第1章 §3 3.1 不等式的性质（课件PPT）-【优化指导】2025-2026学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

预备知识 §3　不等式 3．1　不等式的性质 第一章 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 学习目标 1.理解不等式的概念，掌握不等式的性质(重点). 2．能利用不等式的性质比较大小或证明不等式(重点). 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 > ＝ < 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 > > > 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 ＜ ＞ ＞ 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 ＜ ＞ 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 × √ × × 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 C 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 B 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 D 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 B 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 A 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 D 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 D B 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 证明 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 证明 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 A 水平达标 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 C 水平达标 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 A 水平达标 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 水平达标 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 课时梯级训练（10） 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 谢谢观看 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 一、不等式的基本事实 a－b＞0⇔a___b；a－b＝0⇔a___b；a－b＜0⇔a___b. 从基本事实可知：比较两个实数或代数式的大小，只需比较它们的差与0的大小即可． 二、不等式的性质 性质1(传递性)：如果a>b，且b>c，那么a___c. 性质2(可加性)：如果a>b，那么a＋c___b＋c. 性质3(可乘性)：(1)如果a>b，c＞0，那么ac___bc； (2)如果a>b，c＜0，那么ac___bc. 性质4(同向可加性)：如果a>b，c＞d，那么a＋c___b＋d. 性质5(同向同正可乘性，可乘方性)：(1)如果a>b＞0，c＞d＞0，那么ac___bd； (2)如果a>b＞0，c＜d＜0，那么ac___bd. 特殊地，当a>b>0时，an>bn，其中n∈N＋，n≥2. 性质6(可开方性)：当a>b＞0时，___，其中n∈N＋，n≥2. “不等式的性质”一定要注意成立的前提条件；另外要关注“箭头”是单向还是双向． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)若a＞b，则ac＞bc一定成立． (　 　) (2)a＞b⇔a＋c＞b＋c. (　 　) (3)若a＋c＞b＋d，则a＞b，c＞d. (　 　) (4)a>b⇔a2>b2. (　 　) 2．大桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使货车总质量T不超过40吨，用不等式表示为 (　　) A．T<40　　　　　 B．T>40 C．T≤40 D．T≥40 限重就是不超过，可以直接建立不等式T≤40. 3．(教材P26练习6改编)已知a＜b＜0，c＜d＜0，那么下列判断中正确的是 (　　) A.a－c＜b－d B．ac＞bd C．＜ D．ad＞bc 4．已知a＞b，c＞d，且cd≠0，则 (　　) A．ad＞bc B．ac＞bc C．a－c＞b－d D．a＋c＞b＋d 5．若a＞b＞0，n∈N＋，n≥2，则________.(填“＞”“＜”或“＝”) 答案：＜ 探究一　作差法比较大小 [例1] 比较下列各式的大小． (1)当x≤1时，比较3x3与3x2－x＋1的大小． (2)当x，y，z∈R时，比较5x2＋y2＋z2与2xy＋4x＋2z－2的大小． (1)3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1). 因为x≤1，所以x－1≤0，3x2＋1＞0， 所以(3x2＋1)(x－1)≤0，所以3x3≤3x2－x＋1. (2)因为5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2)＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0， 所以5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2， 当且仅当x＝y＝，z＝1时，等号成立． 1．若a，b都是正数，则可用作商法比较大小，即>1⇔a>b，＝1⇔a＝b，<1⇔a<b. 2．作差法比较两个实数大小的基本步骤 [练1] (2025·临沂高一期中)一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应该不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好．若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果 (　　) A．