第1章 §2 2.1 第1课时 必要条件与性质定理 充分条件与判定定理（课件PPT）-【优化指导】2025-2026学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

预备知识 §2　常用逻辑用语 2．1　必要条件与充分条件 第1课时　必要条件与性质定理　 充分条件与判定定理 第一章 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 学习目标 1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系(重点). 2．通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系(重点). 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 真假 陈述句 真 假 p q 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 q p q p 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 p q 必要 充分 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 √ √ √ √ 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 A 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 A 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 A 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 D 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 A 水平达标 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 B 水平达标 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 B 水平达标 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 水平达标 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 课时梯级训练（6） 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 谢谢观看 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 一、必要条件与性质定理 1．命题 (1)定义：可以判断______，用文字或符号表述的_________叫作命题． (2)分类：判定为___的语句是真命题；判定为___的语句是假命题． (3)结构形式：“若p，则q”形式的命题中，___称为命题的条件，___称为命题的结论． (4)当命题“若p，则q”是真命题时，就说由p推出q，记作p⇒q. 2．必要条件 一般地，当命题“若p，则q”是真命题时，称____是____的必要条件．也就是说，一旦q不成立，p一定也不成立，即____对于____的成立是必要的． “p⇒q”，称q是p的必要条件．所谓必要，就是条件是必须有的，必不可少的，缺其不可．“有之未必成立，无之必不成立．” 二、充分条件与判定定理 一般地，当命题“若p，则q”是真命题时，称__是__的充分条件． 综上，对于真命题“若p，则q”，即p⇒q时，称q是p的______条件，也称p是q的______条件． (1)p⇒q，称p是q的充分条件．所谓充分，就是说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．“有之必成立，无之未必不成立．” (2)若p⇒q，但qp，则称p是q的充分不必要条件． (3)若q⇒p，但pq，则称p是q的必要不充分条件． (4)若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)已知p⇒q，则“若p，则q”是真命题． (　 　) (2)已知p⇒q，则q的充分条件是p，p的必要条件是q. (　 　) (3)p是q的充分条件是指“p成立可充分保证q成立”，但即使q成立，p也未必成立． (　 　) (4)q是p的必要条件是指“要使p成立，必须要有q成立”，也就是说“若q不成立，则p一定不成立”． (　 　) 2．(教材P16练习T1改编)若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的 (　　) A．充分条件 B．必要条件 C．既不充分也不必要条件 D．无法判断 3．“使x>3成立”的一个充分条件是 (　　) A．“x>4”　　　 B．“x>0” C．“x>2” D．“x<2” 只有x>4⇒x>3，其他选项均不可推出x>3. 4．若集合A＝{1，m2}，B＝{2，4}，则“m＝2”是“A∩B＝{4}”的________________条件. 答案：充分不必要　 设p：m＝2，q：A∩B＝{4}，当A∩B＝{4}时，m2＝4，解得m＝±2，即q：m＝±2，所以p⇒q，但qp.所以“m＝2”是“A∩B＝{4}”的充分不必要条件． 