第1章 §4 4.3 一元二次不等式的应用（课件PPT）-【优化指导】2025-2026学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

预备知识 §4　一元二次函数与一元二次不等式 4.3　一元二次不等式的应用 第一章 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 学习目标 1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义； 2．能够构建一元二次函数模型，解决实际问题(重、难点). 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 B 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 C 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 A 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 B 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 B 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 B 水平达标 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 B 水平达标 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 水平达标 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 水平达标 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 课时梯级训练（15） 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 谢谢观看 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 探究一　简单的分式不等式的解法 [例1] 解下列不等式： (1)＜0；(2)≥0；(3)＞1. (1)原不等式可化为(x＋1)(2x－1)＜0， ∴－1＜x＜， 故原不等式的解集为{x|－1＜x＜}． (2)原不等式可化为≤0， ∴∴ 即－＜x≤1. 故原不等式的解集为{x|－＜x≤1}． (3)原不等式可化为－1＞0， ∴＞0，∴＞0，则x＜－2. 故原不等式的解集为{x|x＜－2}． 拓展·提升 1．>0⇔ab>0；≤0⇔ 2．分式不等式的解法 (1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零． (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零的形式，然后再用上述方法求解． [练1] (1)不等式≥1的解集是 (　　) A．{x|≤x≤2} B．{x|≤x<2} C.{x|x＞2，或x≤} D．{x|x≥} (2)若关于x的不等式ax－b>0的解集为{x|x>1}，则关于x的不等式>0的解集为 (　　) A．{x|x<－2，或x>1} B．{x|1<x<2} C．{x|x<－1，或x>2} D．{x|－1<x<2} (1)不等式≥1，移项得－1≥0，即≤0，可化为解得≤x<2，则原不等式的解集为{x|≤x<2}．故选B. (2)∵x＝1为ax－b＝0的根，∴a－b＝0，即a＝b， ∵ax－b>0的解集为{x|x>1}， ∴a>0，故＝>0， 等价为(x＋1)(x－2)>0. ∴x<－1或x>2. ∴原不等式的解集为{x|x＜－1，或x＞2}．故选C. 探究二　不等式恒成立问题 [例2] 若不等式ax2＋2ax－4＜2x2＋4x对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是 (　　) A．{a|－2＜a≤2} B．{a|－2＜a＜2} C．{a|a≠2} D．{a|a≤2} 不等式ax2＋2ax－4＜2x2＋4x，可化为(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0. 当a－2＝0，即a＝2时，不等式恒成立，符合题意； 当a－2≠0时，要使不等式恒成立，需解得－2＜a＜2.综上所述，－2＜a≤2.故选A. 拓展·提升 一元二次不等式在R上的恒成立问题的解题思路 (1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，对任意实数x∈R恒成立的条件是 (2)一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，对任意实数x∈R恒成立的条件是 (3)一元二次不等式ax2＋bx＋c<0，对任意实数x∈R恒成立的条件是 (4)一元二次不等式ax2＋bx＋c≤0，对任意实数x∈R恒成立的条件是 [练2] 若关于x的不等式(a－1)x2－(a－1)x－1＜0的解为一切实数，求实数a的取值范围． 当a－1＝0，即a＝1时，－1＜0恒成立，符合题意； 当a－1≠0，即a≠1时， 则有 解得－3＜a＜1. 综上所述，实数a的取值范围是{a|－3＜a≤1}． 探究三　一元二次不等式的实际应用 [例3] (2025·成都高一检测)某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ 设每件商品的定价为t元，依题意得(8－×0.2)t≥25×8，整理得t2－65t＋1 000≤0，解得25≤t≤40. 所以要使销售的总收入不低于原收入，每件商品的定价最多为40元． 拓展·提升 利用一元二次不等式解决实际问题的步骤 (1)选取合适的字母表示题中的未知数； (2)由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)； (3)求解所列出的不等式(组)； (4)结合题目的实际意义确定答案． [练3] (1)某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x(件)与单价P(元)之间的关系为P＝160－2x，生产x件所需成本为C(元)，其中C＝500＋30x元，若要求每天获利不少于1 300元，则日销量x的取值范围是 (　　) A．{x|20≤x≤30} B．{x|20≤x≤45} C．{x|15≤x≤30} D．{x|15≤x≤45} (2)(2025·福建高一期末)某商店进了一批服装，每件进价为60元．当每件售价为90元时，每天可售出30件．在一定的范围内这批服装的售价每降低1元，每天就多售出1件．若使每天的利润最大，售价应为 (　　) A．60元 B．90元 C．80元 D．70元 (1)设该厂每天获得的利润为y元， 则y＝(160－2x)x－(500＋30x)＝－2x2＋130x－500(0＜x＜80). 由题意，知－2x2＋130x－500≥1 300，即x2－65x＋900≤0， 解得20≤x≤45， 所以日销量x的取值范围是{x|20≤x≤45}．故选B. (2)设每件售价定为(90－x)元，则销售件数增加了x件． ∴每天所获利润为y＝(90－x－60)(30＋x)＝－x2＋900(x≥0)， 故当x＝0时，每天所获利润最大． 故售价定为每件90元时，可获最大利润．故选B. 特别提醒：不等式恒成立问题一定要注意其二次项的系数是否为零． 1．不等式≥0的解集为 (　　) A．{x|0≤x≤2} B．{x|0＜x≤2} C．{x|x＜0，或x≥2} D．{x|x＜0，或x＞2} 由原式得x(x－2)≤0且x≠0， 解得0＜x≤2.故选B. 2．某商品在最近30天内的价格m(单位：元)与时间t(单位：天)的函数关系是m＝t＋10(0<t≤30，t∈N)；销售量y与时间t的函数关系是y＝－t＋35(0<t≤30，t∈N)，则使这种商品日销售金额不小于500元的t的范围为 (　　) A．{t|15≤t≤20，t∈N} B．{t|10≤t≤15，t∈N} C．{t|10<t<15，t∈N} D．{t|0<t≤10，t∈N} 由日销售金额为(t＋10)(－t＋35)≥500(0＜t≤30，t∈N)，即t2－25t＋150≤0(0＜t≤30，t∈N)， 解得10≤t≤15(t∈N).故选B. 3．若不等式x2－px＋9≥0的解为一切实数，则p的取值范围为________________． 答案：{p|－6≤p≤6}　 由题意可知，Δ＝p2－36≤0，解得－6≤p≤6. 4．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y＝3 000＋20x－0.1x2(0<x<240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是________台． 答案：150　 依题意得25x≥3 000＋20x－0.1x2，整理得x2＋50x－30 000≥0， 解得x≥150或x≤－200(舍去). 因为0＜x＜240，所以150≤x＜240，即最低产量是150台． $$