第1章 §4 4.1 一元二次函数（课件PPT）-【优化指导】2025-2026学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

预备知识 §4　一元二次函数与一元二次不等式 4．1　一元二次函数 第一章 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 学习目标 1.掌握一元二次函数的图象及图象变换． 2．会求一元二次函数的最值及相关问题(重、难点). 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 抛物线 (h，k) x＝h 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 向上 最小值 ymin＝k 向下 最大值 ymax＝k 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 |h| |k| 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 × × × × 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 B 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 B 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 AD 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 D 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 B 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 C 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 B 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 B 水平达标 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 C 水平达标 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 D 水平达标 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 水平达标 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 课时梯级训练（13） 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 谢谢观看 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 一、一元二次函数及性质 1．函数y＝a(x－h)2＋k的图象是一条_________，顶点坐标是_____________，对称轴是直线_______． 2．当a＞0时，抛物线开口______；在区间(－∞，h]上，函数值y随自变量x的增大而减小；在区间[h，＋∞)上，函数值y随自变量x的增大而增大；函数在x＝h处有_________，记作_____________． 当a＜0时，抛物线开口______；在区间(－∞，h]上，函数值y随自变量x的增大而增大；在区间[h，＋∞)上，函数值y随自变量x的增大而减小；函数在x＝h处有_________，记作_____________． “一元二次函数y＝ax2＋bx＋c”的特点： (1)a是二次项的系数，不等于0； (2)a的正负决定抛物线的开口方向； (3)a的绝对值大小决定抛物线的形状． 二、一元二次函数的图象变换 1．抛物线 通常把一元二次函数的图象叫作抛物线． 2．一元二次函数的图象变换 一元二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象可以由y＝ax2的图象经过向左(或向右)平移________个单位长度，再向上(或向下)平移________个单位长度而得到． (1)“a”决定了函数图象的开口大小及方向； (2)“h”决定了函数图象的左、右平移，而且“h正右移，h负左移”； (3)“k”决定了函数图象的上、下平移，而且“k正上移，k负下移”． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)二次函数y＝3x2的图象开口比y＝x2的图象开口要大． (　 　) (2)要得到y＝－(x－2)2的图象，需要将y＝－x2的图象向左平移2个单位长度． (　 　) (3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)一定有最小值． (　 　) (4)二次函数y＝x2－2x＋1图象的对称轴为直线x＝－1. (　 　) 2．函数y＝2x(3－x)的图象可能是 (　　) 由2x(3－x)＝0得x＝0或x＝3，可知图象与x轴的交点为(0，0)，(3，0)，排除A，C.又y＝2x(3－x)＝－2x2＋6x，所以图象开口向下，故排除D. 3．把函数y＝x2的图象向下平移1个单位长度，将得到的函数图象上各点横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得到的图象的函数解析式为 (　　) A．y＝2x2－1　　　　 B．y＝2x2－2 C．y＝2x2＋1 D．y＝2x2＋2 把函数y＝x2的图象向下平移一个单位长度，得到函数y＝x2－1的图象，横坐标不变，纵坐标变为原来的两倍，得y＝2(x2－1)＝2x2－2的图象． 4．二次函数y＝2x2与y＝－2x2的图象开口大小________，开口方向________． 答案：相同　相反　 由|2|＝|－2|，知两个函数图象的开口大小相同；由2>0，－2<0，知两个函数图象的开口方向相反． 5．若函数f(x)＝x2－2ax在(－∞，5]上是单调递减的，在[5，＋∞)上是单调递增的，则实数a＝________． 答案：5　 由题知二次函数图象的对称轴为直线x＝5，∴a＝5. 探究一　求二次函数解析式 [例1] (1)已知一元二次函数的最大值是8，且当x＝2时，y＝－1；当x＝－1时，y＝－1.求此一元二次函数的解析式． (2)求函数y＝x2－3x－7(x∈R)的最小值． (1)方法一(一般式)　设y＝ax2＋bx＋c(a≠0).由题意得 解得 所以所求一元二次函数的解析式为y＝－4x2＋4x＋7. 方法二(顶点式)　设y＝a(x－m)2＋n. ∵当x＝2时，y＝－1，且x＝－1时，y＝－1.∴抛物线的对称轴为x＝＝. ∴m＝.又根据题意知函数有最大值8， ∴n＝8.∴y＝a(x－)2＋8. 又抛物线过点(2，－1)， ∴a(2－)2＋8＝－1，解得a＝－4， ∴y＝－4(x－)2＋8＝－4x2＋4x＋7. (2)y＝x2－3x－7＝(x－)2－， 因为x∈R，所以当且仅当x＝时，ymin＝－. 