1.4.1一元二次函数与一元二次方程 课件-2022-2023学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

一元二次函数与一元二次方程 授课人：孙迎港 目 标 1 输入标题名称 2 输入标题名称 3 输入标题名称 4 输入标题名称 情景导入 在初中，我们学习了一元二次函数，认识这个函数的过程是从开始的，是由简到繁的过程，如下图： 平移宗旨：左加右减，上加下减 横坐标不变，纵坐标变为原来的倍 向上(向下)平移个单位长度 向右 个单位 向右 个单位 向右 个单位 向上(向下)平移个单位长度 向上(向下)平移个单位长度 （1）一元二次函数的图像可以由一元二次函数的图像平移而得到，下列平移正确的是（ ） A、先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度 B、先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度 C、先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度 D、先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度 （2）函数与函数之间如何变换能够得到？ 对点练习 新知概念 一、一元二次函数的基本知识点 1、一元二次函数的三种表达形式 一般式： 顶点式： 两点式： 2、一元二次函数的参数对图像的影响 （1）二次项系数决定抛物线的开口方向和开口大小，开口向上，开口向下，越大，开口越小，越小，开口越大。 （2）一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：直线，当同号时，对称轴在轴的右侧，异号时，对称轴在轴的左侧。 （3）常数项决定抛物线与轴的交点，交于点 （4）抛物线与轴的交点个数 当根判别式时，抛物线与轴有2个交点； 当根判别式时，抛物线与轴有1个交点； 当根判别式时，抛物线与轴没有交点； （5）共同决定了抛物线的顶点位置，顶点坐标 3、一元二次函数的简图画法 （1）判断开口方向：开口向上，开口向下 （2）确定对称轴：抛物线的对称轴为：直线 （3）确定顶点的坐标：顶点坐标 （4）确定与轴的交点：与轴交点的坐标为 （5）确定与轴的交点：公式计算(十字相乘) 画出函数的图像 对点练习 4、一元二次函数的性质（展示，不做讲解） 函数 一元二次函数 图像 性质 图像开口 向上 向下 对称轴 直线 图像顶点坐标 函数 一元二次函数 性质 图像坐标轴的交点 与轴的交点 当时，与轴有2个交点为； 当时，与轴有1个交点为； 当时，与轴没有交点； 最值 当时，有最小值， 为 当时，有最大值， 为 函数图像的变化趋势 在区间上，随的增大而减小，在区间上，随的增大而增大 在区间上，随的增大而增大，在区间上，随的增大而减小 已知一元二次函数 （1）写出图像的开口方向，对称轴，顶点坐标，与坐标轴的交点，以及最值； （2）画出函数的图像； （3）写出函数值的变化趋势； （4）观察图像：当取何值时，？当取何值时，? 对点练习 二、一元二次函数与相应一元二次方程的根 1、一元二次方程的定义 一般地，形如的方程为一元二次方程。 2、一元二次方程的解法 （1）直接开平方法：将方程两边都配成平方的形式，如： （2）求根公式法： 当时，方程有两个不相等的实数解： 当时，方程有两个相等的实数解： 当时，方程没有实数解 （3）因式分解法：将方程化成一边是两个一次式相乘的形式，一侧变为0 如： 用适当的方法求下列方程的根 （1） （2） 对点练习 3、一元二次方程跟与系数的关系（韦达定理） 如果一元二次方程的两根分别是，那么 常见变形： ① ② ③ 4、一元二次函数与相应一元二次方程的关系 一元二次函数的图像与轴交点的横坐标就是其相应的一元二次方程的根。 已知关于的一元二次方程有实数根， （1）求的取值范围； （2）若此方程的两个实数根满足，求的值。 对点练习 典例剖析 题型一 求一元二次函数的解析式（补充中点坐标公式） 例1、（1）已知一元二次函数的图像经过点，求解析式； （2）已知一元二次函数的图像经过点，且函数的最小值是，求函数的解析式； （3）已知一元二次函数的图像经过点，且最大值是，求函数的解析式； （4）已知一元二次函数图像的顶点坐标是，且函数图像与轴两交点间的距离为1，求函数的解析式。 题型二 一元二次函数的图像 例2、（1）一元二次函数和反比例函数在同一直角坐标系中的图像可能是（ ） （2）已知一元二次函数，求该抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标，与坐标轴的交点坐标，并画出该二次函数的图像，并指出函数 的图像是由函数的图像经过怎样的变换得到。 （3）（多选）如图，是一元二次函数图像的一部分，图像经过点，且对称轴为直线，则下列说法正确的是（ ） A、 B、 C、 D、 题型三 一元二次函数图像的性质 例3、已知函数。 （1）若在区间上，