第1章 §2 2.2 第2课时 全称量词命题与存在量词命题的否定（课件PPT）-【优化指导】2025-2026学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

预备知识 §2　常用逻辑用语 2.2　全称量词与存在量词 第2课时　全称量词命题与 存在量词命题的否定 第一章 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 学习目标 1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定(重点). 2．能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定(重点). 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 存在量词 ∃x∈M，x不具有性质p(x) 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 全称量词 ∀x∈M，x不具有性质p(x) 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 √ × × 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 D 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 C 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 A 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 A 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 C 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 A 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 C 水平达标 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 D 水平达标 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 C 水平达标 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 水平达标 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 课时梯级训练（9） 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 谢谢观看 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 一、全称量词命题的否定 1．全称量词命题的否定是____________命题． 2．对于全称量词命题p：∀x∈M，x具有性质p(x)，通常把它的否定表示为_____________________________． “全称量词命题”的否定是量词变为存在，同时否定结论，因此变成了存在量词命题． 二、存在量词命题的否定 1．存在量词命题的否定是____________命题． 2．对于存在量词命题p：∃x∈M，x具有性质p(x)，通常把它的否定表示为__________________________________． “存在量词”的否定为全称量词，因此存在量词命题的否定都变成了全称量词命题． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)命题“正方形都是长方形”是全称量词命题． (　 　) (2)命题“有些菱形是正方形”是全称量词命题． (　 　) (3)命题：∀x∈R，x2－3x＋3>0的否定是∀x∉R，x2－3x＋3≤0. (　 　) 2．命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是 (　　) A．所有不能被2整除的数都是偶数 B．所有能被2整除的数都不是偶数 C．存在一个不能被2整除的数是偶数 D．存在一个能被2整除的数不是偶数 全称量词命题的否定为相应的存在量词命题，即将“所有”变为“存在”，并且将结论进行否定． 3．命题“∃x∈R，使得f(x)＝x”的否定是 (　　) A．∀x∈R，都有f(x)＝x B．不存在x∈R，使得f(x)≠x C．∀x∈R，都有f(x)≠x D．∃x∈R，使得f(x)≠x 命题的否定为“∀x∈R，都有f(x)≠x”． 4．已知命题p：∀x＞2，x3－8＞0，那么命题p的否定是___________． 答案：∃x＞2，x3－8≤0　 命题p为全称量词命题，其否定为存在量词命题，即命题p的否定是“∃x＞2，x3－8≤0”． 探究一　全称量词命题的否定 [例1] 写出下列全称量词命题的否定，并判断真假： (1)∀x∈R，1－(x－)2≤1； (2)对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3； (3)正数的绝对值是它本身． (1)该命题的否定为“∃x∈R，1－(x－)2＞1”．因为∀x∈R，(x－)2≥0， 所以－(x－)2≤0，1－(x－)2≤1恒成立，所以这是一个假命题． (2)该命题的否定为“至少存在一个x∈Z，x2的个位数字等于3”．因为02＝0，12＝1，22＝4，32＝9，42＝16，52＝25，62＝36，72＝49，82＝64，92＝81，…，所以这是一个假命题． (3)该命题省略了量词“所有的”，该命题是全称量词命题，它的否定为“有的正数的绝对值不是它本身”．这是一个假命题． 1．常见词语的否定 原词 ＝ > < 是 都是 任意的 所有的 否定 ≠ ≤ ≥ 不是 不都是 某个 某些 2.