第1章 §2 2.1 第2课时 充要条件（课件PPT）-【优化指导】2025-2026学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

预备知识 §2　常用逻辑用语 2．1　必要条件与充分条件 第2课时　充要条件 第一章 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 学习目标 1.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义． 2．理解数学定义与充要条件的关系(重点). 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 p⇒q q⇒p p⇔q 等价 充要 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 √ √ √ 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 A 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 B D 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 证明 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 证明 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 证明 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 证明 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 C 水平达标 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 C 水平达标 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 水平达标 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 水平达标 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 课时梯级训练（7） 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 谢谢观看 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 充要条件 1．一般地，如果______，且______，那么称p是q的充分且必要条件，简称p是q的充要条件，记作______． 2．p是q的充要条件也常常说成“p成立当且仅当q成立”，或“p与q______”． 3．当p是q的充要条件时，q也是p的______条件． (1)“p是q的充要条件”说明p是条件，q是结论； (2)“p的充要条件是q”说明q是条件，p是结论； (3)如果把p研究的范围看成集合A，把q研究的范围看成集合B，则可得下表： 关系 图示 结论 AB p是q的充分不必要条件 BA p是q的必要不充分条件 关系 图示 结论 A＝B p是q的充要条件 A，B互 不包含 p是q的既不充分也不必要条件 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)若p是q的充要条件，则q成立当且仅当p成立． (　 　) (2)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题． (　 　) (3)若pq和qp有一个成立，则p一定不是q的充要条件． (　 　) 2．已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3．若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的______________． 答案：充要条件　 因为p⇔q，q⇔r，所以p⇔r.所以p是r的充要条件． 4．(教材P18练习1改编)下列各题中，p是q的充要条件的为________．(填序号) ①p：x＞0，y＞0，q：xy＞0； ②p：a＞b，q：a＋c＞b＋c. 答案：②　 在①中，p⇒q，qp，所以①中p不是q的充要条件．在②中，p⇔q，所以②中p是q的充要条件． 探究一　充要条件的判断 [例1] 判断下列各题中，p是不是q的充要条件． (1)p：x2－1＝0，q：|x|－1＝0； (2)p：x＜5，q：x＜3； (3)若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0； (4)p：|x|＞3，q：x2＞9. (1)设A＝{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，B＝{x||x|－1＝0}＝{－1，1}，所以A＝B，即“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的充要条件． (2)设A＝{x|x＜5}，B＝{x|x＜3}，因为AB，所以“x＜5”是“x＜3”的必要不充分条件． (3)若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，即p⇒q； 若a＝b＝0，则a2＋b2＝0，即q⇒p，故p⇔q， 所以p是q的充要条件． (4)由于p：|x|＞3⇔q：x2＞9，所以p是q的充要条件． 