变坏了 B．变好了 C．不变 D．无法判断 设a和b分别表示公寓原来的窗户面积和地板面积，m表示窗户和地板所增加的面积(面积单位都相同)， 由题意得0<a<b，m>0，则－＝＝， 因为b>0，m>0，所以b(b＋m)>0，又a<b，则b－a>0， 所以－>0，即>， 所以同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果变好了． 探究二　利用不等式性质判断 [例2] (1)(2025·宝鸡高一期末检测)若a>b>c，且a＋b＋c＝0，则下列不等式中一定成立的是 (　　) A．ab>ac B．ac>bc C．a|b|>c|b| D．a2>b2>c2 (2)下列命题中，正确的是 (　　) A．若a＞b，c＞d，则ac＞bd B．若ac＞bc，则a＜b C．若a＞b，c＞d，则a－c＞b－d D．若＜，则a＜b (1)因为a>b>c，且a＋b＋c＝0， 所以a>0，c<0，所以ab>ac，故A正确； B选项，ac－bc＝c(a－b)<0，即ac<bc，故B错误； C选项，当b＝0时，a|b|＝c|b|，故C错误； D选项，当a＝1，b＝0，c＝－1时，a2＝c2>b2，故D错误．故选A. (2)选项A中，当a＞b＞0，c＞d＞0时，ac＞bd成立，但是当a，c均为负值时不成立，故A不正确．选项B中，当c＜0时，ac＞bc可推出a＜b；当c＞0时，ac＞bc可推出a＞b，故B不正确．选项C中，由a＞b，c＞d，可得a－d＞b－c，故C不正确．选项D中，式子＜成立，显然c≠0，所以c2＞0，根据不等式的性质，显然有a＜b成立，故D正确．故选D. 1．不等式性质的推论(正数开方性)：a>b>0⇒>(n∈N＋，n≥2). 2．利用不等式判断正误的两种方法 (1)直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可． (2)特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则，一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性． [练2] (1)若a>b，则一定有 (　　) A．ac>bc B．a2>b2 C．< D．a＋c>b＋c (2)若a，b，c∈R且a>b>c，则下列不等式一定成立的是 (　　) A．a－b>b－c B．a＋b>2c C．ac>bc D．a2>b2>c2 (1)A选项，ac－bc＝c(a－b)，仅当c>0时，ac－bc>0，即ac>bc，错误； B选项，a2－b2＝(a＋b)(a－b)，仅当a＋b>0时，a2－b2>0，即a2>b2，错误； C选项，－＝，仅当ab>0时，－<0， 即<，错误； D选项，(a＋c)－(b＋c)＝a－b>0，故a＋c>b＋c，正确．故选D. (2)对于A，令a＝1，b＝0，c＝－1，所以a－b＝1，b－c＝1，所以A错误； 对于B，因为a>b>c，所以a>c，b>c，所以由不等式的同向可加性知，a＋b>2c，所以B正确； 对于C，令a＝2，b＝1，c＝0，所以ac＝bc＝0，所以C错误； 对于D，令a＝1，b＝0，c＝－1，所以a2＝1，b2＝0，c2＝1，所以D错误．故选B. 探究三　利用不等式的性质证明不等式 [例3] 若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0. 求证：＞. ∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0. 又a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0. ∴(a－c)2＞(b－d)2＞0. 两边同乘，得＜. 又e＜0，∴＞. [变式探究] 本例条件不变，求证：＞. ∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0. ∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0， ∴0＜＜， 又e＜0，∴＞. 1．ab>0，a>b⇒<(同号的两个实数，取倒数原来大的反而小)；ab<0，a>b⇒>(异号的两个实数，取倒数原来大的仍大). 2．利用性质证明不等式的注意点 应严格利用题中条件与性质定理、推论进行证明，不能随便引用一些简易结论作为论证依据，否则会造成论证不严谨． 探究四　用不等式的性质求代数式的取值范围 [例4] 已知实数x，y满足关系： －1<x＋y<4，2<x－y<3. (1)分别求实数x，y的取值范围； (2)求3x＋2y的取值范围． (1)－1<x＋y<4　①，2<x－y<3　②， ①＋②得，1<2x<7，解得<x<， 由②得－3<－x＋y<－2　③， ①＋③得，－4<2y<2，解得－2<y<1， 故x的取值范围是{x|＜x＜}， y的取值范围是{y|－2＜y＜1}． (2)设3x＋2y＝m(x＋y)＋n(x－y)，则 解得m＝，n＝， 由(x＋y)＋(x－y)得－<3x＋2y<， 所以3x＋2y的取值范围为. 1．a1>b1，a2>b2，…，an>bn⇒a1＋a2＋…＋an>b1＋b2＋…＋bn；a1>b1>0，a2>b2>0，…，an>bn>0⇒a1a2…an>b1b2…bn. 2．求含有字母的数(或式)的取值范围时的注意事项 (1)要注意题设中的条件． (2)要正确使用不等式的性质，尤其是两个同方向的不等式可加不可减，可乘不可除． [练3] 若－1＜a＋b＜3，2＜a－b＜4，求2a＋3b的取值范围． 设2a＋3b＝x(a＋b)＋y(a－b)＝(x＋y)a＋(x－y)b， 则解得 因为－＜(a＋b)＜，－2＜－(a－b)＜－1， 所以－＜(a＋b)－(a－b)＜， 即－＜2a＋3b＜， 所以2a＋3b的取值范围是(－，). 特别提醒：不要忽略不等式性质成立的条件． 1．若x∈R，y∈R，则 (　　) A．x2＋y2>2xy－1 B．x2＋y2＝2xy－1 C．x2＋y2<2xy－1 D．x2＋y2≤2xy－1 因为x2＋y2－(2xy－1)＝x2－2xy＋y2＋1＝(x－y)2＋1>0，所以x2＋y2>2xy－1.故选A. 2．若a＞b>0，c＞d>0，则一定有 (　　) A．> B．< C．> D．< 不妨令a＝3，b＝1，c＝1，d＝， 则＝3，＝3，∴A，B不正确； ＝9，＝1，∴D不正确．故选C. 3．设x，y∈R，则“x<3，y<3”是“x＋y<6”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 由x<3，y<3，可得x＋y<6， 当x＝5，y＝－1时，满足x＋y<6，但不满足x<3，y<3，则“x<3，y<3”是“x＋y<6”的充分不必要条件，故选A. 4．已知1<a<3，－2<b<1，则a＋2b的取值范围是________． 答案：(－3，5)　 ∵－2<b<1，∴－4<2b<2. ∵1<a<3，∴－3<a＋2b<5. $$