对全称量词命题否定的两个步骤 (1)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词． (2)否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等． 3．全称量词命题否定后的真假判断方法 全称量词命题的否定是存在量词命题，其真假性与全称量词命题相反；要说明一个全称量词命题是假命题，只需举一个反例即可． [练1] (1)命题“∀x>1，有x2－m>1”的否定是 (　　) A．∃x>1，使x2－m≤1 B．∃x≤1，使x2－m≤1 C．∀x>1，有x2－m≤1 D．∀x≤1，有x2－m≤1 (2)命题“∀x>0，有ln x≥1－”的否定是 (　　) A．∃x>0，使ln x<1－ B．∃x>0，使ln x≥1－ C．∃x≤0，使ln x<1－ D．∃x≤0，使ln x≥1－ (1)命题“∀x>1，x2－m>1”为全称量词命题，其否定为“∃x>1，x2－m≤1”．故选A. (2)命题“∀x>0，有ln x≥1－”为全称量词命题，该命题的否定为“∃x>0，使ln x<1－”．故选A. 探究二　存在量词命题的否定 [例2] 写出下列存在量词命题的否定，并判断真假． (1)某些平行四边形是菱形； (2)∃x∈R，使x2＋1＜0； (3)∃x，y∈Z，使得x＋y＝3. (1)该命题的否定为“没有一个平行四边形是菱形”，也即“每一个平行四边形都不是菱形”．假命题． (2)该命题的否定为“不存在x∈R，x2＋1＜0”，也即“∀x∈R，x2＋1≥0”．真命题． (3)该命题的否定为“∀x，y∈Z，x＋y≠3”．假命题． 1．常见词语的否定 原词 至少有一个 至多有一个 至多有n个 否定 一个也没有 至少有两个 至少有n＋1个 2.对存在量词命题否定的两个步骤 (1)改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词． (2)否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等． 3．存在量词命题否定后的真假判断 存在量词命题的否定是全称量词命题，其真假性与存在量词命题相反；要说明一个存在量词命题是真命题，只需要找到一个实例即可． [练2] (1)命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是 (　　) A．∀x∈R，有|x|>0 B．∃x∈R，使|x|>0 C．∀x∈R，有|x|≤0 D．∃x∈R，使|x|≤0 (2)(2025·南昌高一期末检测)设m∈R，命题“存在m>0，使方程x2＋x－m＝0有实数根”的否定是 (　　) A．∀m>0，方程x2＋x－m＝0无实数根 B．∀m>0，方程x2＋x－m＝0有实数根 C．∀m<0，方程x2＋x－m＝0无实数根 D．∀m<0，方程x2＋x－m＝0有实数根 (1)由词语“有些”知原命题为存在量词命题，故其否定为全称量词命题，因为命题的否定只否定结论，故选C. (2)由存在量词命题的否定是全称量词命题，知“存在m>0，使方程x2＋x－m＝0有实数根”的否定是“∀m>0，方程x2＋x－m＝0无实数根”．故选A. 探究三　根据命题的真假求参数的取值范围 [例3] 已知命题p：∀x∈R，有ax2＋2x＋1≠0为假命题，求实数a的取值范围． 由题意可知，p的否定“∃x∈R，ax2＋2x＋1＝0”为真命题， 等价于方程ax2＋2x＋1＝0在R上有解， 即a＝0，或故a≤1. 故实数a的取值范围是{a|a≤1}． 1．含有一个量词的全称(存在)量词命题的否定，与含有一个量词的全称(存在)量词命题的真假性不同． 2．由含量词命题的真假求参数范围的思路 求参数的范围时，从真命题的角度考虑比较好列关系式，所以如果已知条件是一个存在量词命题且是假命题，可以写出该命题的否定，利用假命题的否定是真命题求得参数的范围． [练3] 已知命题“∃x≥3，使得2x－1<m”是假命题，求实数m的取值范围． 因为命题“∃x≥3，使得2x－1＜m”是假命题，所以其否定“∀x≥3，2x－1≥m”为真命题，所以m≤(2x－1)min，因为x≥3，所以2x－1≥5，所以m≤5.故实数m的取值范围是{m|m≤5}． 特别提醒：命题的否定与否命题是不同的． 1．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是 (　　) A．∀x∈R，有|x|＋x2＜0 B．∀x∈R，有|x|＋x2≤0 C．∃x∈R，使|x|＋x2＜0 D．∃x∈R，使|x|＋x2≥0 对于全称量词命题的否定，要将命题中“∀”变为“∃”，则命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是“∃x∈R，|x|＋x2＜0”．故选C. 2．(2025·成都高一期末检测)命题“∃x∈R，x2－2x＋2≤0”的否定是 (　　) A．∃x∈R，使x2－2x＋2≥0 B．∃x∈R，使x2－2x＋2>0 C．∀x∈R，有x2－2x＋2≤0 D．∀x∈R，有x2－2x＋2>0 因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以命题“∃x∈R，x2－2x＋2≤0”的否定是“∀x∈R，x2－2x＋2>0”．故选D. 3．下列命题正确的个数是 (　　) ①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题； ②命题“∀x∈R，x2＋2<0”是全称量词命题； ③命题“∃x∈R，x2＋4x＋4≤0”的否定是“∀x∈R，x2＋4x＋4>0”． A．0 B．1 C．2 D．3 ①命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题，故①错误； ②命题“∀x∈R，x2＋2<0”是全称量词命题，故②正确； ③命题“∃x∈R，x2＋4x＋4≤0”的否定是“∀x∈R，x2＋4x＋4>0”，故③正确．故选C. 4．已知命题p：∃x>0，使x＋a－1＝0，若p为假命题，则a的取值范围是________． 答案：{a|a≥1}　 ∵p为假命题，∴p的否定为真命题，即∀x>0，x＋a－1≠0，即x≠1－a， ∴1－a≤0，则a≥1.∴a的取值范围是{a|a≥1}． $$