第1章 §3 3.2 第2课时 基本不等式的应用（课件PPT）-【优化指导】2025-2026学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

预备知识 §3　不等式 3.2　基本不等式 第2课时　基本不等式的应用 第一章 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 学习目标 1.掌握基本不等式及其变形的应用． 2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题(重、难点). 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 × √ × 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 B 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 D 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 －4 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 B 8 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 C 6 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 B 水平达标 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 A 水平达标 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 A 水平达标 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 水平达标 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 课时梯级训练（12） 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 谢谢观看 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 基本不等式与最值 当x，y均为正数时，下面的命题均成立： (1)若x＋y＝s(s为定值)，则当且仅当x＝y时，xy取得最大值___； (2)若xy＝p(p为定值)，则当且仅当x＝y时，x＋y取得最小值_____． 2 “定值”即值是常数，这是有最值的前提，牢记“x＝y”是取得最值的条件．上面命题简记口诀：积定和最小，和定积最大． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)若a≠0，则a＋≥2＝2. (　 　) (2)若a>0，b>0，则ab≤()2. (　 　) (3)两个正数的积为定值，它们的和一定有最小值． (　 　) 2．(教材P30练习3改编)用铁丝围成一个面积为16 cm2的矩形，最少需要铁丝 (　　) A．8 cm　　　　　　　 B．16 cm C．32 cm D．64 cm 3．已知x＞1，则函数f(x)＝x＋的最小值为 (　　) A．2 B．2 C．2－1 D．2＋1 ∵x＞1，∴x－1＞0.∴x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝2＋1，当且仅当x－1＝，即x＝＋1时，等号成立． 4．已知xy>0，且x＋y＝10，则xy的最大值是________． 答案：25 探究一　利用基本不等式求最值 [例1] 已知x>0，则x＋的最小值是______________． 答案：4　 因为x>0，所以x＋≥2＝4，当且仅当x＝，即x＝2时，等号成立，因此所求的最小值为4. [变式探究1] 本例将条件“x>0”变为“x<0”时，则x＋的最大值是________． 原多项式可变为x＋＝－(－x＋).因为x<0，所以－x>0，故有－x＋≥2＝4， 所以－(－x＋)≤－4，当且仅当－x＝－，即x＝－2时，等号成立． 故原式的最大值为－4. [变式探究2] 本例变为：当x>1时，求x＋的最小值． 因为x>1，故有x－1>0，所以x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝5，当且仅当x－1＝，即x＝3时，等号成立．因此所求最小值为5. 拓展·提升 1．基本不等式最值模型 a>0，b>0，x>0，a，b为常数，则y＝ax＋≥2，当且仅当x＝时，等号成立． 2．利用基本不等式求最值的原则 利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即 (1)一正：符合基本不等式≥成立的前提条件，a>0，b>0； (2)二定：化不等式的一边为定值； (3)三相等：必须存在取等号的条件，即等号成立． 