探究一　必要条件的判定 [例1] 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ (1)若一个四边形是等腰梯形，则这个四边形的两条对角线相等； (2)若△ABC是直角三角形，则△ABC是等腰三角形； (3)若＝，则x＝y； (4)若关于x的方程ax＋b＝0(a，b∈R)有唯一解，则a＞0. (1)等腰梯形的两条对角线相等，因此p⇒q，所以q是p的必要条件． (2)直角三角形不一定是等腰三角形，因此p q，所以q不是p的必要条件． (3)“若＝，则x＝y”是真命题，因此p⇒q，所以q是p的必要条件． (4)“若关于x的方程ax＋b＝0(a，b∈R)有唯一解，则a＞0”为假命题，因此pq，所以q不是p的必要条件． 1．性质定理给出了结论成立的必要条件． 2．必要条件的判断方法 [练1] 可以作为关于x的一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数根的一个必要条件的是 (　　) A．m＜ B．m＜ C．m＜－ D．m＜－ 因为关于x的一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数根，所以Δ＝b2－4ac＝1－4×1×m≥0，解得m≤.而m≤可以推出m＜，所以m＜可以作为关于x的一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数根的一个必要条件．故选A. 探究二　充分条件的判定 [例2] 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ (1)若a∈Q，则a∈R； (2)若a＜b，则＜1； (3)若x，y∈R，|x|＝|y|，则x＝y； (4)若(a－2)(a－3)＝0，则a＝3； (5)在△ABC中，若A＞B，则BC＞AC； (6)若四边形ABCD是正方形，则四边形ABCD是菱形． (1)由于QR，所以p⇒q，所以p是q的充分条件． (2)由于a＜b，当b＜0时，＞1；当b＞0时，＜1.因此pq，所以p不是q的充分条件． (3)若x＝1，y＝－1，则|x|＝|y|，但x≠y，所以pq，所以p不是q的充分条件． (4)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3，因此pq，所以p不是q的充分条件． (5)由三角形中大角对大边可知，若A＞B，则BC＞AC.因此p⇒q，所以p是q的充分条件． (6)由菱形和正方形的定义可知，所有的正方形都是菱形，所以p⇒q，所以p是q的充分条件． 1．判定定理给出了结论成立的充分条件． 2．充分条件的判断方法 [练2] 设x∈R，写出“x＞1”的一个充分条件：________． 答案：x＞2(答案不唯一)　 只要是集合{x|x＞1}的子集即可，如x＞2(答案不唯一). 探究三　根据必要条件、充分条件求参数的取值范围 [例3] 已知全集U＝R，非空集合A＝{x|2＜x＜3a＋1}，B＝{x|a＜x＜a＋2}．记p：x∈A，q：x∈B，若q是p的必要不充分条件，求实数a的取值范围． ∵A≠∅，∴3a＋1＞2，即a＞. ∵q是p的必要条件，∴A⊆B， ∴且等号不能同时成立， 解得a≤， 又a＞，∴＜a≤， 即实数a的取值范围是(，]. 1．一个结论成立的充分条件不一定是唯一的，必要条件也是如此． 2．利用充分(必要)条件确定参数的值(范围)的步骤 (1)记集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}． (2)若p是q的充分条件，则M⊆N；若p是q的必要条件，则N⊆M. (3)根据集合的关系列不等式(组). (4)解不等式(组)得参数的值或范围． [练3] (1)已知不等式m－1＜x＜m＋1成立的充分不必要条件是＜x＜，则实数m的取值范围是 (　　) A．{m|m＜－，或m＞} B．{m|m＜－，或m≥} C．{m|－＜m＜} D．{m|－≤m≤} (2)若“x≤－1，或x≥1”是“x＜a”的必要不充分条件，则实数a的最大值为________． －1 (1)由题意得(，)⊆(m－1，m＋1)， 所以且等号不能同时成立， 解得－≤m≤.故选D. (2)令A＝{x|x≤－1，或x≥1}，B＝{x|x＜a}．因为“x≤－1，或x≥1”是“x＜a”的必要不充分条件，所以集合B是集合A的真子集，所以a≤－1， 所以实数a的最大值为－1. 特别提醒：充分条件与必要条件的判定关键要搞清楚谁是条件，谁是结论． 1．“x＝2”是“(x－2)(x＋6)＝0”的 (　　) A．充分条件 B．必要条件 C．既不充分也不必要条件 D．无法判断 “x＝2”是“(x－2)(x＋6)＝0”的充分条件，反之未必成立． 2．若a是实数，则“a>0”是“a＝5”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既是充分条件也是必要条件 D．既不充分也不必要条件 因为a是实数， 当a>0时，a可能为5，也可能不为5，故a>0不是a＝5的充分条件； 当a＝5时，必有a>0，故a>0是a＝5的必要条件． 所以“a>0”是“a＝5”的必要不充分条件．故选B. 3．若p：a∈M∪N，q：a∈M，则p是q的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既是充分条件也是必要条件 D．既不充分也不必要条件 由a∈M∪Na∈M，但a∈M⇒a∈M∪N，即pq，但q⇒p.故选B. 4．设集合M＝{x|0＜x≤2}，N＝{x|0＜x≤3}，那么“a∈M”是“a∈N”的________条件．(填“充分”或“必要”) 答案：充分　 由题意得，M∪N＝N，所以“a∈M”⇒“a∈N”，所以“a∈M”是“a∈N”的充分条件． $$