一元二次函数解析式的求法 (1)若已知三个点，则设为一般式y＝ax2＋bx＋c，a，b，c为常数，a≠0的形式； (2)若已知顶点或对称轴、最值，则设为顶点式y＝a(x－h)2＋k(其中顶点为(h，k)，a为常数，a≠0)； (3)若已知图象与x轴的两个交点的坐标为(x1，0)，(x2，0)，则设为两根式y＝a(x－x1)(x－x2)(a为常数，且a≠0). [练1] 根据下列条件，求一元二次函数的解析式： (1)图象过点(1，1)，(0，2)，(3，5)； (2)图象顶点为(1，2)并且过点(0，4)； (3)图象过点(2，0)，(4，0)，(0，3). (1)设函数解析式为y＝ax2＋bx＋c， 由题意知解得 ∴函数解析式为y＝x2－2x＋2. (2)设所求函数解析式为y＝a(x－1)2＋2. 整理得y＝ax2－2ax＋a＋2，∴a＋2＝4，∴a＝2. ∴函数解析式为y＝2x2－4x＋4. (3)设所求函数解析式为y＝a(x－2)(x－4)， 整理得y＝ax2－6ax＋8a， ∴8a＝3，∴a＝. ∴函数解析式为y＝(x－2)(x－4). 探究二　一元二次函数的图象及应用 [例2] 已知一元二次函数y＝2x2－4x－6. (1)确定此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标，并画出函数图象； (2)求此函数图象与x轴、y轴的交点坐标，并求出以此三点为顶点的三角形的面积； (3)x为何值时，y>0，y＝0，y<0? (1)配方，得y＝2(x－1)2－8. ∵a＝2>0，∴函数图象开口向上，对称轴是直线x＝1，顶点坐标是(1，－8). 列表： x －1 0 1 2 3 y 0 －6 －8 －6 0 描点并画图，得函数y＝2x2－4x－6的图象，如图所示． (2)由图象得函数图象与x轴的交点坐标为A(－1，0)，B(3，0)，与y轴的交点坐标为C(0，－6). ∴S△ABC＝|AB|·|OC|＝×4×6＝12. (3)由函数图象知，当x<－1或x>3时，y>0；当x＝－1或x＝3时，y＝0；当－1<x<3时，y<0. 1．定位条件：对称轴；定形条件：a的正负． 2．一元二次函数及图象应用的关注点 (1)由解析式可确定图象形状及位置． (2)结合图象形状及位置通过特殊点可画图象． (3)结合图象解决相关问题． [练2] (1)(多选)对于函数y＝2(x－3)2＋1，下列说法正确的是 (　　) A．其图象开口向上 B．其图象的对称轴为直线x＝－3 C．函数有最大值1 D．当x<3时，y随x的增大而减小 (2)已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a>b>c且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是 (　　) (1)对于选项A，因为x2的系数为2，所以其图象开口向上，所以该选项正确；对于选项B，其图象的对称轴为直线x＝3，所以该选项错误；对于选项C，函数有最小值1，所以该选项错误；对于选项D，当x<3时，y随x的增大而减小，所以该选项正确．故选AD. (2)∵a>b>c，且a＋b＋c＝0，∴a>0，c<0.故选D. 探究三　二次函数图象变换 [例3] 抛物线y＝2(x－1)2＋3可以看作是由抛物线y＝2x2经过以下哪种变换得到的 (　　) A．向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度 B．向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度 C．向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度 D．向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度 因为抛物线y＝2(x－1)2＋3的顶点坐标为(1，3)，抛物线y＝2x2的顶点坐标为(0，0)，所以抛物线y＝2(x－1)2＋3可以看作是由抛物线y＝2x2向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到．故选B. 一元二次函数图象平移问题的解题策略 (1)要注意平移的方向，即由哪个函数图象变换到另一个函数图象； (2)将函数解析式化为y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的形式； (3)判定h与k的正负，利用“左加右减，上加下减”的规则判定平移的方向和大小． [练3] (1)若想得到函数y＝－3(x－2)2＋1的图象，应将函数y＝－3x2的图象 (　　) A．向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度 C．向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度 D．向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度 (2)将抛物线y＝x2－6x＋21向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的新抛物线的解析式为 (　　) A．y＝(x－8)2＋5 B．y＝(x－4)2＋5 C．y＝(x－8)2＋3 D．y＝(x－4)2＋3 (1)根据函数图象平移“左加右减，上加下减”的规则，要得到函数y＝－3(x－2)2＋1的图象，只需将函数y＝－3x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，选项C正确．故选C. (2)抛物线y＝x2－6x＋21＝(x－6)2＋3，它的顶点坐标是(6，3).将其向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到新抛物线的顶点坐标为(4，5)，所以新抛物线的解析式是y＝(x－4)2＋5.故选B. 特别提醒：一元二次函数的最值与其开口方向的关系易出错． 1．函数y＝4－x(x－2)图象的顶点坐标和对称轴方程分别是 (　　) A．(2，4)，x＝2 B．(1，5)，x＝1 C．(5，1)，x＝1 D．(1，5)，x＝5 y＝4－x(x－2)＝－x2＋2x＋4＝－(x－1)2＋5，∴函数图象的顶点坐标为(1，5)，对称轴为直线x＝1.故选B. 2．已知函数y＝ax2＋bx＋1(a≠0)的图象的对称轴是直线x＝1，并且函数的图象经过点A(－1，7)，则a，b的值分别是 (　　) A．2，4 B．－2，4 C．2，－4 D．－2，－4 由题意， 可得解得故选C. 3．将抛物线y＝x2＋1先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的新抛物线的表达式为 (　　) A．y＝(x＋2)2＋4 B．y＝(x－2)2－2 C．y＝(x－2)2＋4 D．y＝(x＋2)2－2 ∵一元二次函数的解析式为y＝x2＋1，∴顶点坐标为(0，1).将其顶点坐标向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到新的顶点坐标为(－2，－2)，可设新函数的解析式为y＝(x－h)2＋k，代入新的顶点坐标得y＝(x＋2)2－2.故选D. 4．函数y＝－x2＋4x＋6的最大值是________． 答案：10　 y＝－x2＋4x＋6＝－(x－2)2＋10，当x＝2时，y取得最大值10. $$