以上三点缺一不可． [练1] (1)(2025·广州高一检测)已知x>0，则x－4＋的最小值为 (　　) A．－2 B．0 C．1 D．2 (2)(x＞1)的最小值为________． (1)∵x>0，∴x＋－4≥2－4＝0，当且仅当x＝，即x＝2时，等号成立． 即x－4＋的最小值为0. (2)令y＝，则y＝＝x＋1＋＝(x－1)＋＋2≥2＋2＝2×3＋2＝8，当且仅当x－1＝，即x＝4时，等号成立． 故(x＞1)的最小值为8. 探究二　利用基本不等式求条件最值 [例2] (1)已知x＞0，y＞0，且＋＝1，求x＋y的最小值． (2)已知x＞0，y＞0，且2x＋8y＝xy，求x＋y的最小值． (1)∵x＞0，y＞0，＋＝1， ∴x＋y＝(＋)(x＋y)＝＋＋10≥6＋10＝16，当且仅当＝，即x＝4，y＝12时，等式成立． 故当x＝4，y＝12时，x＋y的最小值为16. (2)由2x＋8y－xy＝0，得y(x－8)＝2x. ∵x＞0，y＞0，∴x－8＞0，y＝， ∴x＋y＝x＋＝x＋＝(x－8)＋＋10≥2＋10＝18.当且仅当x－8＝，即x＝12时，等号成立． ∴x＋y的最小值是18. 拓展·提升 1．柯西不等式：(x2＋y2)(a2＋b2)≥(ax＋by)2，当且仅当＝时，等号成立． 2．常值代换法求最值的方法步骤 常值代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1； (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式； (4)利用基本不等式求解最值． [练2] (1)已知a>0，b>0，＋＝1，若不等式2a＋b≥m恒成立，则m的最大值为 (　　) A．2＋ B．3＋ C．3＋2 D．5 (2)已知x，y为正实数，则＋的最小值为________． (1)由不等式2a＋b≥m恒成立可知，只需m小于或等于2a＋b的最小值， 由a＞0，b＞0，＋＝1， 可得2a＋b＝(2a＋b)(＋)＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，当且仅当＝时，等号成立，∴m≤3＋2， ∴m的最大值为3＋2.故选C. (2)由题得＋＝＋≥8－2＝6，当且仅当y＝2x时，等号成立． 所以＋的最小值为6. 探究三　基本不等式在实际中的应用 [例3] 某社区计划在一块空地上种植花卉，已知这块空地是面积为 1 800 m2的矩形ABCD，为了方便居民观赏，在这块空地中间修了如图所示的三条宽度为2 m的人行通道，求种植花卉区域的面积的最大值． [思路导引] ⇒⇒⇒ 设|AB|＝x m(x>0)， 则种植花卉区域的面积S＝(x－4)(－2)＝－2x－＋1 808. 因为x>0，所以2x＋≥2＝240，当且仅当2x＝，即x＝60时，等号成立， 则S≤－240＋1 808＝1 568， 即当|AB|＝60 m，|BC|＝30 m时， 种植花卉区域的面积取得最大值，最大值是1 568 m2. 拓展·提升 运用基本不等式解决实际问题的步骤 (1)认真审题，恰当选择变量(x或y)，并求其取值范围； (2)用x或y表示要求最大(小)值的量z； (3)利用基本不等式，求出z的最大(小)值； (4)回到实际问题中去，写出实际问题的答案． [练3] 做一个体积为V，高为h的长方体纸盒，用纸面积最小为________． 答案：＋4　 设长方体纸盒的底面长、宽分别为a，b，则abh＝V，即ab＝. 所以纸盒的表面积S＝2ab＋2(a＋b)h≥2ab＋4h＝＋4·h＝＋4. 当且仅当a＝b＝时，纸盒的表面积，即用纸面积最小，为＋4. 特别提醒：利用基本不等式求最值，一定要注意取等号的条件. 1．已知ab＝1，a>0，b>0，则a＋b的最小值为 (　　) A．1 B．2 C．4 D．8 ∵a>0，b>0，∴a＋b≥2＝2，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，故a＋b的最小值为2.故选B. 2．已知x＞0，则＋x的最小值为 (　　) A．6 B．5 C．4 D．3 ∵x＞0，∴＋x≥2＝6，当且仅当x＝，即x＝3时，等号成立，此时取得最小值6.故选A. 3．一段长为L的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，则菜园的最大面积为 (　　) A． B． C． D．L2 设菜园与墙相对的边长为x，另两个边长为y，则x＋2y＝L，面积S＝xy， ∵x＋2y≥2，∴xy≤＝. 当且仅当x＝2y＝，即x＝，y＝时，等号成立，∴Smax＝.故选A. 4．已知0＜x＜1，则x(1－x)的最大值为_____________，此时x＝________． 答案：　　 因为0＜x＜1，所以1－x＞0，所以x(1－x)≤[]2＝()2＝，当且仅当x＝1－x，即x＝时，等号成立，即当x＝时，x(1－x)取得最大值. $$