1．定义给出了结论成立的充要条件． 2．判断充要条件的解题思路及方法 (1)解题思路：充要条件的判断思路同充分条件、必要条件的一样． (2)方法：①定义法，既要判断条件对结论的充分性，又要判断条件对结论的必要性； ②推出法，使用双向推出法，不是单向推出法； ③集合法，判断相应的两个集合互为子集，即判断两个集合相等． [练1] (1)P(x，y)是第二象限的点的充要条件是 (　　) A.x＜0，y＜0 B．x＜0，y＞0 C.x＞0，y＞0 D．x＞0，y＜0 (2)a，b中至少有一个不为零的充要条件是 (　　) A.ab＝0 B．ab＞0 C.a2＋b2＝0 D．a2＋b2＞0 (1)因为P(x，y)是第二象限的点，所以x＜0，y＞0；当x＜0，y＞0时，P(x，y)是第二象限的点．所以P(x，y)是第二象限的点的充要条件是x＜0，y＞0.故选B. (2)a2＋b2＞0，则a，b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2＞0.故选D. 探究二　充要条件的证明 [例2] 证明：如图，梯形ABCD为等腰梯形的充要条件是AC＝BD. 必要性：在等腰梯形ABCD中，AB＝DC，∠ABC＝∠DCB， 又BC＝CB，∴△BAC≌△CDB，∴AC＝BD. 充分性：如图，过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E. ∵AD∥BE，DE∥AC， ∴四边形ACED是平行四边形． ∴DE＝AC. ∵AC＝BD，∴BD＝DE，∴∠E＝∠1. 又AC∥DE，∴∠2＝∠E，∴∠1＝∠2. 在△ABC和△DCB中， ∴△ABC≌△DCB.∴AB＝DC. ∴梯形ABCD为等腰梯形． 综上可得，梯形ABCD为等腰梯形的充要条件是AC＝BD. 1．充分、必要、充要条件都具有传递性，具体如下： (1)若p⇒q，q⇒s，则p⇒s. (2)若p⇔q，q⇔s，则p⇔s. 2．证明充要条件的两个思路 (1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性． (2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件． [练2] 已知α：1≤x≤2，β：1≤x≤a. 求证：a≥2是α⇒β成立的充要条件． 充分性(若a≥2，则α⇒β). 若a≥2，则{x|1≤x≤2}⊆{x|1≤x≤a}， 所以由α：1≤x≤2可得出β：1≤x≤a， 故充分性成立． 必要性(若α⇒β，则a≥2). 若α：1≤x≤2可推出β：1≤x≤a， 则{x|1≤x≤2}⊆{x|1≤x≤a}， 所以a≥2，故必要性成立． 综上所述，a≥2是α⇒β成立的充要条件． 探究三　充分、必要及充要条件的应用 [例3] 求方程x2＋kx＋1＝0与x2＋x＋k＝0有一个公共实数根的充要条件． 若方程x2＋kx＋1＝0与x2＋x＋k＝0有一个公共实数根，设为x0， 则 由②得k＝－x－x0，代入①得x＝1，解得x0＝1. 因此，k＝－2. 反过来，当k＝－2时，x2＋kx＋1＝x2－2x＋1＝0，解得x1＝x2＝1； x2＋x＋k＝x2＋x－2＝0，解得x＝1或x＝－2，两方程有公共实数根1. 所以方程x2＋kx＋1＝0与x2＋x＋k＝0有一个公共实数根的充要条件为k＝－2. 充分条件与必要条件的应用技巧 (1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题； (2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解． [练3] 若集合A＝{x|x>－2}，B＝{x|x≤b，b∈R}，试写出： (1)A∪B＝R的充要条件； (2)A∪B＝R的一个必要不充分条件； (3)A∪B＝R的一个充分不必要条件． 集合A＝{x|x>－2}，B＝{x|x≤b，b∈R}． (1)若A∪B＝R，则b≥－2， 故A∪B＝R的充要条件是b≥－2. (2)由(1)知A∪B＝R的充要条件是b≥－2，所以A∪B＝R的一个必要不充分条件可以是b≥－3. (3)由(1)知A∪B＝R的充要条件是b≥－2，所以A∪B＝R的一个充分不必要条件可以是b≥－1. 特别提醒：证明充要条件时，充分性与必要性易混． 1．“a＋b＜0”是“a＜0，b＜0”的 (　　) A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 因为a＋b＜0⇒a，b中至少有一个小于0；又a＜0，b＜0⇒a＋b＜0，所以“a＋b＜0”是“a＜0，b＜0”的必要不充分条件．故选C. 2．设A，B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 结合Venn图(图略)可知，由A∩B＝A，可得A⊆B，反之，若A⊆B，即集合A为集合B的子集，则A∩B＝A，故“A∩B＝A”是“A⊆B”的充要条件．故选C. 3．(2025·大理高一期末检测)若“不等式x－m＜1成立”的充要条件为“x＜2”，则实数m的值为____________________． 答案：1　 解不等式x－m＜1得x＜m＋1. 因为“不等式x－m＜1成立”的充要条件为“x＜2”，所以2＝m＋1，解得m＝1. 4．(2025·广州期末检测)“x＝2”是“x2－4＝0”的____________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”或“充要”) 答案：充分不必要　 x2－4＝0的解为x＝－2或x＝2，所以x＝2⇒x2＝4，但x2＝4 x＝2，故“x＝2”是“x2－4＝0”的充分不必要条件． $$