，故A错误；对于B，若，则，所以，故B正确；对于C，若，则，所以，所以，故C正确；对于D，若且，则，而b可能为0，故D错误． 11．（24-25高一下·广西柳州·开学考试）在下列四个命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．已知，，则 D．已知，若，，则 【答案】CD 【分析】根据不等式的性质即可求解AB，利用整体法，结合不等式的性质求解C，利用作差法即可求解D. 【解析】对于A,由，故，故A错误， 对于B，由于，所以， 又，所以， 又，故，故， 因此，故B错误， 对于C,由于，结合，， 则，故C正确， 对于D, ，由于，， 故，即，故D正确， 故选：CD 三、填空题 12．已知经过计算和验证有下列正确的不等式：,,, ,,根据以上不等式的规律,写出一个一般性的不等式 . 【答案】 【解析】根据已知条件，可知左边表示的连续正整数的倒数和，并且有项的和，右边是分母为2，分子是n,即为，因此我们可以得到一般结论：． 13.若实数x，y满足，则的取值范围是 ；若实数x，y满足，则的取值范围是 ． 【答案】 ， 【解析】若x，y满足，则，从而．若，设，所以解得，则有，所以． 14．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知实数满足，则的取值范围为 【答案】 【分析】先证明和，即可得到，最后验证上的每个值都能被取到，即可得到的取值范围是. 【解析】①一方面，由于，故，从而. 又由于，故. 将和结合，就得到，即. ②另一方面，对任意，可验证是方程的正数解. 此时取，根据上面方程，就有，同时显然有. 综合①②两个方面，即知的取值范围是. 四、解答题 15．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）（1）已知，比较与的大小． （2）比较与的大小． 【答案】（1），（2） 【分析】（1）（2）利用作差法即可求解. 【解析】（1）， 由于，所以，所以， 故 （2）， 因为，即 所以. 16.已知，且． (1)求证：； (2)求证：． 【证明】（1）解法1  因为且，所以，且，两边取倒数得，又，则，从而得证． 解法2  因为且，所以，且，所以，即． （2）因为且，所以，，则，，由，可得，即，所以，即．综上，． 17.（24-25高一上·北京西城·期末）已知实数，满足，． (1)求和的取值范围； (2)证明：． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）根据条件，利用不等式的性质，即可求解； （2）通过作差，得到，再根据条件，即可求解. 【解析】（1）因为，，所以， 当，时，则，，此时， 当，时，则，此时，得到， 当，时，则，此时，得到， 当，时，， 又当或时，， 综上，. （2）因为， 又，，则，， 所以，得到. 18.（24-25高一上·上海·期中）现要在阁楼屋顶（可视作如图所示的锐角三角形）上开一内接矩形窗户（阴影部分），设其一边长（单位：）为.一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于，而且这个比值越大，采光效果越好 (1)若阁楼的窗户面积与地板面积的总和为16.5平方米，则当边长为多少米时窗户面积最小？最小值是多少平方米？ (2)若同时增加相同的窗户面积和地板面积，采光效果是变好了还是变坏了？试说明理由. 【答案】(1)为米或米时，窗户面积最小，最小值为平方米. (2)变好了，理由见解析 【分析】（1）由题意列不等式求的最小值并求此时的值； （2）设列不等式组化简求解；设a和b分别表示公寓原来窗户面积和地板面积，表示窗户和地板所增加的面积，再比较和的大小即得解. 【解析】（1）设矩形的另一边长为，由三角形相似得，且， 所以， 又矩形面积 设地板面积为，解不等式组，解得， 故当时，窗户面积最小， 此时由（1）可得或， 故当为米或米时，窗户面积最小，最小值为平方米. （2）设和分别表示原来窗户面积和地板面积，表示窗户和地板所增加的面积（面积单位都相同）， 由题意得：，则， 因为， 所以. 又，所以， 因此，即， 所以窗户和地板同时增加相等似面积，采光条件变好了. 19．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）对在平面直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“下位点”. (1)点是点的“下位点”吗?请简单说明理由; (2)若点是点的“下位点”，试判断之间的大小关系； (3)设正整数满足条件:对集合内的每个，总存在正整数，使得是的“下位点”，且是的“下位点”，求正整数的最小值. 【答案】(1)是，理由见解析；(2)；(3) 【分析】（1）利用定义即可判断点是点的“下位点”； （2）易知，利用作差法即可知； （3）根据都为整数，由定义可知需满足和，解不等式即可得，再利用恒成立问题即可得正整数的最小值为. 【解析】（1）根据定义，易知， 是的“下位点” （2）是的“下位点” 易知和都是第一象限内的点，可知，，，均为正数, 故，即 同理可得，即； 综上所述：； （3）由已知得， 因为为整数， 故， 解得， 该式对集合内的每一个的每个正整数都成立， 所以正整数的最小值为. 27 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$